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专题13 二次函数中的将军饮马
类型一 在对称轴上找点用将军饮马求解
1．如图，已知抛物线 与x轴的交点A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点是点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB＋PC的值最小时，求点P的坐标；
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标；
3．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线
x=2；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的值最小，求此时P点坐标及△APC周长；
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D为
抛物线的顶点．
（1）直接写出抛物线的函数表达式；
（2）如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小
值；若不存在，请说明理由；类型二 在x轴上找点用将军饮马求解
5．已知抛物线 的图象与 轴交于点 、 （ 在 的左侧），与 轴交于点 ，
顶点为 ．
（ ）试确定 的值，并直接写出 点的坐标．
（ ）试在 轴上求一点 ，使得 的周长取最小值．
6．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另
一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；
7．已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中
A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标；类型三 在y轴上找点用将军饮马求解
8．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，点 为抛物线的顶点，点 在 轴上，
且 ，直线 与抛物线在第一象限交于点 ，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线 的函数解析式为______，点 的坐标为______， ______．
（3）在 轴上找一点 ，使得 的周长最小．请求出点 的坐标；
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在
y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为 ，点M的坐标为 ，连接OC，若过点O的直线交线段
AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为 ；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，则点Q的坐标为 ；10．如图，已知二次函数y＝－ x2＋4x－6．
（1）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标；
（2）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得 PAD的周长最小？若存在，求出 PAD的周
长；若不存在，请说明理由． △ △
类型四 在已知直线上找点用将军饮马求解
11．如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C ，点Q为线段 上
的动点．（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的最小值；
12．如图抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，顶点为 ．
（1）求点 、 、 、 的坐标；
（2）把 绕 的中点 旋转 ，得到四边形 ；
①求 的坐标；
②试判断四边形 的形状，并说明理由；
（3）试探求：在直线 上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，求出点 的坐标，若不存
在，请说明理由．
13．已知，如图，二次函数 图象的顶点为 ，与 轴交于 、 两点( 点在 点
右侧)，点 、 关于直线 ： 对称.(1)求 、 两点的坐标，并证明点 在直线 上；
(2)求二次函数解析式；
(3)过点B作直线 交直线 于K点，M、N分别为直线AH和直线 上的两个动点，连结HN、NM、
MK，求HN+NM+MK的最小值.
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x﹣ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2﹣
x+c（a≠0）经过A，B，C三点．
(1)求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
(2)试探究在直线AC上是否存在一点M，使得 MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，
请说明理由． △
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．直线 经过抛物线上两点
， ．已知点 ， 的横坐标分别为 ， 且满足 ，直线 的表达式为 ．
（1）求 的值及抛物线的表达式；（2）设点 是直线 上一动点，问：点 在什么位置上时， 的周长最小？求出点 的坐标及
周长的最小值；
16．如图，抛物线 与 轴交于 、 ，与 轴交于点 ，点 为 的中点，
点 、 分别为 轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接 、 、 ，求四边形 周长最小时
点 、 的坐标．
