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专题 02 勾股定理的逆定理（三大类型）
【题型1 运用勾股定理的逆定理判段直角三角形】
【题型2 勾股数】
【题型3 勾股定理的逆定理的应用】
【题型1 运用勾股定理的逆定理判段直角三角形】
1．（2023秋•双流区期末）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C． D．8，15，16
2．（2023秋•市北区期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，则由
下列条件能判定△ABC为直角三角形的有（ ）
（1）∠A+∠B＝∠C
（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3
（3）a2＝c2﹣b2
（4）a：b：c＝1：2：3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022秋•拱墅区校级期末）△ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断△ABC是直
角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝8，c＝10 B．
C．a＝12，b＝5，c＝13 D．a＝3，b＝4，c＝6
4．（2023秋•昌黎县期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2：
C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：55．（2022秋•淮安区期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有
一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 勾股数】
6．（2023秋•南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13
7．（2023秋•新民市期末）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．2，4，6 B．1，2，3
C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5
8．（2023秋•甘州区校级期末）下面四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，2.5 D．5，12，13
9．（2023秋•宿豫区期中）下列各组数是勾股数的为（ ）
A．1.5，2，2.5 B． ， ， C．3，4，5 D．13，14，15
【题型3 勾股定理的逆定理的应用】
10．（2023秋•黎川县校级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，求下
列问题：
（1）试说明△ABC是直角三角形；
（2）求点C到AB的距离．11．（2023春•西宁期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝
5，AB＝4 ．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）求BD的长．
12．（2022秋•陈仓区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝ ，点D在AB上，且
BD＝1，CD＝2．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．
13．（2023春•台江区期末）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求AB和BC；
（2）求∠ABC的度数．14．（2023春•武昌区期中）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB
＝3，AD＝10，CD＝8．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
15．（2023秋•工业园区校级期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的
顶点在格点上．
（1）直接写出AB＝ ，BC＝ ，AC＝
；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）直接写出AC边上的高＝ ．
16．（2023秋•淮安区期中）如图，四边形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝
13，∠A＝90°，计算四边形ABCD的面积．
17．（2023秋•崂山区校级期末）如图，点 D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2．
（1）求BC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
18．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝8，AC＝6，DC＝
．
（1）求AD，BD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
19．（2023春•津南区期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．
（1）求AC的长；
（2）判断△ABC的形状并证明．
20．（2023春•平舆县期末）已知平面直角坐标系内有两点P （x ，y ），P （x ，y ）．
1 1 1 2 2 2
（1）若|P P |表示这两点间的距离，求证：|P P |＝ ．
1 2 1 2（2）试判断点A（4，﹣4），B（﹣1，5），C（2，1）是否构成直角三角形．
21．（2022秋•渭滨区期末）如图，在四边形 ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD
＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
22．（2023春•魏县期末）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为 1．四边
形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
23．（2023春•康县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠ADC应为直角，工人师傅
测得∠BAC＝90°，AD＝3，CD＝4，AB＝12，BC＝13．请你帮他看一下，这个零件符
合要求吗？为什么．
24．（2023春•抚宁区期末）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠BCD＝90°．25．（2023春•惠州校级期中）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、
“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海
里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口 小时后相距30海里．如果知道
“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
26．（2023春•京山市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
CD＝5，DA＝5 ．
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长．27．（2023春•乾安县期中）在一条东西走向的河流一侧有一村庄 C，河边原有两个取水
点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民
取水，决定在河边新建一个取水点 D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路
CD，测得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米．求证：CD⊥AB．
28．（2023春•市中区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝
60°，有一动点E自A向B以2cm/s的速度运动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，
若E，F同时分别从A，B出发．
（1）试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？
（2）试问出发几秒后，△BEF为直角三角形？
29．（2022秋•安宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为 A
（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC．
（1）求AC，AB的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．30．（2022秋•福山区期中）2022年2月8日，中国女子自由式滑雪运动员谷爱凌夺得
2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台金牌，这枚金牌对于中国的意义非凡，它标志
着中国的滑雪运动进入了一个新阶段．自由式滑雪大跳台是北京冬奥会新增项目，运动
员从一个近50米高的斜坡下滑获取初速度，然后上滑至跳台的尽头腾跃，完成空翻、
转体、抓板等技术动作组合．如图所示跳台可近似看作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，
BC＝4m，AC＝3m，假设运动员P从点B出发沿射线BA以20m/s的速度匀速运动，则
当运动时间t等于多少时，△BPC为直角三角形？
