文档内容
专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）
题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形
题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
题型三 在网格中判断直角三角形
题型四 利用勾股定理的逆定理求长度
题型五 利用勾股定理的逆定理求角度
题型六 利用勾股定理的逆定理求面积
题型七 勾股定理逆定理的实际应用
题型八 勾股定理逆定理的古代问题
题型九 勾股定理逆定理的综合问题
知识点一：勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1） 首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中
c
为三角形的最大边.
【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】
【例1】（23-24八年级下·广东东莞·期中） 中， 的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理
的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ，三角形内角和为
∴最大角为 ，
∴此时三角形不是直角三角形，
故B符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴三角形是直角三角形，
故C不符合题意；
∵ ，
∴设 ，
∴ ，
∴ ，
∴三角形是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若 的三边分别是 ， ， ，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．
B．
C． ， ，
D． ， ，
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理和
三角形内角和定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项判断即可．
【详解】解：A、由 ，则 ，即 ，故 是直
角三角形，不符合题意；
B、由 ， ，则最大角 ，则 不是直角
三角形，符合题意；
C、由 ， ， ，则 ，所以 是直角三角形，且 ，不符合题意；
D、由 ， ， ，则 ，所以 是直角三角形，且 ，不符合题
意．
故选：B．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在 中，下列条件：① ；②
；③ ；④ ， ， ．能判断 是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、等边三角形的判定定理，根据三角形内角和定
理、勾股定理逆定理、等边三角形的判定定理分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，故 是直角三角形，符合题意；
②∵ ，
∴ ，故 不是直角三角形，不符合题意；
③∵ ，
∴ ，故 是直角三角形，符合题意；
④∵ ， ， ，
∴ ，故 是等边三角形，不符合题意；
综上所述，能判断 是直角三角形的有①③，共 个，
故选：B．
3．（24-25八年级下·四川广安·期末）在 中， ， ， 的对边分别是a，b，c，下列条件：
① 与 互余；② ；③ ，其中可以判定 是直角三角形的有
个．
【答案】3
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据题意给出的条
件依次进行证明即可．
【详解】解：① 与 互余，
，
，
，
是直角三角形，故①正确；
② ，
，即 ，
是直角三角形，故②正确；
③ ，
，
是直角三角形，故③正确；
综上所述，可以判定 是直角三角形的有①②③，
故答案为：3．【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
【例2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的 的方格图中，点A和点B均为图中格点．点
C也在格点上，满足 为以 为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
4．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，A，B，P是 方格纸中的格点．请按要求画以 为边的
格点三角形（顶点在格点上）．
(1)在图1中画一个直角三角形 ，使点P在 的内部（不包括边界）．(2)在图2中画一个等腰三角形 ，使点P在 一边的中垂线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可．
（1）根据题意作符合要求的直角三角形即可；
（2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可．
【详解】（1）解： 即为所求（答案不唯一）；
（2）解： 即为所求（答案不唯一）．
5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的
线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：
（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形 ；
（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形 ；
（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段 ；
（4）在图4中画出一个周长为 的格点直角三角形 ．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；
（2）根据勾股定理画出边长为 的正方形，即可；
（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可；
（4）根据勾股定理画出长为 ， ， 的三角形，即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ 即为所求；
（2）∵EF=FG=GD=DE= ，
∴正方形 的面积为13；
（3）HI= ；
（4）∵KL= ，JL= ，JK= ，
且
∴ 是直角三角形，且周长为 ．
【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（24-25八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B
出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)3cm
(2)t=1或
(3)t= 或2或
【分析】（1）根据题意，在 △ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意可知，分两种情况：① ；② ，代值求解即可；
（3）由题意可知，分三种情况：① ；② ；③ ，分别结算求解即可．
【详解】（1）解：∵在 △ABC中， ， ， ，
∴BC= ；
（2）解：由题意可知，分两种情况：① ；② ，
设BP=3tcm，∠B≠90°：
①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴ ；
②当∠PAB=90°时，如下图所示：∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t= ，
综上所述：当 为直角三角形时，t=1或 ；
（3）解：由题意可知，分三种情况：① ；② ；③ ，
①当 时，如图所示：
；
②当 时，如图所示：
根据等腰三角形“三线合一”可知， 是 边 上的中线，
，
；
③当 时，如图所示：设 ，则 ，
在 中， ， ， ， ，则由勾股定理可得 ，即
，解得 ，
，
，
综上所述：t= 或2或 ．
【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形
为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键．
【经典例题三 在网格中判断直角三角形】
【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ，
都在格点上， 是 边上的中线，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得 ，
进而根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴ 是直角三角形， 是斜边，
又∵ 是 边上的中线，
∴
故选：D．
7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、 在
小正方形的顶点上．
(1) ______（是、不是）直角三角形．
(2)在图中画出与 关于直线 成轴对称的 ．
(3) 的面积为______．
【答案】(1)不是
(2)见解析
(3)4
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，作图一轴对称变换，解题的关键是熟练掌握勾股
定理及其逆定理．
（1）利用勾股定理求出 ， ， ，由于 ，则 不是直角三角形；
（2）根据轴对称的性质即可画出 ；（3）利用网格，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得， ， ， ，
，
不是直角三角形，
故答案为：不是；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解： ．
8．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）（1）如图1，在边长为1的 正方形网格中，点A，B，C为格点
（即正方形的顶点）．求证： 为等腰直角三角形．
（2）如图2，在边长为1的 正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线
上求作一点P，使得 ，简单说明理由．
（3）如图3，在边长为1的 正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线AB
上求作一点Q，使得 最小，简单说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析，理由见解析；（3）图见解析，理由见解析．
【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明 ，即可得到结论；
（2）取格点F，连接 交 于点P，连接 ，由 垂直平分 得到 ，则 ，
由 即可得到结论；（3）取格点N，连接 ，由 证明 垂直平分 ，
则点N、C关于 轴对称，连接 交 于点Q，连接 ，则 ，即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形．
（2）如图，取格点F，连接 交 于点P，连接 ，则点P即为所求，
∵ 垂直平分 ，
∴
∴ ，
∵
∴ ；
（3）如图，点Q即为所求，
取格点N，连接 ，
∵
∴ 垂直平分 ，∴点N、C关于 轴对称，
连接 交 于点Q ，连接 ，则 ，
则 为最小．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质、轴对称
的性质求最短路径等知识，准确作图是解题的关键．
9．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的 网格中， 的三个顶
点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)在网格中，画线段 ，且使 ，连结 ；
(2)线段 的长为______， 的长为______， 的长为______；
(3) 为______三角形，点A到 的距离为______．
【答案】(1)图见详解
(2) ， ，5
(3)直角，
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可．
（2）利用勾股定理分别计算即可．
（3）由勾股定理的逆定理可得 ，则 为直角三角形，然后根据等积法可得点A到 的
距离．
【详解】（1）解：如图，线段 即为所求．（2）解：由勾股定理可得： ， ， ；
故答案为 ， ，5；
（3）解：由（2）可知： ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴点A到 的距离为 ；
故答案为：直角，2
【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】
【例4】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D，交
于点M， 的垂直平分线交 于点E，交 于点N，若 ， ， ，则AC的长
为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，根据垂直平分线的性质，得 ， ，结合，确定 ，根据勾股定理计算即可．本题考查了垂直平
分线的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键.
【详解】连接 ，
根据垂直平分线的性质，得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
解得 ，负的舍去，
故选C.
10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，已知 中， 的垂直平分线交 于点 ， 的
垂直平分线交 于点 ，点 为垂足， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出 是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可，由勾股定理
逆定理得出 是直角三角形是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线交 于点 ， 的垂直平分线交 于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
11．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知 ， ， ，则 的
长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长 至点
E，使 ，则 ，由勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ，再由勾股定理得 ，然后证明 ，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长 至点E，使 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在 中， ，点 为边 上一点，已知
， ， ．(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角
形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）在 中，根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：在 中，
，
∴ 为直角三角形，即 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】
【例5】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点 都在方格纸的格点上，若 是
由 绕点 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知， 为旋转角，可利用
的三边关系解答．
【详解】解：如图，
设小方格的边长为1，得
，
∵
∴
由勾股定理的逆定理可知， 是直角三角形．
∴
即旋转的角度为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何图形的旋转，涉及勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键利用勾股定理的逆定
理求得 ．
13．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示， ， ， ， ， ，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接 ，求解 ，证明 ，延长 至 ，使 ，
连接 ， 证明 为等边三角形，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
延长 至 ，使 ，连接 ，而
∴ ，而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选C
【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的应用，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
14．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图， 是等边三角形 内的一点，且 ， ，
，以 为边在 外作 ，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】 /150度
【分析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．由等边三角形的性
质得 ，根据全等三角形的性质得 ， ， ， ，
证明 是等边三角形，得 ，证明 ，得 ，可得结论．掌握等
边三角形的判定和性质及勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．故答案为： ．
15．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在 中， ， ， ，点 在
边上，将 沿着 折叠得 ，连接 ， ．
(1)用尺规作出 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ， ，连接 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据折叠的对称性，即可作折叠后的 ；
（2）根据折叠的性质，求证 是等边三角形，由勾股定理逆定理得 是直角三角形，得到
即可求；
【详解】（1）解：以点D为圆心，分别以 为半径，画弧，二弧交于点E，
连接 ，
则 即为所求．
（2）解：根据折叠的性质，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，且 ，∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查轴对称的基本作图，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握折叠的尺
规作图实质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的应用是解题关键．
【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】
【例6】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
且 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出 是直角三角形是解此题的关键．
根据勾股定理求出 ，根据勾股定理的逆定理求出 ，根据三角形的面积公式分别求出
和 的面积，即可得出答案．
【详解】解： ， ， ，，
， ，
，
，
四边形 的面积
．
故选：A．
16．（23-24八年级下·全国·期末）在 中， ，则 的面积
为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾
股定理的逆定理得出 ，根据三角形的面积可得出答案．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故选：D．
17．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是一块四边形绿地，其中 ， ，
， ， ．这块绿地的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，连接 ，由勾股定理可得 ，进而由勾
股定理的逆定理可得 为直角三角形， ，再根据 计算即可求解，
正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ，
故答案为： ．
18．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在四边形 中， ， ， ，
．
(1)求 的度数．(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三
角形是解题的关键．
（1）连接 ，根据勾股定理求出 及 ，再根据勾股定理逆定理说明 是直角三角形，即可
求出答案；
（2）根据两个三角形的面积和求出答案即可．
【详解】（1）解：连接 ，如图所示．
∵ ， ，
∴ ，
根据勾股定理得 ，
在 中， ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ；
（2） ．
【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】
【例7】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块
四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图， ，
， ， ， ，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶
需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接 ，先由勾股定理求出 长，再由勾股定理的逆定
理判定 是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形 面积，然后用面积乘以单
价即可．
【详解】解：连接 ，如图2，
∵ ， ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴铺满该区域需要的费用为： （元），
故选：A．
19．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地 ， ， ，
．从点 修了一条垂直于 的小路 ，垂足为 ．点 恰好是 的中点，且 ．(1)求 的长；
(2)连接 ，判断 的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理和垂直平分线的性质是解题
关键．
（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可．
（2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状．
【详解】（1）解： ，
．
在 中，
， ，
．
是 的中点，
．
（2）解：如图，
， 是 的中点，
．
， ，
，
，
是直角三角形．20．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 、 ，
其中 ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取
水点 （ 、 、 在同一条直线上），并新修一条路 ，测得 米， 米， 米．
(1)问 是否为从村庄 到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线 的长．
【答案】(1) 是最近的路，说明见解析
(2) 米
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理判断 是直角三角形， ，即可得到结论；
（2）设 米，则 米，根据勾股定理得到 ，解得 ，
则 米，即可求出原来的路线 的长．
【详解】（1）由题知： 米， 米， 米，
∵ ，
∴在 中： ，
∴ 是直角三角形， ，
则 ，
即 是最近的路．
（2）设 米，则 米，
在 中，根据勾股定理 ，
即 ，
解得 ，
则 米，得： 米．21．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，某公园有一块四边形草坪 ，计划修一条 到 的小路，
经测量， ， ， ， ， ．
(1)求小路 的长；
(2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点 处，小狗从点 开始以 的速度在小路上沿
的方向奔跑，跑到点 时停止奔跑，当小狗在小路 上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？
【答案】(1)
(2)24秒
【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先证明 ，再运用面积法，得出 ，根据勾股定理列式计算得出
，最后结合运动速度，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴在 中， ，
∴小路 的长为 ；
（2）解：如图所示：过B作 ，
依题意，当小狗在小路 上奔跑，且跑到点 的位置时，小狗与萌萌的距离最近．
∵ ， ． ，
∴ ，
即 ，
∴ ，则 ，
即 ，
∴
∵小狗从点 开始以 的速度在小路上沿 的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，
∴ ，
则
∴当小狗在小路 上奔跑时，小狗需要跑 秒与萌萌的距离最近．
【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】
【例8】（23-24八年级下·广东广州·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样
一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题
讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 里， 里， 里，则该沙田的面积为（ ）平方里．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是 且 ，那么这个三角形是直角三
角形即可解答．
【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为 里， 里， 里，
∴ ， ，
∴ ，
∴这块沙田是直角三角形，直角边为 里，斜边为 里，
∴这块沙田的面积为 （平方里），
故选 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是 且 ，那么这个三角形是
直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．22．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的
数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，属于“勾股数”的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键：
若三个正整数a、b、c满足 ，则称a、b、c为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即
可求解．
【详解】A． ， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B． ， 是“勾股数”，故本选项符合题意；
C． ， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D． ， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
故选：B．
23．（2024·广东佛山·三模）综合与实践
【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，
这个命题正确吗？教材是没有证明的．
【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的
13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
【动手操作】 如图，三条线段a、b、c的长度比满足 ，某数学小组利用这三条线段，设计
了如下作图步骤对上述问题开展了验证：
① 作线段 ；② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点；
③ 连接 ，得到 ．
(1)根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）．
【问题解决】
(2)由三线段的长度比可知，（1）中的 三边满足 ．请你证明：边长满足
的 是直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图，勾股定理的逆定理的证明：
（1）按照所给步骤作图即可；
（2）构造 ，使得 ， ， ，利用 证明 ，推出
，即可证明 是直角三角形．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）证明：如图，作 ，使得 ， ， ，
由勾股定理得 ，
，
，
，
，
边长满足 的 是直角三角形．
24．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四
弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数： …分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇
数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股 ，弦 ；
当勾为5时，股 ，弦 ；
当勾为7时，股 ，弦 ．
(1)如果勾用 （ ，且 为奇数）表示时，请用含有 的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则
据此规律第四组勾股数是 ．
(2)若 ，其中 且 是整数．求证：以 为边的 是直角三角形．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
【分析】（1）如果勾用 （ ，且 为奇数）表示时，则股 ，弦 ；当 时，即可
求出第四组勾股数；
（2）根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 满足 ，那么这个三角形就是直角三角形
进行解答即可．
【详解】（1）解：如果勾用 （ ，且 为奇数）表示时，则股 ，弦 ；
当 时， ， ；
∴第四组勾股数是 ．
故答案为： ， ， ；
（2）证明：∵ ，其中 且 是整数，
∴ ，
∴ ，∴以 为边的 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、完全平方式的应用等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理
是解题关键．
【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】
【例9】（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，已知 中， 的垂直平分
线分别交 于 连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此
根据勾股定理求出CD.
【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴ ,
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
在Rt△BCD中， ,
∴ ,
解得CD= ，
故选：C.
【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.
25．（2020·广西百色·模拟预测）在 ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5
且a2＝b2+c2﹣bc，则 ABC的面积为△（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先用配方法对b2+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再
由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得．
【详解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5
∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0
∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，
∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，
∴b＝1，c＝2．
又∵a2＝b2+c2﹣bc，
∴a2＝1+4﹣2＝3，
∴ 或 （舍）
∵ ，
∴△ABC是以1和 为直角边的直角三角形，
∴△ABC的面积为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算
等基础内容，本题难度中等．
26．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在 中，点 为 的中点， ， ，
，则 边 上的高为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长 到E，
使得 ，连接 ，作 于点F，先证明 ，得到 ，根据勾股定
理逆定理得到 ，进而得到 ， ，即可得到 ， ，利用三角形面
积公式即可求解．
【详解】解：如图，延长 到E，使得 ，连接 ，作 于点F，
则 ．
∵点 为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故答案为：
27．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 的度数．为了
解决本题，我们可以将 绕顶点A旋转到 处，此时 ，这样就可以利用旋转变换，
将三条线段 ， ， 转化到一个三角形中，从而求出 ；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②， 中， ， ，E，F为 上的点且 ，求证：
；
(3)能力提升
如图③，在 中， ， ， ，点O为 内一点，连接 ， ，
，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明 为等边三角形，再利用勾股定理的逆定
理证明 ，即得答案；
（2）把 绕点A逆时针旋转 得到 ，根据旋转的性质证明 ，得到 ，
再利用勾股定理即可得证；
（3）将 绕点B顺时针旋转 至 处，连接 ，先证明 ，再证明C，O， ，
四点共线，再利用勾股定理计算得出 ，由此即得答案．
【详解】（1）解： ，
， ， ，
由题意知旋转角 ，
为等边三角形，
， ，
在 中， ， ， ，
，
为直角三角形，且 ，
；
故答案为： ；
（2）证明：如图2，把 绕点A逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质得， ， ， ， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，，
，
， ，
，
，
由勾股定理得， ，
即 ；
（3）解：如图3，将 绕点B顺时针旋转 至 处，连接 ，
在 中， ， ，
，
，
绕点B顺时针方向旋转 ，
， ，
，
，
绕点B顺时针方向旋转 ，得到 ，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
C，O， ， 四点共线，
在 中， ，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定
理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D． ， ，9
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，
确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．
【详解】解：A、∵ ，
∴该三角形不存在，故此选项不符合题意；
B、∵ ，
∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵ ，
∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵ ，
∴该三角形不存在，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25七年级上·山东东营·期中）已知 三边为 ， ， ，下列条件不能判定 是直角三角
形的是（ ）
A． ， ， B．C． D． ， ，
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟记勾股定理的逆定理及三角形内角和定理
是解题的关键．由勾股定理的逆定理及三角形内角和定理进行判断即可．
【详解】解：A、由 ， ， ，得 ，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合
题意；
B、由 ，又 ，则 ，是直角三角形，不符合题意；
C、由 ，得 ， ，是直角三角形，不符合题意；
D、由 ， ， 得， ，不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在2×3的正方形网格中， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点 ，
连接 ，利用 证明 ，推出 ，再根据勾股定理的逆定理证明 是直
角三角形，再根据 可得 ，进而可得 ，再利用等量代换即可
解答．
【详解】解：如图：取格点 ，连接 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由题意得： ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
4．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，三个正方形的面积分别为 ， ， ，且K是 中点．若
， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握用勾股定理的逆定
理判定三角形是直角三角形是解题的关键．根据正方形的面积公式求出 ， ， ，
，所以 ，从而得出 ，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
【详解】解： 正方形 的面积 ，
∴ ，
正方形 的面积 ，∴ ，
∴ ，
正方形的面积的 ，
，
∴ ，
∴
，
是 中点，
，
故选：A．
5．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在 中， 的平分线交 于点D，E为线段
上一动点，F为边 上一动点，若 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在 边上取点G使 ，
连接 ，过点A作 于点H，证明 ，可得 ，从而得到 ，
当点A，E，G三点共线时， 取得最小值，最小值为 的长，再根据勾股定理的逆定理可得
为直角三角形，且 ，然后证明 ， ，再根据
，即可求解．
【详解】解：如图，在 边上取点G使 ，连接 ，过点A作 于点H，∵ 的平分线交 于点D，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点A，E，G三点共线时， 取得最小值，最小值为 的长，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
6．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知 的三边长分别为6，10，8，则 的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长
a，b，c满足 ，那么这个三角形就是直角三角形．根据三边长度可利用勾股定理逆定理判断三
角形为直角三角形．再求面积即可．【详解】解：∵ 的三边长分别为6，10，8，
且 ，
∴ 是直角三角形，两直角边长是6，8，
∴ 的面积为： ，
故答案为：24．
7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；
④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ．
【答案】17
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都
是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的
平方减去一除以二．据此求解即可．
【详解】解：①3，4，5中 ；
②5，12，13中 ；
③7，24，25中 ；
④9，40，41中 ；
…．
∴ ，
∴ ，
（负值已舍）．
故答案为：17．
8．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，则四边形 的面积是 ．【答案】234
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．
连接 ，先利用勾股定理可得 的值，再根据勾股定理的逆定理可得 ，然后根据四边形
的面积等于 求解即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积等于
；
故答案为：234．
9．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，
如果将 沿 翻折后，点 的对应点为点 ，那么 的长等于 ．
【答案】
【分析】由勾股定理的逆定理可求 ，由折叠的性质可得 ， ，可得是 的中垂线，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，
， ， ，
，
，
点 是 的中点，
，
将 沿 翻折后，
， ，
是 的中垂线，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，由勾股定理列
出方程可求解．
10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图， 中， ，点 在线段 上，点 在线段
的延长线上， ，连接 交 于 ，过 作 交 于 ，连接 ，若 的面
积为3，且 ，则线段 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，
正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点D作 交 于H，连接 ，可证明 得到 ，进而得到 ；
证明 ，得到 ，则 垂直平分 ，可得 ，可设
，则 ， ， ，再证明
，根据三角形面积得到 ，再进一步可得答案．
【详解】解：如图所示，过点D作 交 于H，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为3，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
故答案为： ．
11．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图， ， ， ， ， ．(1)求 的长度；
(2)线段 与线段 的位置关系是什么？请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两
条直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ．如果一个三角形的三条边a、b、c满足 ，那
么这个三角形为直角三角形．
（1）在 中，直接利用勾股定理即可求出 的长；
（2）利用勾股定理的逆定理判断出 为直角三角形，其中 ，即可得证．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解： ；理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
∴ ．
12．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在 中，D是 的中点， ，垂足为D，
交 于点E，且 ．(1)求证： 是直角三角形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证 ，然后由 可得 ，然后根据勾股定理逆定理
即可证明结论；
（2）先用勾股定理求得 ，由（1）可得 ，再由勾股定理可得
，最后联立求得 即可．
【详解】（1）证明：∵D是 的中点， ，
∴
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 是直角三角形．
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知 为直角三角形， ，
∴ .
∵D是 的中点，
∴ ，
在 中， ，由勾股定理得 ，
∴ ，解得： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理和逆定
理，是解答本题的关键．
13．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳
动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形 空地改造为“劳动乐
园”．经测量， 米， 米， 米， 米， ．该“劳动乐园”即将迎来盛
大的劳动成果展示活动．
【解析】
(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的 、 两点连接起来，求至少需要多少
米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形 区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形
区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉．
【答案】(1) 米
(2) 株
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
（1）连接 ，根据勾股定理求出 的长即可；
（2）先根据勾股定理逆定理得到 是直角三角形，分别求出 的面积，计算即可得到答案．
【详解】（1）解如图，连接
，
（米）
至少需要 米装饰彩带；（2）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
（平方米），
（平方米），
（株），
共需要种植 株花卉．
14．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，在 中，D为 边上的一点，连接 ，过点A作
交 的延长线于点E．已知 ， ， ， ．
(1)求线段 的长．
(2)判断 是什么特殊三角形，并说明理由．
【答案】(1)25
(2)直角三角形，见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．
（1）在 中利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理逆定理即可解答．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 是三角形．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图，在 中， ， ， 的周长为30．
(1)证明： 是直角三角形；
(2)过点 作 于点 ，点 为 边上的一点，且 ，过点 作 交 的角平
分线于点 ．
①证明： ；
②求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出 的长，并且
推导出 是解题的关键．
（1）由 ， ， 的周长为30，求得 ，则 ，所以 是
直角三角形；
（2）①由 ，得 ，由 于点 ，得 ，则
，由 ，得 ，所以 ，而 ，则
，所以 ；
②由 ， ，且 ，得 ，则 ，
由 ， ，证明 ，则 ，所以 ．
【详解】（1）证明： ， ， 的周长为30，
，
， ，
，是直角三角形．
（2）①证明： ，
，
于点 ，
，
，
，
，
，
是 的平分线，
，
，
．
②解： ， ，且 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
线段 的长为 ．
