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专题21.3.3 正方形
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
知识梳理 技巧点拨............................................................................................................................................2
知识点一：正方形的定义.........................................................................................................................................................2
知识点二：正方形的性质.........................................................................................................................................................2
知识点三：正方形的判定.........................................................................................................................................................2
知识点四：特殊平行四边形之间的关系.............................................................................................................................2
知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状................................................................2
重点难点 考点讲练............................................................................................................................................3
考点讲练一 根据正方形的性质求角度...............................................................................................................................3
考点讲练二 根据正方形的性质求线段长...........................................................................................................................4
考点讲练三 根据正方形的性质求面积...............................................................................................................................5
考点讲练四 正方形折叠问题..................................................................................................................................................6
考点讲练五 求正方形重叠部分面积....................................................................................................................................6
考点讲练六 根据正方形的性质证明....................................................................................................................................7
考点讲练七 正方形的判定定理理解....................................................................................................................................8
考点讲练八 添一个条件使四边形是正方形......................................................................................................................9
考点讲练九 证明四边形是正方形......................................................................................................................................10
考点讲练十 根据正方形的性质与判定求角度...............................................................................................................11
考点讲练十一 根据正方形的性质与判定求线段长......................................................................................................12
考点讲练十二 根据正方形的性质与判定求面积..........................................................................................................13
考点讲练十三 根据正方形的性质与判定证明...............................................................................................................14
考点讲练十四 中点四边形....................................................................................................................................................15
考点讲练十五 利用(特殊）平行四边形的对称性求阴影面积.................................................................................16
考点讲练十六 （特殊）平行四边形的动点问题..........................................................................................................17
考点讲练十七 四边形中的线段最值问题........................................................................................................................18
考点讲练十八 四边形其他综合问题..................................................................................................................................18
中考真题 实战演练..........................................................................................................................................19
难度分层 闯关训练..........................................................................................................................................21基础夯实 能力提升..................................................................................................................................................................21
创新拓展 拔尖冲刺..................................................................................................................................................................24
知识点一：正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
【要点说明】
既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方
形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
知识点二：正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
【要点说明】
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
知识点三：正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相
等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
知识点四：特殊平行四边形之间的关系
知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
【要点说明】
新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
考点讲练一 根据正方形的性质求角度
【典例分析】四边相等，四角相等的四边形叫正四边形，正四边形也称作正方形．
(1)如图1，四边形ABCD是周长为m的正方形，则∠A= ，S ABCD= ．
四边形
(2)如图2，一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，试用a，b的代数式表示图②
的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积；
(3)在（2）的条件下，若未被小正方形覆盖部分的面积为12，且a+b=7，求分别以a，b为边长的两个正
方形面积之和．
【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，
连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，且
∠CGD=∠AED．(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB=2，CE=❑√2，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是37°时，求∠EFC的度数．
考点讲练二 根据正方形的性质求线段长
【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如
图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为
EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（ ）
A．❑√2 B．2 C．2❑√2 D．4
【变式训练】．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形ABCD是边长为9cm的正方形，P，Q是
正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0<t<9）．
(1)如图1，当点P在AB边上，四边形APCQ为平行四边形时，求t的值；
(2)如图2，当点P在BC边上，AP=BQ时，求t的值；
(3)点P在运动过程中，是否存在四边形APCQ的面积等于正方形ABCD的面积的一半，若存在，请求出t
的值；若不存在，请说明理由．
考点讲练三 根据正方形的性质求面积
【典例分析】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD，
∠BAD=∠BCD=90°，BC=17，CD=7，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．
(1)求证：四边形AECF是正方形；
(2)求四边形ABCD的面积．
【变式训练】（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形
ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第2025个正方形的面积为．
考点讲练四 正方形折叠问题
【典例分析】如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、
AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为（ ）
3 5 9
A． B． C． D．3
2 2 4
【变式训练】如图，在正方形ABCD中，E是AD边上的一点，DE=4, AE=8，将正方形边CD沿CE折
叠到CF，延长EF交AB于点G，连接CG, AF．则（1）∠GCE= ．（2）S = ．
△AGE
考点讲练五 求正方形重叠部分面积
【典例分析】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点．如果两个正
方形的边长都等于2．那么正方形A′B′C′O绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是
．【变式训练】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正
方形A′B′C′O的一个顶点，已知两个正方形的边长都为6cm，那么绕点O转动正方形A′B′C′O，两个正
方形重叠部分的面积为（ ）cm2．
36
A．12 B．9 C． D．不确定
5
考点讲练六 根据正方形的性质证明
【典例分析】（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，
且DE=AF，DE⊥AF于点G．
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)延长BC到点H，使得CH=DF，连接DH，判断△DEH的形状，并说明理由．
【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直
四边形”．(1)在已经学过的四边形“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等直四边形”的是
___________．（填序号）
(2)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，CE=DF，分别连接AE、AF、EF，BF和
AE交于点M．求证：四边形ABEF是“等直四边形”．
考点讲练七 正方形的判定定理理解
【典例分析】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F
在DE的延长线上，且AF=CE．
(1)四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
(3)四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
【变式训练】（24-25八年级下·北京房山·期中）下列思路中不能判定四边形是正方形的是（ ）
A．先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角
B．先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等C．先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等
D．先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直
考点讲练八 添一个条件使四边形是正方形
【典例分析】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，已知△ABC中AC=BC，D是AB的中点，过
1
点C作CE∥AB，且CE= AB．
2
(1)求证：四边形CDBE是矩形；
(2)若F是BC上一点，且DF⊥BC，则当△CDF满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明理由．
【变式训练】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在6×6的网格中（每个小正方形的边长为
1），每个小正方形的顶点叫作格点，当四边形的顶点都在格点上时，则称这个四边形为格点四边形．
(1)在图1中以AB为对角线，画一个格点正方形．
(2)在图2中以A，B，C为顶点，画两个格点平行四边形．
考点讲练九 证明四边形是正方形
【典例分析】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，
每个顶点叫做格点．(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为18的正方形；
(2)在图2中以格点为顶点画一个直角三角形，使两直角边分别为❑√5和2❑√5；
(3)在图3中以格点为顶点画一个三边为勾股数的直角三角形．
【变式训练】（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线
MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
考点讲练十 根据正方形的性质与判定求角度
【典例分析】（24-25八年级下·海南·期末）在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F、G在直
线BC上，且EB=EG，∠AEF=∠BEG．(1)如图1，求证：①△AEB≌△FEG；②FB=CG；
(2)如图2，当∠ADC=120°时，判断AB、EG、BF的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当∠ADC=90°时，点F在线段BC上，判断AB、EG、BF的数量关系，并说明理由．
【变式训练】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD
上两点，BE交AF于点G，且DE=CF．(1)判断BE与AF之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点E是AD的中点时，连接GD，求∠DGF的度数．
考点讲练十一 根据正方形的性质与判定求线段长
【典例分析】（24-25八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】
（1）如图①，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F为边CD的中点，连接EF，若EF=3，
求正方形ABCD的边长；
【问题解决】
（2）如图②，四边形ABCD是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中
出口E在边CD上，已知AD=CD=120米，DE=40米，BC=160米，∠ADC=∠C=90°，AE、BE
为果园内两条小路（宽度忽略不计），现在BE的中点F处修建一个临时库房（大小忽略不计），沿DF修
一条运输通道（宽度忽略不计）．
①判断△AEB的形状，并说明理由；
②试求该运输通道的长度DF．【变式训练】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，在矩形ABCD中，AC=10, BC=8，延长BC
到P，点O是边CD上一点，过点O作EF∥BC，∠BCD与∠PCD的平分线分别交EF于点E，点F．当
点O是CD中点时，则四边形ACED的面积为 ．
考点讲练十二 根据正方形的性质与判定求面积
【典例分析】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，折
叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
(1)求证：四边形PBFE为菱形；
(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，试求出菱形PBFE的面积最大值．【变式训练】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，△ABC为等边三角形，在△ABC外部作
∠BAF=30°，且AF=AB，连接BF．分别以点C，点F为圆心，线段AC长为半径画弧，两弧交于点
M，连接CM,FM．
(1)求证：四边形ACMF为正方形．
(2)若AC=6，求阴影部分的面积．（面积记为S）
考点讲练十三 根据正方形的性质与判定证明
【典例分析】（25-26八年级下·全国·期中）如图，已知正方形 ABCD的边长为1，P，E分别是
AC，AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
(1)求证：四边形PMAN是正方形；
(2)若点P在线段AC上移动，其他条件不变，设PC=x，AE= y，求y关于x的表达式，并写出自变量x
的取值范围．【变式训练】（24-25八年级下·贵州·月考）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA上的一点，且AH=DG=CF=BE．
(1)求证：四边形EFGH为正方形；
(2)若正方形EFGH的面积为4，连接FH，求FH的长．
考点讲练十四 中点四边形
【典例分析】如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、
DA边的中点，连接EF、EH、FG、HG，要使四边形EFGH为菱形，则应添加一个条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC=BD
C．AC与BD互相平分 D．AC=AD
【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，
且AD=DC，则下列说法：①四边形ABCD是菱形；②AC⊥BD；③若AC=6，BD=8，则四边形
ABCD的面积为24；④若∠ABO=30°，则△ABC是等边三角形；⑤若顺次连接四边形ABCD各边中点，
所得的四边形是正方形．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个考点讲练十五 利用(特殊）平行四边形的对称性求阴影面积
【典例分析】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，
且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”．
(1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形
(2)已知四边形ABCD是“和谐四边形”，对角线AC⊥BD，AC平分BD于点O若BD=8，AC=6，求
四边形ABCD面积___________．
(3)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点A作AH⊥BC交BC
于点H，交BD于点G，∠ABH=45°，BG=AC．求证：四边形ABCD是“和谐四边形”．
【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那
么称这个正整数为“奇特数”．
例如：8=32−12,16=52−32,24=72−52；则8、16、24这三个数都是奇特数．
(1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”）
(2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为
403，求阴影部分的面积．
考点讲练十六 （特殊）平行四边形的动点问题
【典例分析】（24-25八年级下·四川达州·月考）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=90°，AB=DC=4，AD=BC=8．延长BC到E，使CE=3，连接DE．动点P从
点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（t>0）．
(1)四边形ABCD的形状为 ；
(2)当t= 时，点P运动到∠B的角平分线上；
(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
(4)当0<t<6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【变式训练】（24-25八年级下·河北唐山·期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
AB=4cm，AD=12cm，BC=13cm，点P从点A以0.5cm/s的速度向点D运动，点Q从点C以
1.5cm/s的速度同时向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时
间为t秒．
(1)求t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
(2)求t为何值时，四边形PQBA是矩形？
(3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形PQCD是菱形；
(4)若只改变线段BC的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形PQBA是正方形时，请你求
出t的值和线段BC的长度．
考点讲练十七 四边形中的线段最值问题
【典例分析】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=3，E、F分别是BC、BD上的动点，且BE=DF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．4 B．❑√3+1 C．3❑√2 D．2❑√2
【变式训练】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是边
BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE=DF，则DE+CF的最小值为 ．
考点讲练十八 四边形其他综合问题
【典例分析】（23-24八年级下·全国·期中）如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD
和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S =S ，S =S ，
四边形ABCD 1 四边形EFGH 2
S =S ，若S +S +S =20，则S = ．
四边形MNPQ 3 1 2 3 2
【变式训练】（24-25八年级下·北京门头沟·期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB延长线上一点，
连接CE，O为CE的中点，过点E作EF⊥AC于点F，连接DF，OF．设∠BCE＝α．
(1)依题意补全图形；
(2)求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；
(3)用等式表示线段DF，OF之间的数量关系，并证明．【演练1】（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且
∠BAE=∠DAF．求证：CE=CF．
【演练2】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为2．E、F分别为边BC、CD
上的动点，△CEF的周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB=DF．
(1)求证：AG⊥AF；
(2)试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF，垂足为H．求MH的最小值．
【演练3】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两
条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（ ）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【演练4】（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将
△EDC沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG．
(1)求证：△ADG≌△FDG；
(2)若AB=2❑√5，求AG的长．
【演练5】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，AC为正方形ABCD的对角线．
(1)尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；
（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）
基础夯实 能力提升
1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB,BC,CD,DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探
索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形EFGH可以不为平行四边形
2．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴
上，且A(−3,0)，B(2,b)，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．13 B．28 C．34 D．36
3．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，以AC为边长的正
方形ACEF的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
4．（24-25八年级下·四川南充·月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=7，以斜边
AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（ ）A．15 B．16 C．17 D．18
5．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC，则∠DAE的度数 ．
6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE= ．
7．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正
方形ABCD与正方形EFGH，连接CE．若正方形ABCD的面积为6，EF=BF，则CE的长为 ．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的点，且CE⊥DF，求证：CE=DF．
9．已知：点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上（如图）．(1)如果四边形EFGH是平行四边形，求证：AE=CG；
(2)如果四边形EFGH是正方形，试探究线段AE、CF、AB之间的数量关系．
10．（24-25八年级下·河南信阳·月考）[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条
对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分
∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“美妙线”，四边形ABDC就称为“美妙四边形”．
[问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填
写名称）
（2）四边形ABCD是“美妙四边形”， AB=2，∠BAD=60∘，∠ABC=90∘，求美妙四边形ABCD的
面积．（请画出图形，并写出解答过程）
创新拓展 拔尖冲刺
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB =3❑√3，AD=3，M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）．若E，F分别为DM，MN的中
点，则线段EF长度的最大值为（ ）
A．❑√7 B．3.5 C．3 D．2.5
2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个▱ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD
上，若∠ECD=49°，∠AEF=34°，则∠BCD=（ ）
A．110° B．125° C．105° D．115°
3．如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，
要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）．
A．AB=CD B．AC⊥BD
C．AB∥CD D．AC=BD
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，
DE∥AC．若AC=❑√2，则点E到边CD的距离为 ．5．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，
AB=BC=2,AD=CD,∠ABC=60°，点M,N在BD上，且MN=1，则AM+CN的最小值为 ．
6．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形纸片，将其沿MN折叠，
使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是 ．
7．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，
D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD,BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)若点D为AB中点，当∠A=______°时，四边形BECD是正方形．8．（23-24八年级上·河南信阳·期末）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直
角．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF，并延长CB到点G，使
BG=DF，连接AG．若∠EAF=45°，则BE,EF,DF之间的数量关系为________；
【类比探究】（2）如图2，当点E、F分别在线段BC,CD的延长线上，且∠EAF=45°时，试探究
BE,EF,DF之间的数量关系，并说明理由．
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB上的一点，AE=3，
EB=1，P为AC上的一点，连接EP，BP．求EP+BP的最小值．
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形．
(2)如图②，当点E在线段AC上时，
①若AB=4，CE=2❑√2，求CG的长度；
②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数：________________．
