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18.2.3 正方形
一、单选题
1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线平分内角
【答案】C
【解析】【解答】A选项中对角线互相垂直平分的有菱形和正方形；
B选项中所有的四边形的内角和为360°；
C选项中对角线相等的有矩形和正方形；
D选项中对角线平分内角的有菱形。
故答案为：C
【分析】正方形具有平行四边形、菱形和矩形的一切性质；菱形的性质是对边平行且
相等，对角相等，对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角；矩形的性质是对
边平行且相等，对角相等，对角线相等且互相平分。
2．已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积
为（ ）
A．a2+2a+1 B．a2﹣2a+1 C．a2+1 D．a+1
【答案】A
【解析】【解答】解：新正方形的边长为a+1，
∴新正方形的面积为（a+1）2＝a2+2a+1，
故答案为：A．
【分析】依据新正方形的边长为a+1，即可得到新正方形的面积．
3．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，点 F 是 AD 的中点， BE
与 CF 相交于点 P ，设 AB=a .得到以下结论：①BE⊥CF ；②AP=a ；③
√5
CP= a 则上述结论正确的是（ ）
5
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，；（1） EF//BC,DE//AC
所以①成立；(2)如图延长 CF 交 BA 延长线于点 M ，
则：
{
∠D=∠FAM
DF=AF ⇒ΔCFD≅ΔMFA
∠CFD=∠AFM
∴CD=MA=AB=a
又∵BP⊥CF
∴ AP 为直角三角形 MPB 斜边 BM 上的中线，是斜边的一半，即
1 1
AP= BM= ×2a=a
2 2
所以②成立；(3)∵ CP⊥BE
1
∴ CP×BE=CE×BC= a2
2
√1 √5
∵ BE=√CE2+BC2= a2+a2= a
4 2
1
a2
CE×BC 2 1 √5
∴ CP= = = a= a
BE √5 √5 5
a
2
所以③成立
故答案为：D
【分析】利用正方形的性质可证得△CDF≌△BCE，进而利用全等三角形的对应角相等，
可证得∠EPC=90°，故①成立；
延长PF交BA延长线于点M，易得△CFD≌△MFA，利用全等三角形的对应边相等可得
CD=MA=AB=a，1
然后利用直角三角形斜边上的中线等于是斜边的一半证得AP= BM=a，故②成立；
2
√5 √5
利用等面积法求得BE= a，进而求得CP= a，故③成立。
2 5
4．如图，正方形 ABCD ，点 F 在边 AB 上，且 AF:FB=1:2 ， CE⊥DF ，
垂足为 M ，且交 AD 于点 E ， AC 与 DF 交于点 N ，延长 CB 至 G ，使
1 √2
BG= BC ，连接 CM ．有如下结论：①DE=AF ；②AN= AB ；③
2 4
∠ADF=∠GMF ；④S :S =1:8 ．上述结论中，所有正确结论的序号是
ΔANF 四边形CNFB
（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【解析】【解答】
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB=CD=BC ， ∠CDE=∠DAF=90° ，
∵ CE⊥DF ，
∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90° ，
∴∠ADF=∠DCE ，
在 ΔADF 与 ΔDCE 中，
{∠DAF=∠CDE=90°
AD=CD ，
∠ADF=∠DCE
∴ΔADF≅ΔDCE(ASA) ，
∴DE=AF ；故①符合题意；
∵ AB//CD ，
AF AN
∴ = ，
CD CN
∵ AF:FB=1:2 ，
∴AF:AB=AF:CD=1:3 ，AN 1
∴ = ，
CN 3
AN 1
∴ = ，
AC 4
∵ AC=√2AB ，
AN 1
∴ = ，
√2AB 4
√2
∴AN= AB ；故②符合题意；
4
作 GH⊥CE 于 H ，设 AF=DE=a ， BF=2a ，则 AB=CD=BC=3a ，
EC=√10a ，
9√10
由 ΔCMD∼ΔCDE ，可得 CM= a ，
10
9√10
由 ΔGHC∼ΔCDE ，可得 CH= a ，
20
1
∴CH=MH= CM ，
2
∵ GH⊥CM ，
∴GM=GC ，
∴∠GMH=∠GCH ，
∵ ∠FMG+∠GMH=90° ， ∠DCE+∠GCM=90° ，
∴∠FEG=∠DCE ，
∵ ∠ADF=∠DCE ，
∴∠ADF=∠GMF ；故③符合题意，
设 ΔANF 的面积为 m ，
∵ AF//CD ，
AF FN 1
∴ = = ， ΔAFN~ΔCDN ，
CD DN 3
∴ΔADN 的面积为 3m ， ΔDCN 的面积为 9m ，
∴ΔADC 的面积 =ΔABC 的面积 =12m ，∴S :S =1:11 ，故④不符合题意，
ΔANF 四边形CNFB
故答案为：C．
【分析】先利用正方形的性质和已知条件证出△ADF≌△DCE，然后利用全等三角形的
性质可得DE=AF;在正方形ABCD中，AC=√2AB，又证得△AFN∽△CDN，由相似的
√2
性质可得AN= AB；根据三线合一的性质和余角关系得∠ADF=∠GMF；分别求出
4
△ANF与四边形CNFB的面积，即可判断面积之比。
5．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案.已知该
图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y(x >y)表示小长方形的长和宽，
则下列关系式中错误的是( )
A．x+y=7 B．x-y=2 C．x2 +y2=25 D．
4xy+4=49
【答案】C
【解析】【解答】∵大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，
∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2.
∵x+y表示大正方形的边长，
∴x+y=7，故A不符合题意；
∵x-y表示小正方形的边长，
∴x-y=2，故B不符合题意；
∵x2+y2=(x-y)2+2xy，
∴x2+y2表示小正方形与两个小矩形的面积之和，
∴x2+y2=(49-4)÷4×2+4=26.5≠25，故C符合题意；
∵4xy+4表示大正方形的面积，
∴4xy+4=49，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】观察图形发现，x+y表示大正方形的边长，x-y表示小正方形的边长，4xy+4
表示大正方形的面积，进而联系所求得的两个正方形的边长，结合已知图案的总面积，
即可求解.
6．下列结论错误的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【解析】【解答】选项A，对角线相等的菱形是正方形，选项A不符合题意；
选项B，对角线互相垂直的矩形是正方形，选项B不符合题意；
选项C，∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴对角线互相垂直且相等
的四边形不一定是正方形，选项C符合题意；
选项D，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据正方形的判定方法解答即可.
二、填空题
7．将2016个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，O，O，O，O，O，…是正
1 2 3 4 5
方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于
3
【答案】503
4
【解析】【解答】解：因为O，O，O，O，O，…是正方形对角线的交点，所以阴
1 2 3 4 5
1 1
影部分的面积是正方形面积的 ，即是 ，2016个这样的正方形重叠部分（阴影
4 4
1 2015 3
部分）的面积和为 ×(2016-1)= =503 .
4 4 4
3
故答案为：503 .
4
1
【分析】根据题意可得及正方形的性质可知，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，
4
已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n−1阴影部
分的和，进而就可算出答案.
8．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点D，且AC⊥BD，请添加一个条件：
，使得平行四边形ABCD为正方形．
【答案】AC=BD
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD平行四边形，对角线互相平分，又∵AC⊥BD，
∴根据对角线特征来判断，需添加的一个条件是AC=BD。
故答案为：AC=BD
【分析】根据正方形判定定理之一，即对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
9．如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为
.
【答案】3
【解析】【解答】解：在△EBC中，由勾股定理得BC2=22-12=3, 则正方形的面积为
BC2=3
【分析】要求正方形的面积，只要求出正方形的边长即可，正方形的边长在Rt△BEC
中由勾股定理求得。
三、解答题
10．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，
DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
{∠BAF=∠ADG
∵ ∠AFB=∠AGD ，
AB=AD∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
∵AG＝AF+FG，
∴BF＝AG＝DG+FG，
∴BF﹣DG＝FG．
【解析】【分析】利用正方形的性质可得AB＝AD，∠DAB＝90°，进而由BF⊥AE，
DG⊥AE得∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，又∠DAG+∠BAF＝90°，因而有
∠ADG＝∠BAF，故可证得△BAF≌△ADG，然后利用全等三角形的性质可得BF＝
AG，AF＝DG，而AG＝AF+FG，则有BF＝AG＝DG+FG，故BF﹣DG＝FG.
四、综合题
11．如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接
DE.
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中
AD=AB ∠BAD=90°
∴∠DAF+∠BAE=90°
又∵BE⊥AG，DF⊥AG
∴∠AFD=∠BEA=90°
∴∠DAF+∠ADF=90°
∴∠BAE=∠ADF
∴△ABE≌△DAF（AAS）
（2）∵△ABE≌△DAF
∴BE=AF=1，DF=AE=AF+EF=1+EF
∵ S =S +S =6
四边形ABED的面积 △ABE △ADE
1
∴ AE(BE+DF)=6
2
1
即 (1+EF)(2+EF)=6
2
解得 EF=2（EF=-5舍去）
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质证得AD=AB，∠BAD=90°，则有∠DAF+∠BAE=90°；再根据已知条件BE⊥AG，DF⊥AG证得∠AFD=∠BEA=90°，由
此可得∠DAF+∠ADF=90°，则∠BAE=∠ADF，故可证△ABE≌△DAF。
（2）由△ABE≌△DAF得BE=AF=1，DF=AE=1+EF；而 S =S +S ，
四边形ABED的面积 △ABE △ADE
1 1
故有 AE(BE+DF)=6，即 (1+EF)(2+EF)=6，求解即可。
2 2
12．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S，点E在DC边上，
1
点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 S，且S=S.
2 1 2
（1）求线段CE的长.
（2）若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.
【答案】（1）解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.
设CE=x（0
