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21.3.3 正方形（第 1 课时）
知识点：正方形的定义及其性质
1．A．
2．A．
3．A
4．B
5．C
6．2
7．2（答案不唯一）
8．2．
9．3− √7
3
10． /0.375
8
11．（1）解：如图，直线l，点F即为所求.
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=∠BAF+∠EAF=90°，
∵AF平分∠BAC，
1 1
∴∠BAF= ∠BAC= ×45°=22.5°，
2 2
∵直线l⊥AD，即∠AEF=90°，
∴∠EFA+∠EAF=90°，
∴∠EFA=∠BAF=22.5°．12．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD,∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠DCF=90°，
∵CE⊥BG,DF⊥CE，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠DCF，
在△BCE和△CDF中，¿，
∴△BCE≅△CDF(AAS)，
∴BE=CF,CE=DF，
∴CE=CF+EF=BE+EF，
∴DF=BE+EF．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠DAM=∠ABN=90°，
∵BM=CN，
∴BC−CN=AB−BM，即BN=AM，
在△ABN和△DAM中，
¿
∴△ABN≌△DAM(SAS)；
（2）解：由（1）知△ABN≌△DAM，
∴∠MAP=∠ADM，
∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°，
∴∠APM=180°−(∠ MAP+∠AMP)=90°．
14．A
15．（1）解：∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
∵点G是AB的中点，
∴BG=AG，
∴AG=CE．故答案为：AG=CE；
（2）取AG=EC，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°．
∵AG=CE，
∴BG=BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△GAE≌△CEF，
∴AE=EF；
16．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=∠D=90°，
∴∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
在△ABG和△ADF中，¿
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴∠BAG=∠DAF，
∴∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF，
∴∠GAF=∠BAD=90°，
∴AG⊥AF；
（2）解：∵△CEF的周长为4，
∴CF+CE+EF=4，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BC=CD=2，
∴BC+CD=4，
∴CF+CE+EF=BC+CD=BE+CE+CF+DF，
∴EF=BE+DF，
∵GB=DF，
∴EF=BE+DF=BE+GB=EG，
由（1）得△ABG≌△ADF，∠GAF=90°，
∴AG=AF，
在△AEG和△AEF中，
¿
∴△AEG≌△AEF(SSS)，
∴∠EAG=∠EAF，
1 1
∴∠EAG= ∠FAG= ×90°=45°，
2 2
∴∠EAF的大小是定值，定值为45°；
（3）解：连接AM，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AB是△AEG的高，
∵AH⊥EF，
∴AH是△AEF的高，
由（2）得，△AEG≌△AEF，
∴S =S ，
△AEG △AEF
1 1
∴ EG⋅AB= EF⋅AH，
2 2
由（2）得，EG=EF，
∴AH=AB=2，
∵M为边BC的中点，
1
∴BM= BC=1，
2
∴AM=√AB2+BM2=√22+12=√5，
∵AH+MH≥AM，
∴2+MH≥√5，
解得MH≥√5−2，
∴MH的最小值为√5−2．
