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21.3.3 正方形（第 2 课时）
知识点1：正方形的判定方法
1．B．
2．C．
3．A
4．AC⊥BD（答案不唯一）．
5．①②③④
6．解：（1）如图四边形ABCD即为所作，答案不唯一．
（2）如图，四边形AEBF即为所求作的正方形．
7．（1）四边形BPCO是平行四边形．理由如下：
∵ ABCD的对角线AC,BD交于点O，
▱
∴AO=OC,BO=OD，
1 1
∵以点B,C为圆心， AC, BD长为半径画弧，两弧交于点P，
2 2
1 1
∴BP= AC=OC,CP= BD=OB
2 2
∴四边形BPCO是平行四边形．
（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴AC=BD且AC⊥BD时，四边形BPCO是正方形．
知识点2：正方形的性质和判定的综合应用8．√2．
9．6
10．C
11．（1）解：如下图：AD即为所求．
（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，
则∠AED=∠AFD=90°，
又∵∠BAC=90°
∴四边形AEDF为矩形，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF为正方形，
∴AE=AF=ED=DF，
设AE=AF=ED=DF=x，
∴BE=AB−AE=7− x，FC=AC−AF=5− x，
在Rt△BED中，BD2=ED2+BE2=x2+(7− x) 2，
在Rt△CFD中，CD2=DF2+FC2=x2+(5− x) 2，
∵DB=DC
∴DB2=DC2
∴x2+(7− x) 2=x2+(5− x) 2
解得：x=6，
∴AD=√AF2+DF2=√62+62=6√2．12．【详解】解：问题解决：
（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DAB=90°．
∴∠BAF+∠GAD=90°．
∵DE⊥AF,∴∠ADG+∠GAD=90∘．
∴∠BAF=∠ADG．
又∵AF=DE,∴△ABF≌△DAE,∴AB=AD．
∴矩形ABCD是正方形．
（2）△AHF是等腰三角形．理由如下：
∵AB=AD,∠ABH=∠DAE=90°,BH=AE，
∴△ABH≌△DAE,∴AH=DE．
又∵DE=AF,∴AH=AF，即△AHF是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长CB到点H，使得BH=AE=6，连接AH．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC,AB=AD,∴∠ABH=∠BAD．
∵BH=AE,∴ΔABH≌△DAE．
∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°．又∵DE=AF,∴AH=AF．
∵∠AHB=60°,∴△AHF是等边三角形，
∴AH=HF，
∴DE=AH=HF=HB+BF=6+2=8．
13．C
