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21.3.3 正方形（第 2 课时）
知识点1：正方形的判定方法
1．（2021年四川泸州）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2021年广西玉林）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【答案】C
【详解】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，
再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一
组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；∴正确的有①②；
故选C．
3．（2025年四川攀枝花）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂
直，则四边形EFGH一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】A
【详解】解：设AC交BD于点Q，EF交BD于点P，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
1 1
∴EF∥AC，且EF= AC,GH∥AC，且GH= AC，EH∥BD，
2 2
∴EF∥GH，且EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
故选：A．
4．（2021年黑龙江龙东地区）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线
的情况下，请你添加一个条件 ，使矩形ABCD是正方形．【答案】AC⊥BD（答案不唯一）
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加：AB=AD或AB=CB或BC=CD或AD=CD，
根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，
故答案为AC⊥BD（答案不唯一）．
5．（2022年四川攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且
点A在△BCF内部．给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；
②当∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
【答案】①②③④
【详解】解析：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，
∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°，
∴∠EBF=∠ABC=60°−∠ ABF，
∴△EFB≌△ACB(SAS)，
∴EF=AC=AD，
同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE，
由AE=DF，AD=EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；
②当∠BAC=150°时，
∠EAD=360°−∠ BAE−∠BAC−∠CAD=360°− 60°− ， 150°−60°=90°由①知四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；
③由①知AB=AE，AC=AD，四边形AEFD是平行四边形，
∴当AB=AC时，AE=AD，
∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，
∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
6．（2021年浙江宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．
【详解】.解：（1）如图四边形ABCD即为所作，答案不唯一．
（2）如图，四边形AEBF即为所求作的正方形．
1 1
7．（2023年湖北十堰）如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O，分别以点B,C为圆心， AC, BD长为
▱
2 2
半径画弧，两弧交于点P，连接BP,CP．(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当▱ ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
【详解】（1）四边形BPCO是平行四边形．理由如下：
∵ ABCD的对角线AC,BD交于点O，
▱
∴AO=OC,BO=OD，
1 1
∵以点B,C为圆心， AC, BD长为半径画弧，两弧交于点P，
2 2
1 1
∴BP= AC=OC,CP= BD=OB
2 2
∴四边形BPCO是平行四边形．
（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴AC=BD且AC⊥BD时，四边形BPCO是正方形．
知识点2：正方形的性质和判定的综合应用
8．（2024年四川南充）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿BE折叠得
△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为 ．
【答案】√2
【详解】如图，过F作FM⊥BC于点M，FN⊥CD于点N，
∴∠CMF=∠CNF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCM=∠ABC=90°，AB=CD=2，
∴四边形CMFN是矩形，
∵CF平分∠BCD，
∴FM=FN，∠DCF=∠BCF=45°，
∴四边形CMFN是正方形，
由折叠性质可知：AB=BF=2，∠ABE=FBE=30°，
∴MF=1，
∴CN=NF=MF=CM=1，DN=CD−CN=1，
在Rt△DNF中，由勾股定理得DF=√NF2+DN2=√12+12=√2，
故答案为：√2．
9．（2025年四川广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−3,3)，点B是x轴负半轴上的动点，
点C是y轴负半轴上的动点，∠BAC=90°，则OB−OC= ．
【答案】6
【详解】解：作AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，连接BC，如图，
∵A(−3,3)，
∴AE=AF=3，∠FAE=90°，
∴四边形AEOF为正方形，
∴OE=OF=3，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠EAC=∠FAC+∠EAC=90°，
即∠BAE=∠FAC，
在△ABE和△ACF中，¿，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF，
∵BE=OB−OE，CF=OC+OF，
∴OB−OE=OC+OF，
∴OB−OC=OF+OE=3+3=6．
故答案为：6．
10．（2022年湖北随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为
对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的
中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①
图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积
1
的 ．正确的有（ ）
4
A．只有① B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD、 BCD是等腰直角三角形，
∵AP⊥EF，
△
∴∠APF＝∠APE＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
1 1
∴EF是 BCD的中位线，CE＝ BC，CF＝ CD，
2 2
△
∴ CE＝CF，
∵∠C＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，1
∴EF∥BD，EF＝ BD，
2
∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°，
∴△ABO、 ADO是等腰直角三角形，
∴AO＝BO，△AO＝DO，
∴BO＝DO，
∵M，N分别为BO，DO的中点，
1 1
∴OM＝BM＝ BO，ON＝ND＝ DO，
2 2
∴OM＝BM＝ON＝ND，
∵∠BAO＝∠DAO＝45°，
1
∴由正方形是轴对称图形，则A、P、C三点共线，PE＝PF＝ EF＝ON＝BM＝OM，
2
连接PC，如图，
∴NF是 CDO的中位线，
∴NF∥A △ C，NF＝ 1 OC＝ 1 OD＝ON＝ND，
2 2
∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°，
∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°，
∴四边形FNOP是矩形，
∴四边形FNOP是正方形，
∴NF＝ON＝ND，
∴△DNF是等腰直角三角形，
∴图中的三角形都是等腰直角三角形；
故①正确，
∵PE∥BM，PE＝BM，∴四边形MPEB是平行四边形，
1 1
∵BE＝ BC，BM＝ OB，
2 2
在Rt△OBC中，BC＞OB，
∴BE≠BM，
∴四边形MPEB不是菱形；
故②错误，
∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°，
∴△MOP≌△CPF（SAS），
∴S =S +S
四边形PFDM 四边形PFDO △MOP
=S +S
四边形PFDO △CPF
=S
△COD
1
= S ，
4 正方形ABCD
故③正确，
故选：C
11．（2024年江苏无锡市）如图，在△ABC中，AB>AC．
(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB=DC；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）
【详解】（1）解：如下图：AD即为所求．
（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，
则∠AED=∠AFD=90°，
又∵∠BAC=90°∴四边形AEDF为矩形，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF为正方形，
∴AE=AF=ED=DF，
设AE=AF=ED=DF=x，
∴BE=AB−AE=7− x，FC=AC−AF=5− x，
在Rt△BED中，BD2=ED2+BE2=x2+(7− x) 2，
在Rt△CFD中，CD2=DF2+FC2=x2+(5− x) 2，
∵DB=DC
∴DB2=DC2
∴x2+(7− x) 2=x2+(5− x) 2
解得：x=6，
∴AD=√AF2+DF2=√62+62=6√2．
12．（2021年甘肃武威）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，
DE=AF,DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G，
DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2，求DE的长．
【详解】解：问题解决：
（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DAB=90°．
∴∠BAF+∠GAD=90°．
∵DE⊥AF,∴∠ADG+∠GAD=90∘．
∴∠BAF=∠ADG．
又∵AF=DE,∴△ABF≌△DAE,∴AB=AD．
∴矩形ABCD是正方形．
（2）△AHF是等腰三角形．理由如下：
∵AB=AD,∠ABH=∠DAE=90°,BH=AE，
∴△ABH≌△DAE,∴AH=DE．
又∵DE=AF,∴AH=AF，即△AHF是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长CB到点H，使得BH=AE=6，连接AH．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC,AB=AD,∴∠ABH=∠BAD．
∵BH=AE,∴ΔABH≌△DAE．
∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°．又∵DE=AF,∴AH=AF．
∵∠AHB=60°,∴△AHF是等边三角形，
∴AH=HF，
∴DE=AH=HF=HB+BF=6+2=8．
13．（2022年浙江绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F是对角线BD上
的动点，且BE=DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF∵点E、F时BD上的点，
∴只要M，N过点O，
那么四边形MENF就是平行四边形
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，
则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C.
