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2023-2024 学年初中数学下学期期中模拟试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．如图，公路 、 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为4.8 ，则
、 两点间的距离为
A．2.4 B．3.6 C．4.2 D．4.8
2．如图，一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，木杆折断之前的高度为
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
3．如图，点 ， 分别是 ， 的中点， 的平分线 交 于点 ， ， ，则
的长为A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列各式中，一定是二次根式的个数为
， ， ， ， ， ，
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．下列计算错误的是
A． B． C． D．
6．若 为实数，在“ □ ”的“□”中添上“ ， ， ”中的一种运算符号后，其运算的结果
为有理数，则 不可能是
A． B． C． D．
7．若三角形的三边分别是 ， ， ，且 ，则这个三角形的周长是
A． B． C． D．
8．如图， ，直线 与直线 之间的距离为4，点 是直线 与 外一点，点 到直线 的距离为2，
点 ， 分别是直线 与直线 上的动点，以点 为圆心， 的长为半径作弧，再以点 为圆心，
的长为半径作弧，两弧交于点 ，则点 与点 之间距离的最小值为A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ．若要使平行四边形 成为矩形，需
要添加的条件是
A． B． C． D．
10．直角三角形 中， ， 是 边上的中线，若 ， ，则 的长为
A．5 B． C． D．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．
12．如图所示，在边长为2的菱形 中， ，点 为 中点，点 是 上一动点，则
的最小值为 ．（提示：根据轴对称的性质）13．若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 为 ．
14．在二次根式① ，② ，③ ，④ 中，与 是同类二次根式的有 （只需要填写前面
的序号即可）．
15．已知实数 和 满足 ，那么 ．
16．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形 的面积为25，正方形
的面积为1，若用 、 分别表示直角三角形的两直角边 ，下列三个结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确的是 （填序号）．
17．如图，平行四边形 中， 于点 ， 为线段 上一点且满足 ， ，
连 并延长交 于点 ，则 的度数为 ．
18．如图，正方形 的边长是6，对角线的交点为 ，点 在边 上且 ， ，连接
，则：
（1） ；（2） ．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．已知 满足 ．
（1） 有意义， 的取值范围是 ；
（2）根据（1）的分析，求 的值．
20．计算：
（1）
（2） ．
21．在学习二次根式的性质时，知道 ，利用这个性质我们可以求 的值．
解：设 ，两边平方， ；
；
；
， ， ；
；
请利用以上方法，解决下列问题：
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值．22．如图，在 中， ， ， ，点 为 边上的动点，点 从点 出发，
沿边 往 运动，当运动点 时停止，若设点 运动的时间为 秒，点 运动的速度为每秒2个单位
长度．
（1）当 时， ， ；（请直接写出答案）
（2）当 时， 是直角三角形；（请直接写出答案）
（3）求当 为何值时， 是等腰三角形？并说明理由．
23．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如： ，善于思考的康康进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为正整数），
则有 （有理数和无理数分别对应相等），
， ．
这样康康就找到了一种把式子 化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
（1）当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
， ；
（2）若 ，且 、 均为正整数，试化简： ；
（3）化简： ．
24．如图，在 中， ， ， ，过点 作 ，且点 在点 的右侧．
点 从点 出发沿射线 方向以每秒1个单位的速度运动，同时点 从点 出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度运动，在线段 上取点 ，使得 ，连接 ，设点 的运动时间为 秒．
（1）若 ，求 的长；
（2）请问是否存在 的值，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
25．如图， 是等边三角形， 是 边上的高．点 在 的延长线上，连接 ， ，
过 作 与 的延长线交于点 ，连接 ， ， ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ，请直接写出四边形 的周长．
26．如图，已知四边形 为正方形， ，点 为对角线 上一动点，连接 ，过点 作
，交 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
（1）求证：矩形 是正方形；
（2）探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
