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21.3.3 正方形（第 2 课时）
知识点1：正方形的判定方法
1．（2021年四川泸州）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．（2021年广西玉林）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c，则正确的是：（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
第2题图 第3题图 第4题图
3．（2025年四川攀枝花）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂
直，则四边形EFGH一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
4．（2021年黑龙江龙东地区）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线
的情况下，请你添加一个条件 ，使矩形ABCD是正方形．
5．（2022年四川攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且
点A在△BCF内部．给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形； ②当∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
6．（2021年浙江宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．
1 1
7．（2023年湖北十堰）如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O，分别以点B,C为圆心， AC, BD长为
▱
2 2
半径画弧，两弧交于点P，连接BP,CP．
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当▱ ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
知识点2：正方形的性质和判定的综合应用
8．（2024年四川南充）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿BE折叠得
△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为 ．
9．（2025年四川广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−3,3)，点B是x轴负半轴上的动点，
点C是y轴负半轴上的动点，∠BAC=90°，则OB−OC= ．
第8题图 第9题图 第10题图
10．（2022年湖北随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为
对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①
图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积
1
的 ．正确的有（ ）
4
A．只有① B．①② C．①③ D．②③
11．（2024年江苏无锡市）如图，在△ABC中，AB>AC．
(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB=DC；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）
12．（2021年甘肃武威）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，
DE=AF,DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DE与AF相
交于点G，DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2，求DE的长．13．（2022年浙江绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F是对角线BD上
的动点，且BE=DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
