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难点特训（二）和正方形有关的压轴大题
1．如图，正方形 边长为4，点E在边 上（点E与点A、B不重合），过点A作 ，
垂足为G， 与边 相交于点F．
(1)求证： ；
(2)若 的面积为 ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，取 的中点M，N，连接 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)5或
(3) 或
【分析】（1）先证得 ，易证 ，由此的 ，又由互余可
得出 ，进而可得结论；
（2）根据三角形得面积求得AE，再根据勾股定理求得DE，根据（1）中AF=DE即可得出结论；
（3）连接AM并延长交CD于点P，连接PF，可证明 ，所以PM=AM，
DP=AE=3或1，又MN是 的中位线，求出PF的长即可；
（1）
证明：
在 和 中在 和 中
（2）
∴设 ，则
∴
解得：
∵ 或
或
（3）
如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF，∵点M是DE的中点
或1
当 时，
当 时，
综上，MN的长度为 或
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用做出
辅助线是解题的关键．
2．正方形 中， ， 分别为 ， 上一点， ， ， 交于点 ， 为
的中点．(1)求证： ≌ ；
(2)求证： ；
(3)求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，判定
（2）根据全等的性质可得 ，再根据 ,得出 ，进
而得到 即
（3）连接OC，在 取点H，使得 ，连接OH，证明 为等腰直角三角形，进而得
出 再判定 得出 根据 即可得到
（1）
证明：∵ 四边形 是正方形
，
在 和 中，
（2）
证明：
，
又，即
（3）
证明：如图，连接OC，
在 取点H，使得 ，连接OH
∵ O为BD的中点，即O为正方形的对称中心，
∴ 是等腰直角三角形，
由（1）知
在 和 中，
又
是等腰直角三角形
在 和 中，【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质的综
合应用，解决问题的关键是证出 是等腰直角三角形，依据全等三角形的对应边相等进行求
解．
3．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足 ，
，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
(1)依题意补全图形；
(2)求 的度数；
(3)设 ，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面
积为多少？
【答案】(1)补图见解析；
(2) ；
(3)
【分析】（1）依题意补全图形，即可；
（2）连接CE，先证得 ．再根据直角三角形的性质可得
．可得 ≌ ，即可求解；
（3）根据题意可得点E在AC的垂直平分线上，可得点E在BD上，从而得到在点M沿着线段CD
从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．此时DN=CD=2，
∠CDN=90°，再证得四边形DFCN为梯形．然后根据梯形的面积，即可求解．
（1）解∶依题意补全图形，如图1所示．
（2）
证明：连接CE，如图2所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵在 中，点E是AN中点，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ≌ ，
∴ ．
∴ ．
（3）
解∶ 连接DE，∵由（2）得：AE=CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
在正方形ABCD中，BD垂直平分AC，∠ACD=45°，△BCD为等腰直角三角形，
∴点E在BD上，
∴BF=DF=CF，
∴在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．此时
DN=CD=2，∠CDN=90°，
∴
∵ ，
∴∠ACN=90°，即CN⊥AC，
∴ ，
∴四边形DFCN为梯形．
∵ ，
∴BC=CD=AB=2，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形等知识，熟
练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形等知识是解题的关键．
4．如图，在正方形OABC中，边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，4），点D在
线段OA上，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，BE交y轴于点F．(1)当 时，求点E到x轴的距离；
(2)连接DF，当点D在线段OA上运动时， 的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不
变，求出其周长；
(3)连接CE，当点D在线段OA上运动时，求CE的最小值．
【答案】(1)1
(2) 的周长不改变，其周长为8；
(3)2
【分析】（1）如图，过点E作EH⊥x轴于H．证明 EDH≌△DBA（AAS），推出DH=AB，
EH=AD=1，可得结论． △
（2）结论： ODF的周长不变．想办法证明DF=CF+AD即可．
（3）由（1）△可知，OE=OH，推出∠EOH=∠COE=45°，推出点E的运动轨迹是射线OE，过点C
作CT⊥OE于T，当点E与点T重合时，EC的值最小．
（1）
解：如图，过点E作EH⊥x轴于H．
∵四边形OABC是正方形，B（4，4），
∴OA=AB=4，∠BAD=90°，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB，∠EDB=∠EHD=∠BAD=90°，
∴∠EDH+∠BDA=90°，∠BDA+∠ABD=90°，
∴∠EDH=∠ABD，∴△EDH≌△DBA（AAS），
∴EH=AD=1，
即点E到x轴的距离为1；
（2）
解： ODF的周长不变．
理由△：将 BCF绕点逆时针旋转90°得到 BAJ．如图，
△ △
∵∠CBF=∠ABJ，
∴∠CBA=∠FBJ=90°，
∵∠EBD=45°，
∴∠DBF=∠DBJ=45°，
∵DB=DB，BF=BJ，
∴△DBF≌△DBJ（SAS），
∴DF=DJ，
∵DJ=DA+AJ，CF=AJ，
∴DF=CF+AD，
∴△ODF的周长=OF+DF+OD=OF+CF+OD+AD=OC+OA=8，
∴ ODF的周长不变，其周长为8．
（△3）
解：由（1）可知， EDH≌△DBA（AAS），
∴DH=AB，EH=AD，△
∵OA=AB，
∴DH=OA，
∴OH=DA
∴EH=OH，
∴∠EOH=∠COE=45°，
∴点E的运动路径是射线OE，
过点C作CT⊥OE于T，如图，当点E与点T重合时，EC的值最小，
最小值CT= OC=2 ，
∴EC的最小值为2 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段
最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，此题属于四边形综
合题，属于中考压轴题．
5．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点，过点P作PE⊥PB，PE交射线
DC于点E，过点E作EF垂直AC所在的直线，垂足为点F．
（1）如图，当E点在线段DC上时，求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长，如果不
能，说明理由；
（3）在点P的运动过程中，AP、PF、FC的长度是否满足某种数量关系？若满足，试写出解答过
程；若不满足，试说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）AP=2，理由见解析；（3）AP+CF=PF.
【分析】（1）过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于 H，要证PB= PE，只需证到
△PGB≌△PHE即可；
（2）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合
要求的AP的长；
（3）连接BD，如图，易证△BOP≌△PFE，则有BO= PF，可得出最后结论.【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于 H
∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC
∴∠GCP=∠CPG=∠ACD=∠HPC=45°
在△PCG和△PHC中
∴△PCG≌△PCH（ASA）
∴PG=PH
∴四边形PGCH是正方形
∴∠HPE+∠EPG=90°
∵BP⊥PE
∴∠BPE=90°
∴∠BPG+∠EPG=90°
∴∠HPE=GPB
在△PBG和△PEH中
∴△PBG≌△PEH（AAS）
∴PB=PE
（2）①若点E在线段BC上，如图所示
∵∠BPE=∠BCE=90°
∴∠PBC+∠PEC=180°
∵∠PBC＜90°
∴∠PEC＞90°
若三角形PEC为等腰三角形，则EP=EC∴∠EPC=ECP=45°
∴∠PEC=90°与∠PEC＞90°矛盾
∴点E在线段DC上时不能构成等腰三角形；
②若点E在线段DC的延长线上，如图所示
若三角形PEC是等腰三角形
∵∠PCE=135°
∴此时只能是CP=CE
∴∠CPE=∠CEP=22.5°
∴∠APB=180°-90°-22.5°=67.5°
∵∠PRC=∠BPE+∠PBR=∠CER+∠ECR，∠BPE=∠RCE=90°
∴∠PBR=∠CER=22.5°
∴∠ABP=67.5°
∴∠APB=∠APB
∴AP=AB=2
（3）如图所示，连接BD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BOP=90°
∵PE⊥PB
∴∠BPE=90°∴∠PBO=90°-∠BPO=∠EPF
∵FE⊥AC
∴∠PFE=90°
∴∠BOP=∠PFE
∵PB=PE
∴△BOP≌△PFE
∴BO=PF
∴AP+FC++PF=AC=2OB
∴AP+CF=PF
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，四边形的内角和和三角形的
内角和定理，三角形外角的知识，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知
识进行求解.
6．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定
的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF
和EF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）EF2＝AF2+BF2；（2）EF2＝BF2+AE2，见解析
【分析】（1）首先证明 EOA≌△FOB，推出AE＝BF，从而得出结论；
（2）在BC上取一点H，△使得BH＝AE．由 OAE≌△OBH，推出AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE
＝OH，由 FOE≌△FOH，推出EF＝FH，由△∠FBH＝90°，推出FH2＝BF2+BH2，由此即可解答．
【详解】解△：（1）EF2＝AF2+BF2．理由：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在 EOA和 FOB中，
△ △
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）△在BC上取一点H，使得BH＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在 OAE和 OBH中，
△ △
，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在 FOE和 FOH中•，
△ △
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2；
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题．
7．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若
∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝ ，求CE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）30°；（3）2
【分析】（1）利用正方形的性质，得到AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，进而判断△ADE≌△CDE
得到结论；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到OB＝OE，∠OBE＝∠OEB＝15°，再利
用外角和定理求得；
（3）连接OC，与（2）同理得到∠POC＝60°，则△EOC为直接三角形，再应用勾股定理求得．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∵∠PBC＝30°，
∴∠PBE＝15°，
∵PE⊥BD，O为BP的中点，
∴EO＝BO＝PO，
∴∠OBE＝∠OEB＝15°，
∴∠EOP＝∠OBE＋∠OEB＝30°；
（3）如图，连接OC，
∵点O是BP的中点，∠BCP＝90°，
∴CO＝BO，
∴EO＝CO＝ ，∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠POC＝60°，
∴∠EOC＝∠EOP＋∠POC＝90°，
∵EC2＝EO2＋CO2＝4，
∴EC＝2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理，综合性较强，要注意数形结合．
8．已知正方形 ，点 在对角线 上， 交 于 ， 交 于 ， ，
垂足为 点，求证：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】(1)利用全等三角形的性质，分别证明PA=PE，PA=PC，推出PE=PC，再利用等腰三角形
的三线合一的性质证明即可；
(2)证明四边形PHBF是正方形，推出BH=BF， ，再证明△PHA≌△PFE，推出AH=EF，
可得结论；
(3)如图2中，设PF交EG于点J，过点P作PL⊥EG于点L，GK⊥PF于点K，连接CJ，证明
△PKG≌△GLP(AAS)，推出PL=GK，PK=GL，证明△PFE≌△ELP(AAS)，推出PF=EL，可得结论．
(1)
证明：如图：过点P作 于点H，连接CP，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC， ，
∵PF⊥BC，PH⊥AB，
∴PH=PF，
∵AP⊥PE，
∴ ，
∴∠APH=∠EPF，
在 和 中，
∴ ，
∴PA=PE，
在△ABP和△CBP中，
∴ ，
∴PA=PC，
∴PE=PC，
∵PF⊥EC，
∴EF=FC；
(2)
证明：∵ ，
∴四边形PHBF是矩形，∵PH=PF，
∴四边形PHBF是正方形，
∴BH=BF， ，
∵ ，
∴AH=EF，
∵BH=BF，
∴ ；
(3)
证明：如图2中，设PF交EG于点J，过点P作PL⊥EG于点L，GK⊥PF于点K，连接CJ，
∵PF⊥BC，EF=FC，
∴JE=JC，
∴∠JEC=∠JCE，
∵ ， ，
∴∠JCG=∠CGJ，
∴JC=JG，
∴JE=JG，
∵ ，
∴PJ=JE=JG，
∴∠JEP=∠JPE，∠JPG=∠JGP，
∵PL⊥GJ，GK⊥JP，
∴ ，
在△PKG和△GLP中，∴ ，
∴PL=GK，PK=GL，
∵ ，
∴四边形FCGK是矩形，
∴GK=CF=EF，CG=FK，
∴PL=EF，
在△PFE和△ELP中，
.
∴ ，
∴PF=EL，
∴
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中
线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造全等三角形解决问题．
9．如图 ，点 为正方形 内一点， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，
得到 ．延长 交 于点 ，连接 ．
（1）四边形 的形状是 ．
（2）如图 ，若 ，猜想线段 与 的数量关系并加以证明；（3）如图 ，若 ， ，则 的长度为 ．（请直接写出答
案）
【答案】（1）四边形 是正方形；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】（1）由旋转的特征可得到∠G＝∠AEB＝90°、∠EBG＝90°、BG＝BE，再由∠BEF＝
180°﹣∠AEB＝90°，可判定四边形BGFE是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于点H，由DA＝DE得AH＝ AE，再证明△ADH≌△BAE，且由四边形
BGFE是正方形，得到 ，可证得结论；
（3）过点D作DH⊥AE于点H，由旋转及四边形BGFE是正方形可得如下关系：AE＝CG＝
FG+CF＝FG+3＝BE+3，在Rt△BAE中根据勾股定理求出BE、AE的长，由（2）可知，
△ADH≌△BAE，得到DH＝AE，AH＝BE，再由勾股定理求出DE的长．
【详解】解：（1）四边形 是正方形．
由旋转的性质可知∠G＝∠AEB＝90°，BG＝BE，∠CBG=∠ABE
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠CBE=90°
∴∠CBG+∠CBE=90°
∴∠EBG＝90°
又∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°
∴四边形BGFE是矩形∵BG=BE
∴四边形BGFE是正方形；
（2）如图 ，过点 作 于点 ，
， ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
又 ， ，
，
，
将 绕点 按顺时针方向旋转 ，
，
四边形 是正方形，
，
（3）过点D作DH⊥AE于点H
∵BE＝FG，CF＝3，
∴AE＝CG＝FG+CF＝FG+3＝BE+3，
∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝ ，
∴(BE+3)2+BE2＝152，
解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去），
∴AE＝9+3＝12，由（2）得，△ADH≌△BAE，
∴DH＝AE＝12，AH＝BE＝9，
∴HE＝AE﹣AH＝12﹣9＝3，
∵∠DHE＝90°，
∴DE＝ ＝ ．
【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定
与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形．
10．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AB的延长线上，且PC＝PE．
(1)求证：PA＝PE；
(2)求证：AE＝ DP；
(3)若已知正方形的边长为2，求CP+ BP的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据ASA证明△ADP≌△CDP，推出AP=CP即可得到结论；
（2）过点P作OG⊥AD于G，PH⊥AB于H，设PG=x，证明四边形AHPG是矩形，得到AE=2AH=2x，由∠GDP=45°，∠DGP=90°得到DP= PG= x，进而得到结论；
（3）把BD绕点B逆时针旋转30°，交AD于G，过点P作PH⊥BG于H，连接AC，交BD于O，
根据含30°角的直角三角形的性质可得PH= PB，可得CH为CP+ BP的最小值，根据正方形的性
质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出OC、OP、PC、PB和PH的长，即可得答案．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，
∵DP=DP，
∴△ADP≌△CDP，
∴AP=CP，
∵PC=PE，
∴PA=PE．
（2）
过点P作OG⊥AD于G，PH⊥AB于H，
设PG=x，
∵∠GAH=∠AGP=∠AHP=90°，
∴四边形AHPG是矩形，
∴AH=PG=x，
∵PA=PE，
∴AE=2AH=2x，
∵∠GDP=45°，∠DGP=90°
∴DP= PG= x，
∴AE＝ DP；（3）
如图，把BD绕点B逆时针旋转30°，交AD于G，过点P作PH⊥BG于H，连接AC，交BD于O，
∵∠PBH=30°，
∴PH= PB，
∴当C、P、H三点共线时PC+ PB有最小值CH，
∵正方形的边长为2，
∴OC=OB= ，
∵∠PBH+∠BPH=90°，∠OCP+∠OPC=90°，∠OPC=∠BPH，
∴∠OCP=∠PBH=30°，
∴OP= CP，
在Rt△OPC中，PC2=OP2+OC2，即4OP2=OP2+2，
∴OP= （负值舍去），
∴ ，
∴ ， ，
∴CH=CP+PH= + = ，
∴CP+ BP最小值为 ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质及含30°角的直角三角形的性质，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
11．在正方形ABCD中，E是CD边上任意一点，连接AE．∠EAF＝45°，AE所在的直线与
BC交于点F，连接EF．
(1)以A为圆心，AE为半径作圆，交CB的延长线于点G，连接AG（如图1）．
求证：BF+DE＝EF；
(2)点E在DC边上移动，当EC＝CF时，直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图
2）,直接写出EF、MF、NE的数量关系：________________．
【答案】(1)见解析
(2)EF2＝MF2+NE2
【分析】（1）根据已知条件证得 ，可得 ，可知 ，可证
得 ，即可证得BF+DE＝EF；
（2）连接GM，证得 ，可知GM=EN， ， ，可知
是直角三角形，由（1）可知EF=GF，即 ，即可求出EF、
MF、NE的数量关系．
（1）
解：由题意得，AG=AE，AD=AB，
∵ ，
∴ （HL），
∴ ，
∵∠EAF＝45°，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，∵ ，
∴ （SAS），
∴EF=GF=GB+BF=DE+BF；
（2）
解：EF2＝MF2+NE2，理由如下，
连接GM，如图所示，
∵EC＝CF，∠C=90°，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴AN=AM，
由（1）得 ，
在 中，
∵ ，
∴ （SAS），
∴GM=EN， ，
∴ ，
由（1）可知，EF=GF，
∴在Rt 中，由勾股定理得： ，即： ．
故：EF、MF、NE的数量关系为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转变换的性质，等腰直角三角
形的性质的应用，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理以及旋转变换的性质
是解题的关键．
12．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中
点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及 的值；（写出结论，不需要证明）
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFC换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC
＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及 的值．写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转．使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD
的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变，你在（2）中得到的两个结论是否发生变
化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】（1）PG⊥PC； ＝1；（2）PG⊥PC； ，证明见解析（3）仍成立，证明见解
析
【分析】（1）可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证三角形DHP和PGF全等，
已知的有DC GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP＝
PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），于是两三角形全等，那么HP＝PG，DH＝GF
＝BG，那么可得出CH＝CG，于是三角形CHG就是等腰三角形且CP是底边上的中线，根据等腰
三角形三线合一的特点，即可得出CP＝PG＝PH，CP⊥PG；
（2）方法同（1），证三角形CHG是个等腰三角形，且顶角为120°，可根据30°的直角三角形来
得出PG、CP的比例关系；（3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以CP为底边中线的等腰三角形，那么可延长GP
到H，使PH＝PG，连接CH、DH，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是三角形CHG是个
等腰三角形，关键是证三角形CDH和CBG全等，已知的只有CD＝CB，我们可通过其他的全等三
角形来得出三角形CDH和CBG全等的条件．三角形DHP和FGP中，有一组对顶角，DP＝PF，
HP＝PG，那么这两个三角形就全等，可得出DH＝GF＝BG，∠HDP＝∠GFP，根据平行线间的
内错角相等可得出∠CDP＝∠EFD，那么∠CDH＝∠EFG＝∠CBG，由此可得出三角形CDH和
CBG全等，然后证法同（2）．
【详解】解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC； ＝1；证明如下：
如图1，延长GP交DC于H，
∵DC GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP
又P是线段DF的中点，
∴DP＝PF，
∴△DHP≌△PGF，
∴HP＝PG，DH＝GF，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴CD=CB，GF=BG，
∴CH=CD-DH=BC-BG=BC-FG=BC-DH=CG，
即CH＝CG，
∴三角形CHG就是等腰三角形且CP是底边上的中线，
∴CP＝PG＝PH，CP⊥PG；
∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC； ＝1；
（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC； ．
证明：如图2，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
又∵∠CPG=90°，
∴2CP=CG，PG= PG，
∴ ；
（3）在（2）中得到的两个结论仍成立．
证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP＋∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP＋∠PDC＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC＝120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°，
即∠HCG＝120°，
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴ ．即PG＝ PC．
【点睛】本题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所
求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．
13．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．
(1)如图1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF；
(2)如图2，若DE＝CF．试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？并证明你的结论；(3)如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，
若∠FCD＝15°，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)∠EAF+∠EGF=180°，证明见解析；
(3)
【分析】（1）由菱形ABCD中和∠A=90°可得菱形ABCD是正方形，根据正方形性质得AD=DC，
∠A=∠CDF=90°，再加上DE⊥CF，得到∠CGD=90°，所以∠ADE=∠DCF，即证得
Rt△ADE≌Rt△DCF，即可证得DE=CF；
（2）过D作DR⊥AB于R，过C作CS⊥AD于S，根据菱形的面积证得DR=CS，推出
∴Rt△DRE≌Rt△CSF (HL)，得到∠CFS=∠RED，由∠CFS+ ∠AFG=180°，推出
∠EAF+∠EGF=180°；
（3）由（1）的条件可得MN=CF，MN⊥CF，加上G为CF的中点，即MN垂直平分CF，联想到
连接FM即有FM=MC且∠DMF=∠MFC+∠FCD=30°，利用四边形KTDC是矩形，证得
△THF≌△KCH，推出TF=HK，根据三角形内角和求出∠TFH+∠THF=90°，用∠HFM分别表示这两
个角求出∠HFM=60°，得到∠TFH=60°，由此得到HF=2TF，再根据正方形的性质求出BH=2HK，
即可得到答案
（1）
证明：∵菱形ABCD中，∠A=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠CDF=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠CGD=90°，
∴∠DCF+∠CDE=∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
∴ Rt△ADE ≌5Rt△DCF，
∴DE=CF；
（2）
解：∠EAF+∠EGF=180°；证明如下：
过D作DR⊥AB于R，过C作CS⊥AD于S，如图，∵S ABCD=AB DR=AD CS，AB=AD，
菱形
∴DR=CS， × ×
∵DE=CF，
∴Rt△DRE≌Rt△CSF (HL)，
∴∠CFS=∠RED，
∵∠CFS+ ∠AFG=180°，
∴∠RED+∠ AFG=180°，
∴∠EAF+∠EGF=180°；
（3）
连接FM，过H作TK// AB交AD于T，交BC于K，连接CH，如图，
由（1）知MN⊥CF，
又G为CF的中点，
∴MN是CF的垂直平分线，
∴MF=CM，CH=FH，
∴∠MFC=∠MCF=15°，∠HCF=∠HFC，
∴∠FMD=30°，∠HCM=∠HFM，
∵∠TKC=∠KTD=∠BCD=90°，
∴四边形KTDC是矩形，
∴TD=KC，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠TDH=45°=∠THD，
∴TD=TH=CK，∴△TFH≌△KHC，
∴HK=TF，∠THF=∠HCK，
∵∠TFH=180°-60°-∠HFM=120°-∠HFM，∠THF=∠HCK=90°-∠HFM，
∴120°-∠HFM+90°-∠HFM=90°，
解得∠HFM=60°，
∴∠TFH=60°，
∴FH=2TF=2HK，
∵∠KBH=45°，
∴BH= HK，
∴
【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，垂直平分线
的定义和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键
14．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是 ；②
直线DG与直线BE之间的位置关系是 ．
（2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直
线DG⊥BE．
（3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝ ，AE＝1，则线
段DG是多少？（直接写出结论）
【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）先判断出 ABE≌△ADG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即
可得出结论； △
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出 ABE∽△ADG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余
角相等即可得出结论； △
（3）先求出BE，进而得出BE=AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB=90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论．
【详解】（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在 ABE和 ADG中，
△ △
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；
②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H，
由①知， ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠△ADG，
∵∠AGB+∠ABE=90°，
∴∠AGB+∠ADG=90°，
∵∠AGB=∠DGH，
∴∠DGH+∠ADG=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG
（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD=∠DAG，
∴∠BAE=∠DAG，
∵AD=2AB，AG=2AE，
∴ ，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，∵∠AGB+∠ABE=90°，
∴∠AGB+∠ADG=90°，
∵∠AGB=∠DGH，
∴∠DGH+∠ADG=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
∵EG∥AB，
∴∠DME=∠DAB=90°，
在Rt AEG中，AE=1，
∴AG=△2AE=2，
根据勾股定理得，EG= ，
∵AB= ，
∴EG=AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上如图5，∴∠AEB=90°，
在Rt ABE中，根据勾股定理得，BE= =2，
△
由（3）知， ABE∽△ADG，
△
∴ ，
∴ ，
∴DG=4．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性
质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出 ABE≌△ADG或
ABE∽△ADG是解本题的关键． △
△15．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P为线段AB上一动点．将△BPC沿PC翻折至
△EPC，延长CE交射线AD于点D．
（1）如图1，当P为AB的中点时，求出AD的长；
（2）如图2，延长PE交AD于点F，连接CF，求证：∠PCF＝45°；
（3）如图3，∠MON＝45°，在∠MON内部有一点Q，且OQ＝8，过点Q作OQ的垂线GH分别
交OM、ON于G、H两点．当QG＝2时，求QH的值．
【答案】（1） ；（2）证明过程见解析；（3） ．
【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到∠A=∠B=90°，由折叠的性质得到∠CEP=∠B=90°，
PB=PE，∠BPC=∠EPC，根据全等三角形 的性质得到 ．作 于
，设 ，根据AB＝BC＝12，得到 ， ，根据勾股定理求出AD的长；
（2）如图2，过C作CK⊥AD交AD的延长线于K，推出四边形ABCK是正方形，求得CK=CB，
根据折叠的性质得到∠CEP=∠B=90°，BC=CE，∠BCP=∠ECP，得到CE= CB= CK，根据全等三角
形 的性质即可得到结论；（3）如图3，将 OQG沿OM翻折至△OUG，将 OQH沿ON翻折至 OWH，延长UG，WH交
于V，根据已知条△件和折叠的性质，利用有三个角△是直角的四边形是矩△形和邻边相等的矩形是正方
形，推出四边形UOWV是正方形，设QH=y，在 中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，连结 ，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°
∵将 BPC沿PC翻折至 EPC，
∴∠C△EP=∠B=90°，PB=PE△，∠BPC=∠EPC，
∴∠DEP=90°
∵当P为AB的中点，
∴AP=BP
∴PA=PE
∵PD=PD
∴ ，
∴
作 于 ，设 ，AB＝BC＝12，则 ，
由勾股定理得 ，
解得 ，
∴
（2）如图2，作 交延长线于 ，
∴
∴四边形 为矩形
又∵AB＝BC∴矩形 为正方形
∴CK=CB，∠BCK=90°
∵将 BPC沿PC翻折至 EPC，
∴∠F△ED=90°，CE= CB= △CK，
又∵CF=CF
∴ ，
∴∠ECF=∠KCF
∴∠BCP+∠KCF=∠PCE+∠FCE=45°
∴∠PCF=45°
(3)如图3，将 OQG沿OM翻折至△OUG，将 OQH沿ON翻折至 OWH，延长UG，WH交于
V， △ △ △
∴∠UOG=∠QOG，∠WOH=∠QOH，OU=OQ=OW=8，UG=QG=2，
设QH=WH=y
∴ ∠UOW=2∠MON=90°，
∵GH⊥OQ
∴∠OQG=∠OQH=90° ．
∴∠U=∠W=90°=∠UOW，
∴四边形UOWV是正方形
∴UV=WV=8，∠V=90°，
∴GV=6，HV=8-y，GH=y+2
∴
∴
解得 ，即 ．【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确的作出
辅助线是解题的关键．
16．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？
请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出
你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形
ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；
②GE= ．
【答案】（1）是；（2）AB2+CD2=BC2+AD2；（3）①证明见解析；② ．
【分析】概念理解：根据垂直平分线的判定定理证明即可；
性质探究：根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
问题解决：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．【详解】概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，
即四边形ABCD是垂美四边形；
性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；
问题解决：①连接CG、BE，如图3所示：
∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE．
在 GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△AGB≌ ACE（SAS）；
②△∵△AGB≌ ACE，∴∠ABG=∠AEC． △
又∵∠AEC+△∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由
（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=2，AB=5，∴BC= ，CG=2 ，BE=5 ，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，∴GE= ．
故答案为 ．
【点睛】本题是四边形综合题．考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、
勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
17．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC
（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？
如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）
得到的结论）【答案】（1）AH=AB；（2）成立，理由见解析；（3）6
【分析】（1）先证明 ，可得 ， ，再证明
即可；
（2）延长 至 ，使 ，证明 ，能得到 ；
（3）分别沿 、 翻折 和 ，得到 和 ，然后分别延长 和 交
于点 ，得正方形 ，设 ，则 ， ，在 中，由勾股定理，
解得 ．
【详解】解：（1）如图①， ．理由如下：
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
是等腰三角形，
又 ，
， ，
，， ，
，
在 和 中，
，
，
；
故答案为： ；
（2）数量关系成立．如图②，延长 至 ，使 ．
∵四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （SAS），
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
．
， ，
、 是 和 对应边上的高，．
（3）如图③分别沿 、 翻折 和 ，得到 和 ，
， ， ．
分别延长 和 交于点 ，得正方形 ，
由（2）可知， ．
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
，
解得 ， ．（不符合题意，舍去），
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性
质以及勾股定理等知识；正确作出辅助线，熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的
关键．
18．已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且
随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．
（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此
时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
【答案】（1）PE=PB，证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）画图见解析，PE=PB，
PE⊥PB
【分析】（1）证明△PDC≌△PBC（SAS），即可解决问题．
（2）证明△PDC≌△PBC（SAS），即可解决问题．
（3）如图3所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：猜想：PE=PB，
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB．
故答案为：PE=PB．
（2）解：（1）中的结论成立．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB．
（3）解：如图3所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB．理由：设PB交EC于J．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，∠BCD=∠BCE=90°，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD=PB，∠1=∠2，
∵PE=PD，
∴PE=PB，∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠CJB=∠PJE，
∴∠BCJ=∠JPE=90°，
∴PB⊥PE，PB=PE．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
