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难点特训（二）和正方形有关的压轴大题
1．如图，正方形 边长为4，点E在边 上（点E与点A、B不重合），过点A作 ，
垂足为G， 与边 相交于点F．
(1)求证： ；
(2)若 的面积为 ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，取 的中点M，N，连接 ，求 的长．
2．正方形 中， ， 分别为 ， 上一点， ， ， 交于点 ， 为
的中点．
(1)求证： ≌ ；
(2)求证： ；
(3)求证：
3．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足 ，
，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．(1)依题意补全图形；
(2)求 的度数；
(3)设 ，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面
积为多少？
4．如图，在正方形OABC中，边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，4），点D在
线段OA上，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，BE交y轴于点F．
(1)当 时，求点E到x轴的距离；
(2)连接DF，当点D在线段OA上运动时， 的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不
变，求出其周长；
(3)连接CE，当点D在线段OA上运动时，求CE的最小值．
5．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点，过点P作PE⊥PB，PE交射线
DC于点E，过点E作EF垂直AC所在的直线，垂足为点F．
（1）如图，当E点在线段DC上时，求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长，如果不
能，说明理由；
（3）在点P的运动过程中，AP、PF、FC的长度是否满足某种数量关系？若满足，试写出解答过
程；若不满足，试说明理由．6．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定
的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF
和EF之间的数量关系，并证明．
7．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若
∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝ ，求CE的长．
8．已知正方形 ，点 在对角线 上， 交 于 ， 交 于 ， ，
垂足为 点，求证：(1) ；
(2) ；
(3) ．
9．如图 ，点 为正方形 内一点， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，
得到 ．延长 交 于点 ，连接 ．
（1）四边形 的形状是 ．
（2）如图 ，若 ，猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
（3）如图 ，若 ， ，则 的长度为 ．（请直接写出答
案）
10．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AB的延长线上，且PC＝PE．
(1)求证：PA＝PE；
(2)求证：AE＝ DP；(3)若已知正方形的边长为2，求CP+ BP的最小值．
11．在正方形ABCD中，E是CD边上任意一点，连接AE．∠EAF＝45°，AE所在的直线与
BC交于点F，连接EF．
(1)以A为圆心，AE为半径作圆，交CB的延长线于点G，连接AG（如图1）．
求证：BF+DE＝EF；
(2)点E在DC边上移动，当EC＝CF时，直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图
2）,直接写出EF、MF、NE的数量关系：________________．
12．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中
点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及 的值；（写出结论，不需要证明）
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFC换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC
＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及 的值．写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转．使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD
的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变，你在（2）中得到的两个结论是否发生变
化？写出你的猜想并加以证明．
13．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．(1)如图1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF；
(2)如图2，若DE＝CF．试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？并证明你的结论；
(3)如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，
若∠FCD＝15°，求 的值．
14．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是 ；②
直线DG与直线BE之间的位置关系是 ．
（2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直
线DG⊥BE．
（3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝ ，AE＝1，则线
段DG是多少？（直接写出结论）
15．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P为线段AB上一动点．将△BPC沿PC翻折至
△EPC，延长CE交射线AD于点D．
（1）如图1，当P为AB的中点时，求出AD的长；
（2）如图2，延长PE交AD于点F，连接CF，求证：∠PCF＝45°；
（3）如图3，∠MON＝45°，在∠MON内部有一点Q，且OQ＝8，过点Q作OQ的垂线GH分别
交OM、ON于G、H两点．当QG＝2时，求QH的值．16．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？
请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出
你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形
ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；
②GE= ．
17．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC
（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？
如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）
得到的结论）18．已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且
随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．
（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出
证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此
时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
