文档内容
专题 21.9 正方形的判定
1. 掌握正方形的判定方法，能够熟练地选择合适的判定方法判定正方形。
教学目标
2. 掌握中点四边形的定义，能够熟练地根据四边形的性质判断中点四边形的形状。
1. 重点
（1）正方形的判定；
（2）四边形的中点四边形。
教学重难点
2. 难点
（1）对正方形的判定方法的灵活应用，结合正方形的性质综合应用；
（2）判断特殊四边形的中点四边形的形状。知识点01 正方形的判定
1. 正方形的判定：
判定方法 文字语言 数学语言 图形
∵AB = BC = CD = AD
四条边都 相等 且
∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA ＝
直接判定 四个角也 相等 的
∠DAB
四边形是正方形
∴四边形ABCD是正方形
邻边 相等 的矩形 ∵在矩形ABCD中，AB = AD
矩形加特殊 是正方形 ∴四边形ABCD是正方形
性 对角线 垂直 的矩 ∵在矩形ABCD中，AC ⊥ BD
形是正方形 ∴四边形ABCD是正方形
有一个角是 直角 的 ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝ 90 °
菱形加特殊 菱形是正方形 ∴四边形ABCD是正方形
性 对角线 相等 的菱 ∵在菱形ABCD中，AC ＝ BD
形是正方形 ∴四边形ABCD是正方形
【即学即练1】
1．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A．AB＝BC＝CD＝DA B．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA
【答案】B
【解答】解：A、由AB＝BC＝CD＝DA只能判定四边形ABCD为菱形，故A不符合题意；
B、AC⊥BD且AC、BD互相平分可判定为菱形，再由AC＝BD判定为正方形，故B符合题意；
C、由AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD不能判定为正方形，故C不符合题意；
D、根据AB＝BC，CD⊥DA不能判定为正方形，故D不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，添加一个条件 AB ＝ BC （答案不唯一） ，使矩形ABCD成为
正方形（填一个即可）．【答案】AB＝BC（答案不唯一）．
【解答】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，
可添加：AB＝BC；
根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，
可添加：AC⊥BD；
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
【即学即练3】
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的
是（ ）
A．OA＝BD B．AB⊥BD C．AD＝BD D．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）
对角线相等．即满足条件AC＝BD．
故选：D．
【即学即练4】
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE∥AB，DF⊥AB，求证：四边形BEDF
是正方形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠DBE＝45°，ED＝DF，
又∵DE∥AB，DF⊥AB，
∴∠DEB＝∠EBF＝90°，∠BDE＝∠DBE＝45°，∠DFB＝90°，
∴∠FDB＝∠FBD＝45°，BE＝ED，∴DF＝FB，
∴BE＝ED＝DF＝FB，且∠DFB＝∠DEB＝∠EBF＝∠FDE＝90°，
∴四边形BEDF是正方形．
【即学即练5】
5．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．
求证：矩形ABCD是正方形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
{
∠ABE=∠DAE
)
∠BAF=∠ADE=90° ，
BF=AE
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
【即学即练6】
6．如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF
＝BE，连接AE、CE、AF、CF，得四边形AECF．求证：四边形AECF是正方形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥BD，AO＝CO，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF与AC互相垂直平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形．
【即学即练7】
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且 BE＝DF，AC＝
EF，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若AB=❑√13，OB＝3，求AE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）AE=2❑√2．
【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形，
又∵AC＝EF，
∴四边形AECF是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形．由勾股定理得：AO=❑√AB2−OB2=❑√ (❑√13) 2 −32=2．
又∵四边形AECF是正方形，AC＝EF，且AC、EF互相平分，
∴OE＝OA＝2，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE=❑√OA2+OE2=2❑√2．
知识点03 中点四边形
1. 中点四边形的定义：
连接四边形各边的 中点 得到的四边形叫做中点四边形。
2. 中点四边形的形状：
①任意四边形的中点四边形是 平行四边形 。
②对角线相等的四边形的中点四边形是 菱形 。
③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是 矩形 。
【即学即练1】
8．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（
）
A．AD∥BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝AB
【答案】B
【解答】解：添加AC＝BD．
如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ABC、△ACD的中位线，
1 1
∴EH＝FG= BD，EF＝HG= AC，
2 2
∴当AC＝BD时，
EH＝FG＝FG＝EF成立，
则四边形EFGH是菱形．
故选：B．
【即学即练2】
9．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（ ）
①矩形；
②对角线相等的四边形；
③菱形；④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解答】解：如图1，连接AC、BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
1 1 1 1
∴EF= AC，FG= BD，GH= AC，EH= BD，
2 2 2 2
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH为菱形，故①不符合题意；
∵矩形的对角线相等，
∴顺次连接对角线相等的四边形的中点，所得图形为菱形，故②不符合题意；
如图2，E，F，G，H分别是四边形AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，故④符合题意；
∵菱形的对角线互相垂直，
∴顺次连接菱形的各边中点，所得图形为矩形，故③符合题意；
故选：D．题型01 熟悉正方形的判定条件
【典例1】能判定一个四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且平分
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直平分且相等
D．对角线相等且平分
【答案】C
【解答】解：A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，但菱形对角线不一定相等，无法确定是正方
形，所以此选项错误，不符合题意；
B．对角线互相垂直且相等的四边形，未强调“平分”，无法保证四边相等或四角为直角，不一定是正
方形，所以此选项错误，不符合题意；
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以此选项正确，符合题意；
D．对角线相等且平分的四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，所以此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式1】四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝CO，AB＝BC
【答案】C
【解答】解：A．∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形故A不符合题意；
B．∵AD∥BC，
∴四边形ABCD可能为平行四边形．
∵∠A＝∠C，
∴四边形ABCD为平行四边形性质，故B不符合题意；
C．∵AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD且O为对角线中点．
∴四边形ABCD为矩形，
∵AC⊥BD，
∴矩形ABCD为正方形，故C符合题意；
D．∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AB＝BC，∴四边形ABCD为菱形，故D不符合题意；
故选：C．
【变式2】已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论正确的有（ ）
①当AB＝DC时，它是菱形；②AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝
BD时，它是正方形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝DC时，无法证明平行四边形ABCD是菱形，故①结论错误；
当AC⊥BD时，即平行四边形ABCD是菱形，故②结论正确；
当∠ABC＝90°时，即平行四边形ABCD是矩形，故③结论正确；
当AC＝BD时，即平行四边形ABCD是矩形，故④结论错误；
故选：C．
题型02 添加正方形的判定条件
【典例1】如图，在 ABCD中，AC＝BD，再添加一个条件，仍不能判定四边形 ABCD是正方形的是（
）
▱
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AB＝AC D．∠ABD＝∠CBD
【答案】C
【解答】解：在 ABCD中，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
▱
A、添加AB＝BC，矩形ABCD是正方形，故不符合题意；
B、添加AC⊥BD，矩形ABCD是正方形，故不符合题意；
C、添加AB＝AC，无法确定矩形ABCD就是正方形，故符合题意；
D、添加∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形，故不符合题意．
故选：C．【变式1】数学活动课上，小彤用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．小彤想要让这个菱形
学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AB＝BC C．AB∥CD D．∠B＝∠D
【答案】A
【解答】解：菱形ABCD中，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是正方形．
故选：A．
【变式2】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下
列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D
【答案】D
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，
∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意；
故选：D．
题型03 正方形的判定证明
【典例1】如图，在 ABCD中，BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，BE＝DE，求证：四边形EBFD是正方
形．
▱【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，
∵DF⊥BC，BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，BE∥FD，
在△AEB和△CFD中，
{∠AEB=∠CFD
)
∠A=∠C ，
AB=CD
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴BE＝FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠CFD＝90°，
∴平行四边形EBFD是矩形，
∵BE＝DE，
∴四边形EBFD是正方形．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点
F．求证：四边形DECF是正方形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：过点D作DH⊥AB于点H，如图所示：
∵DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°，
∴四边形DECF是矩形，∵BD平分∠ABC，AD平分∠BAC，DE⊥BC，DF⊥AC，DH⊥AB，
∴DE＝DH，DH＝DF，
∴DE＝DF，
∴矩形DECF是正方形．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC
至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
∴BE＝2CD；
（2）∵AC⊥BC，如图，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝2OA＝2CO，
∵CE＝2CO，
∴AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形．
题型04 正方形的判定与性质
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠A＝90°，点E在CD边上，点F是AD边的
中点，且AB∥CF，FE⊥CD于点E，延长FE交BC的延长线于点G，连接BF．
（1）求证：四边形ABCF是正方形；
（2）若BF＝4，求BG的长．
【答案】（1）见解析；
（2）4❑√2．
【解答】（1）证明：∵AB∥CF，AD∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，∵∠A＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCF是正方形；
（2）解：∵四边形ABC分式正方形，
∴BC＝AF，∠FBC＝45°，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF＝BC，
∵BC∥DF，
∴四边形BCDF是平行四边形，∴BF∥CD，
∵EF⊥CD，
∴BF⊥EF，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴BG=❑√2BF＝4❑√2．
【变式1】【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时
针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F．【猜想证明】
（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明．
【答案】见解析．
【解答】解：（1）四边形BE′FE是正方形，理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE′B＝∠EBE′＝90°，BE＝BE′．
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE′FE是矩形．
又∵BE＝BE′，
∴四边形BE′FE是正方形．
（2）CF＝E'F；理由如下：
如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
1
∵∠ADH+∠DAH＝90°，AH= AE，
2
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB．
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
1
∴AH=BE= AE．
2∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE′，
∵四边形BE′FE是正方形，
∴BE＝E′F，
1
∴E′F= CE′=CF，
2
∴CF＝E'F．
【变式2】综合与实践
问题情境：
如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线
BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
猜想证明：
（1）求证：四边形DEFG是正方形．
解决问题：
（2）求∠DCG的度数．
（3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长．
【答案】（1）见解析；
（2）∠DCG＝45°
（3）❑√2或3❑√2．
【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
{∠DNE=∠FME
)
EN=EM ，
∠DEN=∠FEM
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）解：∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
（3）解：①当F在BC上时，
∵正方形EMCN，正方形ABCD，
∴BC＝DC，MC＝NC，
∴BC﹣MC＝DC﹣NC，即：BM＝DN，
∵△DEN≌△FEM，
∴FM＝DN，
BC−FC 4−2
∴BM=FM= = =1，
2 2
∴MC＝MF+FC＝1+2＝3，
∴EC=❑√2MC=3❑√2，AC=❑√2BC=4❑√2，
∵△ADE≌△CDG，
∴AE=CG=AC−EC=4❑√2−3❑√2=❑√2；
②当F在BC延长线上时，如图：
同理可得，△EFM≌△EDN，CM＝CN＝EM＝EN，AE＝CG，
1
∴BM＝FM= （BC+CF）＝3，
2∴CM＝1，
∴CE=❑√2，
∴AE＝4❑√2−❑√2=3❑√2，
∴CG＝3❑√2；
综上所述，AE=❑√2或3❑√2．
题型05 中点四边形
【典例1】顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．平行四边形
【答案】D
【解答】解：连接BD，
已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．
在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
1
所以EH∥BD，EH= BD．
2
在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
1
所以GF∥BD，GF= BD，
2
所以EH＝GF，EH∥DF，
所以四边形EFGH为平行四边形．
故选：D．
【变式1】顺次连接某个四边形各边中点得到一个矩形，则原四边形是（ ）
A．正方形
B．菱形
C．直角梯形
D．对角线互相垂直的四边形
【答案】D
【解答】解：∵E，F，G，H为各边的中点，
∴EH∥FG，EF∥HG，
∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
所以对角线互相垂直的四边形的中点的连线是矩形．
故选：D．
【变式2】如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形，那么对这个四边形的形状描述最准
确的是（ ）
A．矩形 B．等腰梯形
C．菱形 D．对角线相等的四边形
【答案】D
【解答】解：矩形，等腰梯形均能得到菱形但不够全面，菱形无法得到菱形，即只要对角线相等不管是
什么形状均可，故选D．
1．下列条件不能判定 ABCD是正方形的是（ ）
A．∠ABC＝90°且AB＝AD B．AC⊥BD且AB＝AD
▱
C．AC⊥BD且AC＝BD D．AB＝BC且AC＝BD
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD为正方形；
故A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD；不能判断平行四边形ABCD是正方形，
故B符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∵AC＝BD
∴平行四边形ABCD为正方形；故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为正方形；
故D不符合题意；
故选：B．
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（
）
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC
【答案】B
【解答】解：A、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；
B、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；
C、正确．∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OB，OC＝OA，
∵AC⊥BD
∴AD＝AB，
∴矩形ABCD为正方形，故不符合题意；
D、正确，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，OB＝OD，
∴AC⊥BD，AD＝AB
∴矩形ABCD是正方形，故不符合题意．
故选：B．
3．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形
的是（ ）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AB＝AD，OA＝OC= AC，OB＝OD= BD，
2 2
A、AB＝AD时，不能判定菱形ABCD是正方形，故选项A符合题意；
B、∵OA＝OB，
∴AC＝BD
∴菱形ABCD是正方形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝BD，
∴菱形ABCD是正方形，故选项C不符合题意；
D、∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．顺次连接下列各图形的中点，构成的图形一定是正方形的为（ ）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．对角线互相垂直的等腰梯形
【答案】D
【解答】解：顺次连接下列各图形的中点，构成的四边形的两组对边分别平行于原图形的对角线，且每
组边等于相对的对角线的一半，可判定为平行四边形，当原图形的对角线互相垂直时，又可判定为菱形，
而等腰梯形的对角线相等，所以可判定为正方形，故选D．
5．如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下说法正确的是（ ）
▱
A．若AC＝BD，则 ABCD是矩形
B．若AO＝CO，则 ABCD是菱形
▱
C．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
▱
D．若∠ABC＝90°，则 ABCD是正方形
▱
【答案】A
▱【解答】解：A、∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，原说法正确，符合题意；
▱
B、若AO＝CO，得不到 ABCD是菱形，原说法错误，不符合题意；
▱
C、若AC⊥BD，得不到 ABCD是正方形，原说法错误，不符合题意；
▱
D、若∠ABC＝90°，则 ABCD是矩形，原说法错误，不符合题意．
▱
故选：A．
▱
6．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间
转化的条件，其中填写错误的是（ ）
A．①对角相等 B．②对角线互相垂直
C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等
【答案】A
【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，
∴此选项填写错误，
故A符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴此选项填写正确，
故B不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，
∴此选项填写正确，
故C不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，
∴此选项填写正确，
故D不符合题意．
故选：A．
7．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫作三角形的内心，如图，在 Rt△ABC中，点P
是△ABC内心，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12．PD⊥BC于点D，则AP的长是（ ）
A．❑√17 B．❑√13 C．4 D．2【答案】B
【解答】解：如图，过P作PE⊥AB于E，过P作PF⊥AC于F，
∵P为三个内角平分线的交点，PD⊥BC，
∴PD＝PE＝PF，
∵∠ABC＝∠PDB＝∠PEB＝90°，
∴四边形PEBD为正方形，
∴PE＝BE＝BD＝PD，
在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，
由勾股定理得：AC=❑√52+122=13，
1 1
∵ AB⋅BC= (AB+BC+AC)⋅PE，
2 2
∴5×12＝（5+12+13）×PE，
解得：PE＝2，
∴PE＝BE＝BD＝PD＝2，
∴AE＝3，
在直角三角形AEP中，由勾股定理得：AP=❑√22+32=❑√13；
故选：B．
8．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则四边形ABDF的面积是（ ）
a2+b2 a2+b2
A． B． C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
4 2
【答案】B
【解答】解：根据题意，AB＝BD＝DE＝AF，AH＝CD＝EF＝FG，AG＝BH＝BC＝DE，
∵CE＝a，HG＝b，
∴设CD＝m，DE＝n，
{m+n=a)
∴ ，
n−m=ba−b
{m= )
2
∴ ，
a+b
n=
2
a−b a+b
在Rt△BCD中，CD= ，BC= ，
2 2
a+b a−b 2a2+2b2 a2+b2
∴BD2＝BC2+CD2=( ) 2+( ) 2= = ，
2 2 4 2
a2+b2
∴四边形ABDF的面积是 ．
2
故选：B．
9．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），
得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形
AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；若把左上角的正方形依次划分下去，则第 n次划分
后，图中共有（ ）个正方形
A．4n+3 B．4n﹣1 C．4n+1 D．4n﹣3
【答案】C
【解答】解：第1次划分后，分别连接正方形ABCD对边的中点，图中有1+4＝5个正方形，
第2次划分后，将图2左上角正方形AEMH再划分，图中有1+4×2＝9个正方形，
第3次划分后，图中有1+4×3＝13个正方形，
…，
第n次划分后，图中共有（1+4n）个正方形，
故选：C．
10．如图，已知四边形 ABCD为正方形，AB=4❑√2，点E为对角线AC上一点，连接 DE．过点E作
EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形
DEFG 是正方形；②2CE+CG=❑√2AD；③ CG 平分∠DCF；④ CE＝CF．其中正确的结论有
（ ）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：已知四边形ABCD为正方形，AB=4❑√2，点E为对角线AC上一点，
如图，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
{∠DNE=∠FME=90°
)
EN=EM ，
∠DEN=∠FEM
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，故①正确；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，{
AD=CD
)
∠ADE=∠CDG ，
DE=DG
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠DCF＝90°，
∴CG平分∠DCF，故③正确；
∴AC=AE+CE=CE+CG=❑√2AD，故②错误；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误．
故选：A．
11．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 AB ＝ AD （或 AC ⊥ BD 答案不唯一） ．
【答案】AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
【解答】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
12．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ∠ BAD ＝ 90 ° （添加邻边
相等亦可） ．
【答案】∠BAD＝90°（添加邻边相等亦可）．
【解答】解：因为有一个角是直角的菱形是正方形，
所以添加的条件可以为∠BAD＝90°．
故答案为：∠BAD＝90°（添加邻边相等亦可）．
13．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是 2 4 cm 2 ．
【答案】24cm2【解答】解：如图，连接EG、FH、AC、BD，设AB＝6cm，AD＝8cm，
∵四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是四边的中点，
∴HF＝6cm，EG＝8cm，AC＝BD，
1 1
EH＝FG= BD，EF＝HG= AC，
2 2
∴四边形EFGH是菱形，
1 1
∴S菱形EFGH =
2
×FH×EG =
2
×6×8＝24cm2．
故答案为24cm2．
14．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图 1所示菱形，并测
得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线
❑√2
AC的长为 a cm．
2
❑√2
【答案】 a．
2
【解答】解：如图1，2中，连接AC．
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AC＝a，
❑√2
∴AB＝BC= a，
2
在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，❑√2
∴AC＝BC= a，
2
❑√2
故答案为： a．
2
15．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于
点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四
1
边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 ①②③④ ．
4
【答案】①②③④．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
{∠OCE=∠ODF
)
OC=OD ，
∠COE=∠DOF
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
1
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ，故③正确；
4
④在Rt△EOF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得OE2+OF2＝EF2，
∵OE＝OF，
∴2OE2＝EF2，
∴DF2+CF2＝CE2+CF2＝EF2＝2OE2，
∵BE＝CF，
∴DF2+BE2＝2OE2．故④正确；综上所述，正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝17，CD＝7，作AE⊥BC于点E，
AF⊥CD交CD的延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）144．
【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠F＝90°，
在△ABE和△ADF中，
{
∠AEB=∠F
)
∠ABE=∠ADF ，
AB=AD
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAE+∠DAE＝∠DAF+∠DAE，即∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AEC＝∠F＝∠EAF＝90°，
∴四边形AECF是矩形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是正方形；
（2）解：设DF＝x，则AE＝CF＝7+x，
由（1）知△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF＝x，S△ABE ＝S△ADF ，
∴S四边形ABCD ＝S正方形AECF ，
∵BC＝17，∴EC＝BC﹣BE＝17﹣x．
由（1）知四边形AECF是正方形，
∴AE＝EC，
∴7+x＝17﹣x，
解得x＝5，
∴CE＝17﹣5＝12，
∴S四边形ABCD ＝S正方形AECF ＝CE2＝144，
∴四边形ABCD的面积为144．
17．在菱形ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE，AE，
AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求CD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）❑√29．
【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵DF＝BE，
∴DF+DO＝BE+BO，
即FO＝EO
∵AO＝CO，AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，1
∴BO=DO= BD=2，AC⊥BD，AB=CD，
2
∴EO＝BO+BE＝5，
∵四边形AECF是正方形，
∴AO＝EO＝5，
在Rt△ABO中，AB=❑√AO2+BO2=❑√29，
∴若BD＝4，BE＝3，则CD=AB=❑√29．
18．D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点
G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的关系？若四边形DGFE是矩形，则OA与BC
应满足怎样的关系？（直接写出答案，不需要说明理由）
【答案】（1）见解析；（2）OA＝OB，OA⊥BC．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点．
1
∴DE//BC，DE= BC，
2
∵G，F分别是OB，OC的中点，
1
∴GF//BC，GF= BC，
2
∴DE∥GF，DE＝GF，
∴四边形DGFE是平行四边形；
（2）解：若四边形DGFE是菱形，则DG＝GF，
1 1
由（1）中位线可知GF平行且等于 BC，DG平行且等于 AO，
2 2
∴OA＝BC，
若四边形DGFE是矩形，则DG⊥GF，
∵DG∥AO，GF∥BC，
∴OA⊥BC．
19．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的
垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ 4 5 °（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
【答案】（1）45；
（2）①见解答；②2．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
1 1
∴∠AFE= ∠DFE，∠AEF= ∠BEF，
2 2
1 1
∴∠AEF+∠AFE= （∠DFE+∠BEF）= ×270°＝135°，
2 2
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
{AB=AG)
，
AE=AE
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝EG＝6，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2．
20．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3❑√2，求正方形DEFG的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
{
AB=AD
)
∠BAE=∠DAE ，
AE=AE
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
{∠DNE=∠FME=90°
)
EN=EM ，
∠DEN=∠FEM
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
{
AD=CD
)
∠ADE=∠CDG ，
DE=DG
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC=❑√2AB＝9❑√2．
∵CG＝3❑√2，∴CE＝6❑√2，
连接EG，
∴EG=❑√CE2+CG2=❑√72+18=3❑√10，
❑√2
∴DE= EG＝3❑√5．
2
∴正方形DEFG的边长为3❑√5．
