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第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形（3个知识点+13大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
题型一 矩形的性质理解
题型二 利用矩形的性质求角度
题型三 根据矩形的性质求线段长
题型四 根据矩形的性质求面积
题型五 利用矩形的性质证明
题型六 求矩形在坐标系中的坐标
题型七 矩形与折叠问题
题型八 矩形的判定定理理解
题型九 添一个条件使四边形是矩形
题型十 证明四边形是矩形
题型十一 根据矩形的性质与判定求角度
题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长
题型十三 根据矩形的性质与判定求面积
【知识梳理】
知识点1：矩形的概念与性质
1. 概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点3：矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三各直角的四边形是矩形。题型一 矩形的性质理解
1．河南省博物院镇馆之宝之一的云纹铜禁是由禁体和12条龙形附兽、12条龙形座兽组成．禁体从上面看
为一个矩形（如图2所示）．这个矩形 的对角线 与 交于点O，则下列说法一定正确的是
（ ）
A． B．矩形 既是轴对称图形也是中心对称图形
C． D．
2．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ，然后向右拉动框架，
给出如下的判断：①四边形 为平行四边形；②对角线 的长度不变；③四边形 的面积不变；
④四边形 的周长不变，其中所有正确的结论是 ．
3．如图，在矩形 中，点 ， 分别是 ， 的中点．求证： ．
题型二 利用矩形的性质求角度
1．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，已知
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．如图， 是矩形 中 边的中点，将 沿 折叠到 在矩形 内部，延长
交 于 点，若 ，则 ．
3．如图， 、 是矩形 边 上的两点， ．
(1)若 ，则 ______°；
(2)求证： ．
题型三 根据矩形的性质求线段长
1．如图，在矩形 中， ，对角线 与 相交于点O， 垂直平分 于点E，则 的长
为（ ）
A． B． C．4 D．2
2．如图，长方形 中， ， ，长方形内有一个点 ，连接 ， ， ，已知
， ，延长 交 于点 ，则 ．3．如图，已知四边形 是平行四边形，对角线 交于点 是等边三角形．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求 的长．
题型四 根据矩形的性质求面积
1．已知：如图，在矩形 中，E、F、G、H分别为边 、 、 、 的中点．若 ，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
2．如图，矩形 的对角线 相交于点O，且 ， ，则 的面积为 ．
3．如图，在 中， ， ，点E、F分别为垂足．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)已知 ， ， ，求矩形 的面积．
题型五 利用矩形的性质证明
1．如图，点 为矩形 的边 长上的一点，作 于点 ，且满足 ．下面结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．如图，在矩形 中，点 在边 上，点 是 的中点， ， ，则 的长为
．
3．如图，在矩形 中，对角线 相交于点O， 于点E， 于点F．求证：
．题型六 求矩形在坐标系中的坐标
1．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为 ，∠CAO的
平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形 是矩形， 三点的坐标分别是 ， ， ，对角线交点为 ，则
点 的坐标是 ．
3．如图，在矩形 中，点 、 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在第一象限， ， ．点
在 上，连接 ，把 沿着 折叠，点 刚好与线段 上一点 重合．
(1)请直接写出点C的坐标．
(2)求线段CF的长度．题型七 矩形与折叠问题
1．如图，将一张长方形纸片沿对角线 折叠后，点C落在点E处， 交 于点F，再将 上方纸片
沿 折叠，点E落在点G处．若 刚好平分 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，把长方形纸片 放入平面直角坐标系中，使 分别落在 轴、 轴上，连接 ，将纸
片 沿 折叠，使点 落在点 的位置， 与 轴交于点 ，若 ，则 的长为 ．
3．如图，在长方形 中，E是边 上一点，连接 ， 沿直线 翻折后，点A恰好落在长方
形 的对称轴 上的点 处，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)延长 交 于点F，若 ，求 的长．
题型八 矩形的判定定理理解
1．下列说法正确的是（ ）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．四个角都是直角的四边形是矩形
2．工人师傅在制作门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的
两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，请根据所学知识，写出其中应用的矩形的判定定理：
．
3．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F是AC上的动点，且不与O点重合．
(1)若AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)已知BD=12cm，AC=16cm，点E，F均以2cm/s的速度，分别从点A，C出发，向点C，A方向运动．若
以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，求点E，F运动时间t的值．
题型九 添一个条件使四边形是矩形
1．如图，在 中，对角线 与 交于点 ，添加下列条件不能判定 为矩形的只有
（ ）
A． B． ， ，
C． D．
2．如图，在四边形 中， ， ，连接 ，相交于点 ．请增加一个条件，使
得四边形 是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可）3．如图,在 中,点E,F分别在 , 上,连接 , , , ,且 ．请从以下三个选项
中:① ;② ;③ ,选择一个合适的选项作为已知条件,使四边形 是矩形．（不再
添加其他线条和字母）．
(1)你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可）
(2)添加条件后,请证明四边形 是矩形．
题型十 证明四边形是矩形
1．如图，平行四边形 中，对角线 ， 相交于点O， ，若要使平行四边形 为矩形，
则 的长应该为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在四边形 中， ，点E，F，G，H分别是 的中点，
连接 ，则四边形 的形状是 ．
3．已知点E是 边 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F，连接 ， ，且
．(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ，请直接写出 的长．
题型十一 根据矩形的性质与判定求角度
1．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形 中，对角线 相交于点 于点 ．若 ，则 的度数
为 ．
3．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若 ，求∠CDE的度数．题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长
1．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，过点O作 交 于E，若 ， ，
则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
2．如图，长方形纸条 ， ，点E在 边上，且 ，点F为 边上一点，连接 ，
将四边形 沿 翻折，得到四边形 ．若纸条的长度足够长，则 到 边的最大距离为
．
3．如图，在长方形 中，E是 的中点，将 沿直线 折叠后得到 ，延长 交 于
点F，连接 ，若 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．题型十三 根据矩形的性质与判定求面积
1．如图， 对角线 ， 交于点O， 是等边三角形， ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．8
2．如图 是一个矩形，在 上各取一点G、H，使得 ，再取 的
中点E、F．连接 ，已知 ， ，则四边形 的面积为 ．
3．如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，
(1)求证： ；
(2)若点E、F分别为线段 的中点，连接 ， ， ，求 的长及四边形 的面积．
1．（2023上·四川达州·九年级校考期中）如图，在矩形 中，点E在 上， 交 于点
F，且 ．若 ，矩形 的周长是16，则 的长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．7
2．（2023下·重庆开州·八年级校联考期末）如图，将一个长为9，宽为3的长方形纸片 沿 折叠，
使点C与点A重合，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2024上·山东泰安·九年级统考期末）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点
，垂足为点 是 的中点，连接 ，若 ，则矩形 的周长是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·河南郑州·八年级统考期末）如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的长方形，点
O为坐标原点， ， ，在 边上取一点E，连接 ，将 沿着 所在直线翻折，使点
C落在 边上的点F处，则点E的坐标为（ ）A． B． C． D．
5．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于
点 ， ， 平分 交 于 ，以 为边向矩形内作等边三角形 ，连接 ．
的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ，
垂足为 ，则 的值为 ．
7．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，对角线 与
交于点 ，点 为 边上的一个动点， ， ，垂足分别为点F，G，则
．
8．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在矩形 中，点E在边 上， 沿 折叠得到 ，且点B，F，E三点共线，连接 ，若 ， ，则 ， ．
9．（2024上·河南郑州·九年级校考期末）如图，在矩形纸片 中， ， ， 为 边上
一点，将 沿 折叠，得到 ．点 关于 对称，若 ，则 的度数为 ．
10．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，长方形 中， ，点E为射
线 上一动点（不与点D重合），将 沿 翻折得到 ，连接 ，若 为直角三角
形，则 的长为 ．
11．（2024下·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，在平行四边形 中，
，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，求 的长．12．（2024上·福建莆田·九年级校考期末）已知如图，将矩形 绕点C按顺时针方向旋转得到矩形
，点B与点E对应，点E恰好落在 边上， 交于点H，
求证：
(1)
(2) ．
13．（2023上·江西九江·九年级统考期末）课本再现：
（1）定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在 中， ， 是 边上的中线．
求证： ．
证明：如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ．
……
请把证明过程补充完整．
知识应用：
（2）如图2，在 中， 是 边上的高， 是 边上的中线， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ，连接 ．求证： ．
14．（2023上·河南南阳·九年级统考期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称
性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
图1 图2
【操作】如图1，在矩形 中，点 在边 上，将矩形纸片 沿 所在的直线折叠，使点
落在点 处， 与 交于点 ．
【猜想】请直接写出线段 的数量关系______．
【应用】如图2，继续将矩形纸片 折叠，使 恰好落在直线 上，点 落在点 处，点 落在
点 处，折痕为 ．
（1）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长．
15．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）四边形 为矩形，G是 上的任意一点，
于点E．
(1)如图1，若 ， ，且交 于点F，求证： ；(2)如图2，在（1）的条件下，若 ，求 ；
(3)如图3，连，若， ，，则 ．（直接写出结果）
