文档内容
18.1 平行四边形（单元教学设计）
一、【单元目标】
通过观察生活中的平行四边形的实例，让学生通过实物抽象出具体的简图，再从边、角和对角线的角
度来总结出平行四边形的概念、边、角和对角线的性质；通过数形结合的方式形成对平行四边形知识点的
全面认识，促进学生思维的发展；通过平行四边形的性质引入，激发学生思考如何证明一个四边形是平行
四边形，学会从定义、性质和对角线的角度来证明平行四边形；
（1）通过生活中的平行四边形的实例，抽象出具体的平行四边形的图形，发现平行四边形的对边是
平行的（定义）；平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角相等，邻角互补，平行四边形的对角
线互相平分等；学会数形结合的方式从平行四边形的图形抽象出相关的概念；通过列举平行四边形的性质，
让学生思考如何判断平行四边形，并总结出从哪几个角度来证明四边形是平行四边形，分别从概念、性质
和对角线的角度来证明四边形是平行四边形；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素
养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，
同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
（5）通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；
二、【单元知识结构框架】
1．平行四边形的定义
2．平行四边形的边、角特征
3．两平行线间的距离
4．平行四边形对角线互相平分
5．平行四边形的面积
6．平行四边形的判定定理(1)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线相互平分的四边形是平行四边形．
7．平行四边形的判定定理(1)的应用
8．平行四边形的判定定理(2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
9．三角形的中位线
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
三、【学情分析】1．认知基础
本节内容主要有平行四边形的概念；平行四边形的边、角关系；平行四边形的对角线互相平分等概念，
基本概念比较简单，可以通过画图的方式帮助理解；在记忆概念的时候，可以采取边、角、对角线的顺序
来进行记忆；平行四边形的判定定理，主要有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形和对角线互相平分的四边形是平行四边形；三角形的中位线定理；
2.认知障碍
学生在理解边、角和对角线的概念时候，容易产生遗漏，或者记忆不清的情况，这时候就需要通过画
图来帮助自己完善这块概念的记忆，一定要学会数形结合的方式；学生在理解平行四边形的判定定理时，
容易出现记忆混淆的情况，尤其是平行四边形的概念判定，最容易出现记忆混乱的情况；另外一个就是三
角形的中位线，在理解概念的时候比较简单，但针对它的具体应用比较麻烦，需要注意辅助线的添加；
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约4课时
教学重点： 掌握平行四边形的概念、掌握平行四边形边、角的性质；掌握平行四边形对角线互相平
分的性质；掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形；掌握一组对边分别平行的四边形是平行四
边形；掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形；掌握三角形的中位线定理；
教学难点： 利用平行四边形边、角的性质解决问题；利用平行四边形对角线互相平分的性质解决问
题；综合运用平行四边形的性质与判定解决问题；平行四边形性质与判定的综合运用；
五、【教学问题诊断分析】
【情景引入】
如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它
又具有哪些基本性质呢？
18.1.1 平行四边形的边、角的特征
问题1：（平行四边形的定义）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD
是平行四边形．【破解方法】平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方
法．
【解析】∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC.
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
问题2：（利用平行四边形的性质求边长）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是
AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
【破解方法】本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是
解题的关键．
【解析】∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝
AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.
问题3：（利用平行四边形的性质求角）如图，在平行四边形 ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝
125°，则∠BCE的度数为( )
A．35° B．55°
C．25° D．30°
【破解方法】平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他
角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．
【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.
问题4：（利用平行四边形的性质证明有关结论）如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边
AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
【破解方法】平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平
行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝
∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP.在
△PCF和△PCE中，∵∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.
问题5：（判断直线的位置关系）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接
DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
【破解方法】根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．
【解析】DM与MC互相垂直．证明如下：∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝
AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝
∠MDC，则∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD.∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠DCB＝180°，∴∠MDC＋
∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90°.∵∠MDC＋∠MCD＋∠DMC＝180°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相
垂直．
问题6：（两平行线间的距离）如图，已知l∥l ，点E，F在l 上，点G，H在l 上，试说明△EGO
1 2 1 2
与△FHO面积相等．
【破解方法】根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两
三角形同底等高，面积相等．
【解析】∵l∥l ，∴点E，F到l 之间的距离都相等，设为h.∴S ＝GH·h，S ＝GH·h，∴S
1 2 2 △EGH △FGH △EGH
＝S ，∴S －S ＝S －S ，∴△EGO的面积等于△FHO的面积．
△FGH △EGH △GOH △FGH △GOH18.1.2 平行四边形的对角线的特征
问题7：（利用平行四边形对角线互相平分求线段）已知 ▱ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相
交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
【破解方法】平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周长比△DOA
的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵ ▱ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝cm，AD
＝BC＝cm.
问题8：（利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等）如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证：OE＝OF.
【破解方法】利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线
互相平分的性质．
【解析】∵四边形 ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.在△DFO和
△BEO中，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
问题9：（判断直线的位置关系）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是
AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
【破解方法】在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解
决问题．
【解析】BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E、F
分别是 OA、OC的中点，∴OE＝OF，又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，
∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.问题10：（平行四边形的面积）在 ▱ABCD中，
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点．求证：S ＝S ；
△ABO △CBO
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S 与S 仍然相等吗？若相等，
△ABP △CBP
请证明；若不相等，请说明理由．
【破解方法】平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角
形的面积相等．
【解析】(1)证明：在 ▱ABCD中，AO＝CO.设点B到AC的距离为h，则S
△ABO
＝AO·h，S
△CBO
＝CO·h，
∴S ＝S ；
△ABO △CBO
(2)解：S
△ABP
＝S
△CBP
.理由如下：在 ▱ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S
△ABP
＝BP·h，
S ＝BP·h，∴S ＝S .
△CBP △ABP △CBP
18.1.3 平行四边形的判定定理1
问题11：（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为
边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
【破解方法】利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形
全等解决．
【解析】∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝
∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
问题12：（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝
55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
【破解方法】根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．【解析】(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，
∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
问题13：（对角线相互平分的四边形是平行四边形）如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝
BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
【破解方法】在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目
的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
【解析】证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝
FO.又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．
问题14：（平行四边形的判定定理(1)的应用）如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点
E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段DE，BF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．
【破解方法】平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．
【解析】DE＝BF，DE∥BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是
OA，OC的中点，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，DE∥BF.
问题15：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
【破解方法】熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相
等可判定四边形是平行四边形．
【解析】(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ DCA.∵BE⊥AC 于 E ， DF⊥AC 于 F ， ∴ ∠ AEB ＝ ∠ DFC ＝ 90°. 在 △ ABE 和 △ CDF 中 ，
∴△ABE≌△CDF(AAS)；
(2)解：四边形BFDE是平行四边形．理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF.∵四边形
ABCD 是平行四边形， ∴AD＝CB ，AD∥CB ，∴∠ DAC ＝∠BCA.在△ADE 和△CBF 中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
18.1.4平行四边形的判定定理2
问题16：（判定四边形是平行四边形）如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝
CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
【破解方法】根据题设条件，通过证明三角形全等，得出等量关系，继而证明四边形是平行四边形是
判定时的一般解题思路．
【解析】四边形ABCD是平行四边形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF
＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边
形．
问题17：（判定平行四边形的条件）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条
件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四
边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【破解方法】熟练运用平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
【解析】①②组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行
四边形；③④组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”
判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；综上有4种可能使四边形ABCD
为平行四边形．故选B.
问题18：（三角形的中位线）如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交
DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( )A.
B．3
C．6
D．9
【破解方法】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟
练应用．
【解析】∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分
∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C.
问题19：如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )
A．80° B．90°
C．100° D．110°
【破解方法】中位线定理涉及平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问
题．
【解析】∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是△EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝
110°，∠E＝30°，∴∠2＝∠ECD＝80°.故选A.
问题20：如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足
为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
【破解方法】当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．【解析】∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD与△AMC中，
∴△AMD≌△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.又∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝
BD＝×(5－3)＝1.
问题21： 如图，E为 ▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点
F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
【破解方法】本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．
【解析】AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝
OC，∴∠ BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在△ABF 和△ECF 中，
∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB∥OF，AB＝2OF.
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．在 中， 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形对角相等．根据平行四边形
对角相等进行判断即可．
【详解】解：四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ 的值可以为 ，
故选：A．
2．如图，四边形 的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【详解】解：A、 ， ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形
为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
B、 ， 不能判定四边形 是平行四边形，故本选项错误，符合题意；
C、∵ ，∴ ，又∵ ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可
得四边形 为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
D、 ， 根据两对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形 为平行四边形，故
本选项正确，不符合题意．
故选：B．
3．在 中， ，则 的度数为 ．
【答案】 /135度
【分析】
本题考查平行四边形的知识，根据平行四边形的性质，则 ，则 ，再根据
，求出 ， ；最后根据平行四边形的性质，即可．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．4．如图，在四边形ABFD中，E，C是边BF上的两点．若 ，则图
中的平行四边形是 ．
【答案】 ，
5．如图， 中， ， ， ，求 、 以及 的面积．
【答案】 ， ， 的面积为48
【分析】此题主要考查了平行四边形的面积以及其性质和勾股定理等知识，直接利用平行四边形对边相等
得出 ，再利用勾股定理得出 的长，结合平行四边形对角线互相平分以及利用平行四边形面
积公式求出即可．
【详解】∵ 中， ， ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ 的面积为： ．
6．已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，点E、F分别为BO、DO的中点，试证明：
(1) ， ；
(2)四边形AECF是平行四边形；
(3)如果E、F点分别在DB和BD的延长线上时，且满足 ，上述结论仍然成立吗？请说明理由．
【答案】(1)见详解1(2)见详解2
(3)见详解3
【分析】 平行四边形的对角线互相平分，从而可得到结论；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据这个判定定理可证明；
仍然成立的，仍旧根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明．
【详解】（1）证明： ， 是平行四边形 中的对角线，O是交点，
， ．
（2） ，点E、F分别为 、 的中点，
，
，
四边形AECF是平行四边形．
（3）结论仍然成立．
理由： ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
所以结论仍然成立．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，对角线互相平分的四边形是平行四边形以及全等三角形的判
定和性质．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．已知 的周长为28，若 ，则 的长为（ ）
A．14 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得 ，然后根据平行四边形的周长公式列式计算即可．【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
又∵ 的周长为28，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：C．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．平行四边形的邻角相等
B．平行四边形的两条对角线互相垂直
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，根据平行四边形的性质和判定分别进行判断即可得到答案．
【详解】解：A．平行四边形的对角相等，邻角互补，故选项错误，不符合题意；
B．平行四边形的两条对角线互相平分但不一定垂直，故选项错误，不符合题意；
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故选项错误，不符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项正确，符合题意．
故选：D．
3．如图，在 中， 是 的平分线， ， ，则 ．
【答案】
【分析】
本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据四边形 是平行四边形得到 ， ，
得到 ，根据角平分线得到 ，即可得到 ，得到 ，即
可得到答案
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
4．如图，在平行四边形 中， ， 、 分别为边 、 的中点，连接 、 、 ，
当 平分 时， 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理．由三
角形的中位线定理可得 ， ，由角平分线的性质和平行线的性质可求 ，
，即可求解．
【详解】解：如图，设 与 的交点为 ，
平分 ，
，
∵ ，
，
、 分别为边 、 的中点，∴ ， ，
， ，
，
， ，
，
故答案为： ．
5．如图， 和 的顶点D、B、E、F在同一条直线上．求证： ．
【答案】见解析
【分析】
本题考查的是平行四边形的性质，先证明 ， ，再结合线段的和差关系可得答案．
【详解】
证明：连接 ，交 于点O．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
同理 ，
∴ ，即 ．
6．如图，在 中，E、F分别是 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；(2)对角线 分别与 交于点M、N，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定和性质：
（1）根据平行四边形的性质，推出 ， ，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质，证明 即可．
【详解】（1）
证明：∵四边形 是平行四边形，
．
分别是 的中点，
，
∴四边形 是平行四边形．
（2）
∵四边形 是平行四边形，
．
∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1．如图，在四边形 中，对角线 和 交于点O，下列条件能判定四边形 为平行四边形的
是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行
四边形的判定条件逐一判断即可解答．
【详解】解：A、 ，不能判定四边形 为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、 ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C、 ，不能判定四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、 ，不能判定四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选B．
2．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的
任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个
面积相等的小三角形.其中正确说法的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】
本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确，
平行四边形是中心对称图形，故②正确，
平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确，
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确，
故选：D．
3．如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，点 是 边的中点，连接 ，若
，则 的长为 ．
【答案】2【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得 ，求出
是 的中位线得出 ．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
点 是 边的中点，
是 的中位线，
，
故答案为： ．
4．如图，在平行四边形 中， 是边 上一点，将 沿 折叠至 处， 与 交于
点 ，若 ， ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质和折叠变换，三角形的外角性质；在平行四边形 中，可得
，则 ，从而 ，再根据折叠知 ，
即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为： ．
5．已知：如图，四边形 为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上， ．(1)求证： ；
(2)连接 、 ，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确全等三角
形的判定和性质，平行四边形的判定方法．
（1）根据平行四边形的性质，可以得到 ， ，然后即可得到 ，再根据
即可证明 ；
（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以得到 ，从而可以得到 ，从而
可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：如图，连接 、 ，∵ ，
，
∴四边形 是平行四边形．
6．如图，在 中， ， ，垂足分别为E，F， ， ， ．求
各边长．
【答案】 ；
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、含 角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边
形的性质是解题的关键．由平行四边形的性质得 ，再证
，然后由含 角的直角三角形的性质得 ，设 ，则
， ，根据 列出方程，解方程即可．
即可解答．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ．
七、【教学反思】
