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考点巩固卷 14 空间几何体的表面积和体积
（六大考点）
考点01：斜二测画法及应用
1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，
并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可；
2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”；
3、当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得
见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验；
结论：直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为
S′，
则有S′＝S或S＝2S′；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求
原图形面积；
1．一水平放置的平面四边形 的直观图 如图所示，其中 ，
轴， 轴， 轴，则四边形 的面积为（ ）A．18 B． C． D．12
2．如图,直角梯形 满足 ,它是水平放置的平面图
形的直观图,则该平面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，正方形 的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则
原平面图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．用斜二测画法画出的水平放置的 的直观图如图所示，其中 是 的中点，且
试卷第2页，共3页轴， 轴， ，那么 （ ）
A． B．2 C． D．4
5．如图， 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若 ，且
，则原图形中 边上的高为（ ）
A． B． C． D．
6．已知梯形 按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形 ，且 ，
， ，现将梯形 绕 㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面
积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 是水平放置的 用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与 轴
和 轴平行）， ， ，则 的面积为（ ）A． B． C．24 D．48
8．水平放置的 的直观图如图，其中 ， ，那么原 是一
个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
9．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 ，腰和上底长均为1的等腰梯形，
则该平面图形的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
10．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形
，则原四边形 的面积是（ ）
试卷第4页，共3页A． B． C．16 D．8
考点02：空间几何体的表面积
侧面积和表面积
几何体 棱柱 棱锥 棱台
侧面展开图
ch
ch′ (c+c′)h′
侧面积公式
(c为底面周长，h为侧
(c为底面周长，h′为侧面等腰三 (c′，c分别为上、下底面周
棱长)
角形底边上的高) 长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
侧面展开图
侧面积公式
表面积公式
11．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包
由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为 ，底面半径为 是圆柱下底面的圆心．若
圆锥的侧面与以 为球心，半径为 的球相切，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．12．某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为 ，则
该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
13．已知正三棱台 的上底面积为 ，下底面积为 ，高为2，则该三棱台
的表面积为（ ）
A． B． C． D．18
14．在正四棱台 中， ，若正四棱台的高为 ，则
其表面积为（ ）
A． B． C． D．
15．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O， 为底面直径， ， ，点C
在底面圆周上，且二面角 为 ，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为
C． 的面积为 D．
16．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面
积为（ ）
A． B． C． D．
17．在一个圆锥中， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面圆的圆心， 为线段 的中点，
为底面圆的直径， 是底面圆的内接正三角形，
① 平面 ；
② 平面 ；
③圆锥的侧面积为 ；
④三棱锥 的内切球表面积为 ．
其中正确的结论个数为（ ）
试卷第6页，共3页A．1 B．2 C．3 D．4
18．已知圆锥的顶点为 ，母线 所成角的余弦值为 ，且该圆锥的母线是底面半径
的 倍，若 的面积为 ，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
19．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算
书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑
堵”．已知“堑堵” 的所有顶点都在球 的球面上，且 ．若球
的表面积为 ，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料
分别记为 ，则它们的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
考点03：空间几何体的体积
几何体 体积
柱
(S为底面面积，h为高)锥
(S为底面面积，h为高)，
台
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
球
( 为球的半径)
21．某小区花园内现有一个圆台型的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为
1，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为3，则这个圆台的体积为
（ ）
A． B． C． D．
22．如图， 是圆锥底面中心 到母线的垂线， 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体
积相等的两部分，则母线与轴的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
23．中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活
动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞
天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类
似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱
和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高
度为7，则该容器中液体的体积为（ ）
试卷第8页，共3页A． B． C． D．
24．设四棱台 的上、下底面积分别为 ， ，侧面积为 ，若一个小球与
该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A． B．
C． D．
25．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章
为“天时类”，收录了有关降水量计算的例子，其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台
形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量（盆中水的体积与盆口面积之比）已知天池盆盆口
直径为一尺四寸，盆底直径为六寸，盆深一尺二寸.当盆中积水深六寸（注：1尺 寸）
时，平地降雨量是（ ）
A．1寸 B．2寸 C．3寸 D．4寸
26．菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可
多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为
，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为 ，下
底直径约为 ，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ）
A． B． C． D．27．如图，圆柱形容器内部盛有高度为 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆
柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
28．已知 是圆锥 的轴截面，点C在SA上，且 .若过点C且平行于SB的
平面恰过点 ，且该平面与圆锥底面所成的二面角等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
29．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在
四棱锥 中，侧面 是边长为1的等边三角形，底面 为矩形，且平面
平面 ．若四棱锥 存在一个内切球，设球的体积为 ，该四棱锥的
体积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
30．泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉
提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，
他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个
有十四个面的半正多面体，如图所示．已知该半正多面体的体积为 ，M为 的中心，
过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S，则S的最大值与最小值之比（ ）
试卷第10页，共3页A． B． C．3 D．9
考点04：空间几何体的外接球
球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
P P P
c c c
A b C
C C
a b
B A a B b A a B
图1 图2 图3
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，
AD=BC，AC=BD）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥 中，选中底面
，确定其外接圆圆心 （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心 ）；
②过外心 做（找）底面 的垂线，如图中 面 ,则球心一定在直线（注
意不一定在线段 上） 上；
③计算求半径 :在直线 上任取一点 如图：则 ，利用公式
可计算出球半径 .
P
4、双面定球心法（两次单面定球心） O
2 O
A
如图：在三棱锥 中：
O
H 1
①选定底面 ，定 外接圆圆心 B C
②选定面 ，定 外接圆圆心
③分别过 做面 的垂线，和 做面 的垂线，两垂线交点即为外接球球心 .
31．如图，已知在四棱锥 中，底面四边形 为等腰梯形， ，
，底面积为 ， 且 ，则四棱锥 外接球
的表面积为（ ）
试卷第12页，共3页A． B． C． D．
32．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为 ，则该圆锥的体积为
（ ）
A． B． C． D．
33．已知圆锥的轴截面 是一个正三角形，其中 是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是
底面圆O上一点，P是母线SC上一点， ， ，则三棱锥 外接球
的表面积是（ ）
A． B． C． D．
34．在棱长为2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
35．已知在直三棱柱 中， ， ， 为线段 的
中点，点 在线段 上，若 平面 ，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
36．在梯形 中, ，且 ，沿对角线 将
三角形 折起，所得四面体 外接球的表面积为 ，则异面直线 与 所成
角为（ ）
A． B． C． D．
37．在直三棱柱 中， 为等边三角形， ，则三棱柱
的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．38．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，
它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八
个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为 ，则
该多面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
39．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能
够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度
得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､
木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为2的正方形，且
均为正三角形， ，则该木楔子的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
40．如图，在矩形 中， ， ， ， 分别在线段 ， 上，
，将 沿 折起，使 到达 的位置，且平面 平面 ，
则四面体 的外接球的表面积为（ ）
试卷第14页，共3页A． B． C． D．
考点05： 空间几何体的内切球
球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即： ，可求出 .
41．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有
良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八
面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的
几何体）．如图所示，正八面体 的棱长为 ，此八面体的外接球与内切球的
体积之比为（ ）A． B． C． D．
42．已知球 内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、
下底面半径分别为 ， ，且 ，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
43．已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥
PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
44．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有
良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面
体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几
何体）.如图所示，正八面体 的棱长为 ，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线 与 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ；
③若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 ；
④若点 为四边形 的中心，点 为此八面体表面上动点，且 ，则动点 的
轨迹长度为 .
试卷第16页，共3页A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
45．已知四棱锥 的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内
切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
46．已知圆台 存在内切球 （与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台
的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为 ，设圆台 与球 的体积分别为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
47．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有
良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，
硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原
子之间的距离为 ，则下列错误的是（ ）
A．该正八面体结构的外接球表面积为
B．该正八面体结构的内切球表面积为
C．该正八面体结构的表面积为
D．该正八面体结构的体积为48．如图，已知四棱锥 的底面是边长为2的菱形， 为 的交点，
平面 ， ，则四棱锥 的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
49．已知一圆台内切球 与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为 ，若 ，
则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
50．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体
积为 ，它的内切球的体积为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
考点06：空间几何体的截面问题
试卷第18页，共3页在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知
不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题一个方法，也是深化理解空间点、线
面关系的一个很好的途径.
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．
（3）两个平面平行的性质．（4）球的截面的性质．
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截
面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点
51．已知直四棱柱 的侧棱长为3，底面 是边长为2的菱形，
为棱 上的一点，且 为底面 内一动点（含边界），则下
列命题正确的是（ ）
A．若 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹与直四棱柱的交线长为
B．若点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 体积的最大值为
C．若以 为球心的球经过点 ，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D．经过 三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
52．正方体 的棱长为6， ， 分别是棱 ， 的中点，过 ， ，
作正方体的截面，则（ ）
A．该截面是五边形
B．四面体 外接球的球心在该截面上
C．该截面与底面 夹角的正切值为
D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为7553．已知一圆锥的底面半径为 ，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两
个端点，则下列说法正确的是（ ）
A．其侧面展开图是圆心角为 的扇形
B．该圆锥的体积为π
C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2
54．已知正方体 的棱长为2，棱 的中点为 ，过点 作正方体的截面
，且 ，若点 在截面 内运动（包含边界），则（ ）
A．当 最大时， 与 所成的角为
B．三棱锥 的体积为定值
C．若 ，则点 的轨迹长度为
D．若 平面 ，则 的最小值为
55．已知正方体 的棱长为3，点 是线段 上靠近 点的三等分点，
是 中点，则（ ）
A．该正方体外接球的表面积为
B．直线 与 所成角的余弦值为
C．平面 截正方体所得截面为等腰梯形
D．点 到平面 的距离为
试卷第20页，共3页56．如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，
为底面 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 为 的中点时，
B．若 在线段 上运动，三棱锥 的体积为定值
C．存在点 ，使得平面 截正方体所得的截面面积为
D．当 为 的中点时，三棱锥 的外接球表面积为
57．在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，则（ ）
A．
B． 平面
C．平面 截正方体 所得截面面积为
D．四棱锥 与四棱锥 的体积相等
58．在三棱锥 中，已知 ，棱AC，BC，AD的中点分别是E，F，G，
，则（ ）
A．过点 的平面截三棱锥所得截面是菱形
B．平面 平面
C．异面直线 互相垂直D．三棱锥 外接球的半径为
59．与那些英雄们的墓志铭相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅．他们的墓碑上
往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执着追求和闪光的
业绩．古希腊数学家阿基米德就是这样，他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球．
这个球的直径恰与圆柱的高相等．这个称为“等边圆柱”的图形如图所示，记内切球的球
心为 ，圆柱上、下底面的圆心分别为 ， ，四边形 是圆柱的一个轴截面，
为底面圆 的一条直径，若圆柱的高为4，则（ ）
A．内切球的表面积与圆柱的表面积之比为2：3
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为4：3
C．四面体 的体积的最大值为
D．平面 截得球 的截面面积的取值范围为
60．如图，透明塑料制成的直三棱柱容器 内灌进一些水， ，
，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（ ）
试卷第22页，共3页A．当底面 水平放置后，固定容器底面一边 于水平地面上，将容器绕着
转动，则没有水的部分一定是棱柱
B．转动容器，当平面 水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是
所在棱的中点
C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥
D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为
