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难点特训（四）选填压轴50道
1．如图，点E是正方形 外一点，连接 和 ，过点A作 垂线交
于点P．若 ．下列结论：① ；② ；③点B
到直线 的距高为 ；④ ．则正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需证明∠EAB＝∠PAD即可用SAS说明
△APD≌△AEB；
②易知∠AEB＝∠APD＝135°，则∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以
EB⊥ED；
③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值为 ，根据垂线段最短可知B到直线AE的
距离小于 ；则③错误；
④要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在△AEB中，
∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝ ，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点，在
Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAB+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正确；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝ ，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝ ．
∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为 是错误的，
所以③错误；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝ ，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝ AE＝ ．
所以BH＝ ．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB2＝（ ）2+（ ）2＝ ，
所以S ＝ ．
正方形ABCD
所以④正确．
所以只有①和②、④的结论正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要会分离图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决．
2．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直
线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接
CM．则下列结论，其中正确的是（ ）
∠1＝∠2；
①∠3＝∠4；
②
GD＝ CM；
③
若AG＝1，GD＝2，则BM＝ ．
④
A． B． C． D．
【答①案②】A③④ ①② ③④ ①②④
【分析】①正确．如图1中，过点B作BK⊥GH于K．想办法证明Rt BHK≌Rt BHC
（HL）可得结论． △ △
②正确．分别证明∠GBH=45°，∠4=45°即可解决问题．
③正确．如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．首先证明MG=MD，再证
明 BTM≌△MWG（AAS），推出MT=WG可得结论．
④△正确．求出BT=2，TM=1，利用勾股定理即可判断．
【详解】解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K．
∵B，G关于EF对称，
∴EB＝EG，
∴∠EBG＝∠EGB，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴∠AGB＝∠EBG，
∴∠AGB＝∠BGK，
∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，
∴△BAG≌△BKG（AAS），
∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，
∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），
∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故 正确，
①
∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝ ∠ABC＝45°，
过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．
∵∠1＝∠2，
∴MQ＝MP，
∵∠MEQ＝∠MER，
∴MQ＝MR，
∴MP＝MR，
∴∠4＝∠MCP＝ ∠BCD＝45°，
∴∠GBH＝∠4，故 正确，
如图2中，过点M作②MW⊥AD于W，交BC于T．
∵B，G关于EF对称，
∴BM＝MG，
∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，
∴△MCB≌△MCD（SAS），
∴BM＝DM，
∴MG＝MD，∵MW⊥DG，
∴WG＝WD，
∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，
∴∠BMT+∠GMW＝90°，
∵∠GMW+∠MGW＝90°，
∴∠BMT＝∠MGW，
∵MB＝MG，
∴△BTM≌△MWG（AAS），
∴MT＝WG，
∵MC＝ TM，DG＝2WG，
∴DG＝ CM，故 正确，
③
∵AG＝1，DG＝2，
∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，
∴BM＝ ，故 正确，
④
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，
等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等
三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．如图，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形
，连接 、 、 ．给出下列结论：
① ；
②
③
④ 其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C【分析】利用SAS证明△AGB≌△ACE，即可判断①；
证明∠BNM=∠MAE=90 ，即可判断②；
假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得 = ，而 与 不一定相等，即可
判断③；
利用勾股定理证得 ，从而证得结论④成立．
【详解】解：∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴AC=AG，AB=AE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△AGB和△ACE中，
∵ ，
∴△AGB≌△ACE(SAS)，
∴GB=CE，故①正确；
设BA、CE相交于点M，
∵△AGB≌△ACE，
∴∠GBA=∠CEA，
又∵∠BMN=∠EMA，
∴∠BNM=∠MAE=90 ，
∴ ，故②正确；
设正方形 和正方形 的边长分别为 和 ,
∵ 为直角三角形，且 为斜边，
∴ ，
假设 成立，
则有 ，
整理得： ，即 ，∴ ，即 ，
∵ 与 不一定相等，
∴假设不成立，故③不正确；
连接CG，BE，设BG、CE相交于N，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ， ，
∴ ，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性
质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
4．如图，已知AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝45°，AD⊥BD，BD＝2，CD＝3 ，
则AB长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】过C作CM⊥AD于M，CN⊥BD交延长线于N，设AC=BC=x，则AB= x，
求出MC=MD=CN=DN=3，根据S ABC+S BDC=S ACD+S ABD，证得AD= ，
△ △ △ △在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，列得（ x）2=（ ）2+22，求出x即可．
【详解】解：过C作CM⊥AD于M，CN⊥BD交延长线于N，
设AC=BC=x，则AB= x，
∵∠ADC＝45°，AD⊥BD，
∴∠CDN=∠ADC＝45°，
∴MC=MD=CN=DN=3，
∵S ABC+S BDC=S ACD+S ABD，
△ △ △ △
∴
解得AD= ，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
∴（ x）2=（ ）2+22，
解得x= （负值舍去），
∴AB= x=2 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确引出辅助线及掌握勾股
定理是解题的关键．
5．已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，
AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形
BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S = ．其中正确的是（ ）
BFG
△A．①②③④ B．①② C．①③ D．①②④
【答案】D
【详解】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF
故①正确；
②由①知四边形DEBF为平行四边形，
∵AD⊥BD E为边AB的中点，
∴DE=BE=AE，
∴四边形BEDF是菱形
故②正确；
③∵AG∥DB AD∥BG AD⊥BD，
∴AGBD为矩形，
∴AD=BG=BC，要使FG⊥AB，
则BF=BC=BG，不能证明BF=BC，
即FG⊥AB不恒成立，
故③不正确；
④由③知BC=BG，
∴S BFG= ．
△
∵F为CD中点，
∴S FCG= S ABCD，
平行四边形
△
∴S BFG= ，
△
故④正确．
故选择D．
6．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 为平面直
角坐标系内一点， ， ，则 的值为（ ）
A．14 B． C． 或14 D． 或【答案】D
【分析】分当点C在x轴上方和点C在x轴下方两种情况，画出图形求解即可．
【详解】解：当点C在x轴上方时，如图1所示，作CD⊥x轴，
∵A点的坐标为（0，5），B的坐标为（-2，0），
∴OA=5，OB=2，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在 ABO和 BCD中，
△ △
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=OA=5，CD=OB=2，
∴C点坐标为（-7，2），
∴ab=-7×2=-14；
当点C在x轴下方时，如图2所示，作CE⊥x轴，
与（1）证明方法一样可证得 ABO≌△BCE（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=3， △
∴OE=5-2=3，
∴C点坐标为（3，-2），
∴ab=3×（-2）=-6．
故选：D．
图1 图2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了分类讨论的思想、坐标与图形性质等知识．
7．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且
▱
∠ADC=60°，AB= BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；
③OB=AB；④OE= BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据
AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB= BC，
得到AE= BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于
AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB= BC，OB= BD，且BD＞
BC，得到AB＜OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE= AB，于是得到
OE= BC，故④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB= BC，
∴AE= BC，
∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB= BC，OB= BD，且BD＞BC，
∴AB＜OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE= AB，
∴OE= BC，故④正确．
故选C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定
与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
8．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，
且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（
）
① ；②与 EGD全等的三角形共有2个；③S ODEG＝S ABOG；④
四边形 四边形
由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【分析】①由AAS证明 ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是 ACD的中位线，
△ △
得出OG＝ CD＝ AB，①正确；
②先证四边形ABDE是平行四边形，再证 ABD、 BCD是等边三角形，得AB＝BD＝
AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱△形，④正△确；
③由菱形的性质得 ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明 BGA≌△COD，得
AOB≌△COB≌△CO△D≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②△不正确；
△由中线的性质和菱形的性质可得S BOG＝S DOG，S ABG＝S DGE，可得四边形
ODEG与四边形OBAG面积相等，△得出③正确△． △ △
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG， ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE， △
∴AB＝DE，
在 ABG和 DEG中，
△ △
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是 ACD的中位线，
△
∴OG＝ CD＝ AB，故①正确；
连接AE，
∵AB CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、 BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝△AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得： BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在 BGA和 COD△中，
△ △，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S BOG＝S DOG，
∵四△边形ABD△E是菱形，
∴S ABG＝S DGE，
∴四△边形OD△EG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判
定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟
练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
9．如图所示，正方形ABCD的面积为12， 是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，对角线AC上有一点P，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时
PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，
可求出AB的长，从而得出结果．
【详解】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2 ．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2 ．
故所求最小值为2 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充
分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置
即可．
10．如图，在菱形 中， ， ，点 是线段 上一动点，
点 是线段 上一动点，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用
勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即
为PE+PF的最小值． △
【详解】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴Rt BHC中，BH=CH= ，
△
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt BHG中，BG= ，
△
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是 ．
故选：D．
【点睛】本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是
涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对
称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段
的垂直平分线．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分别以AB，AC，BC为边向
△ABC外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF．直线ED，HI交于点J，过点
F作KF // HI，交DE于点K，过点G作GM // DE，与HI，KF分别交于点M，L. 则
四边形KLMJ的面积为（ ）
A．90 B．100 C．110 D．120【答案】C
【分析】先由勾股定理得出 ，在由正方形的性质推出四边形KLMJ， DGIA都
是矩形，再由矩形的性质得出 ，延长AC至O，则CO⊥ML，可
证 ，继而得出四边形COMH是矩形，可得 ，同理
可得，四边形EKQB是矩形， ，即可求解四边形KLMJ的面积．
【详解】
在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4
由勾股△定理可得
四边形ABED， ACHI， BCGF都是正方形
四边形的四个角都是90°，四条边平行且相等
四边形KLMJ， DGIA都是矩形
延长AC至O，则CO⊥ML
四边形COMH是矩形同理可得，四边形EKQB是矩形
四边形KLMJ的面积
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判
定和性质等，熟练运用知识点是解题的关键．
12．如图，矩形ABCD的周长为1，连接矩形ABCD四条边中点得到四边形ABC D，
1 1 1 1
再连接四边形ABC D 四条边中点得到四边形ABC D，如此继续下去…，则四边形
1 1 1 1 2 2 2 2
A B C D 的周长为（ ）
10 10 10 10
A．（ ）5 B．（ ）10 C．（ ）5 D．（ ）10
【答案】A
【分析】根据矩形ABCD的周长，四边形ABC D 的周长、四边形ABC D 的周长，
2 2 2 2 4 4 4 4
找到规律即可解题．
【详解】解：顺次连接四边形ABC D 四边的中点得到四边形ABC D，
1 1 1 1 2 2 2 2
连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABC D 是矩形ABCD的中点四边形，
1 1 1 1
∴AB 的中点A 在AC上，AD 的中点D 在BD上，
1 1 2 1 1 2
∴AD= AD，
2 2
同理AB= AB，BC = BC，C D= CD，
2 2 2 2 2 2∴四边形ABC D 的周长为四边形ABCD周长的一半，即为矩形ABCD周长的 ，
2 2 2 2
同理：四边形ABC D 的周长为四边形ABC D 周长的一半，即为矩形ABCD周长的
4 4 4 4 2 2 2 2
，
……，
∴四边形A B C D 周长为矩形ABCD周长的 ，
10 10 10 10
故选：A ．
【点睛】本题考查了中点四边形以及矩形的性质，找到连接矩形、菱形中点所得的中
点四边形的周长为原四边形周长的一半是解题的关键．
13．已知三角形的边长分别是5、7、8，则这个三角形的面积是（ ）
A．9 B． C．10 D．
【答案】D
【分析】画出三角形的边长分别是 作CD⊥AB于D，先由勾股
定理计算出CD的长度，再根据面积公式计算即可．
【详解】如图： 作CD⊥AB于D，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∴△ABC的面积＝ ．
故选：D【点睛】此题考查了勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．如图，正方形 中， 为 上一点，线段 的垂直平分线 交 于 ，
为垂足，交正方形的两边于 、 ，连接 ，则下列结论：① ；②
；③ ；④ ，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】①过N作 ，则 ，先证明△BSN是等腰直角三角形，得出
，再由 ，证明 ，得出 ，证出
，即可得出 ；
② ， 是等腰直角三角形， ，即可得出
；
③假设 成立，证明 ，得出 ，可判断③不一定成
立；
④过P作 的平行线交 于K，证出 ， ，即可得出结论．
【详解】解：①正确；过N作 分别交 、 于S、T，则 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵线段 的垂直平分线 交 于点N，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
由①得： ， 是等腰直角三角形， ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
若 ，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，显然不一定成立，故③错误；
过P作 的平行线交 于K，
∴ ．
∵ 垂直平 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点G，作 于点H，
则 ，
由①得： ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性
质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅
助线证明三角形全等．
15．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，
AF⊥CF，垂足为F．下列结论：①∠ACF＝45°；②四边形ABCD的面积等于 AC2；
③CE＝2AF；④S BCD＝S ABF+S ADE；其中正确的是（ ）
△ △ △
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】证明 ≌ ，得出 ， 正确；由
，得出 ， 正确；
证出 ， ， 正确；由 ，不能确
定 ， 不正确；即可得出答案．
【详解】解：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE＝45°，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACF＝∠E＝45°，①正确；
∵S ABCD＝S ABC+S ACD，
四边形
△ △
∴S ABCD＝S ADE+S ACD＝S ACE＝ AC2，②正确；
四边形
△ △ △
∵△ABC≌△ADE，
∠ACB＝∠AEC＝45°，
∵∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴AC平分∠ECF，
过点A作AG⊥CG，垂足为点G，如图所示：
∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，
∴AF＝AG，
又∵AC＝AE，
∴∠CAG＝∠EAG＝45°，
∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴CG＝AG＝GE，
∴CE＝2AG，
∴CE＝2AF，③正确；
∵S ABF+S ADE＝S ABF+S ABC＝S ACF，
△ △ △ △ △
不能确定S ACF＝S BCD，④不正确；
△ △
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
16．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在
平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的
长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，证明
△BRM≌△HEM(AAS)，推出RM=EM，BR=EH=2，同理可得△APN≌△FEN，推出
PN=EN，AP=EF=2，勾股定理求出PR，根据三角形中位线的定义及性质求出MN．
【详解】解：如图，连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，
∵正方形EFGH在正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，
∴BC EH，
∴∠RBM=∠EHM，∠BRM=∠HEM，
∵BM=MH，
∴△BRM≌△HEM(AAS)，
∴RM=EM，BR=EH=2，
∵EF AB，
同理可得△APN≌△FEN，
∴PN=EN，AP=EF=2，
∴BP=AB-AP=6-2=4，在Rt△BPR中，BP2+BR2=PR2，
∴42+22=PR2，
∴PR=2 ，
∵RM=EM，PN=EN，
∴MN是△PRE的中位线，
∴MN= PR= ，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形及平移的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三
角形中位线的定义和性质，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键．
17．如图，在矩形 中， ，E为 的中点，将 沿着 对折
后得到 ，延长 交 于点F，连接 并延长交 于点H，连接 ，若
，则下列说法：① ；②四边形 是平行四边形；③
，其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由E是BC的中点， 沿 折叠后得到 ，利用 证明
，可得 ，判断①正确；根据 ，
，可得 ，可判断②正确，设 ，在
中，根据勾股定理，列出方程，即可求出 的值，即可可判断③．
【详解】解: 在矩形 中，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵由折叠可知： ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中∴
∴
∴
∴ ，故①正确；
∵
∴ ,
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴四边形 是平行四边形, 故②正确；
设 则 ，
在 中:
∴
∴
∴ , 故③正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形中的翻折的问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应
用、等腰三角形性质等知识，解题的关键是熟练掌握翻折、勾股定理等知识．
18．如图，在 中， ， 为 边上的高， 为 边的中点，点 在
边上， ，若 ， ，则 边的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作AB的中点M，连接ME，过F点作 ，首先证得 是等边三
角形，再证明 ，从而得到 ，利用勾股定理求得DF的长度，从
而得到DE的长度，再根据在 中E是中点，从而计算出BC的长度．
【详解】如下图所示，作AB的中点M，连接ME，过F点作 ，垂足为N
在 中，M是中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵M、E为中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中，E是中点，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考虑直角三角形、等边三角形、全等三角形的性质，解题的关键是熟练
掌握直角三角形、等边三角形、全等三角形的相关知识．
19．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延
长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝ ，则下列结论：①∠CBE
＝15°； ②AE＝ ；③S DEC＝ ；④CE+DE＝EF．正确的是（ ）
△
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】用正方形的性质BC=CD，∠BCE=∠DCE= ，结合CE共用，推出
CBE≌△CDE，得到∠CBE= ∠CDE= ，判断①正确；
△
过D作DM⊥AC于M，根据AD＝CD＝ ，∠ADC= ，得到∠ADM=∠CDM=
∠ADC= ，AM=CM=DM= AC，推出AC= AD=2 ，得到AM＝DM＝ ，∠EDM=∠CDM-∠CDE= ，推出ME＝ DM＝ × ＝1，得到AE＝ +1，判定
②正确；
结果CM=DM＝ ，EM＝1，推出CE＝CM﹣EM＝ ﹣1，得到S DEC＝ ×（
△
﹣1）× ＝ ，判定③错误；
在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，根据BC＝CF，得到∠CBE＝∠F=∠CDE＝
，根据∠CEG＝∠CBE+∠BCE= 推出 CEG是等边三角形，得到∠CGE＝ ，
△
CE＝GC，推出∠GCF＝∠CGE-∠F= ，得到∠ECD＝GCF，根据CD=CE，推出
DEC≌△FGC，得到DE＝GF，根据EF＝EG+GF，推出EF＝CE+DE，判定④正确．
△【详解】①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝ ．
在 BCE和 DCE中，
△ △
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE＝ ，故①正确；
②过D作DM⊥AC于M，
∵AD=CD，
∴∠ADM=∠CDM= ∠ADC= ，AM=CM= AC，
∵∠ADC= ，
∴DM= AC，
∴∠EDM=∠CDM-∠CDE= ，
∵AD＝CD＝ ，∴AC= AD=2 ，
∴AM＝DM＝ ，
∴ME＝ DM＝ × ＝1，
∴AE＝ +1，故②正确；
③∵CM=DM＝ ，EM＝1，
∴CE＝CM﹣EM＝ ﹣1，
∴S DEC＝ ×（ ﹣1）× ＝ ，故③错误；
△
④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝ ．
∴∠CEG＝ ．
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝ ，CE＝GC，
∴∠GCF＝∠CGE-∠F= ，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+DE，故④正确．
故正确的是①②④．故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，
勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握这
些判定和性质是解此题的关键．
20．如图，在矩形 中， 为 的中点， 过 点且 分别交 于
交 于 ，点 是 的中点，且 ，OE=1，则下列结论：① ；
② ；③四边形 为菱形；④ ．其中正确的个数为（
）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【分析】根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC △EOA，设BC=a，
AC=2a，AO=OC=a，然后在直角三角形ABC，直角三角形AOE中利用勾股定理求出
AB、AE等的长再逐一进行判断即可得．
【详解】解：∵EF⊥AC，G是AE的中点，
∴AG=OG=GE，
∴∠OAE=∠AOG=30°，
在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC= AC=OC，
设BC=a，AC=2a，AO=OC=a，
∴ ，
在直角△AOE中，∠EAO=30°，∴AE=2OE，
∴ ，即
∴OE= ，AE= ，
∴OG= ，
∴CD=AB=3OG，故①正确；
OG= ≠ a= BC，故②错误；
连接AF、CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB CD，
∴∠DCA=∠BAC，
在△FOC与△EOA中，
，
∴△FOC △EOA，
∴OE=OF，
又∵AO=OC，EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形，故③正确；
∵ = ， =a• a= a2，
∴ = ，故④正确，
综上所述，结论正确的是①③④，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及菱形的判定的性质，正确理解图形中∠CAB=30°，从而确定BC、AB以及OA、OC之间的关系是关键．
21．已知 、 是两个连续自然数 ，且 ，设 ，则下列
对 的表述中正确的是（ ）
A．总是偶数 B．总是奇数
C．总是无理数 D．有时是有理数，有时是无理数
【答案】B
【分析】由题意可知， ， ，代入 ，根据非负数的算
术平方根求解即可．
【详解】由题意可知， ， ，
而 ,
则 ，
由于 是自然数，所以 是奇数，
故选B
【点睛】本题考查了一个非负数的算术平方根，根据题意将 ， 代入是解
题的关键．
22．如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，m 为半径
作弧，两弧交于点 D，连接 BD，CD．若 BD 的长为 ，则 CD 的最大值为( )
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，由题意知， 是 的垂直平分线，交 于 ， 在 上，
， ， ，由 ，可知 ， ，
分别在 和 中，用勾股定理求解 与 的值，比较后取最大值即
可．
【详解】解：如图，由题意知， 是 的垂直平分线，交 于 ， 在 上，∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ 的最大值为 ，
故选B．
【点睛】本题考查了垂直平分线，等边三角形的性质，含30°的直角三角形，勾股定理
等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，Q是BC的中点，则PC+ PQ的
最小值是（ ）
A．6 B．3 C．3 D．6
【答案】B
【分析】连接AQ， AC，AP，由菱形的对称轴可知， ，从而当点 、 、三点共线时，PC+ PQ最小，根据题意可得△ABC是等边三角形，然后在Rt△ABQ
中，由勾股定理，求出 即可．
【详解】解：如图，连接AQ， AC，AP，
由菱形的对称轴可知， ，
∴ ，
即当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小，
∵∠ABD＝30°，四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵点Q为BC的中点，
∴AQ⊥BC，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB＝BC＝6，
∵Q是BC的中点，
∴ ，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：
，
即PC+ PQ的最小值是 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，菱形的性质和等边三角形的判定
和性质，理解题意，当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小是解题的关键．
24．如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、
▱
BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2 ；③30°＜∠BOE＜45°；④S AOP＝ ．其中正确的个数是（ ）
△
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，即可得到E为
BC中点，再根据中位线定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根据三角形中位线定
理得：OE＝ AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；
③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点P分别作PM⊥AB于M，
PN⊥AD于N可以得到 即可求得 ，由此求出 即
可得出结论．
【详解】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2
∴E为BC的中点
∴OE为△ABC的中位线
∴OE= AB=1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正确
Rt△EOC中，OC＝ ，
在Rt△OCD中，OD＝
BD＝2OD＝2
故②正确
在Rt△AOE中，∵AE是斜边
∴AE＞AO
∴AB＞AO
∴∠AOB＞∠ABO
∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=
∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE＞30°
∴③正确
过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N
∴PM=PN（角平分线的性质）
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC= ，
∴
∴④正确
综上，正确的个数是4个
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性
质、三角形面积，角平分线的性质，三角形中位线定理，大角对大边等知识；熟练掌
握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
25．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，点M，N分别为线段
BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中
点，则EF长度的最大值为___．
【答案】2
【分析】连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EF
＝ DN，要使EF长度最大则需DN长度最大，然后结合图形解答即可．
【详解】解：连接DN、DB，如图所示，
在 中，∠A＝90°，AB＝ ，AD＝2，
∴ ，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝ DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中位线，熟练掌握勾股定理及中位线的性质
是解题的关键．
26．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线l上，且
， ，给出下列结论：① ，② ，③△COF的面积
，④ ，其中正确的是______．
【答案】①③##③①
【分析】由正方形的性质得出 OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝
△
∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，得出OE＝ EF＝4，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，①
正确，求出AE＝OA+OE＝6+4＝10，②错误；作FG⊥CO交CO延长线于G，连接DF
交OE于M，作DH⊥AB于H，则OG＝FG＝OM＝ OE＝2，AH＝DM＝ DF＝ OE
＝2，DH＝AM＝OA+OM＝8，得出S COF＝ ×6×2＝6，③正确；由勾股定理得出
△
CF＝2 ，BD＝4 ，CF≠BD，④不正确；即可得出结论．
【详解】解：∵正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF
＝2 ，AB＝6，
∴△OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，
∴ ，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，
∴ OE＝ EF＝4，
故①正确，∴AE＝OA+OE＝6+4＝10，
故②错误；
作FG⊥CO交CO延长线于G，连接DF交OE于M，作DH⊥AB于H，如图所示：
则∠ FMO＝∠MOG＝∠ G＝90°，∠AHD＝∠OAH＝∠DMO＝90°，
∴四边形MFGO是矩形，四边形AHDM是矩形，
∵∠MOF＝45°，
∴△MOF是等腰直角三角形，
∴MO＝MF，
∴四边形MFGO是正方形，
∴OG＝FG＝OM＝ OE＝2，AH＝DM＝ DF＝ OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝6+2
＝8，
∴S COF＝ ×CO×FG＝6，
△
故③正确；
∵CG＝OC+OG＝6+2＝8，
∴CF＝ ，
∵BH＝AB﹣AH＝4，
∴BD＝ ，
∴CF≠BD，
故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】此题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判
定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形
的性质是解题的关键．
27．如图，在边长为 的菱形 中， ， 是 边的中点， 是 边
上一动点，将 沿 所在的直线翻折得到 ，连接 ，则 长度的
最小值是______．【答案】 ##
【分析】根据题意，在 的运动过程中 在以 为圆心、 为直径的圆上的弧
上运动，当 取最小值时，由两点之间线段最短知此时 、 、 三点共线，得
出 的位置，进而利用锐角三角函数关系求出 的长即可．
【详解】解：如图所示：过点 作 ，交 的延长线于点 ，
是定值， 长度取最小值时，
在 上时，
在边长为 的菱形 中， ， 为 中点，
， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，找到
当点 在 上， 的长度最小是本题的关键．
28．如图，分别以Rt ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边 ACD和 ABE，F
为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则以下4个结论：
①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④ S BCDE＝
四边形
1：7，中正确的是_____．【答案】①②④
【分析】由平行四边形的判定定理判断②，再由平行四边形的性质和平行线的性质判
断①，然后由三角形的三边关系判断③，最后由等边三角形的性质分别求出△ACD、
△ACB、△ABE的面积，计算即可判断④．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC=60°，AC= AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，AC=CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF= AB，
∴BF∥CD，BF=CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，故②正确；
∴DF∥BC，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA=CA，DF=BC，AB=BE，BC+AC>AB，
∴DA+DF>BE，故③错误；
设AC=x，则AB=2x，
∴ ，
∴ ，故④正确；
故答案为：①②④．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，三角形三边关系，
正确理解等边三角形的性质是解题的关键．
29．如图，在长方形 中， ， ， 、 分别是 、 的中
点，则 到 的距离是______ ．
【答案】
【分析】作 于 ，此时EG即为则E到DF的距离，根据矩形的性质和勾股
定理进行解答即可．
【详解】 四边形 是矩形，
， ， ，
、 分别是 、 的中点，
， ，
，
的面积 矩形 的面积 的面积 的面积 的面积
，
作 于 ，如图所示：
则 的面积 ，
，
即 到 的距离是 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了点到直线的距离问题，运用了矩形的性质和勾股定理，解决本题
的关键是正确的作出辅助线．
30．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形
，对角线 交于点 ．若 ，则 __________．
【答案】20
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到
AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴ AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定
理.
31．如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，过点 作
，交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ．则 的值为______．【答案】
【分析】依据矩形的性质即可得到 的面积为12，再根 ，即
可到 的值．
【详解】解：∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面积为48，
，
∴AO=DO= =5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即12= ，
∴12 ，
∴ ，
∴
故答案： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角，矩形的
对角线相等且互相平分．
32．如图，在 中， ， ，E，F分别为CA，CB上的点，
，M，N分别为AF，BE的中点，若 ，则MN＝______．【答案】
【分析】取AB的中点D，连接MD、ND，如图，先判断DM为 ABF的中位线，DN
△
为 ABE的中位线得到DM= BF=2，DM∥BF，DN= AE=2，再证明AE⊥BF，则
△
DM⊥DN，然后根据 DMN为等腰直角三角形确定MN的长．
【详解】解：取AB的△中点D，连接MD、ND，如图，AE=1，
∵CA=CB，CE=CF，
∴BF=AE=1，
∵点M、N分别为AF、BE的中点，
∴DM为 ABF的中位线，DN为 ABE的中位线，
△ △
∴DM= BF= ，DM∥BF，DN= AE= ，DN∥AE，
∵AE⊥BF，
∴DM⊥DN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴MN= DM= ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第
三边的一半．也考查了等腰直角三角形的性质．33．如图，正方形 中， 为 上一动点（不含 、 ，连接 交 于 ，
过 作 交 于 ，过 作 于 ，连接 ， ．下列结论：①
；② ；③ 平分 ；④ ，正确的是__（填序
号）．
【答案】①②④
【分析】连接 ，延长 交 于点 ．可证 ，进而可得
，由此可得出 ；再由 ，即可得出 ；连
接 交 于点 ，则 ，证明 ，即可得出 ，进而可
得 ；过点 作 于点 ，交 于点 ，由于 是动点， 的长
度不确定，而 是定值，即可得出 不一定平分 ．
【详解】解：如图，连接 ，延长 交 于点 ．
∵ 为正方形 的对角线
∴ ，
在 和 中
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴∵ ，
∴
∴
∴
故①正确；
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形
∴
故②正确；
连接 交 于点 ，则
∵
∴
在 和 中
∴
∴
∴
故④正确．
过点 作 于点 ，交 于点 ， 是动点
∵ 的长度不确定，而 是定值
∴ 不一定等于
不一定平分
故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等
腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全
等三角形是解题关键．
34．如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP
为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动
的路径长为______．【答案】
【分析】连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．
根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质可确定AB=PT，PB=ET，根据线段
的和差关系和等边对等角确定∠TCE=45°，根据平行线的判定定理可确定 ，
根据正方形的性质和三角形的中位线定理可确定 ，进而可确定点M的运动
轨迹是OD，最后根据正方形的性质和勾股定理即可求出OD的长度．
【详解】解：如下图所示，连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交
BC的延长线于T．
∵△APE是等腰直角三角形，
．
∴∠APB+∠TPE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，ET⊥BC，
∴∠ABP=90°，∠PTE=90°．
∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°．
∴∠BAP=∠TPE．
．
．
∵四边形ABCD是正方形，
．
．
∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT．
．
∴∠TEC=∠TCE=45°．∵正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴O是AC的中点，∠DBC=45°．
∴∠DBC=∠TCE．
．
∵M是AE的中点，
∴OM是△ACE的中位线．
∴ ．
∴点M在直线OD上．
∵点P在BC边上移动，
∴点M的运动轨迹是OD．
∵正方形ABCD的边长是6，且AC，BD相交于点O，
∴AB=6，AD=6，O是BD的中点．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，
平行线的判定定理，勾股定理，正确确定点M的运动轨迹是解题关键．
35．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将线段 绕点 按顺时
针方向旋转 ，再将其长度伸长为 的 倍，得到线段 ；又将线段 绕 点
按顺时针方向旋转 ，长度伸长为 的 倍，得到线段 ；如此下去，得到线段
， ， ， 为正整数 ，则点 的坐标是______ ．【答案】
【分析】根据题意得出 ， ， ，如此下去，得到线段 ，
， ，再利用旋转角度得出点 的坐标与点 的坐标在同一
直线上，进而得出答案．
【详解】解： 点 的坐标为 ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 ，
再将其长度伸长为 的 倍，得到线段 ；
， ，
，如此下去，得到线段 ， ，
，
由题意可得出线段每旋转 次旋转一周，
，
点 的坐标与点 的坐标在同一直线上，正好在 轴的负半轴上，
点 的坐标是 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点 的坐标与点 的坐标在
同一直线上是解题关键．
36．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC上两点，若∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，则 的值_______．
【答案】
【分析】先由AB＝AC，∠BAC＝90°，得∠B＝∠ACB＝45°，将△ABD绕点A逆时针
90°，得到△ACF，连接EF，则AF＝AD，CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，再证明
△FAE≌△DAE，得∠AEF＝∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝75°，则∠CEF＝180°﹣
∠AED﹣∠AEF＝30°，而∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，所以EF＝2CF，由勾股定理得
CE CF，则 ．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝75°，
将△ABD绕点A逆时针90°，得到△ACF，连接EF，则AF＝AD，CF＝BD，∠CAF＝
∠BAD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠CAF+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AED＝75°，
∴∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEF＝30°，
∴EF＝2CF，∴CE CF，
∴ ，
∴ 的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、
勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
37．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边BC的中点，连接AE，若将
△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，则CF＝________．
【答案】 ## ##3.6
【分析】连接BF，由四边形ABCD是矩形，得BC＝AD＝6，∠ABE＝90°，而E是边
BC的中点，则EB＝EC BC＝3，所以AE 5，由折叠得AF＝AB＝
4，EF＝EB，EF＝EB＝EC，可证明∠BFC＝∠EFB＋∠EFC＝90°，由S AFE＝
△
S ABE 4×3＝6得S ABEF＝12，则 5BF＝12，得BF ，再根据勾股定
四边形
△
理求出CF的长即可．
【详解】解：如图，连接BF，∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠ABE＝90°，
∵E是边BC的中点，∴EB＝EC BC＝3，
∴AE 5，
由折叠得AF＝AB＝4，EF＝EB，
∴EF＝EB＝EC，
∴∠EFB＝∠EBF，∠EFC＝∠ECF，
∴2∠EFB+2∠EFC＝180°，
∴∠BFC＝∠EFB＋∠EFC＝90°，
∵S AFE＝S ABE 4×3＝6，
△ △
∴S ABEF＝6＋6＝12，
四边形
∵AE垂直平分BF，
∴S ABEF AE•BF＝12，
四边形
∴ 5BF＝12，
∴BF ，
∴CF ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、根据
面积等式列方程求线段长度等知识与方法，证明∠BFC＝90°是解题的关键．
38．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，DE平分∠ADC，点P在DE上，则
AP+PB的最小值是 _____．【答案】
【分析】延长 至 ，使 ，则 ， ，即 的
最小值是 ．
【详解】解：延长 至 ，使 ，
则 ，
平分 ，
，
，
，
，
即 的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称 最小值问题，解题的关键是熟练运用轴对称的性质、角
平分线的性质．
39．已知，如图：一张矩形纸片 ， ， ， 为 边上一动点，将
矩形沿 折叠，要使点 落在 上，则折痕 的长度是________；若点 落在
上，则折痕 与 的位置关系是__________.若翻折后 点的对应点是 点，连接
，则在点 运动的过程中， 的最小值是______.【答案】 垂直 4
【分析】由折叠的性质和矩形的性质得出四边形 是正方形，然后利用勾股定理
即可求BE的长度；由折叠的性质即可得出若点 落在 上，则折痕 与 的位置
关系；分析得出当 在BD上时， 的长度最小，然后利用 即可求解．
【详解】如图，
由折叠的性质可知， ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
，
；
若点 落在 上，根据折叠的性质可知，BE垂直平分 ，所以折痕 与 的位
置关系是垂直；
如图，当 在BD上时， 的长度最小，，
．
，
，
∴ 的最小值是4．
故答案为： ，垂直，4．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，掌握矩形的性质，折叠
的性质和勾股定理是解题的关键．
40．如图，把一个矩形 剪成①②③④四个部分能够重新拼成一个正方形，已知
，则 的长为__________．
【答案】10
【分析】根据图形可得 ， ， ，可证明
，得出AE＝4，继续证明到四边形EGCF是平行四边形，得到
EF＝CG，由正方形得 ，即可得到 ．
【详解】
解：如图，由矩形ABCD得： ， ， ，， ，
由正方形得： ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴AE＝4，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∴EF＝CG，
由正方形得 ，
∴ ，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角
形的判定与性质，掌握相关知识点，理清图形变化前后的关系是解题的关键．
41．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，
∠EAF=45°，BE=3，CF=4，则正方形的边长为__________．
【答案】6
【分析】延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，证明△ABG≌△ADF，
△AEG≌△AEF，设正方形边长为x，在Rt△CEF中应用勾股定理进行求解．
【详解】如图，延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，在△ABG和△ADF中， ，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠GAB＝∠GAE＝45°，
∴∠EAF＝∠GAE，
在△AEG和△AEF中， ，
∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴GE＝EF，
设正方形边长为x，则BG＝DF＝x－4，GE＝EF＝x－1，CE＝x－3，
在Rt△CEF中， ，
解得， ，
∴正方形的边长为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，巧作辅助线，
构造全等三角形是解题的关键．
42．我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形 的对角线
，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长
度为_________．【答案】
【分析】根据三角形中位线定理可得菱形EFGH，然后根据菱形的性质及等边三角形
的性质可得EH，利用勾股定理求出EN，可得EG．
【详解】解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°，
取四边的中点并连接起来，设AC与EH交于M，HF与EG交于N，
∴EH是三角形ABD的中位线，
∴EH= BD=2，EH∥BD，
同理，FG= BD=2，FG∥BD，EF= AC=2，EF∥AC，HG= AC=2，HG∥AC，
∴EH∥HG∥AC，EF=FG=HG=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵EH= BD=2，EH∥BD，
∴∠AOB=60°=∠AME，
∵FE∥AC，
∴∠FEH=∠AME=60°，
∴∠HEN=∠FEN=30°，
∴HN= EH=1，
∴EN= = ，
∴EG= ，
∴较长的“中对线”长度为 ．
故答案为： ．【点睛】此题考查的是三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定
和性质，掌握其定理是解决此题关键．
43．小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试
后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分
别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为
_____．
【答案】
【分析】如图，作出辅助线，每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方
形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，找出等量关系，列二元
一次方程组解出a、b，再由勾股定理算出原图中的小正方形边长．
【详解】解：如图，作辅助线，发现每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一
个正方形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，由题意，得
，
解得： ，
小正方形的边长为：a2 + b2 ，
故答案为： ．【点睛】此题考查了用勾股定理构造图形解决问题，解题的关键是作出辅助线，找到
等量关系求解．
44．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延
长线于点D，BD＝9，AC＝11.5，则边BC的长为 _____．
【答案】3
【分析】延长BD到F，使得DF＝BD，连接CF，过点C作CH∥AB，BF于点H，则
△BCF是等腰三角形，得出BC＝CF，再证明HF＝CH，EH＝CE，AC＝BH，求出
DH、CH的长，最后由勾股定理求出CD的长与BC的长即可．
【详解】解：延长BD到F，使得DF＝BD，连接CF，如图所示：
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，
过点C作CH∥AB，交BF于点H，
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝CH，
∵EB＝EA，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵CH∥AB，
∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，
∴∠CHE＝∠ECH，
∴EH＝CE，∵EA＝EB，
∴AC＝BH，
∵BD＝9，AC＝11.5，
∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝11.5﹣9＝ ，
∴HF＝CH＝DF﹣DH＝BD﹣DF＝9﹣2.5＝ ，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：
在Rt△BCD中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行的性质和判定，勾股定理的应用，能够在
图中添加适合的辅助线是解决本题的关键．
45．如图，正方形 ， 是对角线 上一动点， ，且 ，连接
， ， ，若 ，则 长度的最小值为______．
【答案】2【分析】过C作 于点 ，根据正方形的性质易得 ，进而
得到 ， ，易得到 是等腰直角三角形，进而求出
，当E运动到 时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时EF最小值为
，求出 即可求解．
【详解】解：过C作 于点 ，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴当CE最小时，EF最小，
∴当E运动到 时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时EF最小值为 ．∵ ， ，
∴ ，
∴EF最小值为 ．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰
直角三角形的性质，求出 是解答关键．
46．如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段 的长是_____；
（2）结合图形，判断式子 的最小值是____．
【答案】 5
【分析】（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据题意得出求PA+PB的最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴
交于点P’，此时PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出
结果．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）由题意可得： ，即为求PA+PB的最小值，
作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如
图所示：PA+PB=AB’= ，
即 的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，
理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
47．已知A，C两点坐标分别为 和 ，平行四边形ABCD的一个内角为45°，
点B在 轴上，则点D的坐标为__________．
【答案】(-3，2)#(-5，2)
【分析】本题分两种情况讨论，过点C作CE⊥x轴于点E，在直角 BCE中，∠CBE＝
45°，根据三角函数得到BE＝2，AE＝5，求得CD的长即可． △
【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵A，C两点坐标分别为 和 ，
∴ ， ，
分两种情况进行讨论：
①如图1，当∠DAB＝45°时：
∴∠CBE＝45°，
∵CE＝2，
∴BE＝CEtan45°＝2，
∴ ，
∴点D的坐标为(2-5，2)，即(-3，2)；②如图2，当∠CBA＝45°时：
∵CE＝2，
∴BE＝CEtan45°＝2，
∴ ，
∴点D的坐标为(2-7，2)，即(-5，2)；
∴由①②可知点D的坐标为：(-3，2)或(-5，2)．
故答案为：(-3，2)或(-5，2)
【点睛】本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，分两种情况进行讨论是
正确解决本题的关键．
48．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的
横坐标为 ，则矩形AOBC的面积为___．
【答案】
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x
轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点G，得矩形
ADHF，证明△AFC≌△OEB，根据矩形AOBC的面积＝AO•AC即可求出结论．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作
CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点G，
∴HF＝AD，AF＝HD，
∵点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为 ，
∴OD＝2，AD＝1，CH＝4，OE＝ ，
∴OA＝ ＝ ，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CGO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB （AAS），
∴CF＝BE，AF＝OE＝ ，
∵HF＝AD＝1，HC＝4，
∴CF＝BE＝CH﹣HF＝3，
∴AC＝ ＝ ，
∴矩形AOBC的面积＝AO•AC＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解
决本题的关键是综合运用以上知识．
49．如图，在 中， ， ， ，点 为 上任意一
点，连接 ，以 ， 为邻边作 ，连接 ，则 的最小值为______．【答案】
【分析】由平行四边形的性质可知O是AC中点，EF最短也就是EO最短，故应该过
O作BC的垂线OD，所以点E与点D重合时，OE长度最小．
【详解】解：如图，在 中， ， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
当 最短也就是 最短，则过 作 的垂线 ，垂足为 ，
在 中， ， ，
．
点 与点 重合时， 长度最小，此时 ．
．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质；熟
练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键．
50．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD•DC＝2 ，则AC＝_____．
【答案】 ＋1【分析】作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE＝CE．再利用勾股
定理得到AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，将两式相减整理得出AB2＝AD2＋
BD•DC，进而求出AC．
【详解】解：如图，作AE⊥BC于E，
又∵AB＝AC，
∴BE＝CE．
根据勾股定理得，AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，
两式相减得，AB2﹣AD2＝（AE2＋BE2）﹣（AE2＋DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE＋DE）
（BE﹣DE）＝BD•DC，
∴AB2＝AD2＋BD•DC＝22＋2 ＝4＋2 ，
∴AC＝AB＝ ＝ ＋1.
故答案为： ＋1.
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和
一定等于斜边长的平方．也考查了等腰三角形的性质，准确作出辅助线构造直角三角
形是解题的关键．
