文档内容
21.3.3 正方形（第 1 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习了矩形和菱形后，进一步通过特殊化方法研究既是矩形又是菱形的四边形——正方形
的概念及其性质。
2. 内容分析
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，是平行四边形经角、边双重特殊化得到的图形，
处于四边形知识体系的核心位置，承接矩形、菱形的性质与研究方法，是对特殊平行四边形知识的整合与
升华。本节课通过将矩形边特殊化、菱形角特殊化引入正方形概念，探究其性质并梳理与平行四边形、矩
形、菱形的从属关系，体现“一般到特殊”的几何研究思路，能让学生形成完整的四边形知识框架。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别，发展抽象能力。
（2）能用正方形的定义和性质进行推理与计算，发展推理能力。
2. 目标解析
（1）学生能明晰正方形的定义，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的包含与被包含关系，
能通过框图或表格准确梳理四者的转化关系，体会几何图形特殊化的研究方法，发展抽象概括与知识整合
能力。
（2）学生能掌握正方形的边、角、对角线及轴对称性等性质，规范书写性质的符号语言；能结合正
方形的性质，灵活运用全等三角形、勾股定理等知识进行推理证明和计算，解决与正方形相关的几何问题，
发展逻辑推理和几何应用能力。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
1.无法准确厘清正方形、平行四边形、矩形、菱形的逻辑关系，易混淆“矩形变正方形”“菱形变正
方形”的条件，对“正方形兼具矩形和菱形的所有性质”理解不透彻。
2.解决正方形与折叠、最值、全等结合的综合题时，缺乏几何直观，不能快速找到解题的切入点，推
理步骤不严谨。
应对策略：1.采用框图+表格结合的方式，梳理四者的定义、性质和转化条件，通过课堂提问、小组讨论明确“有
一组邻边相等的矩形是正方形”“有一个角是直角的菱形是正方形”的核心转化关系，强化逻辑关联。
2.设计由浅入深的综合练习题，针对折叠、最值等题型，引导学生标注已知条件、绘制辅助线，将复
杂问题拆解为基础的全等证明、勾股定理计算，提炼解题方法。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能用正方形的定义和性质进行推理与计算。
四、教学过程设计
（一）复习引入
将几何图形的组成元素特殊化，可以获得新的研究对象：如将平行四边形的角特殊化，可以得到矩形，
将平行四边形的边特殊化，可以得到 菱形 .类似的，将矩形的边特殊化或菱形的角特殊化，可以得到什么特
殊的四边形呢？本节课我们就来研究一下.
设计意图：通过回顾平行四边形到矩形、菱形的特殊化过程，类比引出正方形的研究方向，让学生体
会“几何图形双重特殊化”的研究思路，实现知识的迁移与延伸；同时激发学生的探究兴趣，为后续正方
形定义的得出和性质探究做好铺垫。
（二）合作探究
正方形的定义
对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形．
与研究矩形、菱形的性质类似，对于正方形，我们仍然从它的边、角、对角线出发进行研究.
探究 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论.
分析：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形
的所有性质.符号语言
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，BC//DA，AB=BC=CD=DA.
A D
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°.
AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
O
∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=∠ABD
B C
=∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°.
思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这
些关系.
设计意图：从矩形、菱形的特殊化出发得出正方形的定义，明确正方形的双重特殊性，让学生理解其
与矩形、菱形的内在联系；从边、角、对角线、轴对称性四个维度探究正方形性质，引导学生自主归纳其
兼具平行四边形、矩形、菱形所有性质的特征，培养自主探究能力；规范符号语言书写，提升学生的几何
表达能力；通过梳理四者的关系，让学生形成系统的四边形知识框架，突破教学重点。
（三）典例分析
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
设计意图：通过例题巩固正方形对角线相等、垂直、平分的性质，强化全等三角形的证明思路；让学
生体会正方形性质的具体应用，规范几何证明的步骤和书写格式，为后续解决复杂问题奠定基础，同时加
深对正方形对角线特殊特征的理解。
（四）巩固练习1.（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么？
（2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢?
作法：1.在AF上截取AD=AB；2.在BE上截取BC=AB；3.连接CD，则四边形ABCD为正方形.
2.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC=30
m，EB=10 m.这块场地的面积和对角线长分别是多少?
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC.
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
BC=√EC2 −EB2=20√2，
∴BC2=800，AC=√AB2+BC2=40.
答：这块场地的面积为800 m2，对角线长为40 m.
3.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A，B，C，D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在
边AD，CD上，且DE=CF.这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
解：BE=AF，BE⊥AF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAE=∠ADF=90°，
又∵DE=CF，∴AD−DE=CD−CF，即AE=DF，
∴△BAE≌△ADF，∴BE=AF，∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，
∴BE⊥AF.
设计意图：三道练习题分层设计，动手操作题让学生感受正方形的定义在实际中的应用，培养动手能
力和几何建模能力；计算题型考查正方形的边长、面积、对角线的计算，巩固勾股定理与正方形性质的结合应用；综合证明题考查正方形的边、角性质与全等三角形判定的综合运用，提升学生的逻辑推理能力；
通过练习及时反馈学生的学习效果，便于教师针对性突破教学难点。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025年四川成都）下列命题中，假命题是（ D ）
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
2．（2024年重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，
连接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于点M．若BE=DF=1，则DM的长度为（ D ）
12
A．2 B． √5 C． √6 D．
5
3．（2022年山东德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE=2，点M是对角线BD上的一
个动点，则EM+CM的最小值是（ C ）A．6√2 B．3√5 C．2√13 D．4√13
4．（2024年福建）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，
则四边形EFGH的面积为 2 ．
5．（2025年四川内江）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为
(1,0)．点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为(0,3)．则点E的坐标为
3
(
−
,5)
．
2
6．（2025年浙江）
【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在
对角线BD上．
【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵DE=DA，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，∴∠DAE=∠DEA=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=22.5°．
设计意图：选取近年中考真题，涵盖命题辨析、边长计算、最值问题、折叠问题、综合证明与计算等
多种题型，让学生感受正方形知识在中考中的考查形式和难度，增强中考备考意识；综合考查学生对正方
形性质的灵活运用能力，以及与全等、折叠、勾股定理、平面直角坐标系等知识的综合应用能力，提升学
生分析和解决中考型几何问题的能力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题21.3 第6，12(3)题.
2.探究性作业：习题21.3 第15，16题.
五、教学反思
