文档内容
2023-2024 学年人教版八年级初中数学下学期期中模拟试卷
（3）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．要使二次根式 有意义，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【解答】解：根据题意得： ，
即 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2．二次根式 的化简结果正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【解答】解： ，
故选： ．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
3．把 根号外的因式移入根号内得
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．
【解答】解： 成立，
，即 ，
原式 ．
故选： ．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．
4．下列选项中的运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解： 无法合并，故此选项不合题意；
，故此选项不合题意；
，故此选项符合题意；
，故此选项不合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为1和6，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．
【分析】分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，再根据图形即可得到阴影部分的面积为：
，然后计算即可．
【解答】解： 两个正方形的面积分别为1和6，
它们的边长分别为1和 ，
由图可知，
长方形的长为 ，宽为大正方形的边长 ，
阴影部分的面积为： ，
故选： ．
【点评】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的应用．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．
6．如图，在 中， ， ，若 ， ，则 的长是
A．14 B．12 C．10 D．8
【分析】先利用勾股定理和平方差公式求出 的值，进而求出 ， 的长，再利用等面积法即
可求解．
【解答】解：在 中， ，
有 ，
又 ，，
，
又 ，
，
解得： ，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了勾股定理，平方差公式和等面积法，熟练掌握勾股定理，平方差公式和等面积法
及数形结合的运用是解题关键．
7．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，
由此即可得出结论．
【解答】解： 、 ， ，
，
，3，4不能作为直角三角形的三边长；
、 ， ，
，
，4，5可以作为直角三角形的三边长；
、 ， ，
，
，5，6不能作为直角三角形的三边长；、 ， ，
，
，6，7不能作为直角三角形的三边长．
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基
础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
8．如图，一块边长为 的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为 的小正方形，现在要从剩下的
铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为
A． B． C． D．
【分析】在剩下的铁片上画出最大的正方形，找出所求部分面积与其它部分面积的关系，即可求解．
【解答】解：如图所示，将剩下的铁片分为中间的正方形和四个小长方形，
中间部分的面积为： ，
每个小长方形的面积为： ，
由图可知，剪出的最大的正方形面积等于中间的正方形的面积与四个小长方形面积的一半的和，
因此剪出的正方形面积最大为： ．故选 ．
【点评】本题主要考查弦图的应用，根据题意画出图形是解题关键．
9．如图， 是 的中位线， 平分 交 于点 ，若 ， ，则边 的长为
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由三角形的中位线定理得到 ， ， ，利用等腰三角形的判定结合平
行线的性质和角平分线的定义求出 ，可得 ，即可求出 的长．
【解答】解： 是 的中位线， ，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考常考题型．10．平面直角坐标系内有点 ， ， 三点，请确定一点 ，使以 、 、 、 为顶点
的四边形为平行四边形，则点 的坐标不可以是
A． B． C． D．
【分析】结合平行四边形性质，利用点的平移分三种情况即可得到答案即可得到答案．
【解答】解： 平面直角坐标系内有点 ， ， 三点， 连接 ， ， 构
成 ，过 的顶点作其对边平行线，分别交于 、 、 ，如图所示：
①在平行四边形 中， ，
， ，
向左平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到 ，
，
由点的平移可得 ；
②在平行四边形 中， ，
， ，
向右平移2个单位长度、向上平移2个单位长度得到 ，
，
由点的平移可得 ；③在平行四边形 中， ，
， ，
向左平移2个单位长度、向下平移2个单位长度得到 ，
，
由点的平移可得 ；
综上所述，符合题意的点 、 或 三种情况．
故选： ．
【点评】本题考查利用点的平移求平行四边形顶点坐标，涉及平行四边形性质及点的平移法则，熟练掌握
点的平移法则是解决问题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．当 时，二次根式 的值是 ．
【分析】直接把 的值代入进而得出答案．
【解答】解：当 时，二次根式 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
12．若二次根式 与最简二次根式 是同类二次根式，则 2 ．
【分析】将 化简，再根据同类二次根式的定义求解即可．
【解答】解： 与最简二次根式 是同类二次根式，
，
解得 ，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．将 化为最简根式是 ．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即
可解答．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
14．计算 ．
【分析】根据 将原式化简后可得出答案．
【解答】解：原式
．
故填： ．
【点评】本题考查二次根式的加减法，难度比较大，掌握 是关键．
15．如图，把图1中边长分别为3和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全
等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为 1 ．
【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形 的边长，再根据正方形面积公式即可求解．
【解答】解： ，
．故图2中小正方形 的面积为1．
故答案为：1．
【点评】考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形 的边长．
16．如图，在 中，延长 至点 ，使得 ，延长 至点 ，连结 ， ，取 中
点 ，连结 ．若 所在直线垂直于 ， ， ， ，则 ．
【分析】如图，延长 ， ，交于点 ，由题意知， 是 的中位线，则 ，
， ， 由 ， 可 得 ， 证 明 ， 则 ，
， ， ，在 中，由勾股定理得 ，根据
，计算求解即可．
【解答】解：如图，延长 ， ，交于点 ，
由题意知， 是 的中位线，
， ， ，
，
，即 ，
四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
， ，
在 和 中，，
，
， ，
， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．
解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．如图，延长 的边 至点 ，使得 ，过 的中点 作 （点 位于点 的
右侧），且 ，连结 ，若 ，则 ．
【分析】取 的中点 ，连接 ，证四边形 是平行四边形，得 ，再由三角形中位线定
理得 ，即可得出结论．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ，则 ，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
是 的中点， 是 的中点，
是 的中位线，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与
性质是解题的关键．
18．（1） ；
（2） ．
【分析】（1）利用二次根式的乘法进行计算即可；
（2）利用二次根式的除法进行计算即可．【解答】解：（1） ；
（2） ．
故答案为：（1） ；（2） ．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是关键．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．求下列二次根式中字母的取值范围：
（1） ．
（2） ．
【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必
须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【解答】解：（1）由题可得， ，
解得 ；
（2）由题可得 ，
解得 ．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方
数是非负数．
20．已知：如图，在四边形 中， ， ， ，垂足分别为 、 ， ，
求证：四边形 是平行四边形．
【分析】先证 ，得 ，又由 ，即可得出四边形 是平行四边形．
【解答】证明： ，
，， ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行
四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
21．在 中， 、 分别是 ， 的中点，作 的角平分线
（1）如图1，若 的平分线恰好经过点 ，猜想 是怎样的特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若 的平分线交线段 于点 ，已知 ， ，求 的长度．
（3）若 的平分线交直线 于点 ，直接写出 、 、 三者之间的数量关系．
【分析】（1）根据三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质证明 ，得到答案；
（2）根据（1）的结论计算即可；
（3）分点 在线段 上、点 在线段 的延长线上两种情况，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：（1） 、 分别是 ， 的中点，
， ，
，
是 的角平分线，
，
，，
，
是等腰三角形；
（2）由（1）得， ， ，
；
（3）当点 在线段 上时，由（2）得， ；
当点 在线段 的延长线上时， ．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半是解题的关键．
22．计算：
（1）
（2）求当 ， 时，代数式 的值．
【分析】（1）先求出每一部分的值，再代入求出即可；
（2）变形后代入，再求出即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2） ， ，
．【点评】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式的应用，能运用所学的知识点进行计算是解此题的关
键，难度适中．
23．如图，在 中， ， 、 分别是 、 的中点，延长 到点 ，使
，连结 、 ．
（1）求证： 与 互相平分；
（2）若 ，求 的长．
【分析】（1）连接 、 ，证四边形 是平行四边形即可．
（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，
求得 长即可．
【解答】（1）证明：连接 ， ．
点 ， 分别为 ， 的中点，
， ．
又 ，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
与 互相平分．
（2）解：在 中，
为 的中点， ，．
又 四边形 是平行四边形，
．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理
或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）在图①中，以格点为端点，画线段 ；
（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形 ，使它的面积为10．
【分析】（1）以3和2为直角边作出直角三角形，斜边即为所求；
（2）以3和1为直角边作出直角三角形，斜边为正方形的边长，如图②所示．
【解答】解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示．
【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
25．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墙面 处，另一端在地面 处，墙角
记为点 ．
（1）若 米， 米．①竹竿的顶端 沿墙下滑1米，那么点 将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从 处沿墙 下滑的距离与点 向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理
由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．
（2）若 ，则顶端 下滑的距离与底端 外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；
若不等，请比较顶端 下滑的距离与底端 外移的距离的大小．
【分析】（1）①利用勾股定理可求解 的长，即可求得 的长，再利用勾股定理可求解 ，进而
可求解；
②利用勾股定理列式 ，计算可求解 的长，即可求解；
（2）设 ，顶端 下滑的距离为 ，底端 外移的距离为 ，利用勾股定理可得
，由偶次方的非负性可得 ，进而可求解．
【解答】解：（1）①在 中， 米， 米，
，
米，
米，
米，
在 △ 中， 米，
，
米，米，
答：点 将向外移动 米；
②相等．
米， ，
，
， ，
，
解得 或0（舍去），
故竹竿的顶端从 处沿墙 下滑的距离与点 向外移动的距离会相等，移动距离为3.5米；
（2）不相等．
设 ，顶端 下滑的距离为 ，底端 外移的距离为 ，
由勾股定理 ，
，
，
，
，
顶端 下滑的距离大于底端 外移的距离．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
26．请观察下列等式，并按要求完成下列填空．
．（Ⅰ）．（Ⅱ）
（1）请用不同的方法化简 ．
①参照（Ⅰ）式得 ．
②参照（Ⅱ）式得 ．
（2）根据你的发现， ．（用含 的代数式直接表示）
（3）计算： ．
【分析】（1）运用分子、分母同乘以分母的有理化因数，或将分子变形，因式分解，约分；
（2）运用（1）中的一种方法，将二次根式分母有理化；
（3）每个分母的两个被开方数相差2，分母有理化时，应该乘以 ．
【解答】解：（1）①参照（Ⅰ）式得 ，
②参照（Ⅱ）式得 ；
（2） ，
故答案为： ；
（3）
，故答案为： ．
【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化
主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号
和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
