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18.2.3正方形
正方形的定义和性质
正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中
心.
5.面积为边长的平方或对角线平方的一半.
注意：
①既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为
特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
②正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等
腰直角三角形.
特殊四边形定义间的关系：题型1：正方形的定义和性质
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【变式1-1】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．四边相等
【变式1-2】下列说法错误的是（ ）
A．正方形是特殊的菱形
B．菱形是特殊的平行四边形
C．正方形是特殊的矩形
D．矩形是特殊的菱形
题型2：正方形的性质与求角度
2.如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【变式2-1】如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，
连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 度．
【变式2-2】．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点．连接AE，CE．并延长CE交
AD于点F．若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．题型3：正方形的性质与求线段
3.如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延
长线于点F，连接EF．若AE＝1，则EF的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．4
【变式3-1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，
EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为 ．
【变式3-2】正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝
45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．题型4：正方形的性质与求面积/周长
4.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF
相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG
的周长为（ ）
A．7 B．3+ C．8 D．3+
【变式4-1】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形
EFGH的周长为（ ）
A． B．2 C． +1
D．2 +1
【变式4-2】如图，O是正方形ABCD的两条对角线BD，AC的交点，EF过点D，若图
中阴影部分的面积为1，则正方形ABCD的周长为（ ）
A．2 B．4 C．8
D．4
题型5：正方形旋转对称性的应用
5.边长为10cm的正方形ABCD绕对角线的交点O旋转到得到正方形OA′B′C′，
如图所示，则阴影部分面积为（ ）A．100cm2 B．75cm2 C．50cm2 D．25cm2
【变式5-1】如图，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、
D分别是正方形对角线的交点、如果有 n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积
的总和是（ ）
A． B． C． D．
题型6：正方形与探究数量关系
6.如图，点M为正方形ABCD的边AB（或BA）延长线上任意一点，MN⊥DM且与
∠ABC外角的平分线交于点N，此时MD与MN有何数量关系？并加以证明．
【变式6-1】如图，四边形ABCD是正方形，G是直线BC上的任意一点，DE⊥直线AG
于点E．BF⊥直线AG于点F．
（1）如图1，若点G在线段BC上，判断AF，BF，EF之间的数量关系，并说明理
由．
（2）若点G在CB延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系．（3）若点G在BC延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系．
题型7：正方形性质综合应用
7.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．
求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．
【变式7-1】如图，已知正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，∠MAN＝
45°．
（1）求证：MN＝BM+DN；
（2）当AB＝6，MN＝5时，求△CMN的面积．【变式7-2】如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线
CF于点F．
（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；
（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那
么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理
由；
（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形
DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个
角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或
对角线互相垂直（即菱形）.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
注意：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
题型8：正方形的判定（条件选择）
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，
②AB＝BC，③∠ACB＝45°，④OA＝OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是
（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【变式8-1】已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱
形；②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式8-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC
＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方
形．下面组合错误的是（ ）
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
题型9：正方形的判定（基础证明）
9.已知，如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，E 是两锐角角平分线的交点，
ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．【变式9-1】如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且
∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形.
【变式9-2】如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD
上（点F与点C、D不重合）， BE⊥EF ，且 ∠ABE+∠CEF=45° .求证：四
边形ABCD是正方形.题型10：正方形的判定与性质综合
10.有如下一道作业题：
如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，
DF.
求证：△BCE≌△DCF.
（1）请你完成这道题的证明：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，
连接FC.
①求证：∠BFC＝45°.
②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）.求证：BF＝CP+DF.
【变式10-1】综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC 上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
（1）（证明与推断）
①四边形CEGF的形状是 ；
AG
② 的值为 ；
BE
（2）（探究与证明）
在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°<α><45°），
如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）（拓展与运用）
如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF 在旋转过程中，当B、E、F三点共线
时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
【变式10-2】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的延长线上一点，连接DE，
且∠EDC＝30°，以DE为斜边作等腰Rt△DEF，
直角边EF的延长线交BD于点M，连接AF．
（1）请直接写出∠ADF＝ 度；
（2）求证：△DAF∽△DBE；
EM
（3）请直接写出 的值．
BE
