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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
【答案】B
【解析】正方形具有矩形和菱形的所有性质，菱形的对角线具有：（1）对角线互相平分；（2）对角线互相垂
直；（3）每条对角线平分一组对角；而菱形对角线不具有的性质是：对角线相等．故选B．
2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为
A．3 B．12 C．18 D．36
【答案】C
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD．选两个作
为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的选法是
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【解析】A选项中，由四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，可得四边形ABCD是菱形，结合∠ABC=90°，可
得四边形ABCD是正方形；
B选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合AC=BD及∠ABC=90°只能证得四边形ABCD是矩形，不
能证明四边形ABCD是正方形；C选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合AB=BC可得四边形ABCD是菱形，结合AC=BD即可得到
四边形ABCD是正方形；
D选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合∠ABC=90°可得四边形ABCD是矩形，再结合AC⊥BD即
可得到四边形ABCD是正方形．故选B．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是
A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90° D．OD=AC
【答案】C
5．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的
长为
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【解析】如图，过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD，∴△PQM≌△AED，
∴PQ=AE= ．故选B．
6．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
【答案】B
【解析】如图，连接BD，
由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，∴∠EBC=∠BEC= （180°-∠BCE）
=15°，
∵∠BCM= ∠BCD=45°，∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°，∴∠AMB=180°-∠BMC=60°，
∵正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上，∴BM=DM，∴∠AMD=∠AMB=60°，故选B．
7．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为
A．6 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．不能确定
【答案】B【解析】阴影部分的面积=S = S = ×（4 ）2=16（cm2）．故选C．
△ADC 正方形ABCD
8．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值
为
A．2 B．4 C．4 D．2
【答案】A
9．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD
于G，下列有四个结论：①AF=FH；②∠HAE=45°；③BD=2FG；④△CEH的周长为定值，其中正确的结论
有
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】（1）如图1，连接FC，延长HF交AD于点L，∵在正方形ABCD中，∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴FC=AF，∠ECF=
∠DAF，∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°，∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC，
∴FH=AF；
（2）如图1，∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°；
（3）如图2，连接AC交BD于点O，则由正方形的性质可得：BD=2OA，
∵HF⊥AE，HG⊥BD，∴∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=
∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG；
（4）如图3，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则LI=HC，
∴∠IMC=∠ECM=45°，由已知条件可得：∠DEM=∠DEA=∠FHC=∠DIC，由此可得∠MEC=∠CIM，
又∵MC=CM，∴△MEC≌△CIM，∴CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周长为8，为定值．故①②③④结论都正确．故选D．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
10．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是__________度．【答案】67.5
11．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为
__________．
【答案】150°
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=DA，
∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE，∠BAE=∠ABE=60°，∴AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30°，
∴∠ADE=∠BCE= （180°-30°）=75°，∴∠EDC=∠ECD=15°，∴∠CED=180°-15°-15°=150°．故答案为：
150°．
12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC于点
E、点F，AE=3，CF=2，则EF的长为__________．
【答案】13．如图所示，将五个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交
点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是__________cm2．
【答案】
【解析】如图，过点O作OE⊥GH于点E，OF⊥HM于点F，
由已知条件易得∠EOF=∠GOM=90°，OE=OF，∠OEG=∠OFM=90°，∴∠EOG=∠FOM，
∴△EOG≌△FOM，
∴S =S = ，∵n个相同的正方形会形成（n-1）个阴影部分，
四边形OGHM 正方形OEHF
∴n个相同的正方形形成的阴影部分的面积之和为： ．故答案为： ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°，求证：矩形ABCD是正方形．15．如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA=1，PD=2，PC=3，现将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置
（C与A重合，P与G重合，D与D重合），求∠APD的度数．
【答案】135°
【解析】如图，连接PG，16．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
【解析】（1）如图，连接EF，
∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH∥BE，FH= BE，FH=BG，
∴∠CFH=∠CBG，
∵BF=CF，
∴△BGF≌△FHC．17．如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM．
【解析】（1）如图，过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，∵BC=AB，∴EM=AB，
∴EM-AE=AB-AE，
∴AM=BE，∴FM=AM，
∵FM⊥AB，∴∠MAF=45°，
∴∠EAF=135°．
（2）如图，过点F作FG∥AB交BD于点G．
由（1）可知∠EAF=135°，
∵∠ABD=45°，∴∠EAF+∠ABD=180°，
∴AF∥BG，
∵FG∥AB，
∴四边形ABGF为平行四边形，AF=BG，FG=AB，
∵AB=CD，∴FG=CD，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠FGM=∠CDM，
∵∠FMG=∠CMD，
∴△FGM≌△CDM（AAS），
∴GM=DM，∴DG=2DM，
∴BD=BG+DG=AF+2DM．
