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20.1 勾股定理及其应用（第 3 课时）
知识点1：用数轴上的点表示无理数
1．如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，
则C点表示的数为（ ）
A．2 B．1− √2 C．√2 D．√2−1
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，先根据勾股定理求得AB= √2，进而结合数轴，即
可求解．
【详解】解：在Rt△AOB中，AB= √BO2+OA2=√2，
∴AB=AC= √2，
∴OC=AC−OA= √2 −1，
∴点C表示的数为1− √2．
故选：B．
2．如图，在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，OA在数轴上，点O与原点重合，以原点为圆心，线段OB长为半
径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ．
【答案】√5
【分析】本题考查了勾股定理，实数在数轴上的表示，根据勾股定理求出OB=√5，根据题意即可求解，熟
练掌握知识点得应用是解题的关键．
【详解】在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，
由勾股定理得：OB=√OA2+AB2=√22+12=√5，
则这个点表示的实数是√5，
故答案为：√5．
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学科网（北京）股份有限公司3．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，以数1表示的点为圆心，阴影正方形边长为半径，画圆
弧交数轴于点A（点A位于原点右侧），则点A表示的数为 ．
【答案】√5+1
【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧的半径，再求出点A到原点的距离，
然后结合点A在数轴上的位置即可得出答案．
【详解】解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1，
∴阴影正方形的边长即圆弧半径为√12+22=√5，
∴点A到原点的距离是√5+1，
∴点A表示的数是√5+1，
故答案为：√5+1．
4．请在数轴上作出−√10的对应点（保留作图痕迹）．
【详解】解：如图，点C即为所求，
理由：由作法得：AB⊥OB,OA=OC,AB=1,OB=3，
∴OA=OC=√32+12=√10，
∴点C的对应的数是−√10．
知识点2：勾股定理与几何问题
5．（2024年黑龙江哈尔滨）△ABC是直角三角形，AB=2√3，∠ABC=30°，则AC的长为 ．
【答案】2或√3
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键
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学科网（北京）股份有限公司根据直角三角形的性质，我们需要分情况讨论哪个角是直角，从而求出AC的长度．
【详解】解：在Rt△ABC中，当∠A=90°，如图
∵ ∠ABC=30°，
∴ BC=2AC．
∵BC2=AC2+AB2，AB=2√3，
∴(2AC) 2=AC2+(2√3) 2，
解得AC=2或AC=−2（舍去）；
在Rt△ABC中，当∠C=90°，
∵ AB=2√3，∠ABC=30°，
1
∴ AC= AB=√3．
2
故答案为∶2或√3．
6．（2023年四川绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE=CD，若
DE=4√3，则AB=（ ）
A．4√3 B．6 C．8 D．8√3
【答案】C
【分析】先证明∠E=30°=∠DBE，得到BD=DE=4√3，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性
质即可求出答案．
【详解】解：∵在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，
1
∴BD⊥AC，∠DBC=∠ABD= ∠ABC=30°，∠DCB=60°，
2
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学科网（北京）股份有限公司∴AB=2AD；
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠DCB=60°，
∴∠E=30°=∠DBE，
∴BD=DE=4√3，
由勾股定理得：
AB2 −AD2=BD2,
∴4AD2 −AD2=BD2，
√3
∴AD= BD=4，
3
∴AB=2AD=8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性
质与判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
知识点3：勾股定理与网格问题
7．如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示√10长的线段是（ ）
A．OA B．OB C．OC D．OD
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，利用网格的特点和勾股定理分别求出4条线段的长即可得到答案．
【详解】解：由网格的特点可知OA=√12+12=√2，OB=√12+22=√5，OC=√12+32=√10，
OD=√12+42=√17，
∴表示√10长的线段是OC，
故选C．
8．如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（
）
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学科网（北京）股份有限公司3√2 5√5 3√5 4√5
A． B． C． D．
2 10 5 5
【答案】C
【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
【详解】解：四边形DEFA是正方形，面积是4；
1
△ABF，△ACD的面积相等，且都是 ×1×2＝1．
2
1 1
△BCE的面积是： ×1×1= ．
2 2
1 3
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1− = ．
2 2
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC=√5．
1 √5 3
设AC边上的高线长是x．则 AC•x= x= ，
2 2 2
3 3√5
解得：x= = ．
√5 5
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用割补法求面积是解决本题的关键．
9．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)以格点为顶点画△ABC，使△ABC三边长为：3，2√2，√5；
(2)求△ABC的面积．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求；
其中，AB=2√2，AC=√5，BC=3；
1
（2）如图，△ABC的面积为 ×3×2=3．
2
10．象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出
发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ）
A．5 B．√5 C．√13 D．√17
【答案】A
【分析】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．先按
照“马走日”的规则，找出马走一步之后的落点，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
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学科网（北京）股份有限公司由图可知，当马落在店B处与“帅”的距离最大，
最大距离是√32+42=5
故选A．
11．（2024年黑龙江大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．
执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角
形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们
把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积
和为 ．
【答案】48
【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别
计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：图①中，∵∠ACB=90°，
根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2=22=4，
∴图①中所有正方形面积和为：4+4=8，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
8+4=12，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
8+4×2=16，
⋯
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4n，
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学科网（北京）股份有限公司∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4×10=48，
故答案为：48．
12．（2025年湖北武汉）如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=2√10，点D在边AC上，CD=3．若点E在
边AB上，满足CE=BD，则AE的长是 ．
【答案】7或9
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作
AH⊥BC，垂足为H，过点C作CG⊥AB，垂足为G，则∠AHB=90°=∠CGB，利用勾股定理得出AH,BG
得长度，根据三角形面积公式得出CG长，设AE=x，则BE=AB−AE=10− x，表示出EG=|8− x|，利用勾
股定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，过点C作CG⊥AB，垂足为G，则
∠AHB=90°=∠CGB，
∵AB=AC=10,BC=2√10，
1
∴BH= BC=√10，
2
∴AH=√AB2 −BH2=3√10，
1 1
∵S = BC⋅AH= AB⋅CG，即2√10×3√10=10CG，
△ABC 2 2
∴CG=6，
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学科网（北京）股份有限公司∴BG=√BC2 −CG2=2，
设AE=x，则BE=AB−AE=10− x，
∴EG=|BE−BG|=|10− x−2|=|8− x|，
∵CE=BD=√37，
∴在Rt△CGE中，CE2=CG2+EG2，即37=36+EG2，
解得EG=1，即|8− x|=1，
解得x=7或9，
即AE=7或9，
故答案为：7或9．
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