文档内容
21.3.3 正方形
第 1 课时 正方形的性质
A组·基础达标
知识点 正方形的概念与性质
1 四个角相等，四条边也相等的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．平行四边形
2 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有
（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
3 如图，延长正方形ABCD的一边BC至点E，使CE=AC，连接AE交CD于点F，则∠AFC
的度数是（ ）
A．112.5∘ B．120∘ C．122.5∘ D．135∘
4 如图，P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE=3，则点P到直线
AB的距离为____.
5 如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BP=BC，则∠PCD的度数是__
______.6 如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F.
（1） 求证：△ABE≌△CBE；
（2） 若∠AEC=140∘ ，求∠DFE的度数.
B组·能力提升
7 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45∘
.若∠BAE=α ，则∠FEC一定等于（ ）
A．2α B．90∘-2α C．45∘-α D．90∘-α
8 如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F.若AD=4，则
EF=____.
9 如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，
则四边形EFGH的面积为____.10 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
（2） 连接EF，若BC=12，BE=5，求EF的长.
C组·核心素养拓展
11 【推理能力】
（1） 如图①，已知正方形ABCD的对角线相交于点O，E是AC上的一动点，过点A作
AG⊥BE于点G，交BD于点F，求证：OE=OF；
（2） 如图②，在（1）的条件下，若点E在AC的延长线上，（1）中结论是否成立？
请说明理由.
第 2 课时 正方形的判定
A组·基础达标
知识点 正方形的判定1 下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．两条对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．四条边都相等的四边形是正方形
2 已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90∘ ，如果添加一个条件，使得该四边形成
为正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A．∠D=90∘ B．AB=CD C．AB=BC D．AC=BD
3 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下
列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A=90∘ B．（2）处可填AD=AB
C．（3）处可填DC=CB D．（4）处可填∠B=∠D
4 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形ABCD是正
方形的是（ ）
A．AC=BD，AC⊥BD B．AC=BD，AB=BC
C．AC⊥BD，AB⊥BC D．AC⊥BD，AB=BC
5 如图，在 ▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边
形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90∘ .
其中正确的组合是______（只需填一种组合即可）.6 如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，过点E作EF//DC交边AD于点
F.求证：四边形EFDC是正方形.
7 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂
足分别为E，F.求证：四边形CEDF是正方形.
B组·能力提升
8 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边CD，AD上的点，AE⊥BF，且AE=BF.求证：
矩形ABCD是正方形.
9 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE//AD，交
∠BAF的平分线于点E.
（1） 求证：四边形ADBE是矩形.
（2） 当∠BAC满足什么条件时，四边形ADBE是正方形？请说明理由.
C组·核心素养拓展
10 【推理能力】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=√3，E为对角线AC上一动点，
连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.（1） 求证：矩形DEFG是正方形；
（2） 探究：CE+CG的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明
理由.
21.3.3 正方形
第1课时 正方形的性质
A组·基础达标
知识点 正方形的概念与性质
．
1．A
2．C
3．A
4．3 5∘
5 22.．（ ） 证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴6AB=C1B，∠ABC=∠ADC=90∘ ，
1
∠ABE=∠CBE=∠ADB= ×90∘=45∘
2
.
{
AB=CB,
在△ABE和△CBE中， ∠ABE=∠CBE,
BE=BE,
.
∴△ABE≌△CBE(SAS)
（ ） 解：∵△ABE≌ . △CBE，
∴∠2AEB=∠CEB
又∵∠AEC=140∘. ，
∴∠CEB=70∘
∵∠DEC+∠C . EB=180∘ ，
∴∠DEC=180∘-∠CEB=180∘-70∘=110∘
∵∠DFE+∠ADB=∠DEC， .
∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110∘-45∘=65∘
B组·能力提升 .
．
7．A
8．2
9 ．2（ ） 证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴
10AB=CD1，AB//CD
∵BE=DF， .
∴AB-BE=CD-DF，
∴AE=CF
又∵AB//.CD，即AE//CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形
（ ） 解：过点E作EH⊥CD于. 点H，如答图，
∴∠ 2 EHC=∠EHF=90∘
∵ 四边形ABCD是正 方. 形，BC=12，
∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠BCD=90∘ ，
∴∠EHC=∠B=∠BCD=90∘ ，∴ 四边形EBCH是矩形，
∴EH=BC=12，CH=BE=5，
∴DH=CD-CH=12-5=7.
∵BE=DF=5，
∴HF=DH-DF=7-5=2.
在Rt△EFH中，由勾股定理，得EF=√EH2+H F2=√122+22=2√37.
第10题答图
C组·核心素养拓展
11．（1） 证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB，∠AOB=∠BOC=90∘
∵AG⊥BE，∴∠AGE=90∘ ， .
∴∠GAE+∠AEG=∠OBE+∠AEG=90∘ ，
∴∠GAE=∠OBE
. {∠BOE=∠AOF,
在△BOE和△AOF中， BO=AO,
∠OBE=∠OAF,
.
∴△BOE≌△AOF(ASA)，∴OE=OF
（ ） 解：（ ）中结论仍然成.立 理由如下：
同2理可证△BOE1≌△AOF(ASA)， .
∴OE=OF
. 第2课时 正方形的判定
A组·基础达标
知识点 正方形的判定
．
1．D
2．C
3．D
4 D．①②或①③
5．证明：∵ 在矩形ABCD中，∠C=90∘ ，AD//BC
6又∵EF//CD， .
∴ 四边形EFDC是矩形
∵AD//BC， .
∴∠CED=∠ADE
∵DE平分∠ADC.，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE，
∴ 四边形EFDC是正方形
．证明：∵∠ACB=90∘ ，. DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ 7 ∠DEC=∠ACB=∠CFD=90∘ ，
∴ 四边形CEDF为矩形，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
∴ 四边形CEDF是正方形
B组·能力提升 .
．证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 8 ∠BAD=∠ADE=90∘ ，
∴∠ABF+∠AFB=90∘ ，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB，
∴∠ABF=∠DAE
在△ABF和△DAE.中，
{∠ABF=∠DAE,
∠BAF=∠ADE,
BF=AE,
.
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AB=AD，
∴ 矩形ABCD是正方形
.．（ ） 证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
9 1 1
∴∠BAD= ∠BAC，AD⊥BC
2
.
∵AE是△ABC的外角平分线，
1
∴∠BAE= ∠BAF
2
.
∵∠BAC+∠BAF=180∘ ，
∴∠BAD+∠BAE=90∘ ，即∠DAE=90∘ ，
∴AD⊥AE
∵AD⊥BC.，
∴AE//BC，
又∵BE//AD，∠DAE=90∘ ，
∴ 四边形ADBE是矩形
（ ） 解：当∠BAC=9 . 0∘ 时，四边形ADBE是正方形 理由如下：
∵A2B=AC，AD平分∠BAC，∠BAC=90∘ ， .
∴∠ABC=∠C=∠BAD=∠CAD=45∘ ，
∴AD=BD
又∵ 四边.形ADBE是矩形，
∴ 四边形ADBE是正方形
C组·核心素养拓展 .
．（ ） 证明：如答图，作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，则∠MEN=90∘
1由0条件可1知EM=EN .
∵∠ENC=∠MCN=∠ . EMC=90∘，
∴ 四边形ENCM为矩形，
∴∠MEN=90∘
∵EF⊥DE，∴ . ∠DEF=90∘，
∴∠DEN+∠FEN=∠MEF+∠FEN=90∘，
∴∠DEN=∠FEM
. {∠DNE=∠FME,
在△DEN和△FEM中， EN=EM,
∠DEN=∠FEM,
.
∴△DEN≌△FEM(ASA)，∴DE=EF
∵ 四边形. DEFG是矩形，
∴ 矩形DEFG是正方形
.
第 题答图
（ ） 解：CE+CG的长度是定值 10
∵ 2四边形DEFG、四边形ABCD均为. 正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90∘，
AD=DC，∠ADE+∠EDC=90∘，
∴∠CDG=∠ADE，
{
AD=CD,
在△ADE和△CDG中， ∠ADE=∠CDG,
DE=DG,
.
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG
根据勾股.定理，得AC=√AB2+BC2=√6.
∴CE+CG=CE+AE=AC=√6，是定值.
