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专题 21.9 正方形的判定
1. 掌握正方形的判定方法，能够熟练地选择合适的判定方法判定正方形。
教学目标
2. 掌握中点四边形的定义，能够熟练地根据四边形的性质判断中点四边形的形状。
1. 重点
（1）正方形的判定；
（2）四边形的中点四边形。
教学重难点
2. 难点
（1）对正方形的判定方法的灵活应用，结合正方形的性质综合应用；
（2）判断特殊四边形的中点四边形的形状。知识点01 正方形的判定
1. 正方形的判定：
判定方法 文字语言 数学语言 图形
∵AB BC CD AD
四条边都 且
∠ABC ∠BCD ∠CDA
直接判定 四个角也 的
∠DAB
四边形是正方形
∴四边形ABCD是正方形
邻边 的矩形 ∵在矩形ABCD中，AB AD
矩形加特殊 是正方形 ∴四边形ABCD是正方形
性 对角线 的矩形 ∵在矩形ABCD中，AC BD
是正方形 ∴四边形ABCD是正方形
有一个角是 的 ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝
菱形加特殊 菱形是正方形 ∴四边形ABCD是正方形
性 对角线 的菱形 ∵在菱形ABCD中，AC BD
是正方形 ∴四边形ABCD是正方形
【即学即练1】
1．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A．AB＝BC＝CD＝DA B．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA
【即学即练2】
2．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，添加一个条件 ，使矩形ABCD成为正方形（填一个即
可）．
【即学即练3】
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．OA＝BD B．AB⊥BD C．AD＝BD D．AC＝BD
【即学即练4】
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE∥AB，DF⊥AB，求证：四边形BEDF
是正方形．
【即学即练5】
5．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．
求证：矩形ABCD是正方形．
【即学即练6】
6．如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF
＝BE，连接AE、CE、AF、CF，得四边形AECF．求证：四边形AECF是正方形．
【即学即练7】
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线
BD上，且 BE＝DF，AC＝EF，连接AE、CE、CF、AF．（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若AB=❑√13，OB＝3，求AE的长．
知识点03 中点四边形
1. 中点四边形的定义：
连接四边形各边的 得到的四边形叫做中点四边形。
2. 中点四边形的形状：
①任意四边形的中点四边形是 。
②对角线相等的四边形的中点四边形是 。
③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是 。
【即学即练1】
8．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（
）
A．AD∥BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝AB
【即学即练2】
9．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（ ）
①矩形；
②对角线相等的四边形；
③菱形；
④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
题型01 熟悉正方形的判定条件【典例1】能判定一个四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且平分
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直平分且相等
D．对角线相等且平分
【变式1】四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝CO，AB＝BC
【变式2】已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论正确的有（ ）
①当AB＝DC时，它是菱形；②AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝
BD时，它是正方形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型02 添加正方形的判定条件
【典例1】如图，在 ABCD中，AC＝BD，再添加一个条件，仍不能判定四边形 ABCD是正方形的是（
）
▱
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AB＝AC D．∠ABD＝∠CBD
【变式1】数学活动课上，小彤用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．小彤想要让这个菱形
学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AB＝BC C．AB∥CD D．∠B＝∠D
【变式2】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下
列条件添加错误的是（ ）A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D
题型03 正方形的判定证明
【典例1】如图，在 ABCD中，BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，BE＝DE，求证：四边形EBFD是正方
形．
▱
【变式1】如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点
F．求证：四边形DECF是正方形．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC
至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．
题型04 正方形的判定与性质
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠A＝90°，点E在CD边上，点F是AD边的
中点，且AB∥CF，FE⊥CD于点E，延长FE交BC的延长线于点G，连接BF．
（1）求证：四边形ABCF是正方形；
（2）若BF＝4，求BG的长．
【变式1】【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时
针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F．【猜想证明】
（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明．
【变式2】综合与实践
问题情境：
如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线
BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
猜想证明：
（1）求证：四边形DEFG是正方形．
解决问题：
（2）求∠DCG的度数．
（3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长．
题型05 中点四边形
【典例1】顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形C．菱形 D．平行四边形
【变式1】顺次连接某个四边形各边中点得到一个矩形，则原四边形是（ ）
A．正方形
B．菱形
C．直角梯形
D．对角线互相垂直的四边形
【变式2】如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形，那么对这个四边形的形状描述最准
确的是（ ）
A．矩形 B．等腰梯形
C．菱形 D．对角线相等的四边形
1．下列条件不能判定 ABCD是正方形的是（ ）
A．∠ABC＝90°且AB＝AD B．AC⊥BD且AB＝AD
▱
C．AC⊥BD且AC＝BD D．AB＝BC且AC＝BD
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（）
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC
3．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形
的是（ ）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC
4．顺次连接下列各图形的中点，构成的图形一定是正方形的为（ ）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．对角线互相垂直的等腰梯形
5．如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下说法正确的是（ ）
A．若AC＝BD，则 ABCD是矩形
▱
B．若AO＝CO，则 ABCD是菱形
▱
C．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
▱
D．若∠ABC＝90°，则 ABCD是正方形
▱
6．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间
▱
转化的条件，其中填写错误的是（ ）
A．①对角相等 B．②对角线互相垂直
C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等
7．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫作三角形的内心，如图，在 Rt△ABC中，点P
是△ABC内心，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12．PD⊥BC于点D，则AP的长是（ ）
A．❑√17 B．❑√13 C．4 D．28．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则四边形ABDF的面积是（ ）
a2+b2 a2+b2
A． B． C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
4 2
9．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），
得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形
AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；若把左上角的正方形依次划分下去，则第 n次划分
后，图中共有（ ）个正方形
A．4n+3 B．4n﹣1 C．4n+1 D．4n﹣3
10．如图，已知四边形 ABCD为正方形，AB=4❑√2，点E为对角线AC上一点，连接 DE．过点E作
EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形
DEFG 是正方形；②2CE+CG=❑√2AD；③ CG 平分∠DCF；④ CE＝CF．其中正确的结论有
（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
11．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 ．
12．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ．
13．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是 ．
14．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图 1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线
AC的长为 cm．
15．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于
点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四
1
边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 ．
4
16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝17，CD＝7，作AE⊥BC于点E，
AF⊥CD交CD的延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）求四边形ABCD的面积．
17．在菱形ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE，AE，
AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求CD的长．18．D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点
G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的关系？若四边形DGFE是矩形，则OA与BC
应满足怎样的关系？（直接写出答案，不需要说明理由）
19．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的
垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．20．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3❑√2，求正方形DEFG的边长．
