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专题21 二元一次方程组的实际应用之几何图形问题
【例题讲解】
（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长
的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？
（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸
片，使它的长宽之比为3∶2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
【答案】（1）长是9cm，宽是4cm；（2）不能，理由见解析
【分析】（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可；
（2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可．
【详解】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则 ，解得 ．
答：这个长方形的长是9cm、宽是4cm；
（2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
设裁出的长为3acm，宽为2acm，则3a•2a＝30，解得a＝ ，
∴裁出长方形的的长为3 cm，宽为2 cm，∵3 ＞6，
∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【综合解答】
1．如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的长方形（空白区域），求图中阴影部分的面
积．
2．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为 ，宽为 的大长方形中，求
图中一个小长方形的面积．3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看
见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的
小正方形！求每个长方形的长、宽.
4．如图（1），将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的小正方形，剩余部分的面积为
21cm2， 并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2），且宽为
3cm的长方形，请你求出大正方形和小正方形的边长．
5．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片
的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大
正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长
之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．6．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，
（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)
（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用
来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？
7．某校规划在一块长AD为18 m、宽AB为13 m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行
的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，
且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？
8．小明和小华分别用四个完全相同的，直角边为a，b（a＜b）的三角形拼图，小华拼成的长方形
（如图 ）的周长为20．小明拼成的正方形（如图 ）中间有一个边长为1的正方形小孔．
（1）能①否求出图中一个直角三角形的面积？___（填②“能”或“否”）；（2）若能，请你写出一
个直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
9．为了庆祝建党100周年，某区在文化广场的一块长方形ABCD的空地上，用花卉摆放“100”字
样和四个相同的小正方形（如图），其中 米， 米，三个数之间摆放的距离与四
个小正方形的边长相等．设小正方形的边长为x米，数字的宽度均为y米．（1）请用关于x，y的代数式表示“0”内部小长方形的长和宽．
（2）若“0”内部小长方形的长和宽分别是 米和 米．
①求x，y的值；
②为了整体美观，将在四个正方形、“100”及“0”的内部小长方形分别摆放甲、乙、丙三种花卉，
三种花卉的单价都为整数，其中甲花卉的单价在 元 米 之间 含95和 ，乙、丙两种
花卉的单价之和为300元 米 已知三种花卉总价为6200元，则丙花卉的单价是________元 米 ．
10．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶
包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸
盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．
（1）若小语用长 ，宽 的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底
边长的 倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？
（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒 元购进一批茶叶，按进价增加 作为售价，第一个月由
于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了
余下的茶叶，但每盒成本增加了 元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利 元，求这
批茶叶共进了多少盒？
11．如图，在数轴上有A，B两点，其中点A在点B的左侧，已知点B对应的数为4，点A对应的数为a．
(1)若 ，则线段 的长为______（直接写出结果）；
(2)若点C在射线 上（不与A，B重合），且 ，求点C对应的数；（结果用含a
的式子表示）
(3)若点M在线段 之间，点N在点A的左侧（M、N均不与A、B重合），且 ，当
， 时，求a的值．
12．有一个长方形，若它的长增加 9cm，则变为宽的两倍；若它的宽增加 5cm，则只比长少
1cm.
(1) 这个长方形的长和宽各是多少 cm？
(2) 将这个长方形的长减少 a cm，宽增加 b cm，使它变成一个正方形，若 a，b均为正整数，所
得正方形的周长不大于原长方形的周长，求这个正方形的最大面积.
13．如图，在四边形 中， ．
(1)如图①，点P在线段 上，连接 ，若 ，且 ，求 度
数；
(2)如图②， ，点P，Q分别在线段 上，连接 ， ， 且满
足 ，求 的长；
(3)点P，Q分别在线段 ， 的延长线上，点M在线段 上， ，
，且 ， ，请补全图形并求出k的值．14．如图1，已知数轴上的点A、B对应的数分别是﹣5和1．
（1）若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；
（2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个
时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，
请说明理由；
（3）如图2在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧且OM
＞ON），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，
乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若
甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的
数n是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由．
