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第 04 讲 分式的加减
课程标准 学习目标
1. 掌握分式的加减法运算法则，并能够在分式的加减法运算中熟
①分式的加减法法则 练的应用。
②分式的混合运算 2. 掌握分式的混合运算法则，并能够熟练地进行分式的混合运
算。
知识点01 分式的加减法运算
1. 分式的加减法运算法则：
①同分母的分式相加减：分母 不变 ，分子 相加减 。
即 。
②异分母的分式相加减：先通分，变成 同分母 的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法
则运算即可。
即 ± ＝ 。2. 具体步骤：
第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。
第二步：加减：分母不变，分子相加减。
第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。
第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。
分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。
【即学即练1】
1．（1） （2）
（3） （4）
（5） ．
【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；
（2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式；
（3）通分，公分母为（x+2）（x﹣2）；
（4）把a﹣b看成是一项，为 ，再通分；
（5）前两项先通分，再依次计算即可．
【解答】解：（1） ，
＝ ，
＝ ；
（2） ，
＝ ﹣ ﹣ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝﹣ ；（3） ，
＝ + + ，
＝ ，
＝ ；
（4） ，
＝ + ，
＝ ，
＝ ；
（5） ，
＝ + + ，
＝ + + ，
＝ + ，
＝ + ，
＝ ，
＝ ．
【即学即练2】
2．（1） （2）
【分析】（1）根据分式的加法法则进行计算即可；
（2）根据分式的减法法则进行计算即可．【解答】解：（1）
＝
＝
＝1；
（2）
＝
＝
＝
＝1．
知识点02 分式的混合运算
1. 分式的混合运算：
分式的混合运算和有理数的混合运算一样，按照运算顺序，先算 乘方 ，在算 乘除 ，最后
算 加减 。有括号时先算括号里的，若能运算简便运算的要用简便运算。
【即学即练1】
化简下列各式：
（1） （2）
（3） ．
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分
即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到
结果；
（3）原式第一项先计算乘方运算，约分得到结果，第二项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再
利用同底数幂分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝ •
＝ ；（2）原式＝ ÷
＝ •
＝ ；
（3）原式＝ • ﹣
＝ ﹣
＝
＝ ．
题型01 分式的加减运算
【典例1】计算．
（1） （2）
（3） （4） ．
【分析】（1）原式第二项分母变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（3）原式第二项分母变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；
（4）原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣ ＝ ＝1；
（2）原式＝ ＝﹣1；
（3）原式＝ ＝ ；
（4）原式＝ ＝ ＝1．
【变式1】化简：（1） （2）
（3） （4） ．
【分析】（1）、（2）、（3）、（4）根据分式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣
＝
＝
＝ ；
（2）原式＝ ﹣
＝
＝x+1；
（3）原式＝（a﹣1）﹣（a﹣2）
＝a﹣1﹣a+2
＝1；
（4）原式＝
＝
＝ ．
【变式2】计算：
（1） ； （2） ； （3） ．
【分析】（1）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案；
（2）根据互为相反数的偶次幂相等，可得同分母分式的加减，根据分子相加减，可得答案；
（3）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案．
【解答】解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝ ；（3）原式＝
＝﹣ ．
【变式3】计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【分析】（1）利用分式的基本性质将原式进行变形，然后根据同分母分式的加减法运算法则进行计算；
（2）先通分，然后再根据同分母分式的加减法运算法则进行计算；
（3）先通分，然后再根据同分母分式的加减法运算法则进行计算；
（4）先通分，然后再根据同分母分式的加减法运算法则进行计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝
＝
＝2x﹣2y；
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝ ；
（3）原式＝
＝
＝﹣ ；（4）原式＝x（x+1）﹣ +1
＝
＝
＝﹣ ．
题型02 分式的混合运算
【典例1】计算：
（1） ； （2） ；
（3） ．
【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法
法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣ ＝
＝
＝x+y；
（2）原式＝
＝
＝x+2；
（3）原式＝ • ﹣
＝ ﹣
＝
＝＝﹣1．
【变式1】计算：
（1） ； （2） ．
【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）原式先计算乘方运算，再计算除法运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝x（y﹣x）• •
＝﹣x（x﹣y）• •
＝﹣y；
（2）原式＝1﹣[ ]2•
＝1﹣ •
＝1﹣1
＝0．
【变式2】计算：
（1）（ ）﹣3÷ •（ ）2 （2） ÷（ + ）
（3） ÷（a+2b+ ）+ （4）（ ）2• ﹣ ÷ ）
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到
结果；
（3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通
分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；
（4）原式先计算乘方及除法运算，再计算加减运算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣ • • ＝﹣ ；
（2）原式＝ ÷ ＝ • ＝2；
（3）原式＝ ÷ + ＝ • + ＝ + ＝＝ ；
（ 4 ） 原 式 ＝ • ﹣ • ＝ ﹣ ＝ ＝
＝ ．
【变式3】计算下列各题
（1） • （2） ﹣ ﹣
（3） + ﹣ （4）（ ﹣x﹣2）+
【分析】（1）先将分子分母分解因式，再进行分式的约分即可求解；
（2）先通分再进行分式的加减运算即可求解；
（3）先将分子分母分解因式化简后再进行通分计算即可求解；
（4）先将分式通分再进行加减计算即可求解．
【解答】解：（1）原式＝
＝ ．
（2）原式＝
＝
＝ ．
（3）原式＝
＝
＝
＝ ．
（4）原式＝＝
＝ ．
题型03 求分式运算中的未知部分
【典例1】如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（ ）
A． B．a C． D．1
【分析】由题意得，被盖住的部分是 ，进而可得答案．
【解答】解：由题意得，被盖住的部分是 ＝ ＝ ＝1．
故选：D．
【变式1】若分式 的计算结果为3，则“？”中的式子是（ ）
A．3a+6 B．3a﹣2 C．3a D．a﹣3
【分析】利用分式的加法的法则对式子进行运算，从而可求解．
【解答】解：由题意得：
＝3，
，
∴？+3＝3（a+1），
？＝3a+3﹣3＝3a．
故选：C．
【变式2】已知A为整式，若计算 ﹣ 的结果为 ，则A＝（ ）
A．x B．y C．x+y D．x﹣y
【分析】由 ﹣ ＝ 可得Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，故Ax＝x2，从而A＝x．
【解答】解：∵ ﹣ ＝ ，∴ ＝ + ，
∴ ＝ + ，
∴Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，
∴Ax＝x2，
∴A＝x；
故选：A．
【变式3】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的
一角中“■”为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据乘法与减法的意义列式表示“■”为 ，再计算即可．
【解答】解：撕坏的一角中“■”为
，
故选：A．
【变式4】若化简 的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（ ）
A．4x B．4﹣x C．x+4 D．﹣2x
【分析】先通分括号内，再运算除法，得 ，结合“最终结果为整数”，进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：
＝
＝
＝
∴A、 不是整数，故该选项是错误的；
B、 不是整数，故该选项是错误的；C、 不是整数，故该选项是错误的；
D、 是整数，故该选项是正确的；
故选：D．
题型04 分式的化简求值
【典例1】先化简，再求值： ，其中x＝5，y＝3．
【分析】先根据同分母分式加减运算法则计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式，然后
将x＝5，y＝3代入计算即可
【解答】解：
＝
＝
＝ ，
当x＝5，y＝3时，原式＝ ．
【变式1】已知
（1）化简W；
（2）请从﹣2，2，0，3，4选取合适的整数a代入W，求出W的值．
2
【分析】（1）先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，再约分即可；
（2）根据分式有意义的条件，可以从﹣2，2，0，3，4选取合适的整数a代入W，求出W的值．
【解答】解：（1）
＝ •
＝ •
＝ ；
（2）∵当a＝2，﹣2或0时，W无意义，∴a可以为3或4，
当a＝3时，原式＝ ＝ ；
当a＝4时，原式＝ ＝ ．
【变式2】先化简，再求值： ，再从﹣2，﹣1，0，1，2中取一个数代入求值其
中．
【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给
字母的值代入计算．
【解答】解：原式＝
＝
＝﹣a﹣1，
由题意：a+1≠0、a+2≠0、a﹣2≠0，
故a取1，当a＝1时，
原式＝﹣a﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2．
【变式3】（1）先化简 ，再从﹣1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
（2）先化简，再求值： ，其中a，b满足b﹣2a＝0．
【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定 x的值，代入
计算即可；
（2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据b﹣2a＝0得到b＝2a，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝ ，
由题意得：x≠0和3，
当x＝2时，原式＝ ＝﹣2（答案不唯一）；（2）原式＝ ﹣ ÷
＝ ﹣ •
＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ，
∵b﹣2a＝0，
∴b＝2a，
则原式＝ ＝﹣ ．
题型05 根据分式计算的结果为整式求值
【典例1】已知 这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的
结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ ）
A．x﹣3 B．x﹣2 C．x+3 D．x+2
【分析】根据分式的乘除法法则计算，判断即可．
【解答】解：A、 ÷ ＝ • ＝ ，不是整式，
符合题意；
B、 ÷ ＝ • ＝（x+2）（x+3），是整式，不符合题意；
C、 ÷ ＝ • ＝（x+2）（x﹣2），是整式，不符合题意；
D、 ÷ ＝ • ＝（x﹣2）（x+3），是整式，不符合题意；
故选：A．
【变式1】小明在化简分式 时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是（ ）
A．m﹣1 B．m﹣2 C．m D．m+1
【分析】设□里的式子为am+b，然后代入 进行计算，最后根据整式的定义结合选项，确定a和b的值即可．
【解答】解：设□里的式子为am+b，
∴ ＝ ，
令 为整式，则有 ，即b＝1﹣2a，
令a＝1，则b＝﹣1，
∴□里的式子为＝m﹣1，
故选：A．
【变式2】若化简 •〇的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（ ）
A．x+1 B．x+2 C．x+3 D．x+4
【分析】先根据分式的乘法运算法则计算乘法，然后再算加法，最后根据整式的概念进行判断．
【解答】解：A、 + •（x+1）＝ ＝ ， 是分式，故此选项不符合题意；
B、 + •（x+2）＝ +3＝ ＝ ， 是分式，故此选项不符合题意；
C、 + •（x+3）＝ ＝ ＝4，4是整式，故此选项符合题意；
D、 + •（x+4）＝ ＝ ， 是分式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式3】若 的运算结果为整式，则“ ”中的式子不能为（ ）
A．2ab B．3a2b﹣2ab2 C．﹣a3b2 D．a2﹣b2
⊗
【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【解答】解：A． ，是整式，故本选项不符合题意；
B． ，是整式，故本选项不符合题
意；
C． ，是整式，故本选项符合题意；
D． 是分式，不是整式，故本选项不符
合题意；
故选：D．【变式4】若代数式 的化简结果为2x+2，则整式M为（ ）
A．﹣x B．x C．1﹣x D．x+1
【分析】由题意得：M＝（2x+2）• ﹣ ，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
M＝（2x+2）• ﹣
＝2（x+1）• ﹣
＝ +
＝
＝
＝x，
故选：B．
题型04 利用分式的运算解决实际问题
【典例1】小强的爸爸开汽车到距离xkm外的单位去上班，在正常情况下经过yh可以到达．但是有一天由
于汽车需要维修晚出发zh，小强的爸爸每小时应该多走多少km，才能按时到达单位？
【分析】本题关键在非正常情况下与正常情况的联系解答．
【解答】解：由题意可知，正常情况下汽车的速度为 km/h，如果晚出发zh并且按时到达单位的速度
为 km/h，
根据题意，得 ．
答：小强的爸爸每小时应该多走 km，才能按时到达单位．
【变式1】从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度 a行走，
另一半路程以速度b行走；乙旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪个旅客先
到达目的地？（速度单位都相同，且速度a≠速度b）
【分析】设甲乙两人走的路程为x，表示出两人用的时间，比较即可做出判断．
【解答】解：设甲乙两人走的路程为x，甲用的时间为 （ + ），乙用的时间为 ＝ ，
∵ （ + ）﹣ ＝ ﹣ ＝ ＝ ＞0，
∴ + ＞ ，
则乙旅客先到达目的地．
【变式2】用水清洗蔬菜上残留的农药，设用x（x≥1）单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量
与本次清洗前残留的农药量之比为 ．现有a（a≥2）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均
分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
【分析】根据题意在两种方案下，设清洗前蔬菜上残留的农药量为 1，分别用a的代数式表示蔬菜上残
留的农药量，用a单位量的水清洗一次，蔬菜上残留的农药量为P；把a单位量的水平均分成两份后清
洗两次，蔬菜上残留的农药量Q，比较P与Q大小即可得到结果．
【解答】解：设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，分别用a的代数式表示蔬菜上残留的农药量，用a单
位量的水清洗一次，蔬菜上残留的农药量为P＝ ；
把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量Q＝ • ＝ ，
∵（1+a）﹣（1+ ）2＝1+a﹣1﹣a﹣ ＝﹣ ，
∴1+a＜（1+ ）2，
∴P＞Q，
则清洗两次残留的农药量比较少．
【变式3】A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形后余下部分，B玉米
试验田是边长为（a﹣2）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了600千克．
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【分析】（1）分别列出两玉米田的面积，再比较大小即可；
（2）先求出两玉米田单位面积的产量，再进行比较即可．
【解答】解：（1）∵A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形后余下
部分，
∴A玉米田的面积＝a2﹣4；
∵B玉米试验田是边长为（a﹣2）米的正方形，
∴B玉米试验田的面积＝（a﹣2）2，∵a2﹣4﹣（a﹣2）2＝a2﹣4﹣（a2+4﹣4a）＝a2﹣4﹣a2﹣4+4a＝4a﹣8，
∵a＞2，
∴4a﹣8＞0，
∴A玉米田的面积大，
∴B玉米田的单位面积产量高；
（2）∵由题意得，B玉米田单位面积的产量＝ ，B玉米田单位面积的产量＝ ，
∴ ＝ ．
答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍．
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．a+ •b＝a
【分析】分别根据分式的运算法则判断即可．
【解答】解：A、 + ＝ ，故A不符合题意；
B、 ﹣ ＝ ＝ ，故B符合题意；
C、a+ ＝ ，故C不符合题意；
D、a+ •b＝a+1，故D不符合题意；
故选：B．
2．以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：①2÷m× ＝2；② ＝x﹣x2；③ ﹣ ＝
0；④ ，其中解答正确的有（ ）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
【分析】根据分式乘除法运算法则进行计算判断①和②，根据异分母分式加减法运算法则进行计算判断③和④．
【解答】解：2÷m× ＝2× ，故①计算错误，
是最简分式，不能进行约分，故②计算错误，
，故③计算错误，
，故④计算正确，
正确的解答共1道，
故选：A．
3．嘉嘉在计算： 时，将“÷”号看成了“+”号，运算结果为 ，则“△”应该是（
）
A．m﹣1 B．m C．m+1 D．
【分析】根据题意可得 ，则只需要计算出 的结果即可得到答案．
【解答】解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴“△”应该是m，
故选：B．
4．如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中
“□”代表的是（ ）
A． B． C． D．【分析】用结果除以 ，再加上1即为“□”代表的式子．
【解答】解：由题意，得：“□”代表的是 ；
故选：C．
5．甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式＝ ；乙同学：＝ ；
丙同学：＝ ；丁同学＝ ．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【分析】写出正确解答过程，再观察各位同学的解答即可得到答案．
【解答】解：
＝ ÷
＝ •
＝ •
＝﹣ ，
观察可知，开始出现错误的同学是乙；
故选：B．
6．已知x2+2x﹣2＝0，计算 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再用x表示出x2+x的值，代入原式进行计算即可．
【解答】解：
＝ •
＝＝ ，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+x+x﹣2＝0，
∴x2+x＝2﹣x，
∴原式＝ ＝﹣1．
故选：A．
7 ． 根 据 分 式 的 性 质 ， 可 以 将 分 式 （ m 为 整 数 ） 进 行 如 下 变 形 ：
，其中m为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知，M的值可以为0；
结论Ⅱ：若使M的值为整数，则m的值有3个．（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【分析】由分式的性质可知m﹣1≠0，m+1≠0，从而可得结论Ⅰ不对，由M的值为整数且m为整数，
则m+1＝1，2，﹣1，﹣2，即可得出结论Ⅱ正确．
【解答】解： ，
由化简过程可知，m﹣1≠0，m+1≠0，
∴m≠±1，
∴ ；
由题意可知，若使M的值为整数且m为整数，则m+1＝1，2，﹣1，﹣2，
∴m＝0，1，﹣2，﹣3，
综上所述，m＝0，﹣2，﹣3．
所以，Ⅰ不对Ⅱ对．
故选：C．
8．若分式 ，则分式 的值等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据已知条件，将分式 整理为y﹣x＝2xy，再代入则分式 中求值即可．
【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy
将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得
＝
＝
＝
＝ ．
故选：B．
9．若x为整数，则使分式 的值为整数的x的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【分析】先化简分式，然后利用整数的整除性求到x的值即可求解．
【解答】解：∵
＝
＝
＝ ，
要使分式值为整数，且x为整数，
∴x＝±1，±3，
又x≠3，
∴x＝±1，﹣3，
∴整数的x的个数有1，﹣1，﹣3，共3个，
故选：B．
10．实数a、b、m、n满足a＜b，﹣1＜n＜m，若 ， ，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．无法确定的
【分析】首先将M，N变形，即可得M﹣N＝ （b﹣a），继而求得答案．
【解答】解：∵ ＝ a+ b， ＝ a+ b，∴M﹣N＝（ ﹣ ）a+（ ﹣ ）b
＝ a+ b
＝ （b﹣a），
∵a＜b，﹣1＜n＜m，
∴m﹣n＞0，1+m＞0，1+n＞0，b﹣a＞0，
∴M﹣N＞0，
∴M＞N．
故选：A．
11．若|a|＝3，|b|＝6，且ab＞0，则代数式 的值等于 或 ．
【分析】根据|a|＝3，|b|＝6，且ab＞0，分两种情况求解即可．
【解答】解：由条件可知：a＝±3，b＝±6，
∴当a＝3时，b＝6，
＝3﹣6+ ＝﹣ ，
当a＝﹣3时，b＝﹣6，
＝﹣3﹣（﹣6）+ ＝ ．
故答案为： 或 ．
12．某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m
千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若 A种糖果单价上涨
20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则 为 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式am+bn＝a（1+20%）m+b（1﹣10%）n，然后化简即
可得到 的值．
【解答】解：由题意可得，
am+bn＝a（1+20%）m+b（1﹣10%）n，
解得 ，
故答案为： ．
13．定义两种运算： ， ，则mΔn÷（m*n）＝ ．
【分析】先根据题意得出mΔn与m*n的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：∵： ， ，
∴mΔn＝ ，m*n＝ ，
∴mΔn÷（m*n）
＝ ÷
＝ •
＝ ．
故答案为： ．
14．已知a+b+c＝0，abc＞0，则 ＝ 1 ．
【分析】由于b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，则原式＝﹣（ + + ），再根据有理数的
性质判断a、b、c中有2个负数，一个正数，则利用绝对值的意义，在 、 、 中有2个负
数，一个正数，然后进行有理数的加减运算．
【解答】解：∵a+b+c＝0，abc＞0，
∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴原式＝ + + ＝﹣（ + + ），
∵a+b+c＝0，abc＞0，
∴a、b、c中有2个负数，一个正数，
∴原式＝﹣（﹣1﹣1+1）＝1．
故答案为：1．
15．对于代数式m，n，定义运算“ ”：m n＝ ，例如：4 2＝ ，若（x﹣1） （x+2）
⊗ ⊗ ⊗ ⊗
＝ ，则A+2B＝ 5 ．
【分析】根据定义运算表示出（x﹣1） （x+2）的式子，再将 进行运算，便得到A和B的
值，最后代入A+2B中，求出结果即可．
⊗
【解答】解：（x﹣1） （x+2）＝ ＝ ，
⊗＝ +
＝
＝
＝ ，
∵ ＝ ，
∴A+B＝2，2A﹣B＝﹣5，
解得A＝﹣1，B＝3，
∴A+2B＝﹣1+2×3＝5，
故答案为：5．
16．化简
（1）
（2）
【分析】（1）根据异分母分式的加减运算法则求解即可；
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝ ；
（2）
＝
＝
＝＝ ．
17．先化简： ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为m的值
代入求值．
【分析】首先把分子和分母分解因式，然后转化成乘法计算，再约分即可化简；然后选取适当的数值代
入求值即可．
【解答】解：
＝
＝ ×
＝
＝ ．
当m＝﹣1时，
原式＝ ＝0．
18．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分 ．
（1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是 ，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的作为a
值代入求值；
（2）若这道题的答案是 ，则被墨水遮住的式子是多少？
【分析】（1）用 代替 中的■化简，根据a≠1，a≠﹣1，取限定的﹣1，
0，1中的0作为a值，代入化简结果计算即得；
（2）根据乘除加减的互逆关系做等式变形，计算 中的■．
【解答】解：（1）
＝
＝＝ ，
∵a﹣1≠0，a+1≠0，
∴a≠1，a≠﹣1，
∴从﹣1，0，1中选取0作为a值代入求值，
原式＝ ；
（2）∵ ，
∴■＝
＝
＝
＝ ，
则被墨水遮住的式子是 ．
19．阅读材料：已知 ，求 的值．
解：由 得， ，则有 ，由此可得， ；
所以， ．
请理解上述材料后求：
（1）已知 ，求分式 的值；
（2）已知 ，用a的代数式表示 的值．
【分析】（1）根据阅读材料的计算方法与步骤进行计算即可；
（2）根据阅读材料的计算方法与步骤进行计算即可．
【解答】解：（1）由 得， ，则有 ，
所以 ；
所以 ，
∴分式 的值为 ；
（2）由 得， ，
则有 ，
所以 ；
所以 ，
∴ 的值为 ．
20．阅读理解：
材料1：我们为了研究分式 的值与分母x的关系，制作如下表格：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
… ﹣0.25 ﹣0.5 ﹣1 无意 1 0.5 0.25 …
﹣0. 0.
义
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大， 的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增
大， 的值也随之减小．
材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；
当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分
式的和的形式．
例如： ＝ ＝1﹣ ；再如： ．
请根据上述材料完成下列问题：
（1）当m＞0时，随着m的增大， 的值 减小 （填“增大”或“减小”）；当m＜0时，随着m的增大， 的值 减小 （填“增大”或“减小”）；
（2）当m＞1时，随着m的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数．
【分析】（1）根据示例，可得到当m＞0时，随着m的增大， 的值随之减小，从而得到1+ 的值也
随之减小，得到结果；
当m＜0时，随着m的增大， 的值随之减小，1+ 的值随之减小，从而得到结果；
（2）当m＞1时，随着m的增大， 的值随之减小，并无限接近0；从而得到随着m的增大，
的值无限接近3．
【解答】解：（1）∵当m＞0时，随着m的增大， 的值随之减小，
∴当 的值减小时，1+ 的值也随之减小，
∴当m＞0时，1+ 的值也随之减小，
故答案为：减小；
∵ ，
当m＜0时，随着m的增大， 的值随之减小，
当 的值减小时，1+ 的值随之减小，
∴当m＜0时，随着m的增大， 的值 随之减小，
故答案为：减小；
（2）∵ ＝ ，
当m＞1时，随着m的增大， 的值随之减小，并无限接近0；
∴3+ 的值也随之减小，并无限接近3，
即：当m＞1时，随着m的增大， 的值无限接近3，
答：当m＞1时，随着m的增大， 的值无限接近3．
