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专题21 二元一次方程组的实际应用之几何图形问题
【例题讲解】
（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长
的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？
（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸
片，使它的长宽之比为3∶2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
【答案】（1）长是9cm，宽是4cm；（2）不能，理由见解析
【分析】（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可；
（2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可．
【详解】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则 ，解得 ．
答：这个长方形的长是9cm、宽是4cm；
（2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
设裁出的长为3acm，宽为2acm，则3a•2a＝30，解得a＝ ，
∴裁出长方形的的长为3 cm，宽为2 cm，∵3 ＞6，
∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【综合解答】
1．如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的长方形（空白区域），求图中阴影部分的面
积．
【答案】72cm2
【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据所给出的图形列出方程组，求出x，y的值，
再根据长方形的面积公式即可得出答案．【详解】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，
依题意得： ，
解得： ，
则小长方形的长、宽分别为10cm，2cm，
图中阴影部分的面积是：S =S ABCD S =16×（8+2+2）-6×2×10=72(cm2)．
阴影部分 四边形 -6× 小长方形
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数
量关系，然后利用数量关系列出方程组．
2．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为 ，宽为 的大长方形中，求
图中一个小长方形的面积．
【答案】8
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方
程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得： ，
解得： ，
∴xy=4×2=8．
答：图中一个小长方形的面积为8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二
元一次方程组是解题的关键．
3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的
小正方形！求每个长方形的长、宽.
【答案】长是10mm，宽是6mm
【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与
其3个长相等，两个加2长的和等于一个长与两个宽的和，于是得方程组，解出即可．
【详解】设长方形的长为x，宽为y，则
解得：
所以每个小长方形的长是10mm，宽是6mm．
【点睛】考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根
据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．
4．如图（1），将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的小正方形，剩余部分的面积为
21cm2， 并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2），且宽为
3cm的长方形，请你求出大正方形和小正方形的边长．
【答案】大正方形的边长为5cm，小正方形的边长为2cm
【分析】根据题意结合图形列出二元一次方程组即可求解．【详解】解：依题意得： ，
解得： ，
答：大正方形的边长为5cm，小正方形的边长为2cm．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解答本题的关键．
5．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片
的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大
正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长
之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．
【答案】（1）长为 ，宽为 ；（2）正确，理由见解析
【分析】（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；
（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方程组求
出a即可得到大正方形的面积．
【详解】解：（1）设长为3x，宽为2x，
则：3x•2x=30，
∴x= （负值舍去），
∴3x= ，2x= ，
答：这个长方形纸片的长为 ，宽为 ；
（2）正确．理由如下：
根据题意得： ，解得： ，
∴大正方形的面积为102=100．
【点睛】本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二
元方程转化为一元方程是解题的关键．
6．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，
（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)
（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用
来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？
【答案】(1) 长是1.5m，宽是0.5m；（2）不能
【分析】（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；
（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可．
【详解】解:（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym，由题意得：
解得:
∴长是1.5m，宽是0.5m．
（2）∵正方形的面积为7平方米，
∴正方形的边长是 米，
∵ <3
∴他不能剪出符合要求的桌布
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，算术平方根的应用，找出等量关系列出方程组是解
（1）的关键，求出正方形的边长是解（2）的关键．
7．某校规划在一块长AD为18 m、宽AB为13 m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，
且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？
【答案】1
【分析】利用AM:AN=8:9，设通道的宽为xm，AM=8ym，则AN=9ym，进而利用AD为18m，AB为
13m，得出等式求出即可.
【详解】设通道的宽是xm，AM＝8ym.
因为AM∶AN＝8∶9，所以AN＝9ym.
所以 解得
答：通道的宽是1m.
故答案为1.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.
8．小明和小华分别用四个完全相同的，直角边为a，b（a＜b）的三角形拼图，小华拼成的长方形
（如图 ）的周长为20．小明拼成的正方形（如图 ）中间有一个边长为1的正方形小孔．
（1）能①否求出图中一个直角三角形的面积？___（填②“能”或“否”）；（2）若能，请你写出一
个直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）能；（2）S＝6．
【分析】可结合图②得到a，b边的数量关系，再通过图①中的长方形的边长即周长联立关系式即
可求出a，b的值，即可求出一个直角三角形的面积.
【详解】（1）能；
故答案为：能；
（2）由题意得：在图① 中可根据周长得到关于a，b的等式；在图②中可得到a，b边的数量关系，联立可得：
，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是在图形结合题目找到关系式，
最后求解得出数据即可.
9．为了庆祝建党100周年，某区在文化广场的一块长方形ABCD的空地上，用花卉摆放“100”字
样和四个相同的小正方形（如图），其中 米， 米，三个数之间摆放的距离与四
个小正方形的边长相等．设小正方形的边长为x米，数字的宽度均为y米．
（1）请用关于x，y的代数式表示“0”内部小长方形的长和宽．
（2）若“0”内部小长方形的长和宽分别是 米和 米．
①求x，y的值；
②为了整体美观，将在四个正方形、“100”及“0”的内部小长方形分别摆放甲、乙、丙三种花卉，
三种花卉的单价都为整数，其中甲花卉的单价在 元 米 之间 含95和 ，乙、丙两种
花卉的单价之和为300元 米 已知三种花卉总价为6200元，则丙花卉的单价是________元 米 ．
【答案】（1） 米和 米；（2）① ， ；②120
【分析】（1）利用“0”内部小长方形的长=AB的长-2×小正方形的边长-2×数字的宽度，即可用含
x，y的代数式表示出“0”内部小长方形的长；利用“0”内部小长方形的宽=（AD的长-4×小正方形
的边长-5×数字的宽度）÷2，即可用含x，y的代数式表示出“0”内部小长方形的宽；
（2）①由（1）的结论结合“0”内部小长方形的长和宽分别是3.6米和1.4米，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；②设甲花卉的单价是a元/米2，丙花卉的单价是b元/米
2，则乙花卉的单价是（300-b）元/米2，利用总价=单价×数量，结合三种花卉总价为6200元，即
可得出关于a，b的二元一次方程，化简后可得a= b-346，结合a，b均为整数可得出b为5的倍
数，由甲花卉的单价在95～125元/米2之间（含95和125），可得出关于b的一元一次不等式组，
解之即可得出b的取值范围，再结合b为5的倍数即可得出结论．
【详解】解：（1）“0”内部小长方形的长为（7.2-2x-2y）米，宽为 =（5.4-2x-2.5y）
米．
（2）①依题意得： ，
解得： ．
答：x的值为1，y的值为0.8．
②设甲花卉的单价是a元/米2，丙花卉的单价是b元/米2，则乙花卉的单价是（300-b）元/米2，
依题意得：4a+[5×（7.2-2）+4×1.4]×0.8（300-b）+2×3.6×1.4b=6200，
化简得：a= b-346．
∵a，b均为整数，
∴b为5的倍数．
又∵甲花卉的单价在95～125元/米2之间（含95和125），
∴ ，
解得：116 ≤b≤123 ，
∴b=120．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等
式组的应用，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含x，y的代数式表示出“0”内部小长
方形的长和宽；（2）①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二
元一次方程．10．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶
包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸
盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．
（1）若小语用长 ，宽 的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底
边长的 倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？
（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒 元购进一批茶叶，按进价增加 作为售价，第一个月由
于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了
余下的茶叶，但每盒成本增加了 元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利 元，求这
批茶叶共进了多少盒？
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据题意设盒底边长，接口的宽度，分别为 ， ,根据题意列方程组，再根据
长宽高求得体积；
（2）分别设第一个月和第二个月的销售量为 盒，根据题意列出方程和不等式组，根据不等式
确定二元一次方程的解，两个月的销售总量为 盒
【详解】（1）设设盒底边长为 ，接口的宽度为 ，则盒高是 ，根据题意得：
解得：
茶叶盒的容积是：
答：该茶叶盒的容积是（2）设第一个月销售了 盒，第二个月销售了 盒，根据题意得：
化简得： ①
第一个月只售出不到一半但超过三分之一的量
即
由①得：
解得：
是整数，所以 为5的倍数
或者
或者
答：这批茶叶共进了 或者 盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的求解，理解题意列出方程组和
不等式组是解题的关键．
11．如图，在数轴上有A，B两点，其中点A在点B的左侧，已知点B对应的数为4，点A对应的
数为a．
(1)若 ，则线段 的长为______（直接写出结果）；
(2)若点C在射线 上（不与A，B重合），且 ，求点C对应的数；（结果用含a
的式子表示）
(3)若点M在线段 之间，点N在点A的左侧（M、N均不与A、B重合），且 ，当
， 时，求a的值．【答案】(1)9；
(2) 或（6-2a）；
(3)
【分析】（1）利用有理数混合运算的法则计算出a的值，结合数轴即可求得结论；
（2）分两种情况讨论解答：①点C在A，B之间；②点C在B点的右侧；设点C对应的数字为
x，依据已知条件列出等式后化简即可得出结论；
（3）设点M对应的数字为m，点N对应的数字为n，利用依据已知条件列出等式后化简即可得出
结论．
【详解】（1）解：∵
=-5，
∴AB=4-（-5）=4+5=9，
故答案为：9．
（2）解：设点C对应的数字为x，
①点C在A，B之间时，
∵2AC-3BC=6，
∴2（x-a）-3（4-x）=6．
化简得：5x=18+2a．
∴x= ．
②点C在B点的右侧时，
∵2AC-3BC=6，
∴2（x-a）-3（x-4）=6．
化简得：-x=-6+2a．
∴x=6-2a．
综上，点C对应的数为 或6-2a．
（3）解：设点M对应的数字为m，点N对应的数字为n，由题意得：AM=m-a，AN=a-n，BM=4-m，BN=4-n，
∵AM-BM=2，
∴（m-a）-（4-m）=2．
∴2m-a=6①．
∵当 =3时，BN=6BM，
∴ =3，4-n=6（4-m）．
∴m+3n=4a②，
6m-n=20③，
③×3+②得：19m=60+4a④，
将④代入①得：2× -a=6．
∴a= ．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，数轴，数轴上的点对应的
数字的特征，利用数轴上的点对应的数字表示出对应线段的长度是解题的关键．
12．有一个长方形，若它的长增加 9cm，则变为宽的两倍；若它的宽增加 5cm，则只比长少
1cm.
(1) 这个长方形的长和宽各是多少 cm？
(2) 将这个长方形的长减少 a cm，宽增加 b cm，使它变成一个正方形，若 a，b均为正整数，所
得正方形的周长不大于原长方形的周长，求这个正方形的最大面积.
【答案】(1) 长为21cm，宽为15cm ;(2) 324cm2.
【详解】分析：（1）设该长方形的长为 ，宽为 ，根据若它的长增加 9cm，则变为宽
的两倍和若它的宽增加 5cm，则只比长少 1cm各列一个方程，组成方程组求解即可；
（2）由题意得， ，即 ,然后根据a，b均为正整数和所得正方形的周长不大于
原长方形的周长列不等式组求解即可.
详解：（1）设该长方形的长为 ，宽为 ，
依题意得: ，
解得: ，答:该长方形的长为21cm，宽为15cm.
（2）依题意： ，
∴ ,
又 ，
∴ ,
∵ a为整数，所以 3，4，5,
对应正方形面积分别为324cm2，289cm2，256cm2，
∴这个正方形的最大面积为324cm2.
点睛：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的几何应用，仔细审题，从中找出列方程
组和不等式组所需的等量关系和不等量关系式解答本题的关键.
13．如图，在四边形 中， ．
(1)如图①，点P在线段 上，连接 ，若 ，且 ，求 度
数；
(2)如图②， ，点P，Q分别在线段 上，连接 ， ， 且满
足 ，求 的长；
(3)点P，Q分别在线段 ， 的延长线上，点M在线段 上， ，
，且 ， ，请补全图形并求出k的值．
【答案】(1)27°
(2)2
(3)图见解析，【分析】（1）根据 ，设 ，则 ，
，根据平行线的性质可得 ，可得
，解方程即可求解；
（2）设 ，则 ，则 ，根据 建立方程，
解方程即可求解；
（3）过点M作 ，过点Q作 ，设 ， ，则 ，
， ， ，可得 ，
解二元一次方程组即可求解．
（1）
∵ ，
∴设 ，则 ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）
如图②，设 ，则 ，则
∴ 5分
,
∵∴
解得
（3）
如图
过点M作 ，过点Q作
由（1）知
∴ ，
∴ ，
，
设 ， ，则 ，
， ，
∴
解得
∴
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握
平行线的性质与判定是解题的关键．
14．如图1，已知数轴上的点A、B对应的数分别是﹣5和1．
（1）若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；（2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个
时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，
请说明理由；
（3）如图2在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧且OM
＞ON），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，
乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若
甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的
数n是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由．
【答案】（1）点P对应的数为-2；（2）当t=2或6时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的
距离的2倍；（3）m+13n=0．
【分析】（1）设点P对应的数为x，表示出BP与PA，根据BP=PA求出x的值，即可确定出点P
对应的数；
（2）表示出点P对应的数，进而表示出PA与PB，根据PA=2PB求出t的值即可；
（3）因为OM＞ON，只有甲乙均反弹之后在中点相遇一种情况，设点M对应的数为m，点N对
应的数为n，时间为t，则M、N的中点对应的数为 ，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到
点M和点N的距离相等列出关系式即可．
【详解】解：（1）点A、B对应的数分别是﹣5和1，
设点P对应的数为x，
则BP=1-x，PA=x+5，
∵BP=PA，
∴1-x=x+5，
解得：x=-2，
∴点P对应的数为-2；
（2）P对应的数为-5+2t，
∴PA=2t，PB=|-5+2t-1|=|2t-6|，
∵PA=2PB，
∴2t=2|2t-6|，当t=2t-6时，t=6；
当t+2t-6=0时，t=2；
答：当t=2或6时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
（3）设点M对应的数为m，点N对应的数为n，时间为t，
则M、N的中点对应的数为 ，
∴MN=n-m，OM=-m，ON=n，
∴ ，即 ，
化简得m+13n=0．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，运用分类讨论思想、方程思想
及数形结合思想是解题的关键．
