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专题21 人教七下精选新定义题型（原卷版）
类型一 实数中的新定义题型
1．（2022 秋•辉县市校级月考）对于任意两个实数 a，b 定义两种运算： {a(a≥b)，
aΔb=
b(a＜b)
a∇b=
{b(a≥b)，并且定义运算顺序任然是先做括号内的，例如（﹣2）Δ3＝3，（﹣2）∇3＝2，
a(a＜b)
[（﹣2）Δ3]∇2＝2，那么 等于（ ）
(√5∇2)Δ√327
A．√5 B．3 C．6 D．√10
2．（2022•台山市校级一模）定义：求乘方运算中的指数运算叫做对数，如果N＝ax，则log N＝x．例如
a
1
log
2
8＝3，那么log
3 27
×log❑
√2
2√2= ．
3．（2022•南京模拟）新定义一种运算@，其运算法则是x@y=√xy+1，则2@（6@8）＝ ．
4．（2022 秋•永兴县期末）定义[x]为不大于 x 的最大整数，如[2]＝2，[√3]=1，[4.1]＝4，则满足
[√n]=5，则n的最大整数为 ．
5．（2022秋•隆回县期末）对于正实数a，b作新定义：a b＝2√a−√b，若25 x2＝4，则x的值为
． ⊙ ⊙
6．（2022秋•朝阳区校级期末）用 定义一种新运算：对于任意实数a和b，规定a b＝a2﹣ab+1．
（1）求√2⊗√6的值．
⊗ ⊗
（2）√2⊗(√3⊗√6)= ．
7．（2022•苏州模拟）对实数a，b，定义运算“◆”：a◆b {√a2+b2，a≥b，例如4◆3，因为4＞3，
=
ab，a＜b
{4x−y=8
所以4◆3=√42+32=5，若x，y满足方程组 ，则x◆y＝ ．
x+2y=20
8．（2018秋•阳山县期末）对于实数x，y，定义一种新的运算“★”，规定x★y＝ax+by，其中a，b为常
数，等式右边是通常的加法和乘法运算．如果3★5＝12，1★2＝3，那么√3 ab= ．9．（2022秋•屯留区期末）对于任意的正实数a和b，我们定义新运算：
a∗b=
{√a−√b(a≥b)．
√a+√b(a＜b)
如：27∗12=√27−√12=√3．
求：（5*2）×（18*45）的值．类型二 平面直角坐标系中的新定义题型
10．（2022春•晋安区期末）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）
＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（5，﹣2））＝（ ）
A．（2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（﹣5，2） D．（﹣2，﹣5）
11．（2022春•景县期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多
拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（2，﹣1），Q（﹣1，0），则P，Q的
“实际距离”为4，即PS+SQ＝4或PT+TQ＝4．图中点A（3，2），B（5，﹣3）为共享单车停放点，
嘉淇在点P处，则（ ）
A．他与A处的“实际距离”更近 B．他与B处的“实际距离”更近
C．他与A处和B处的“实际距离”一样近D．无法判断
12．（2022春•思明区期末）给出一个新定义：若平面直角坐标系中的点（a，b）的横、纵坐标满足方
程x﹣2y＝4，则称点（a，b）是方程x﹣2y＝4的坐标点，比如：点（6，1）就是方程x﹣2y＝4的坐标
点．
（1）写出方程x﹣2y＝4的另一个坐标点 ；
（2）若有一个点（3a，a+2）是方程x﹣2y＝4的坐标点，则a的值为 ．
13．（2022春•天河区期末）在平面直角坐标系中取任意两点 A（x ，y ），B（x ，y ），定义新运算
1 1 2 2
“*”，得到新的C的坐标为（x y ，x y ），即（x ，y ）*（x ，y ）＝（x y ，x y ）．若点A在第一
1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1
象限，点B在第四象限，根据上述规则计算得到的点C的坐标在第 象限．
14．（2022•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P （x ，y ）与P （x ，y ）的“非常
1 1 1 2 2 2
距离”给出如下定义：若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|x ﹣x |；若|x ﹣x |＜|y ﹣
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|y ﹣y |，例如：点P （1，2），点P （3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣
2 1 2 1 2 1 2
5|，所以点P 与点P 的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P Q与线段P Q长度的较大值（点
1 2 1 2
1
Q为垂直于y轴的直线P Q与垂直于x轴的直线P Q的交点）．已知点A(− ，0)，
1 2
2
B为y轴上的一个动点．
（1）若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标 ；（2）直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值 ．
15．（2022春•青山区校级月考）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点A，B，C的“矩面积”，
给出如下定义：“水平底”a指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h指任意两点纵坐标差的最大
值，“矩面积”S＝ah．例如：A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2）则“水平底”a＝5，“铅垂
高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．若D（1，2），E（﹣2，1），F（0，t）三点的“矩面积”为18，
则t的值为 ．
16．（2022秋•霍邱月考）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距
离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点
Q（﹣5，﹣1）就是等距点．
（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点
C的坐标；
（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．
17．（2022春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P
（x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P进行“e型平移”，点P′称为将点P进行“e型平移”的对
应点；将图形M上的所有点进行“e型平移”称为将图形M进行“e型平移”．例如，将点P（x，y）平移
到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”．
（1）已知点A（﹣1，2），B（2，3），将线段AB进行“1型平移”后得到对应线段A′B′．
①画出线段A′B′，并直接写出A′，B′的坐标；
②四边形ABB′A′的面积为 （平方单位）；
（2）若点A（2﹣a，a+1），B（a+1，a+2），将线段AB进行“2型平移”后得到对应线段A′B′，
当四边形ABB′A′的面积为8平方单位，试确定a的值．类型三 二元一次方程组中的新定义题型
18．（2022春•梁山县期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通
常的加法和乘法运算，若2*5＝10，4*7＝28，则3*6＝（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
19．（2022春•万州区校级期中）把y＝ax+b（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系
二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的
“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝
2．
（1）x＝3是“雅系二元一次方程”y＝3x+m的“完美值”，求m的值；
（2）类比“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等
式”y＞kx+1（k≠0，k是常数）的“完美解集”为x＞2，请求出k的值．
20．（2022春•如皋市期中）定义：数对（x，y）经过运算 可以得到数对（x'，y'），记作 （x，y）＝
φ φ
{x′=ax+by
（x'，y'），其中 （a，b为常数）．如，当a＝1，b＝1时， （﹣2，3）＝（1，﹣5）．
y′=ax−by
φ
（1）当a＝2，b＝1时， （1，0）＝ ；
（2）若 （2，1）＝（0φ，4），则a＝ ，b＝ ；
（3）如果φ组成数对（x，y）的两个数x，y满足x﹣2y＝0，xy≠0，且数对（x，y）经过运算 又得到数
对（x，y），求a和b的值． φ21．（2022春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常
数．已知1&1＝1，3 2＝8． ⊗
（1）求a，b的值；⊗
{x& y=4−m
（2）若关于x，y的方程组 的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
x⊗y=5m
（ 3 ） 若 关 于 x ， y 的 方 程 组 {a x&b y=c 的 解 为 {x=4， 求 关 于 x ， y 的 方 程 组
1 1 1
a x⊗b y=c y=5
2 2 2
{3a (x+ y)&4b (x−y)=5c
的解．
1 1 1
3a (x+ y)⊗4b (x−y)=5c
2 2 2
22．（2022春•江阴市期中）对整数x、y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝axy﹣byx（其中a、b是常
数），如：T（2，1）＝a×21﹣b×12＝2a﹣b．
（1）填空：T（2，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
3
（2）若T（3，2）＝10，T（8，﹣1）=− ．
4
①求a与b的值；
②若T（x，1）＝T（1，x），求出此时x的值．
类型四 一元一次不等式中的新定义问题
23．（2022•南谯区开学）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，
x+1
[﹣ ]＝﹣4，如果[ ]=3，则x的取值范围是（ ）
2
π
A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤724．定义一种法则“？”如下：a？b {a(a＞b)，例如：1？2＝2，若（﹣2m﹣5）？3＝3，则m的取值
=
b(a≤b)
范围是 ．
25．（2022秋•临湘市期末）现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣
2）*x≥0的解集为 ．
3
26．（2022春•舒城县校级月考）在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为：a b＝2a−
2
⊕ ⊕
3
（a+b），如1 5＝2×1− （1+5）＝﹣7．
2
⊕
（1）若x 4＝0，则x＝ ；
（2）解不⊕等式x 6＞3；
（3）求不等式x⊕2＞（﹣2） （x+4）的负整数解．
⊕ ⊕
27．（2022秋•西湖区校级月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共
部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
3x+1 x+1
（1）在不等式①3x﹣5＜0，②x≥1，③x﹣（3x﹣1）＜﹣5④ ＞x中，不等式 −1≥x的
2 2
“云不等式”是 .（填序号）
（2）若a≠﹣2，若关于x的不等式x+2≥a与不等式（a+2）x＜a+2互为“云不等式”，求a的取值范
围．
28．（2022春•永春县期中）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为
y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）最大的“对称数”为 ，最小的“对称数”为 ．
（2）若上述定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有 个．
（3）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，{3x−4 x−2
−1≤
且个位数字b能使得不等式组 4 2 有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的
8x−1＞b
值．29．（2022春•如东县期中）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中
m，n均为非零常数）．例如T（1，1）＝3m+2n．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．
①求m，n的值；
②若关于P的不等式组{T(2p，2−p)＞4恰好有3个整数解，求a的取值范围．
T(4 p，3−2p)≤a
（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系
式．
30．（2022春•长沙县期末）定义：对于任意实数a，b，如果满足a+b＝ab，那么称a，b互为“朋友数”，
点（a，b）为“朋友点”．
（1）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”；
①1.5与3是互为“朋友数”的；
②若点（a，b）为“朋友点”，则点（b，a）也一定为“朋友点”；
③若点a与b互为相反数，则（a，b）一定不是“朋友点”；
④存在与1互为“朋友数”的实数．
（2）填空：若（a，3）为“朋友点”，则a＝ ．
（3）已知P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组
{x−2y=m2−9的解，请判断点P（x，y）是否为“朋友点”？若是，请求出m的值；若不是，请说
2x+ y=2m2+7
明理由．31．（2022春•灌云县期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元
{x−1＞1
一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组 的解
x−2＜3
{x−1＞1
集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组 的“相依
x−2＜3
方程”．
{x＞2
（1）在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组 的“相依方程”是 ① ；
x≤5
（填序号）
3x+1
{ ＞x
（2）若关于x的方程2x+k＝6是不等式组 2 的“相依方程”，求k的取值范围．
x−1 2x+1
≥ −1
2 3
|a b| |a b|
32．（2022春•蜀山区校级期中）阅读理解：我们把 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 =
c d c d
|2 3|
ad﹣bc，例如： =2×5﹣3×4＝﹣2．
4 5
|−1 2x−1| 1 | 2 1|
（1）填空：若 =0，则x＝ ， ＞0，则x的取值范围 ；
0.5 x 4 3−x x
|1 n|
（2）若对于正整数m，n满足，1＜ ＜3，求m+n的值；
m 4
|x−1 y| |x −y|
（3）若对于两个非负数x，y， = =k，求实数k的取值范围．
2 3 2 −1
