文档内容
第 04 讲 勾股定理【11 个必考点】
【人教版】
【知识点1 勾股定理】..............................................................................................................................................1
【必考点1 勾股定理解直角三角形】.....................................................................................................................1
【必考点2 利用勾股定理求线段长】.....................................................................................................................2
【必考点3 利用勾股定理求面积】..........................................................................................................................3
【必考点4 勾股定理与数轴】..................................................................................................................................5
【必考点5 勾股定理与网格】..................................................................................................................................6
【必考点6 勾股定理中的平方关系】.....................................................................................................................8
【必考点7 新定义三角形】......................................................................................................................................9
【知识点2 勾股定理的验证】................................................................................................................................10
【必考点8 以弦图为背景的计算题】....................................................................................................................11
【必考点9 勾股定理的证明】................................................................................................................................12
【必考点10 勾股定理的实际应用】.....................................................................................................................14
【必考点11 利用勾股定理求最短路径问题】.....................................................................................................16
【知识点1 勾股定理】
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长
分别为a，b，斜边长为c，那么一定有 a 2 +b 2 =c 2 ，这种关系我们称为勾股定理.
2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，
斜边c叫做弦.
【必考点1 勾股定理解直角三角形】
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．
（1）若a：b＝3：4，c＝25，求a，b；
（2）若c+a＝64，b＝16，求a、c；（3）若∠A＝30°，b＝12❑√3，求c边上的高h．
【例2】在△ABC中，AB＝15，BC＝20，BD为AC边上的高，且BD＝12，则AC＝ ．
【变式1】如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB于点D．
（1）若∠B＝30°，AB＝2❑√3，求BD的长；
（2）在（1）的条件下，∠C＝45°，求△ABC的面积；
（3）若AC＝4，AB＝6，BC＝8，求△ABC的面积．
【变式2】已知△ABC，且AB＝20，AC＝13，BC边上的高为12，则△ABC的面积为 ．
【变式3】△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是 ．
【必考点2 利用勾股定理求线段长】
【例1】已知，如图在三角形ABC中，AC＝4，∠A＝30°，∠ABC＝15°，延长AC到点D，使得DC＝
AC，则BD的长为（ ）
A．5 B．3❑√3 C．4❑√2 D．4❑√3−2
【例2】如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AB=❑√6cm，AC=❑√2cm，点P在线段BC上，当AP＝
BP时，AP的长度为 cm．
【变式1】如图，在 Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长
是 ．【变式2】如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝13，D是线段BC上一点，连接AD，AD＝20，CD＝21，则
BD的长为 ．
【变式3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，
E，则AD的长为 ．
【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC
于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长．
【必考点3 利用勾股定理求面积】
【例1】如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）A．16 B．25 C．144 D．169
【例2】如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形 ABDE和正方形
BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，若AH＝1，CH=2❑√6，则图中阴影部分的面积是
（ ）
A．10 B．5+❑√6 C．25+❑√6 D．5+2❑√6
【变式1】如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．正方形CDEF的面积为 cm2．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作等
边三角形，等边三角形的面积分别为S ，S ，S ，S ，其中S ＝2，S +S ＝14，则S 的大小为 ．
1 2 3 4 1 2 3 4
【变式3】如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知正方形 A、B、C、D的面积
分别是2，5，1，2，则正方形E的面积是 ．【变式4】勾股定理是数学中一颗璀璨的明珠，在人类的文明史上有杰出的贡献．如图 1，在Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，BC＝3，分别以Rt△ABC的各边为一边向Rt△ABC外部作正方形，把两个较小正方
形按图2放置，若图形①的面积是4，则图形②的面积是 ．
【必考点4 勾股定理与数轴】
1
【例1】如图，△ABC的两个顶点A，C均在数轴上，且∠ACB＝90°，BC= AC，若点A表示的数是﹣1，
2
点 C 表示的数是 1，那么以点 A 为圆心，AB 的长为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是
（ ）
A．❑√5−1 B．❑√5 C．❑√5+1 D．−❑√5+1
【变式1】如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．
若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（ ）A．❑√10−2 B．2−❑√10 C．❑√10 D．2+❑√10
【变式2】如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数
轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A．2❑√2 B．1.8 C．﹣1+2❑√2 D．❑√3
【变式3】如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点 A为圆
心，AD长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为 ．
【必考点5 勾股定理与网格】
【例1】如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC
的高，则BD的长为（ ）
3
A．2 B．❑√3 C．3 D． ❑√3
2
【变式1】如图，在3×3的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ）A．AB B．AD C．AC D．AE
【变式2】如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画
弧，交最上方的网格线与点D，则CD的长为（ ）
A．❑√5 B．0.8 C．❑√5−2 D．3−❑√5
【变式3】如图，在4×3的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是
1，则线段AC与线段BC的大小关系为（ ）
A．AC＜BC B．AC＞BC C．AC＝BC D．无法确定
【变式4】通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：
在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造△ABC，比较❑√5+1与❑√10的大小，其
理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角
形任意两边之和大于第三边）．因为 （勾股定理），BC＝
AB=❑√22 +12 =❑√5，AC=❑√32 +12 =❑√10
1，所以❑√5+1＞❑√10．请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较❑√17−❑√2与❑√13的大小，并说明理由，
【必考点6 勾股定理中的平方关系】
【例1】如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝ ．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝14，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2＝
．
【变式1】如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长．
【变式2】如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则
CE2+CF2等于多少？1 AB2−AC2
【变式3】如图，AD是锐角△ABC的高，求证：BD= (BC+ )；
2 BC
【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交
AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
【必考点7 新定义三角形】
1
【例1】如图1，D是△ABC中边AB上的任一点（与点A、B不重合），连结CD．若CD= AB，则称
2
CD是AB的“智慧线”．如图2，已知AB＝7，AC＝5，∠B＝45°，若边AB上存在点D，使CD是AB
的“智慧线”，则AD的长为 ．
【例2】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上的高AD＝12，△ABC中BC边的“中偏度值”为
．
【变式1】定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a、b、c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为
“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．
（2）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求证：△ABC为“类勾股三角形”．志明
同学想到可以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，请你帮助志明完成证明过程．
【变式2】若直角三角形存在一边上的中线恰好等于这边的长，则我们称这个直角三角形为“等边中三角
形”．
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若AC2＝3，BC＝2，求证：Rt△ABC是“等边中三角形”；
（2）若BC＝2且Rt△ABC是“等边中三角形”，求AC2的值．
【变式3】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫“可爱三角形”．
（1）根据“可爱三角形”的定义，等边三角形一定是“可爱三角形”吗？直接答：“是”与“不
是”．
（2）若三角形的三边长分别是4，2❑√6，2❑√5，则该三角形是“可爱三角形”吗？说明理由．
（3）若Rt△ABC是“可爱三角形”∠C＝90°，AC＝5．求AB的长．
【知识点2 勾股定理的验证】
勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积
之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下
（1）弦图证明A D H G
B C E F
内弦图 外弦图
∴ ∴
（2）“总统”法（半弦图）
C
c
D b
c
a
A b E a B
如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴
【必考点8 以弦图为背景的计算题】
【例1】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角
三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边
长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【变式1】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，
它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为 a、
b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（ ）A．12 B．14 C．16 D．18
【变式2】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的，如果小正方形的
面积为6，大正方形的面积为14，直角三角形中较短直角边的长为a，较长直角边的长为b，那么ab的
值为（ ）
A．4 B．6 C．2❑√6 D．❑√14
【变式3】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为
49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x＞y），下列四个说法：①x+y
＝9；②y﹣x＝2；③2xy+4＝49；④x2+y2＝49．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
【必考点9 勾股定理的证明】
【例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由
商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．【例2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他
惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪
利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：∵S_四边形，
又S四边形∴S_四边形，
1 1 1 1
∴ b2 + ab= c2 + a(b−a)，∴a2+b2＝c2．
2 2 2 2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
【变式 1】课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理 a2+b2＝c2的是
（ ）
A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行
C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行
【变式2】如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，b（a＜b），斜边长为c．（1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①小正方形的边长为c，大正方形的边长为 ；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 ，整理得 ，从而验证勾股定
理；
（2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC和CD在一条直线上，连接AE．请你类
比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
【变式3】【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①
所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较
长直角边长为b，较短直角边长为a，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为
．
【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图
②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理．
【拓展】图①“赵爽弦图”中，若b＝6，a＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长
一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长．
【必考点10 勾股定理的实际应用】
【例1】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移
动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点
F的位置？【例2】如图，一架10米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙BO＝6米．
（1）此时梯子顶端A离地面多少米？
m
（2）设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若 =a，根据经验，可知
n
当1.7＜a＜2.7时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安
全？
【变式1】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点
A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区
域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
【变式2】海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【变式3】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适
与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O
处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即 OC＝OE，
求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）．
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解
法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽 AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池
a2−n2
的深度OD（OD＝b）可以通过公式b= 计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
2n
【必考点11 利用勾股定理求最短路径问题】
【例1】如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表
面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 cm．【例2】如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是12cm，高是5cm，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩
带绕到点B，则彩带最短需要 cm．
【变式1】如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm的点B处有一
蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行
的最短距离为 cm（不计壁厚）．
【变式2】在一个长AB为2米，宽AD为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧
棱长平行且大于场地宽AD，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处
爬行翻过三棱柱到C处需要走的最短路程是 米．
【变式3】固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点 A爬行到点B的最短
路程为 ．
