文档内容
专题 11 正方形的性质与判定六类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用正方形的性质求角度
类型二、正方形中的折叠问题
类型三、根据正方形的性质证明与求解
类型四、根据正方形的性质与判定求解
类型五、正方形的性质与判定的综合问题
类型六、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）
压轴专练
类型一、利用正方形的性质求角度
方法总结
1. 正方形=矩形+菱形：综合运用矩形的“四个角为直角”和菱形的“对角线平分对角”性质。
2. 内角和转化：将所求角置于三角形或特殊图形中，利用内角和、外角、平角等关系求解。
解题技巧
1. 对角线模型：连接对角线，利用其“垂直、平分、相等且平分对角”的性质，寻找45°、90°角。
2. 等腰三角形：正方形边或对角线构成的等腰直角三角形，是计算角度的常用模型。
例1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，点E是正方形 内部一点，连接 ，
，若 ， ，则 的度数为 ．
【答案】64
【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出
的度数，角的和差关系求出 的度数，等边对等角即可得出结果．
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：64
【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形 外侧，作等边三角形 ， ，
相交于点 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】先利用正方形和等边三角形的性质，求出相关角的度数，再通过三角形内角和、外角性质，逐步
推导出 的度数．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
， ， ．
是等边三角形，
， ，
， ，
，
．
在 中， ．
在 和 中，
，
，．
故答案为： ．
【变式1-2】（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形 中，对角线 ， 交于点 ，延长
至点 ，使 ，连接 ，点 为 的中点，连接 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明 ， ，又因为点 为 的
中点，得出 ，再根据勾股定理得 ，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【变式1-3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在正方形 中， ，点F从点A出发，沿
运动到点C，点E是边 的中点，连接 ， ， ，当 为等腰三角形时， 的
长为 ．
【答案】1或2或
【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，分三种情况再结合勾股定理
建立方程求解即可.
【详解】解：根据题意，可知：在正方形 中， ，点E是边 的中点，
∴ ， ， ．
当 时，设 ，
∴ ．
， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴ ，当 时，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为1或2或 ．
故答案为：1或2或
类型二、正方形中的折叠问题
方法总结
1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，折痕垂直平分对应点连线，且折叠前后对应线段相等、对应角相等。
2. 结合正方形：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找全等或特殊
直角三角形。
解题技巧
1. 标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，尤其是与正方形边长相等的边。
2. 设元勾股：通常在折叠形成的直角三角形中，设未知边长为 x，利用正方形边长关系和勾股定理列方
程。
例2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，正方形 的边长为4，点E为 的中点，连接 ，
将 沿 折叠，点A的对应点为F．连接 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出
辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．连接 交 于点O，过点F作 交 于点M，交 于
点N，根据勾股定理求出 ，根据折叠得出 ，根据勾股
定理得出 ，求出 ，最后根据矩形的判定和性质，勾股定理求出结果即可．【详解】解：如图，连接 交 于点O，则 ，过点F作 交 于点M，交 于点
N，
∵ ，
∴ ，
∵ ，点E是 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠性质得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2-1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，正方形纸片 的边长为 ，点 是边 的
中点，将这个正方形纸片翻折，使点 落到点 处，折痕交边 于点 ，交边 于点 ，则 的
面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折
变换以及勾股定理是解题的关键．
通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解 的长即可．
【详解】解：由题意得， ，
点 是边 的中点，且 ，
．
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得， ，
即 ，解得 ，
，
的面积为 ．
故答案为 ．
【变式2-2】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，点A的坐标为 ，点E在边 上．将 沿 折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为 ，则
的长为 ；点E的坐标为 ．
【答案】 5
【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活
运用．设正方形 的边长为 ， 与 轴相交于 ，则四边形 矩形，推出 ，
， ．由折叠的性质，得 ， ．根据点 的坐标为 ，点
的坐标为 ，得出 ， ，所以 ．在 中，
，解得 ，则 ， ．在 中，
，解得 ，所以 ，即可得出点 的坐标．
【详解】解：如图，设正方形 的边长为 ， 与 轴相交于 ，
则四边形 是矩形，
， ， ．
由折叠的性质，得 ， ．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，．
在 中， ，
，
解得 ，即 ，
， ．
在 中， ，
，
解得 ，
，
点 的坐标为 ．
故答案为：5， ．
【变式2-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，正方形纸片 的边长为 ，点P是线段
上一动点，连接 ，将这张正方形纸片沿 所在直线折叠，点B的对应点为 ，延长 交边
于点E，当点P为线段 的三等分点时， 的长为 ．
【答案】3或
【分析】根据折叠的性质可得 ， ， ，再根据 证明
，则可得 ．设 ，则 ， ．然后分两种情况：①当
时，②当 时，在 中根据勾股定理列方程求出x的值即可．
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知
识，注意分情况讨论是解题的关键．【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 沿 所在直线折叠后得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ．
①当 时， ，
则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
②当 时， ，
则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
综上，当点P为线段 的三等分点时， 的长为3或 ．
故答案为：为3或 ．类型三、根据正方形的性质证明与求解
方法总结
1. 性质整合：综合运用正方形“四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等并平分对角”的全部性
质。
2. 目标导向：根据待证或所求（边等、角等、垂直等），选择直接相关的性质进行推理或建方程。
解题技巧
1. 构造全等：通过连接对角线或作辅助线，构造全等直角三角形，是证明线段或角相等的常用手法。
2. 巧用45°：对角线平分直角产生的45°角，是进行角度计算和证明的重要切入点。
例3．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）如图，在正方形 中，点E是 边上任意一点， ，
垂足为点O，交 于点F，交 于点G，连接 ．
(1)若 ，求 的长度；
(2)当点E是 边的中点时，求证： ．
【答案】(1)2
(2)见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理．
（1）利用正方形的性质以及余角的性质证明 ，然后利用 证明 ，即可求解；
（2）由（1）中的全等三角形我们可得出 ，因此 ， 和 中，有
一条公共边， ，因此两三角形全等，那么 ，由（1）知 ，因此
，即可证明．
【详解】（1）解：如图，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ；
（2）证明：∵点E位于线段 中点，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ．
【变式3-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形 中， ，点 为 边上一点，
连接 ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)当 为直角三角形时，求线段 的长．
(3)在（2）的条件下，直接写出此时 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）通过正方形的边相等和翻折的性质，得到 再利用等腰三角形等边对等角证角相等．
（2）先判断直角顶点为 ，作辅助线 ，通过全等三角形转化线段关系，结合勾股定理计算
的长；
（3）作 、 ，用面积法求 ，结合矩形性质与勾股定理求 ．
【详解】（1）解： 四边形 是正方形，
，
沿 翻折得 ，
，
，
；
（2）解：过点D作 于点G，
∵点 在 上，点 在正方形内，
∴ 、 为锐角， ， ，
∴当 为直角三角形时， ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ （ ）
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理 即 ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
（3）解：过点 作 ， 于 、 ，连接 ，
∵ ， ， ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 即 ，
解得 ，
∴ ．
【变式3-2】（24-25八年级下·广东湛江·期末）如图正方形 中，点E为对角线 上一点，连接 ，
过点E作 ，交射线 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， 的长度为 ；
(3)当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)2；
(3) 的度数是 或
【分析】（1）过点E作 于点M， 的延长线交 于点N， 于点H，则可得四边形
，四边形 和四边形 都是矩形，则可得 ， ，
．根据同角的余角相等可得 ，再证 是等腰直角三角形，则可得 ，进而
可得 ，根据 证明 ，则可得 ．
（2）四边形 是正方形，且 ，可得 ， ．由 可得 ，进而
可得 ， ， ，则可得 ，则F点与C点重合，因此 ．
（3）分两种情况讨论：①当 时， ，在四边形 中，根据四边形内角和等于
，可求得 ．②当 时，先根据三角形内角和定理求得 ，进而可得
．由 是 的外角，且 可得 ．
【详解】（1）证明：过点E作 于点M， 的延长线交 于点N， 于点H，如图1
所示：∵四边形 是正方形，
， ， ， ，
，
∴四边形 ，四边形 和四边形 都是矩形，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：∵四边形 是正方形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴F点与C点重合，
∴ ．
故答案为：2；
（3）解：∵点E为对角线 上一点，
∴线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，有以下两种情况：
①当 与 的夹角是 时，即 ，如图3①所示：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在四边形 中， ，
∴ ，
∴ ；
②当 与 的夹角是 时，即 ，如图3②所示：∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 的度数是 或 ．
【变式3-3】（25-26九年级上·江西抚州·期中）综合与实践：
正方形 中， 为对角线，点P在线段 上运动，以 为边作正方形 ，连接 ；
(1)【初步探究】如图1，当点P在线段 上时， 与 的数量关系是___________； 与 的位置关
系为__________； 三者的数量关系为_________；
(2)【探索发现】当点P在线段 延长线上运动时，如图2，探究线段 和 三者之间数量关系，
并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，连接 ，若 ， ，则 的长为_________．
【答案】(1) ， ，(2) ，理由见解析
(3)3
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，
全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
（1）证明 ，得出 ， ，求出 ，利用勾股定理求出
，即可求解；
（2）类似（1）探究即可；
（3）利用勾股定理求出 ， ，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 、 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解： ．
理由：∵四边形 都是正方形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ．
（3）解：在正方形ABCD中， ，
∴ ．
由（2）知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：3．
类型四、根据正方形的性质与判定求解
方法总结
1. 先判后性：先依据一组邻边相等且有一个直角等条件，判定四边形为正方形。
2. 再性求解：再利用正方形的性质（四边等、四直角、对角线特性）求值或证明。
解题技巧
1. 判定优选：优先选择“一个角为直角的菱形”或“一组邻边相等的矩形”等简捷判定。
2. 对角线模型：连接对角线，利用其垂直、平分、相等的特性构造全等直角三角形解题。
例4．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，且
，则 ，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，能够正确作出辅助线是解题关键．
直接根据点 ，点 即可求出 ；过点C作 ， ，先证得四边形 是
矩形，再通过 可证得 ，进而证得矩形 是正方形，再通过线段的和差关系算出
，进而可得到答案．
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ ， ，
∴
如图，过点C作 ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ， ．
【变式4-1】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形 中， ， ， 平分
， 平分 ， ， ，则四边形 的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据 ， 可
推出四边形 是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出 ，从而可说明
平行四边形 是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解．
【详解】解： ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形，
，
平分 ， 平分 ，
，
，
平行四边形 是正方形．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即四边形 的面积为8，
故答案为：8．
【变式4-2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在 中， ， ， 是射线 上
一点，将 沿 折叠，得到 ，连接 ．当 为直角三角形时， 的度数为 ．【答案】 或 或
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．
分两种情况：当 时，当 时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判
定与性质求解即可．
【详解】解：当 时，
，
，
由折叠可得： ， ，
，
四边形 是矩形，
，
矩形 是正方形，
；
当 时，
， ，
，
由折叠可知， ， ，
，
点 、 、 共线，
，综上所述， 的度数为 或 ．
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可得， ；
故答案为： 或 或 ．
【变式4-3】（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，在 中，点D为 边上的点，将 沿
折叠，使点A落在点E处，连接 ，已知 ， ，则当 为直角三角形时， 的
长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，分三种情况讨论： ；； ，根据折叠的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 为直角三角形，
∴ 或 或 ，
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∴C、E、B共线，
如图，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，∴ ，
而 ， ， ，
故此种情况不合题意；
③当 时，
由折叠，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形，
又∵ ，
∴矩形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
综上， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
类型五、正方形的性质与判定的综合问题
方法总结
1. 判性结合：先根据条件判定正方形，再综合运用其所有性质（边、角、对角线）推导新结论或求
值。
2. 数形转化：将几何关系（如线段和、角度和）转化为代数方程，或利用全等、勾股定理求解。
解题技巧
1. 对角线分直角：连接对角线，将问题转化为等腰直角三角形问题，是核心解题模型。2. 构造全等：通过作辅助线（如垂线）构造全等三角形，是证明线段相等或垂直的常用技巧。
例5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图， 中， ， 、 为 的外角平分线，
过点 分别作直线 的垂线， 为垂足．
(1) ______ （直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形 是正方形；
②若 ，求 的长．
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形 中， ，一条高是 ，它的
长度为6， ，直接写出 的长度．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
(3)
【分析】 根据平角的定义得到 ，根据角平分线的定义得到
， ，求得 ，根据三角形的内角和定
理即可得到结论；
作 于 ，如图 所示：则 ，先证明四边形 是矩形，再由角平分
线的性质得出 ，即可得出四边形 是正方形；
设 ，根据已知条件求出 ，由 得四边形 是正方形，求得 ，根据全等
三角形的性质求出 ，同理， ，根据勾股定理列方程即可得到结论；
把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 、 交于点 ，由 得：
四边形 是正方形， ， ， ，得出 ， ，设
，则 ， ，在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）解： ，
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
．
故答案为 ；
（2） 证明：作 于 ，如图 所示：
， ，
，
四边形 是矩形，
， 外角平分线交于点 ，
， ，
，
四边形 是正方形；
解：设 ，
，
，
由 得四边形 是正方形，
，
在 与 中，
，，
同理， ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
的长为 ；
（3）解：根据题意作出图形，如图 所示：把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，
延长 、 交于点 ，
由 得：四边形 是正方形， ， ， ，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
即 ．
【变式5-1】（25-26九年级上·江西鹰潭·月考）如图，四边形 为正方形，点E为线段 上一点，
连接 ，过点E作 ，交射线 于点F，以 为邻边作矩形 ，连接 ．(1)求证：矩形 是正方形；
(2)若 ，求 的长和 的面积；
(3)当线段 与正方形 的某条边所在直线的夹角是 时，直接写出 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2) ；1
(3) 或
【分析】（1）先根据正方形的性质得到 ， ，从而可得
，求得 ，再根据矩形的性质得到 ，从而可
利用 证明 ，根据全等三角形的性质可得 ，从而可得矩形 是正方形．
（2）先根据正方形的性质可得 ， ，从而可得 是等腰直角三角形，
根据等腰直角三角形的性质可得 ，再利用勾股定理求得 ，接着利用 证明 ，
根据全等三角形的性质可得 ，从而可得 ．再证明四边形 是矩形，根据
矩形的性质可得 ，再利用勾股定理求得 ，然后求得 ，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）分 与 （或 ）的夹角为 、 与 （或 ）的夹角为 两种情形，分别求出
即可．
【详解】（1）证明：如图1，过点E作 于点 于点Q．∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
．
∵四边形 是矩形，
∴ ，则 ，
∴ ．
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形．
（2）如图2，过点G作 交 延长线于点H．
由正方形的性质可得 ，
，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
由（1）可得 ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
（3）①当 与 （或 ）的夹角为 时，点F在 边上， ，如图3，
则 ．
在四边形 中，由四边形内角和定理得 ；
②当 与 （或 ）的夹角为 时，点F在 的延长线上， ， 与 交于点H，如
图4．∵ ， ，
∴ ．
综上所述， 的度数为 或 ．
【变式5-2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）综合与实践
问题情境：
在矩形纸片 中， ．同学们通过对矩形 进行折叠开展了探究活动．如图1，
点 是边 上一点，将 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，连接 ．
猜想证明：
（1）判断四边形 的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将矩形纸片展开并再次折叠，折痕与 ， 分别交于点 ， ，点 的对应点分别为点
．
①如图2，若点 恰好落在线段 上，连接 ．求证： ；
②若点 恰好落在边 上，连接 与 相交于点 ，连接 ，点 为 的中点，连接 ．
若 ．请直接写出线段 的长度．
【答案】（1）四边形 是正方形，理由见解析；（2）①见解析；② 或
【分析】（1）先根据矩形的性质可得 ，再根据折叠的性质可得 ，
，然后根据正方形的判定即可得；（2）①设 与折痕 交于点 ，过点 作 于点 ，先得出 ，再证出
，根据全等三角形的性质即可得证；
②分两种情况：当点 在 上时，连接 ；当点 在 上时，连接 ；先利用勾股定理求出
的长，再求出 与 的长，利用勾股定理可得 的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半求解即可得．
【详解】（1）解：四边形 是正方形，理由如下：
四边形 是矩形，
∴ ．
由折叠的性质得： ， ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形．
（2）①证明：如图，设 与折痕 交于点 ，过点 作 于点 ．
∴ ，
由（1）已得：四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠的性质得： 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ．
②解：∵在矩形纸片 中， ， ，
∴ ， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
如图，当点 在 上时，连接 ，
∵ ，
∴ ， ，
由折叠的性质得： 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴在 中， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵在 中，点 为斜边 的中点，
∴ ；
如图，当点 在 上时，连接 ，
∵ ，
∴ ， ，
由折叠的性质得： 垂直平分 ， ，
∴ ， ， ，
∴在 中， ，
∴此时 ，即点 与点 重合，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵在 中，点 为斜边 的中点，
∴ ；综上， 的长度为 或 ．
【变式5-3】（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形 中， ，点 在对角线
上运动（点 不与点 ，点 重合）， ，以点 为顶点作菱形 ，且菱形 与
菱形 的形状、大小完全相同，即 ，在菱形 绕点 旋转的过程中，
与边 交于点 与边 交于点 ．
特例感知】
（1）如图1，当 ， 时，则 ， ， 之间满足的数量关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8， ，求 的值（用含 的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接 ，求 的长度．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 的长度为 或 ．
【分析】（1）连接 ，当 ， 时，四边形 和 均为正方形，且 为 的中
点，可证得 （ ），得出 ，即可求得答案；
（2）过点 作 ，交 于 ，可证得 、 、 均为等边三角形，得出
，再证得 （ ），即可得出答案；
（3）连接 交 于 ，运用勾股定理求得 ，分两种情况：当点 在线段 上时，当点 在线段 上时，分别求得 即可．
【详解】解：（1）当 ， 时，
四边形 和 均为正方形，且 为 的中点，
如图1，连接 ，则 ， ， ，
，
（ ），
，
，
；
故答案为： ；
（2）如图2，过点 作 ，交 于 ，
四边形 和四边形 是形状、大小完全相同的菱形，且边长为
8， ，
， ，
、 均为等边三角形，
， ，
，，
是等边三角形，
，
，
，
（ ），
，
，
；
（3）连接 交 于 ，
四边形 是菱形，
，即 ，
，
，
，
当点 在线段 上时，如图2，过点 作 于 ，则 ，
，
由（2）知： ，
，
，；
当点 在线段 上时，如图3，
则 ，
，
，
；
综上所述， 的长度为 或 ．
类型六、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）
方法总结
1. 依据性质作图：利用正方形“四边相等且四角为直角”、“对角线垂直平分且相等”的性质，作垂线、截
等长或作中垂线。
2. 依据判定构图：以满足正方形判定条件（如作一个角为直角的菱形）为目标，逆向设计作图步骤。
解题技巧
1. 先定直角：通常先利用格点或已有线段构造一个直角，再截取等长邻边。
2. 巧用对角线：通过作已知线段的中垂线并截取等长，确定对角线的交点，从而定位四个顶点。
例6．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形 中，点M为 的中点，连接 ，请仅
用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中，在 上作出点E，使 ；
(2)在图2中，在 的延长线上作出点F，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，正确作图是解答本题的关键．
（1）连接 交于点 ，连接 并延长交 于点 ，则点 为 的中点，可得四边形 是
平行四边形，则 ；
（2）在（1）的基础上连接 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，由 互相垂直平分
得 ，得 ，根据 证明 得 ，再证明
，可证明四边形 是平行四边形，可得 ．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图， 即为所作．
【变式6-1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，已知正方形ABCD与正方形EFGB，E为AB的中点，
点G在线段BC的反向延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中，作出AD的中点P．
(2)在图②中，作出GD关于直线CD对称的线段HD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了运用正方形的性质以及对称的性质来进行无刻度直尺的画图，熟练掌握通过连接相关
线段构造出满足要求的点和线段是解题的关键；
（1） 根据中点的性质即可得到点 为 中点；
（2） 根据正方形的性质以及对称的性质，可知线段 就是 关于直线 对称的线段.
【详解】（1）解：如图①，点 即为所求（作法不唯一）；
（2）解：如图②，线段 即为所求．
【变式6-2】（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形 中，点 是边 上的一个动点，
点 关于直线 的对称点为点 ， 与 交于点 ，延长 、 交于点 ．(1)①依据题意补全图形；
②求 的度数；
(2)连接 ，用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明；
(3)若 ， ，直接写出 的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2) ，见解析
(3)
【分析】（1）①根据要求画出图形；
②连接 ，过点A作 于点 ，证明 可得结论；
（2）结论： 利用等腰直角三角形，等腰三角形的性质证明即可；
（3）如图2中，由题意，当点 是 的中点时， 是 的中位线，求出 可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【详解】（1）解：①图形如图1所示：
②连接 ，过点A作 于点
四边形 是正方形，
， ，
，P关于 对称，垂直平分线段 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
；
（2）结论：
理由：如图1中， ，P关于 对称，
，
，
，
，
， ，
，
；
（3）如图2中，由题意，当点 是 的中点时， 是 的中位线，
，
四边形 是正方形，， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
【变式6-3】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连
接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作
图问题．
(1)如图1，四边形 为正方形，点E为 边的中点，请仅用无刻度的直尺画出 边的中点F（保留
作图痕迹，不要求写作法）；
(2)如图2，四边形 为菱形，点E，F分别是 ， 的中点，请仅用无刻度的直尺作以 为边的
矩形 （保留作图痕迹，不写作法）；
(3)如图3， 中， ，垂足为M，交边 于点N．仅用无刻度的直尺在图中作 ，
垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(4)如图4，点E、F分别在平行四边形 的边上， ．连接 ，请过点A作 的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据正方形的中心对称性作图即可；
（2）根据菱形的性质和三角形中位线定理构造中点四边形，根据矩形的判定即可得到答案；
（3）根据平行四边形的中心对称性构造平行四边形，即可得到答案；
（4）根据菱形判定和性质、平行四边形的判定和性质进行作图即可．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求，
（2）四边形 即为所求，
（3）如图，点 即为所求，
（4）如图，点G即为所求，一、单选题
1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在 中，连接 ，再添加一个条件，可以判定
为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形
是矩形”是解题的关键．
根据矩形的判定定理，结合平行四边形的性质，逐一分析各选项是否能判定平行四边形为矩形．
【详解】解：选项A：
∵ ，四边形 是平行四边形，
∴ 平行四边形 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形；
选项B：
∵ ，四边形 是平行四边形，
∴ 平行四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
选项C：
∵ ，四边形 是平行四边形，
∴ 平行四边形 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形；
选项D：
∵ 平行四边形中本身就有 （平行四边形对角相等），∴ 此条件不能判定为矩形．
故选：B．
2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形 中，以对角线 为边在右侧作菱形 ，
点 、 分别在 、 的延长线上，连接 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形、菱形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，掌握以上图形的性质是解决本
题的关键．
根据题意可证 是等腰直角三角形，则即可求出 的度数，再根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ 平分 ，
∴ ，
故选C．
3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，将边长为 的正方形 沿其对角线 剪开，再把
沿着 方向平移，得到 ，当两个三角形重叠部分的面积为 时，它移动的距离 等于
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D【分析】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键．由平移的性质可知阴影部分为平
行四边形，设 ，根据题意阴影部分的面积为 ，当 时，解得： 或 ，
所以 或 ．
【详解】解：设 ， 与 相交于点 ，
是正方形 剪开得到的，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
， ，
∵两个三角形重叠部分的面积为 ，
，
整理得， ，解得 ，
即移动的距离 为 或 ．
故选：D．
4．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，点 在正方形 的对角线 上，且 ，
的两直角边 ， 分别交 ， 于点 ， ，若正方形 的边长为 ，则重叠部分
四边形 的面积为（ ）
A．36 B．32 C．16 D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理解三角形等知识点，熟练
掌握判定的方法是解题的关键．
过点 作 于点 ， 于点 ，证出 ，得到，再利用勾股定理求出 的长即可求解．
【详解】过点 作 于点 ， 于点 ，如图所示：
∵四边形 是正方形，且边长为 ，
∴ ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∴正方形 的面积为： ，
∴ ，
故选：C．
5．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，正方形 的边长为 ， 是对角线 上一动点，
于点 ， 于点 ，连接 ，给出四种情况： 若 为 的中点，则四边形 是
正方形； 若 为 上任意一点，则 ； 点 在运动过程中， 的值为定值 ； 点
在运动过程中，线段 的最小值为 ．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明四边形 是矩形，再证明 ，则四边形 是正方形，即可判定 正确；连接 ，由四边形 是矩形，得 ，再证明 ，得 ，则 ，
即可判定 正确；证明 ， ，从而得 ，即可判定 正确；根
据 ，所以当 最小时， 最小，所以当 时， 最小， ，
求得 ，即得线段 的最小值为 ，即可判定 正确．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，故 正确；
连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，∴ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，即 的值为定值 ，故 正确；
∵ ，
∴当 最小时， 最小，
∴当 时， 最小,在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的最小值为 ，故 正确；
∴正确的有 ，
故选： ．
【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩
形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题
6．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图， 为正方形 内一点， ， 按顺时针方
向旋转角度后成为 ， ．【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题
的关键．由正方形的性质得到 ，由旋转的性质得到 ，
则可得到旋转中心为点B，旋转角度为 ，可证明 是等腰直角三角形，得到 ，据此可
得答案．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 按顺时针方向旋转角度后成为 ，
∴ ，
∴旋转中心为点B，旋转角度为 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为 ，点B和点A分别
在x轴正半轴和y轴正半轴上， ，则 等于 ．
【答案】6
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，作出正确的辅助
线是解决本题的关键．
过 作 轴于 ， 轴于 ，推出 ，证 ，推出 ，
求出 ，代入求出即可．
【详解】解：过 作 轴于 ， 轴于 ，，
四边形 是矩形，
，
，
矩形 是正方形，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
故答案为：6．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，
连接OM，过点O作 ，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于对知识的熟
练掌握与灵活运用．
如图，过 作 于 ， 于 ，则四边形 是正方形，证明 ，则
，可求出 的长度，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ， 于 ，则四边形 是正方形
∴
∵
∴ ，
在 和 中：
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ， (舍去)，∴ ．
故答案为： ．
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， 是边 的中点，过点 作直线 ，
交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ，连接 ， ．当
时，四边形 是正方形．
【答案】90°
【分析】要确定 的度数使四边形 为正方形，需先分析四边形 的形状，利用角平分线、
平行线的性质及正方形的判定条件推导．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
同理， 平分 ， ．
∴ ．
∵ 是边 的中点，
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是矩形．
当 时， 平分 ，
可得： ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，∴ 是等腰直角三角形， ．
∴矩形 是正方形．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，角平分线与平行线的性质，解题关键是先利用“对角线互相平
分且相等”证明矩形，再通过“邻边相等的矩形是正方形”推导角度．
10．（2025·河南南阳·二模）如图，正方形 中，点P为射线 上一个动点，将 沿 折叠得
到 ，点A的对应点为点Q，射线 交直线 于点M，若 ，当 时， 的长为 ．
【答案】 或6
【分析】本题考查了正方形与折叠，勾股定理等知识，分M在线段 延长线上和线段 上讨论，然后
根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵正方形 中， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
当M在线段 延长线上时，如图，连接 ，
∵折叠，∴ ， ， ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
当M在线段 延长线上和线段 上，如图，连接 ，
同理可求出 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
综上， 的长为 或6．
故答案为： 或6．
三、解答题
11．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在 中， ，点D是 的中点，过点A作
平行于 ，且 ，连接 ．(1)求证：四边形 是矩形．
(2)当 时，四边形 是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)45
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与
判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键．
（1）可证明 ，则可证明四边形 是平行四边形，由三线合一定理得到 ，据此可证
明结论；
（2）当 时，可证明 是等腰直角三角形，得到 ，则可证明矩形 是正方形．
【详解】（1）证明：∵点D是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：当 时，四边形 是正方形，证明如下：
由（1）可得 ，且四边形 是矩形，
又∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴矩形 是正方形．
12．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在 中， ， 是 边上的中线，过点C
作 的平行线 ，且 ，连接 ．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)当 满足 时，四边形 是正方形．请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质
等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由直角三角形的性质可得 ，推出 ，结合 得出四边形 是平行四边形，
再结合 即可得证；
（2）由等腰直角三角形的性质可得 ，即 ，即可得证．
【详解】（1）证明：∵在 中， ， 是 边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：当 满足 时，四边形 是正方形，理由如下：
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 是正方形，
故答案为： ．
13．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在正方形 中， 是 的中点， 是 边上的一点，
连接 ，且 ．(1)尺规作图：求作点 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证： ；
(3)若 ，求正方形 的边长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性
质；
（1）根据作一个角等于已知角的方法，作出 的等角 即可；
（2）过点 作 于点 ，连接 ．证明 得出 ，进而证明
得出 ，根据 ，即可得证；
（3）设正方形 的边长为 ，在 中，由勾股定理得： ，建立方程，解方
程，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点M即为所求．
（2）证明：如图，过点 作 于点 ，连接 ．由作图可得 ，
平分 ．
， ，
， ，
，
．
又 是 的中点，
，
．
在 和 中， ，
，
．
又 ，
．
（3）解：设正方形 的边长为 ，
则 ，
．
又 ，
．
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得 或 （不符合题意，舍去），正方形 的边长为 ．
14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节．在某校的校内选拔
赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究．
【初步感知】（1）如图①，沿过点 的直线折叠正方形纸片，使得点 的对应点 落在正方形的对角线
上，且折痕与边 交于点 ，则 ________；（结果保留根号）
【迁移应用】（2）如图②，点 ， 分别在 ， 边上，沿直线 折叠正方形纸片，点 的对应点
为点 ，点 的对应点 落在线段 上（不与 ， 重合）， 交 于点 ；
①当点 为 中点时，求 的面积；
②当点 为 上任意一点时（如图③），探究 的周长是否发生变化，若不变，请求出 的
周长；若改变，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）① ；②点 为 上任意一点时， 的周长未发生变化，
的周长为16
【分析】本题考查折叠的性质 ，勾股定理，三角形全等的判定与性质；
（1）由题意得 ， ，求出 ， 即可解答；
（2）①设 ，则 ，根据题意列方程 ，求出x即可解答；
②连接 、 ，过点 作 ，交 于点 ，证 ，得 ， 即可解
答．
【详解】（1）解：∵正方形 的边长为8，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠的性质得 ，
∴ ；
（2）解：①设 ，则由折叠性质得
在Rt 中，由勾股定理得
解得
∴ ．
②点 为 上任意一点时， 的周长未发生变化， 的周长为16．
理由如下：
连接 、 ，过点 作 ，交 于点 ，
由折叠性质得
，
∴ ，
∴
∴
∴
∵在 和 中
∴ （ ）
∴ ，
∵
∴
∵在 和 中，由勾股定理得
，
∴∴
∴点 为 上任意一点时， 的周长未发生变化，值为16．
15．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形 中， ，点 在对角线 上运动
（点 不与点 ，点 重合）， ，以点 为顶点作菱形 ，且菱形 与菱形
的形状、大小完全相同，即 ，在菱形 绕点 旋转的过程中， 与边 交
于点 与边 交于点 ．
特例感知】
（1）如图1，当 ， 时，则 ， ， 之间满足的数量关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8， ，求 的值（用含 的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接 ，求 的长度．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 的长度为 或 ．【分析】（1）连接 ，当 ， 时，四边形 和 均为正方形，且 为 的中
点，可证得 （ ），得出 ，即可求得答案；
（2）过点 作 ，交 于 ，可证得 、 、 均为等边三角形，得出
，再证得 （ ），即可得出答案；
（3）连接 交 于 ，运用勾股定理求得 ，分两种情况：当点 在线段 上时，当点 在
线段 上时，分别求得 即可．
【详解】解：（1）当 ， 时，
四边形 和 均为正方形，且 为 的中点，
如图1，连接 ，则 ， ， ，
，
（ ），
，
，
；
故答案为： ；
（2）如图2，过点 作 ，交 于 ，四边形 和四边形 是形状、大小完全相同的菱形，且边长为
8， ，
， ，
、 均为等边三角形，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
（ ），
，
，
；
（3）连接 交 于 ，
四边形 是菱形，
，即 ，
，
，
，
当点 在线段 上时，如图2，过点 作 于 ，则 ，，
由（2）知： ，
，
，
；
当点 在线段 上时，如图3，
则 ，
，
，
；综上所述， 的长度为 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角
形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，运用分类讨论思想是解题关键．
16．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）四边形 是正方形，将线段 绕点A逆时针旋转至 ，旋
转角为 ，连接 ， 与 交于O点，过点D作 ，垂足为点F，连接 ．
(1)如图1，当 时， 的度数为_________．
(2)如图2，当 时，用等式写出 的数量关系，并证明．
(3)在旋转过程中，当 时，若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3) 或
【分析】（1）由旋转的性质，正方形的性质及等腰三角形的性质求得 ，再根据正方
形的性质结合 ，利用三角形内角和得 ，从而求解；
（2）在 上截取 ，连接 ，先证明 为等腰直角三角形，得到 ，再证明
，得到 ，进而得到 ，证明 ，推出 ，
利用勾股定理结合线段的和差关系即可得出结论；
（3）分 和 两种情况，根据全等面积转化，以及同高三角形的面积比等于底边比，
结合线段之间的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：由旋转的性质得 ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） 解： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
由旋转的性质得 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
同理（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当 ，分两种情况：
①当 ，如图，
由（2）可知： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，由旋转的性质得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 的长为 或 ．
