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专题03 空间几何（解答题10种考法）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 平行
【例1-1】（2023春·河北邯郸 ）如图，在三棱柱 中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC
的中点，N为GC的中点.
(1)证明： 平面ABED.
(2)证明：平面 平面BCFE.
【答案】证明见解析
【解析】（1）证明：如图，连接BG.
∵M为BC的中点，N为GC的中点，∴ .
∵ 平面ABED， 平面ABED，∴ 平面ABED.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）∵G，O分别为DE，DF的中点，∴ .
∵ 平面BCFE， 平面BCFE，∴ 平面BCFE.
∵ 且 ，∴四边形OFCH是平行四边形，∴ .
∵ 平面BCFE， 平面BCFE，∴ 平面BCFE.
又 ，∴平面 平面BCFE
【例1-2】（2023秋·云南）如图，四棱锥 的底面为平行四边形．设平面 与平面 的交线
为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】（1）因为 、 、 分别为 、 、 的中点，底面 为平行四边形，
所以 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，
同理 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，
又 ， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以平面 平面 .
（2）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
【例1-3】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE
交于点F，G为△ABE的重心，证明： 平面ABC
【答案】证明见解析
【解析】延长EG交AB于N，连接NC,
因为G为△ABE的重心，所以点N为AB的中点，且 ,
因为 ,故 ,所以 ,故 ，故 ,
而 平面ABC， 平面ABC,故 平面ABC；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-4】（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ，证明：
【答案】证明见解析；
【解析】以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
【例1-5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ， 为点 在平
面 上的射影， 为 的中点．证明： 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】在平面 内，过点 作 于点 ，连接 ， ，
∵ ，则 ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
又∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ ， ，
又∵ ， 为公共边，∴ ，
∴ ，又∵ 为公共边，∴ ，
∴ ， 为 的中点，
又∵ 为 的中点，∴ 为 的中位线， ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ 平面 ．
【变式】
1．（2023春·浙江金华）在正方体 中， 分别是 和 的中点，求证
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)
(2) 平面 ．
(3)平面 平面 ．
【答案】证明过程见解析
【解析】（1）连接 ，因为底面 是正方形，且点 是 中点，
所以 ，即点 也是 中点，
又因为点 是 中点，所以由三角形中位线定理可得 ；
（2）由（1） ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（3）连接 ，因为 分别是 和 的中点，所以由正方体的性质可知： ，
所以四边形 是平行四边形，所以有 ，而 ，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .
2．（2023春·新疆省直辖县级单位 ）如图，已知 平面ACD， 平面ACD， 为等边三角形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，F为CD的中点，求证： ∥平面BCE.
【答案】证明见详解
【解析】因为 平面ACD， 平面ACD，则 ∥ ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 分别为 的中点，则 ∥ ，且 ，
由题意可得： ∥ ，且 ，
则 ∥ ，且 ，则 为平行四边形，
可得 ∥ ，
且 平面BCE， 平面BCE，
所以 ∥平面BCE.
3．（2022春·浙江温州 ）已知三棱锥 中， ， ， 为 中点， 为 中点，
在 上， ，求证： 平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】连接 并延长，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
因为 为 中点，所以 ， ，所以 ，
所以 ，又 为 中点，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
4．（2022秋·吉林长春）如图，在正三棱柱 中， ，点 在 上，且 ，
为 中点，证明： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图所示，分别延长 和 交于点 ，设 ，
设 ，因为 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，可得 ，即 ，解得 ，
又因为 为 的中点，可得 ，所以 ，所以 ，
又由 ，所以四边形 为平行四边形，所以 为 的中点，
设 ，因为四边形 为矩形，所以 为 的中点，
在 中，由三角形的中位线定理，可得 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
考法二 垂直
【例2-1】（2023秋·海南海口 ）已知三棱锥 中， 底面 ， ， 分别为 ，
的中点， 于 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】证明见解析
【解析】（1）∵ 底面 ， 底面 ，∴ ；
又 ， 为 的中点，
∴ ，
又∵ 平面 ， ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ，又 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ；
（2）由 平面 知， ；又 分别为 的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 是 的中位线，∴ ，∴ ，即 ，
由 平面 可知， ， ，
为平面 与平面 的二面角，又 ，
∴平面 平面 ．
【例2-2】（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ， ，
，点 为 的中点，且 平面 ，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取 的中点 ，连接 、 ，
、 分别为 、 的中点，则 且 ，
又因为 ， ，所以， 且 ，
则四边形 为平行四边形，所以 ．
又 平面 ，所以， 平面 ，
平面 ， ，
又 ， ，所以 平面 ．
【例2-3】（2023北京）在平行四边形 中 过 点作 的垂线交 的延长线于点 ，
.连接 交 于点 ，如图1，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置.如图2.证明：
直线 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】证明：图1中，在 中， 所以 .所以
也是直角三角形，
，
在图2中， 所以 平面 .
【例2-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中， ， 均为等边三角形， ，
O为AB中点，点D在AC上，满足 ，且面 面ABC．证明： 面POD．
【答案】证明见解析
【解析】证明：由条件 、 为等边三角形， 为 的中点，
则 ， ， ，
由余弦定理得
从而在 中， ，
得 为直角三角形，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又面 面 ，面 面 ，且 ， 面 ，
则由面面垂直的性质定理可得 面
由 面 ,所以
因此由 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
即 面POD.
【变式】
1.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，E为BC
的中点，证明： ；
【答案】证明见解析；
【解析】连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
2．（2023秋·山东）如图所示，在正方体 中， 为棱 的中点，N为棱 上的点，且
，求证： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】连接 ，设 ，则 ， ，
，又 ，∴ .
∴ ，又 ，
∴ ，即 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
平面 ，所以 平面 ，
平面 ，∴ .
3．（2023·湖南）如图，在四棱台 中，平面 平面ABCD，底面 为正方形，
， .求证： 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平
面 ，
则 平面 .
又 平面 ，则 ；
在等腰梯形 ，如下图，作 ，
由题可知 ， ，
又 ，则 ，结合 ，得 .
因 ，则 .
又 平面 ， 平面 ， ，
则 平面 .
4.（2023湖北）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 中， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】是线段 的中点， 是线段 靠近点 的四等分点，点 在线段 上，求证：
【答案】证明见解析
【解析】由题意，在直三棱柱 中， ，
不妨设 ，则 ，
由余弦定理可得 ，因为 ，可得 ，
又由 是线段 的中点，所以 ，且 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ,
在直角 中， ，
因为 是线段 靠近点 的四等分点，可得 ，
所以 ,可得 ，
又由 且 平面 ，所以 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平面 ，所以 .
考法三 空间角之向量法
【例3-1】（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱 中， ，
D为 的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【解析】（1）证明：在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，则
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，则 ，故 ，
平面 ，故 平面 .
（2）解： ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， .
因此，直线 与平面 夹角的正弦值为 .
（3）解： ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，则 ，
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【例3-2】（2023·广东茂名·统考一模）如图所示，三棱锥 ，BC为圆O的直径，A是弧 上异于
B、C的点.点D在直线AC上， 平面PAB，E为PC的中点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面PAB；
(2)若 ，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】（1）因为 平面PAB，平面 平面 ， 平面CAB
所以 .
又O为BC中点，所以D为AC中点.
又E为PC中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）
如图1，取 的中点F，连结PF、AF.
由已知底面 在半圆O上，BC为圆O的直径，可得 .
因为
所以 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，则有 ，
所以 ， .
则有 ， ， ，
所以 ， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 .
所以 平面 .
法一：如图2建立如图所示的空间直角坐标系.
由 ， ，可得 .
， ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设 为平面PAB的一个法向量，
则 ，
令 ，则 ， ，则 .
设 为平面PBC的一个法向量，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ， ，则 .
设平面PAB与平面PBC的夹角为 ，则
.
法二：如图3，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， .
设 为平面PAB的一个法向量，
则 ，
令 ，则 ， ，则 .
设 为平面PBC的一个法向量，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ， ，则 .
设平面PAB与平面PBC的夹角为 ，则
.
【变式】
1．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ， ， 为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】（1）在四边形 中， ，取 中点 ，连接 ，
由 ，得 ，则四边形 是平行四边形，又 ，
因此 是矩形，即有 ，有 ， ，
从而 ，即 ，而 平面 ， 平面 ，则 ，
又 平面 ，于是 平面 ，而 平面 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）知 两两垂直，以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标
系，
依题意， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，令 ，得 ，
因此 ，显然二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的平面角的余弦值为 .
2.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【解析】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面 ．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；
，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以二面角 的正弦值为 ．
3（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）解：过点 作 ，如图建立空间直角坐标系，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以
；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ；
所以 .
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 .
考法四 空间角之几何法
【例4-1】（2023秋·四川遂宁 ）如图，多面体 中，四边形 为平行四边形， ，
，四边形 为梯形， ， ， ， ， 平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】（1）由四边形 是平行四边形，得 ，而 平面 ， 平面 ，则
平面 ，
由 ， 平面 ， 平面 ，得 平面 ，
又 ， 平面 ，因此平面 平面 ，而 平面 ，
所以 平面 .
（2）由 平面 ， 平面 ，得 ，连接 ，则
，
在平面 内过 作 于 ，连接 ，显然 ，而 平面 ，
于是 平面 ，则 为直线 与平面 所成的角，
又 ，则 ，因此 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例4-2】（2023春·河南商丘 ）如图，四边形 是正方形， 平面 ，且 . 求：
(1)求二面角 的大小．
(2)求二面角 的大小.
(3)求二面角 的大小的正弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）∵ 平面 ， 面 ,
∴ , ,∴ 为二面角 的平面角，
又∵四边形 是正方形，∴ ，
即二面角 的大小为 ；
（2）作 的中点 , 的中点 ,连接 , , ,
∵ 平面 ， 面 ,∴ ,
∵ ，∴ 为等腰直角三角形，
∵ 为 的中点，∴ ,
又∵ , , 平面 ,且 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 平面 ,∴ ,
∵ 分别为 和 的中点，∴ ,
∴ 为二面角 的平面角，
∵ ,∴ 平面 ,∴ ,∴ ,
即二面角 的大小为 ；
（3）连接 ,
∵ , ,∴ ,
∴ ,∴ 二面角 的大小的平面角，
又∵ , , 平面 ,且 ,
∴ 平面 ,∴ ,
∵ ,∴ ,∴ ,
∴ ,
即二面角 的大小的正弦值 .
【变式】
1．（2023春·福建宁德 ）四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 ，已知
， ， ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）作 ，垂足为 ，连接 ，
由侧面 底面 ，
侧面 ,且侧面 底面 ，
得 底面 ．
因为 ，所以 ，
又 ，故 为等腰直角三角形， ，
且 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ,即 .
（2）证明：由（1）知 ，
依题 ，
故 ，由 ， ， ，
又 ，
作 ，垂足为 ，
侧面 底面 ，
平面 ,且侧面 底面 ，
得 平面 ，
连接 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 为直线 与平面 所成的角，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
2．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形，且
， ， 平面 ， ， 分别是线段 ， 的中点.
(1)证明： ；
(2)若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【解析】（1）连接AF，则 ，又 ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 平面ABCD， 平面ABCD，
∴ ，
又 平面PAF，
∴ 平面PAF，又 平面PAF，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ；
（2） 平面 ， 是 与平面 所成的角，
且 ． ，
∵ 平面PAF，∴ ， ，
∴ 为平面PFD与平面CFD所成锐角，
∴ ，
故二面角 的余弦值为 .
考法五 空间距离之向量法
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体 中，四边形 是边长为4的正方形，
，△ABC是正三角形．
(1)若 为AB的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若点 在棱 上且 ，求点C到平面 的距离．
【答案】(1)证明见详解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）连接 ，设 ，由题意可得 为 的中点，连接 ，
因为 分别为 的中点，则 // ，
平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 .
（2）由题意可得： ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为△ABC是正三角形，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，则 ，
， 平面 ，
所以 平面 ，
如图，以 为坐标原点， 为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
所以点C到平面 的距离 .
【变式】
1．（2023·天津北辰·校考模拟预测）在四棱锥 中， 底面 ，且 ，四边形
是直角梯形，且 ， ， ， ， 为 中点， 在线段 上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线PB与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到PD的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)
【解析】（1）如图，取 中点 ，连接
因为 为 中点， ， ， ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 为 中点， 为 中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面 ．
（2）
根据题意，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设直线PB与平面 所成角为 ，
则 .
所以直线PB与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由（2）可知， ，
所以点 到PD的距离为 .
2．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形 中， ， ，现以
为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
(1)证明：面 面 ；
(2)若 为 上的一点，点 到面 的距离为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在梯形 中，取 中点 ，连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， 四边形 为平行四边形， ，
， ；
， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 .
（2）分别取 中点 ，连接 ，
， 为 中点， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
分别为 中点， ， 平面 ，
则以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ， ， ，
设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
点 到平面 的距离 ，解得： ， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 轴， 平面 的一个法向量 ，
，又二面角 为锐二面角，
二面角 的余弦值为 .
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台 中， 平面 ，
，且 ， ， 是 的中点．
(1)求三角形 重心 到直线 的距离；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，
在平面 内过点 作 ，建立如图所示空间直角坐标系 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ， ， ，
过点 作 ，设 ，
.
则 .
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ．
即三角形 重心 到直线 的距离为 .
（2） ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，则
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，则
所以，
由图可知，二面角 为锐角，所以，二面角 的余弦值为 ．
考法六 空间距离之几何法
【例6】（2023·天津·统考高考真题）三棱台 中，若 面
， 分别是 中点.
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
(3)
【解析】（1）
连接 .由 分别是 的中点，根据中位线性质， // ，且 ，
由棱台性质， // ，于是 // ，由 可知，四边形 是平行四边形，则
// ，
又 平面 ， 平面 ，于是 //平面 .
（2）过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ,连接 .
由 面 ， 面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，
则 平面 .
由 平面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，于是 平
面 ，
由 平面 ，故 .于是平面 与平面 所成角即 .
又 ， ，则 ，故 ，在 中，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则 ，
于是
（3）[方法一：几何法]
过 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 .
由题干数据可得， ， ，根据勾股定理， ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， ， 平面
，于是 平面 .
又 平面 ，则 ，又 ， ， 平面 ，故 平面
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中， ，
又 ，故点 到平面 的距离是 到平面 的距离的两倍，
即点 到平面 的距离是 .
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点 到平面 的距离为 .
，
.
由 ，即 .
【变式】
1．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中， ， ，现以
AC为折痕把 折起，使点B到达点P的位置，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若M为PD的中点，求点P到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在梯形ABCD中取AD得中点N，连接CN，
则由BC平行且等于AN，可知ABCN为平行四边形，
所以 ，由 可得C点在以AD为直径的圆上，
所以 .又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）取AC得中点O，连接PO，OD，由 得 ，
由（1）知，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，又M为PD的中点，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又M为PD的中点，所以 ，则 ，
所以 ， ，
，所以 ，
由余弦定理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 平面 ，
所以点 到平面 的距离CD是点 到平面 距离的2倍，
即点M到平面PAC的距离为1，
，
设点P到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ，解得 .
2．（2023·新疆·统考三模）如图，在四棱锥 中，底面 是长方形，
， ，点 为线段 的中点，点 在线段 上，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ．
又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）如图，作 于 于 ，连接 ，
因为 平面 平面 ，所以 ．
因为 平面 ，
所以 平面 ；
因为 平面 ，所以 ；
因为 平面 ，
所以 平面 平面 ，所以 ．
设棱锥 的高为 ，
因为底面 是长方形， ，点 为线段 的中点，且 ．
所以
所以 ，
因为 ，即 ，
得 ，所以棱锥 的高
3．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中， ， ，现以
AC为折痕把 折起，使点B到达点P的位置，且 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明：平面 平面 ；
(2)若M为PD的中点，求点P到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在梯形ABCD中取AD得中点N，连接CN，
则由BC平行且等于AN，可知ABCN为平行四边形，
所以 ，由 可得C点在以AD为直径的圆上，
所以 .又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）取AC得中点O，连接PO，OD，由 得 ，
由（1）知，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，又M为PD的中点，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又M为PD的中点，所以 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，
，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 平面 ，
所以点 到平面 的距离CD是点 到平面 距离的2倍，
即点M到平面PAC的距离为1，
，
设点P到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ，解得 .
考法七 折叠问题
【例7】（2023秋·山东泰安 ）如图1，四边形 为矩形， ，E为 的中点，将 、
分别沿 、 折起得图2，使得平面 平面 ，平面 平面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若F为线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）在图2中，取 、 的中点M、N，连接 、 、 ，
在图1中， ，且E为AB的中点，则 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理， 平面 ，所以 .
又因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）在图1中， ， ， .
以点E为坐标原点， ， 所在的直线分别为 轴， 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
向量 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，令 ，
得平面 的一个法向量为 ，
又 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 中， ， ， ， ，
将 沿 折起，使点A到点 处， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为 ， ，可得 ，
又因为 ，所以 ， 即 ，
又 ，且 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，即 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，故平面 平面 ．
（2）解：以 为坐标原点，以DE，DB所在直线为x轴、y轴，以垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间
直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ，
在直角三角形 中， ， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由（1）知 平面 ，则 为平面 的法向量，且 ，
设直线CD与平面 所成角的角为 ，
则 ，
故直线CD与平面 所成角的余弦值为 ．
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形 中， ，点 为 中点（如图
1），将点 绕 旋转至点 处，使平面 平面 （如图2）．
(1)求证： ；
(2)点 在线段 上，当二面角 大小为 时，求四棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）证明：在长方形 中， ， 为 中点，
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ，
，又 ， 平面 ， 平面 ，
，
平面 ， 平面 ，
.
（2）
如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
由题意可得 两两互相垂直，
以 为坐标原点，以 ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
，
又 平面 ， 是平面 的一个法向量， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，解得 或 （舍）.
即 为 的靠近 的三等分点时，二面角 的平面角为 ，
平面 ，且 ，
到平面 的距离为 ，又四边形 的面积为3，
四棱锥 的体积
考法八 动点
【例8-1】（2023春·山西运城·高一统考期中）如图，正三棱柱 中，E、F、G分别为棱 、
、 的中点．
(1)证明： ∥平面 ；
(2)在线段 是否存在一点 ，使得平面 ∥平面 ？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；N为 的中点，证明见解析
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，
在 中，因为E、M分别为 、 的中点
所以 且 ．
又 为 的中点， ，所以 且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 且 ，
故四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）当N为 的中点时，平面 平面 ．
证明：连接 ， ．
因为N，F分别是 和 的中点，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 ， ，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 ．
【例8-2】（2023秋·湖南长沙 ）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】角形，侧面 底面 ，M是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点N使平面 平面 成立？如果存在，求出 ；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在， .
【解析】（1）由侧面 是正三角形，M是 的中点，得 ，
由正方形 ，得 ，而平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，于是 ，
而 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，连接 ，连接 ，连接 ，
于是 ，由正方形 ，得 ，则 ，令 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】显然 是正 的中心， ， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，则 平面 ，
平面 ，即有 ，而 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，在平面 内过 作 交 于 ，
显然 ，而 平面 ，因此 平面 ，
连接 并延长交 于 ，连接 ，于是平面 平面 ，
过 作 ，则有 ， ， ，
， ，则 ，又 ， ，
从而点 是线段 的中点， ，过 作 交 于 ，
于是 ，即 ，显然 ，因此 ，
所以在棱 上存在点N使平面 平面 成立， .
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．
(1)证明： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【解析】（1）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.
（2）设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
.
2．（2023春·浙江嘉兴）如图，四棱锥 的底面 为矩形， 平面 ，且 ，
分别为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，若存在，请找出该点，并给出证明；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点 为 的中点，证明见解析
【解析】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
矩形 中， ， ， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 平面 ；
（2）存在满足条件的点 ，为 的中点．
证明：在 中， ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又因为 分别是 的中点，而 ， ，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形．
所以 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
3．（2023·北京）如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形，
， ，且 ， ， 是 的中点．在线段 上是否存在一点 ，使
得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，
【解析】存在点 ，使得 平面 ，此时 ，证明如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】连接 ， 为 中点，连接 ，
直角梯形 中， ， ， ， ，
则 ， ，四边形 为平行四边形，有 ，则 ，
所以 ，
又 底面 ， 底面 ，则 ，
则 ， ，
则 ，得 ，
又 ， ， ，
由余弦定理得， ，
则 ， ，
又 ， 是 的中点，则 ，
， 平面 ，则 平面 ，
故存在点 ，使得 平面 ，此时 ．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，在四棱台 中，底面 是
菱形， ， ， 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明：BD CC ；
1
(2)棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 若存在，求线段 的长；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）证明:如图所示，连接 ,
因为 为棱台，所以 四点共面，
又因为四边形 为菱形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：取 中点 ，连接 ，
因为底面 是菱形，且 ，所以 是正三角形，所以 ，即 ，
由于 平面 ，以 为原点，分别以 为 轴、 轴和 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则
假设点 存在，设点 的坐标为 ，其中 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 .
又由平面 的法向量为 ，
所以 ，解得
由于二面角 为锐角，则点 在线段 上，所以 ，即
故 上存在点 ，当 时，二面角 的余弦值为 .
考点九 外接球
【例9】（2023湖南）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， .
（1）求证： 平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）若直线 与底面 所成的角的余弦值为 ，求三棱锥 的外接球表面积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）在四边形 中， ， ， ，
， 为等腰直角三角形，即 ，
平面 平面 ， ，平面 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 .
（2） 平面 ， 平面 ， ， ，
又 ， ， ，即 ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
即 ， 均为直角三角形，且公共斜边为 ，
中点到三棱锥 四个顶点的距离相等，
三棱锥 的外接球半径 ；
平面 ， 为直线 与底面 所成的角，
，又 ， ，
三棱锥 的外接球表面积 .
【变式】
1．（2023·全国·模拟预测）如图，球O是正三棱锥 和 的外接球，M为 的外心，直
线AM与线段BC交于点D，D为BC的中点，两三棱锥的高之比为 ，E为PA上一点，且
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）过M作 ，交AB于 ，易证MA，MP， 两两垂直，建立如图所示的空间直
角坐标系 ．
设 ，球O的半径为R，
则在 中，有 ，解得 ．
则 ， ， ，
∵ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
，所以
∴ ，
∴ ．
（2）因为 ，
平面 ，
所以 平面PAD，又 平面PAD，
∴ ．
由（1）得 ，又 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ．
又∵ ， ， ，
∴ ， ．
设平面 的法向量为 ，
则
令 ，则 ， ，
∴ 为平面 的一个法向量．
设二面角 的平面角为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，又 ，
∴ ．
故二面角 的正弦值为 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图矩形 中， ，沿对角线 将 折起，使点A折到点
P位置，若 ，三棱锥 的外接球表面积为 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)M为 的中点，点N在 边界及内部运动，若直线 与直线 与平面 所成角相等，求点
N轨迹的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：设O为矩形 对角线 的中点，
∴ ．
即 ．
∴O为三棱锥 外接球的球心．
又∵三棱锥 外接球表面积为 ，
∴外接球半径为2．
即 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过P点作 ，垂足为E，过点C作 ，垂足为F，
则 ， ， ， ，
∴
而 ，
在 中，满足
∴ 为直角三角形，
∵ ， ，
∴ 平面 ．
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 ．
（2）以E为坐标原点， 所在直线分别为x轴、z轴，以平面 内过E且垂直于 的直线为y
轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
可知：
且
设平面 的法向量为 ，
得 ，取 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得 ，取 ，则
设平面 与平面 夹角为 ，
则
所以平面 与平面 夹角余弦值为是 ．
（3）由（2）中空间直角坐标系可设N为 ， ， ，
，
取平面 法向量为 ．
∵直线 与直线 与平面 所成角相等，
∴
得：
整理得： ，即
∵N点在 边及其内部，
∴N的轨迹为圆落在 边及内部的部分．
∴轨迹长度为半径为1的圆周长为 ．
得
∴N点轨迹长度为 ．
考法十 最值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例10】．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，三棱锥 中， ， ，
，平面 平面 .
(1)求三棱锥 的体积的最大值；
(2)求二面角 的正弦值的最小值.
【答案】(1)
(2) .
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， ， ，所以 ， ，
所以三棱锥 的体积为
因为 ，所以 ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故三棱锥 的体积的最大值为 .
（2）解法一：由（1）可知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
过 作 于 ，连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 为二面角 的平面角，
在 中， ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为2.
此时 取得最小值 ，
故二面角 的正弦值的最小值为 .
解法二：由（1）可知 平面 ，
以 为坐标原点，向量 ， 为 轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又取平面 的法向量为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设二面角 的大小为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，整理可得 ，
所以 ，解得 ，
所以当 ，即 ， 时， 取得最大值 ，此时 取得最小值 ，
故二面角 的正弦值的最小值为 .
【变式】
1．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台 中， ， ，
， 为棱 ， 的中点，棱 上存在一点 ，使得 平面 ．
(1)求 ；
(2)当正四棱台 的体积最大时，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）作 交 于 ，再作 交 于 ，连接 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
又平面 平面 ，所以 ．
又因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，即 为棱 的四等分点，
故 也为棱 的四等分点，所以 ．
（2）由（1）易知 为 的四等分点，所以点 在点 的正上方，
所以 底面 ．
设 ，则 ，所以 ，
所以该四棱台的体积 ，
而 ．
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， ．
以 为原点， ， 分别为 轴、 轴，
过 平行于 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
由 得 令 ，则 ．
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 ．
2．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）如图，圆锥 中， 为底面圆 的直径， ， 为
底面圆 的内接正三角形，圆锥的高 ，点 为线段 上一个动点.
(1)当 时，证明： 平面 ；
(2)当 点在什么位置时，直线PE和平面 所成角的正弦值最大.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 点在距离 点 处
【解析】（1）因为 ， ，所以 是正三角形，则 ，
又 底面圆 ， 底面圆 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
因为 是正三角形，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
所以 ， ，
同理可证 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 .
（2）如图，建立以 为原点的空间直角坐标系 .
设 ，（ ），所以 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，故 ，
设直线 和平面 所成的角为 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，直线 和平面 所成角的正弦值最大，
故 点在距离 点 处.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·四川内江·校考模拟预测）在直角梯形 中， ， ， ，
直角梯形 绕直角边 旋转一周得到如下图的圆台 ，已知点 分别在线段 上，二面
角 的大小为 ．
(1)若 ， ， ，证明： 平面 ；
(2)若 ，点 为 上的动点，点 为 的中点，求 与平面 所成最大角的正切值，并求
此时二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2) ，
【解析】（1）
如图所示，过Q作QE∥AB交AC于E，连接PE，过C 作C F∥AA，交AC于F，
1 1 1
∵ ，结合圆台的特征知 ，
又∵ ，解三角形得 ，
故 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ， 由题意易知四边形 为直角梯形，
∴ ， ，故 ，
∵ 面 ， 面 ，∴QE∥面 ，
同理PE∥面 ，
又 面PQE，∴面 ∥面 ，
面 ，∴ 平面 ，得证；
（2）
如图，结合圆台的特征，当 时，此时 两两垂直，
故以A为中心，以AB、AC、AA 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，
1
则 ，
设 ，则 ，
，
易知 轴⊥面 ，不妨取 作为面 的一个法向量，
设 与平面 所成角为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
即当 时， 取得最大值，此时 为最大角， ，
设此时面APQ的一个法向量为 ，
易得 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为 ，故 ，
故 与平面 所成最大角的正切值为 ，此时二面角 的余弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
