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专题03 空间几何（解答题10种考法）考法一 平行
【例1-1】（2023春·河北邯郸 ）如图，在三棱柱 中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC
的中点，N为GC的中点.
(1)证明： 平面ABED.
(2)证明：平面 平面BCFE.【例1-2】（2023秋·云南）如图，四棱锥 的底面为平行四边形．设平面 与平面 的交线
为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求证： ．
【例1-3】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE
交于点F，G为△ABE的重心，证明： 平面ABC【例1-4】（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ，证明：
【例1-5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ， 为点 在平
面 上的射影， 为 的中点．证明： 平面 .【变式】
1．（2023春·浙江金华）在正方体 中， 分别是 和 的中点，求证
(1)
(2) 平面 ．
(3)平面 平面 ．
2．（2023春·新疆省直辖县级单位 ）如图，已知 平面ACD， 平面ACD， 为等边三角形，
，F为CD的中点，求证： ∥平面BCE.3．（2022春·浙江温州 ）已知三棱锥 中， ， ， 为 中点， 为 中点，
在 上， ，求证： 平面
4．（2022秋·吉林长春）如图，在正三棱柱 中， ，点 在 上，且 ，
为 中点，证明： 平面考法二 垂直
【例2-1】（2023秋·海南海口 ）已知三棱锥 中， 底面 ， ， 分别为 ，
的中点， 于 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
【例2-2】（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ， ，
，点 为 的中点，且 平面 ，求证： 平面【例2-3】（2023北京）在平行四边形 中 过 点作 的垂线交 的延长线于点 ，
.连接 交 于点 ，如图1，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置.如图2.证明：
直线 平面 .
【例2-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中， ， 均为等边三角形， ，
O为AB中点，点D在AC上，满足 ，且面 面ABC．证明： 面POD．【变式】
1.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，E为BC
的中点，证明： ；
2．（2023秋·山东）如图所示，在正方体 中， 为棱 的中点，N为棱 上的点，且
，求证： .3．（2023·湖南）如图，在四棱台 中，平面 平面ABCD，底面 为正方形，
， .求证： 平面 .
4.（2023湖北）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 中， ，
是线段 的中点， 是线段 靠近点 的四等分点，点 在线段 上，求证：考法三 空间角之向量法
【例3-1】（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱 中， ，
D为 的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．【例3-2】（2023·广东茂名·统考一模）如图所示，三棱锥 ，BC为圆O的直径，A是弧 上异于
B、C的点.点D在直线AC上， 平面PAB，E为PC的中点.
(1)求证： 平面PAB；
(2)若 ，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.【变式】
1．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ， ， 为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值．
2.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．3（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
考法四 空间角之几何法
【例4-1】（2023秋·四川遂宁 ）如图，多面体 中，四边形 为平行四边形， ，
，四边形 为梯形， ， ， ， ， 平面
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.【例4-2】（2023春·河南商丘 ）如图，四边形 是正方形， 平面 ，且 . 求：
(1)求二面角 的大小．
(2)求二面角 的大小.
(3)求二面角 的大小的正弦值．
【变式】
1．（2023春·福建宁德 ）四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 ，已知
， ， ， ．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．2．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形，且
， ， 平面 ， ， 分别是线段 ， 的中点.
(1)证明： ；
(2)若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
考法五 空间距离之向量法
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体 中，四边形 是边长为4的正方形，
，△ABC是正三角形．
(1)若 为AB的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若点 在棱 上且 ，求点C到平面 的距离．【变式】
1．（2023·天津北辰·校考模拟预测）在四棱锥 中， 底面 ，且 ，四边形
是直角梯形，且 ， ， ， ， 为 中点， 在线段 上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线PB与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到PD的距离.
2．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形 中， ， ，现以
为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
(1)证明：面 面 ；
(2)若 为 上的一点，点 到面 的距离为 ，求二面角 的余弦值.3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台 中， 平面 ，
，且 ， ， 是 的中点．
(1)求三角形 重心 到直线 的距离；
(2)求二面角 的余弦值．
考法六 空间距离之几何法
【例6】（2023·天津·统考高考真题）三棱台 中，若 面
， 分别是 中点.(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【变式】
1．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中， ， ，现以
AC为折痕把 折起，使点B到达点P的位置，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若M为PD的中点，求点P到平面 的距离.2．（2023·新疆·统考三模）如图，在四棱锥 中，底面 是长方形，
， ，点 为线段 的中点，点 在线段 上，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．3．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中， ， ，现以
AC为折痕把 折起，使点B到达点P的位置，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若M为PD的中点，求点P到平面 的距离.
考法七 折叠问题
【例7】（2023秋·山东泰安 ）如图1，四边形 为矩形， ，E为 的中点，将 、
分别沿 、 折起得图2，使得平面 平面 ，平面 平面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若F为线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 中， ， ， ， ，
将 沿 折起，使点A到点 处， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形 中， ，点 为 中点（如图
1），将点 绕 旋转至点 处，使平面 平面 （如图2）．
(1)求证： ；
(2)点 在线段 上，当二面角 大小为 时，求四棱锥 的体积．考法八 动点
【例8-1】（2023春·山西运城·高一统考期中）如图，正三棱柱 中，E、F、G分别为棱 、
、 的中点．
(1)证明： ∥平面 ；(2)在线段 是否存在一点 ，使得平面 ∥平面 ？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明
理由．
【例8-2】（2023秋·湖南长沙 ）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三
角形，侧面 底面 ，M是 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点N使平面 平面 成立？如果存在，求出 ；如果不存在，说明理由．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
2．（2023春·浙江嘉兴）如图，四棱锥 的底面 为矩形， 平面 ，且 ，
分别为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，若存在，请找出该点，并给出证明；若不
存在，请说明理由.
3．（2023·北京）如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形，
， ，且 ， ， 是 的中点．在线段 上是否存在一点 ，使
得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，在四棱台 中，底面 是菱形， ， ， 平面 .
(1)证明：BD CC ；
1
(2)棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 若存在，求线段 的长；若不存在，
请说明理由.
考点九 外接球
【例9】（2023湖南）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与底面 所成的角的余弦值为 ，求三棱锥 的外接球表面积.【变式】
1．（2023·全国·模拟预测）如图，球O是正三棱锥 和 的外接球，M为 的外心，直
线AM与线段BC交于点D，D为BC的中点，两三棱锥的高之比为 ，E为PA上一点，且
．
(1)证明： ；
(2)求二面角 的正弦值．2．（2023·全国·高三专题练习）如图矩形 中， ，沿对角线 将 折起，使点A折到点
P位置，若 ，三棱锥 的外接球表面积为 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)M为 的中点，点N在 边界及内部运动，若直线 与直线 与平面 所成角相等，求点
N轨迹的长度．考法十 最值
【例10】．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，三棱锥 中， ， ，
，平面 平面 .
(1)求三棱锥 的体积的最大值；
(2)求二面角 的正弦值的最小值.
【变式】
1．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台 中， ， ，
， 为棱 ， 的中点，棱 上存在一点 ，使得 平面 ．
(1)求 ；(2)当正四棱台 的体积最大时，求 与平面 所成角的正弦值．
2．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）如图，圆锥 中， 为底面圆 的直径， ， 为
底面圆 的内接正三角形，圆锥的高 ，点 为线段 上一个动点.
(1)当 时，证明： 平面 ；
(2)当 点在什么位置时，直线PE和平面 所成角的正弦值最大.3．（2023·四川内江·校考模拟预测）在直角梯形 中， ， ， ，
直角梯形 绕直角边 旋转一周得到如下图的圆台 ，已知点 分别在线段 上，二面
角 的大小为 ．
(1)若 ， ， ，证明： 平面 ；
(2)若 ，点 为 上的动点，点 为 的中点，求 与平面 所成最大角的正切值，并求
此时二面角 的余弦值．
