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专题03 空间几何（解答题10种考法）
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，四棱锥 中， ， ，
， ， 与 交于点 ，过点 作平行于平面 的平面 .
(1)若平面 分别交 ， 于点 ， ，求 的周长；
(2)当 时，求平面 与平面 夹角的正弦值.
【答案】(1)4
(2) .
【解析】（1）由题意可知，四边形 是直角梯形，
∴ 与 相似，又 ，
∴ ， ，
因为过点 作平行于平面 的面 分别交 ， 于点 ， ，
即平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
由面面平行的性质定理得 ， ， ，
所以 与 相似，相似比为 ，即 ，
因为 的周长为6，所以 的周长为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）∵平面 平面 ，∴平面 与平面 的夹角与平面 与平面 的夹角相等，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，又 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
平面 ，∴平面 平面 ，
取 的中点 ，因为 为等边三角形，∴ ，平面 平面 ，
平面 ，∴ 平面 ，
以 点为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过点 与 平行的直线为 轴，建立如图所
示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，
取 ，则 ，
∵ 平面 ，∴ 是平面 的一个法向量，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形 中， ， ， ，
，将 沿 翻折至 的位置，使得 ， 为 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2) 为线段 上一点（端点除外），若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）易知 ， ， ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，所以
由直角梯形 ， ， ， ，
可得 ，又 ，得 ；
又 ， 平面 ，所以 平面
又 平面 ，可得平面 平面
（2）取 的中点 ，连接 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
为 的中点， 为 的中点，可得 ，又 ，
故以 所在的直线分别为 轴，建立如图空间直角坐标
系，则 ， ， ， ， ，
设 ，则
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
所以 ，令 ，得 ， ，
即
平面 的一个法向量为
可得 ，解得 或 (舍)
即 为 的中点，易知 ，
故线段 的长为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体 中，底面 为直角梯形，
， ，侧面 为菱形，平面 平面 ，M为棱 的中点．
(1)若点N为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【解析】（1）证明：连接 ， ，
因为M，N分别为 ， 的中点，所以 为 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：取 的中点O，连接 ，
因为侧面 为菱形，且 ，
所以在 中， ，解得 ，
所以 '，即 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
过O作 的垂线，交 于H并延长，
分别以 ， ， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 ，
如图所示，设 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
则 ，故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体 中， ， ，劣弧 的长为 ，AB为圆O的
直径．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)在弧 上是否存在点C（C， 在平面 同侧），使 ，若存在，确定其位置，若不存在，
说明理由；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)存在， 为圆柱 的母线
(2)
【解析】（1）存在，当 为圆柱 的母线时， ．证明如下：
连接BC，AC， ，因为 为圆柱 的母线，所以 平面ABC，
又因为 平面ABC，所以 ．
因为AB为圆O的直径，所以 ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
（2）以 为原点，OA， 分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， ，
因为劣弧 的长为 ，所以 ， ，
则 ， ．
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，解得 ， ，所以 ．
因为x轴垂直平面 ，所以平面 的一个法向量 ．
所以 ，
又二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的余弦值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱 的底面边长为1，高为 ， 为
线段 上的动点.
(1)求证： 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接 ， .
在正六棱柱 中，
因为底面为正六边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以平面 平面 ，
因为 为线段 上的动点，所以 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点为Q，连接 ， .
因为底面边长为1，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
易得 ， ， ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
即 为平面 的一个法向量.
连接 ，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ，所以 ， ， .
设 （ ），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 .
6．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体 中，四边形 是菱形，
， 平面 ， ， 为 的中点， 平面 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1） 四边形 是菱形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可得： 平面 ．
， 平面 ， 平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理可得： ， 四边形 是平行四边形；
连接 交于点 ，连接 交于点 ，连接 ，
设 ， ，则 ，
延长 交于点 ，连接 ，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ，
又 ， 四边形 为平行四边形，则 ，
为 的中点， ．
， ，即 ，解得： ， .
（2）由（1）知， 两两垂直，故以 为坐标原点， 正方向分别为 轴的正方
向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ；
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，侧面
底面 ，侧面 底面 ，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且 .
(1)证明： 垂直于底面 .
(2)当点E在BC边上移动，使二面角 为 时，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为侧面 底面 ，侧面 底面 ，
而底面 是矩形，故 , 底面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ;
同理侧面 底面 ，侧面 底面 ，
而底面 是矩形，故 , 底面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
又 底面 ，
故 垂直于底面
（2）由（1）知 底面 ， 底面 ，
故 ，点F是PB的中点，且 ，
故 ， ；
又 平面 ， ,故 平面 ，
平面 ，故 ，而 平面 ，
故 平面 ，故 即为二面角 的平面角，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ；而 ,
以A为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
故 ，
由原图可知二面角 为锐角，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故二面角 的余弦值为 .
8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示， 四点共面，其中 ，
，点 在平面 的同侧，且 平面 ， 平面 .
(1)若直线 平面 ，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 平面 ，求锐二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1） 平面 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
， 四点共面， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
， 平面 ， 平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 .
（2）以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 ， ，
， ， 四边形 为平行四边形， ，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
，令 ，解得： ， ， ；
平面 轴，平面 平面 ， 平面 轴，
平面 的一个法向量 ，
，即锐二面角 的余弦值为 .
9．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台 中， 为 中点， ， ，
.
(1)求证： 平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 ， ，平面 与平面 所成二面角大小为 ，求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在三棱台 中， 为 中点，则 ，
又 ， ，
， 四边形 为平行四边形， ，
又 ， ，
， ， ，
， 平面 ， 平面 .
（2） ， ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
连接 ， ， ， 为 中点， ；
以 为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，令 ，解得： ， ， ；
又平面 的一个法向量 ，
，解得： ，即 ，
平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
.
10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知正四棱台 的体积为 ，其中 .
(1)求侧棱 与底面 所成的角；
(2)在线段 上是否存在一点P，使得 ？若存在请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）依题意，在正四棱台 中， ，
所以上底面积 ，下底面积 ，
设正四棱台的高为 ，则 .
连接 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
设侧棱 与底面 所成的角为 ，则 ，
由于线面角 的取值范围是 ，所以 .
（2）连接 ，设正四棱台上下底面的中心分别为 ，
以 为原点， 分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
设线段 上存在一点 ，满足 ，
，
，
则 ，
，
若 ，则 ，
即 ，
解得 ，舍去，
所以在线段 上不存在一点 ，使得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为
2的正方形， ， ，且 .
(1)记线段 的中点为 ，在平面 内过点 作一条直线与平面 平行，要求保留作图痕迹，但不
要求证明；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）延长 ，设其交点为 ，连接 ，
则 为平面 与平面 的交线，
取线段CD的中点M，连接KM，直线KM即为所求．
证明如下：延长 ，设其交点为 ，连接 ，
则 为平面 与平面 的交线，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）以点 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知
可得 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 得 ，
取 得， ，
平面 的一个法向量 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
12．（2023·河北沧州·校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成. 在同
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一平面内，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图，连接 ，因为该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成，
，所以 ，所以 ，所以 .
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 令 ，则 ，
记直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
解得 （负值舍去），即 .
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 即
令 ，则 .
所以 .
因此平面 与平面 所成角的余弦值为 .
13．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，在正方体 中，E是棱 上的点（点E与点
C， 不重合）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)在图中作出平面 与平面ABCD的交线，并说明理由；
(2)若正方体的棱长为1，平面 与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ，求线段CE的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）
如图1，分别延长 ，交于 点，连接 ，则 即为所求交线.
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ， 平面 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以，平面 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
如图2，以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，
.
则 ， ， ， ，
所以， ， ， .
根据正方体的性质可知， 平面 ，
所以 即为平面 的一个法向量.
设 是平面 的一个法向量，
所以， ，即 ，
令 ，则 ， ，
所以， 是平面 的一个法向量.
由已知可得， ，
即 ，即 ，
整理可得， ，解得 或 （舍去），
所以， ，即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱 中， ， 为 的
中点，点 在 上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若二面角 大小为 ，求以 为顶点的四面体体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）∵三棱柱 为直三棱柱，∴ 平面 ， 平面 ，
∴ .
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴ ，
， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）因为 ， 为 的中点， ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 为正三角形，如图建立空间坐标系，由（1）易知平面 的一个法向量 ，
设 ，∵ ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，
由 ，解得 或 （舍去），
∵ ，点 到平面 距离为 ，
∴以 为顶点的四面体体积为 .
15．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形 中， ， ，
，四边形 为矩形， 平面 平面 ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)若点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，试求 的范
围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) ， .
【解析】（1）证明：在梯形 中， ， ， ， ，
，
， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平
面 ， 平面 .
（2）解：取 中点 ，连接 ， ，
， ， ，
， ， 为二面角的平面角.
， ， ， ，
.
（3）由（2）知：
①当 与 重合时， ；
②当 与 重合时，过 作 ，且使 ，连接 ， ，则平面 平面 ，
， ， 平面ABC， 平面ABC， ， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 ， ， ， ；
③当 与 ， 都不重合时，令 ， ，延长 交 的延长线于 ，连接 ， 在
平面 与平面 的交线上， 在平面 与平面 的交线上， 平面 平面 ，
过 作 交 于 ，连接 ，
由（1）知， ，又 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， .
又 ， 平面ACH， ， 平面 ， ， .
在 中， ，从而在 中， ，
， ， . ，
.
综上所述， ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱 中，侧面 为
正方形， ，E，F分别为AC和 的中点，D为棱 上的动点. .
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为 ，点 为靠近 的 的四等分点
【解析】（1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，
又 底面 ，所以 ， ，
又因为 ， ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，即 两两垂直，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，设 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ， ， ， ， ， ，设
，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，即 .
（2）设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面DEF所成的二面角为 ，
则 ，
当 时， 取最小值为 ，此时 取得最大值 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以平面 与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为 ，此时点 为靠近 的 的四等分点.
17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 是平行六面体 中线段 上
一点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)已知四边形 是菱形， ，并且 为锐角， ，
求二面角 的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图：
记 与 交于点 ，延长 交 于 ，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
，即 是 的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 是 的中点， ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ．
（2）如图：
过点 作 于 ，
由于四边形 是菱形， ，
又由于 是 的中点， ，
由于菱形中 平面 平面 ，
所以 平面 ．
以 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设菱形
的边长为2，
则 ， ，设 ，
由于 ，
由于 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的法向量为 ，
则
令 ，得 ，
又平面 的法向量为 ，
．
记二面角 的大小 ，
则 ，
故二面角 的正切值为 ．
18．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在三棱锥 中， ，点 分别是棱
的中点， 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)过点 作 的平行线交 的延长线于点 ， ，点 是线段 上的动点，问：
点 在何处时，平面 与平面 夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.
【答案】(1)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）由 可知 ，又 ，故 （三线合一），
又 平面 ， 平面 ，故 ，
又 ， 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，故平面 平面
（2）
在平面 中，过 作 ，垂足为 ，不妨设 ，由于 ，
则 ，
以 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ，
设 ，则 ， ， ， .
设平面 的法向量 ，由 ，即 ，
则 是其中一条法向量；
设平面 的法向量 ，由 ，即 ，
则 是其中一条法向量.
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 取到最大值 ，此时正弦值取到最小值为 .
19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心，四边形 是圆
的内接四边形， 为底面圆的直径， 在母线 上，且 ， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设点 为线段 上动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【解析】（1）如图，设 交 于点 ，连接 ，
由已知可得 ，又 ，
所以四边形 为菱形，所以 ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，又 ，所以 ，
因为 为 的中点，∴ ， ．
由余弦定理可得 ，
∴ ，所以 ，即 ，
又 平面 ， ，∴ 平面 ．
又 平面 ，∴平面 平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由已知 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ．
由（1）知 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
∴ ，又点 为 的中点，
所以 ．
以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则 ， ， ， ， ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
构建 ，
则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
∴ 时， 取到最大值4．
此时， 取到最大值1.
另解：由 ， 知，
当 时， ，此时 平面 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，因为 ，
当 时， 取到最大值1．
20．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台 中， ， ， 为线段 上靠近
的三等分点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 的值；
(2)若 ， ，点 到平面 的距离为 ，且点 在底面 的射影落在
内部，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)存在，
(2)
【解析】（1）取 的靠近点 的三等分点 ，连接 、 、 ，
则 ，
又因为 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平面 ，故 平面 ，
因此，线段 上是否存在点 ，且当 时， 平面 .
（2）过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，连接 ，
由 ， ， ，所以， ，
所以， ，所以， ，
过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
因为 ， ， ， 、 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为点 到平面 的距离为 ，即 ，
且 ，
所以， ，
由图可知， 为锐角，所以， ，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标
系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 、 、 、 、 、 ，
， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，则 ，
，
所以， ，
因为 ，
因此， 与平面 所成角的正弦值为 .
21．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，侧面 是等边
三角形，平面 平面 ， ， ．
(1)证明： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)点Q在侧棱 上， ，过B，Q两点作平面 ，设平面 与 ， 分别交于点E，F，当直
线 时，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)0
【解析】（1）证明：在 中，设 ，因为 ，
由余弦定理可知： ，
解得 ，所以 ，所以 ．
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，所以 平面 ．
由 平面 ，所以 .
（2）连 交 于点M，连接 ， ，设 交 于点H．
在 中，过P作 的平行线交 的延长线于N，
由 ，有 ，则 ，
所以点H为线段 中点．
在 中，因为直线 平面 ，平面 平面 ，
所以直线 直线 ，且直线 过点H，所以点E为线段 中点．
以点A为坐标原点， 分别为 轴， 轴，过点A垂直于平面 的直线为 轴，建立如图所示的
空间直角坐标系，设 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， , ， ．
因为点E为线段 中点，所以 ，
设平面 （平面 ）的法向量为 ，
因为 ， ，
由 ，得 ，
令 ，则 ．
设平面 （平面 ）的法向量为 ，
因为 ， ，
由 ，得 ．
令 ，则 ．
所以 ，所以二面角 的余弦值为0.
22．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形 是圆柱 的轴截面，点 是母线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的中点，圆柱底面半径 .
(1)求证： 平面 ；
(2)当三棱锥 的体积最大时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）证明：连接 ， ，则 ，且 ， ，
连接 ， ，由圆柱的性质可得
，
所以四边形 是平行四边形， ，所以 为 中点，
所以易知 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）设 ，则 ，
，当且仅当 时取等，
如图所示，建立空间直角坐标系 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ， ，所以 ，
取平面 的法向量为 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知在多面体 中， ， ， ，
， 且平面 平面 .
(1)设点F为线段BC的中点，试证明 平面 ；
(2)若直线BE与平面ABC所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，
∵在 中 ，∴ .
∴由平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ，得 平面 .
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，且 .
又 ， ，∴ ，且 .
∴四边形 为平行四边形.∴ ，
∴ 平面 .
（2）∵ 平面 ， 平面，所以 ，
又因为 ，所以 三者两两互相垂直，
∴以 为原点， 所在直线为 轴，过点 与 平行的直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直
角坐标系.
则 ， ， .
∵ 平面 ，∴直线 与平面 所成的角为 .
∴ .∴ .
可取平面 的法向量 ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，则 ， .∴ ，
∴ ，
∴二面角 的余弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】24．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图①所示，长方形 中， ，
，点 是边 靠近点 的三等分点，将△ 沿 翻折到△ ，连接 ， ，得到图②
的四棱锥 .
(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值.
【答案】(1)
(2)平面 和平面 夹角余弦值的最小值为
【解析】（1）解：取 的中点 ，连接 ，
因为 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当平面 平面 时， 点到平面 的距离最大，四棱锥 的体积取得最大值，
此时 平面 ，且 ，
底面 为梯形，面积为 ，
则四棱锥 的体积最大值为 ；
（2）解：连接 ，
因为 ，所以 ，
所以 为 的平面角，即 ，
过点 作 平面 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
过 作 于点 ，由题意得 平面 ，
设 , , ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
因为 ，
则 ，
令 ，可得： ，
设两平面夹角为 ，
则
，
令 ，所以 ，则
所以 ，所以当 时， 有最小值 ，
所以平面 和平面 夹角余弦值的最小值为 .
25．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为正
三角形，且 分别为 的中点， 在线段 上，且 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图所示：
取 中点 ，连接 ，
分别为 的中点，且底面 为矩形，
所以 ，且 ，
又因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，
所以由面面平行的性质可知 平面
（2）如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】注意到侧面 为正三角形以及 为 的中点，所以由等边三角形三线合一得 ，
又因为 ，且 面 ， 面 ， ，
所以 面 ，又因为 面 ，所以 ，
又因为底面 为矩形，所以 ，
因为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，因为 面 ，
所以 ，又 ，
所以 ，又由三线合一 ，又 ，
所以建立上图所示的空间直角坐标系；
因为 ，
所以 ，
又因为 为 的中点， ，
所以 ，
所以 ， ， ，
不妨设平面 与平面 的法向量分别为 ，
所以有 以及 ，
即分别有 以及 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】分别令 ，并解得 ，
不妨设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ；
综上所述：平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
26．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是
矩形， 分别是 的中点，平面 经过点 与棱 交于点 ．
(1)试用所学知识确定 在棱 上的位置；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)靠近 的三等分点处
(2)
【解析】（1）过 作直线 与 平行，延长 与 交于点 ，
连接 与 的交点即为点 ．
因为底面 是矩形， 是 的中点，
所以 ，且 ．
又 ，所以 ，
因为 是 的中点，可得 ，
则 ，所以 ．
故 在棱 的靠近 的三等分点处．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）因为 是 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ．
取 中点 ，连接 ，易知 两两相互垂直，
如图，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
．
设平面 的法向量为 ，
则 即 令 ，则 ，所以 ．
．
设 与平面 所成角为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
27．（2021·天津红桥·统考二模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， 且 ，
， ， ， ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）过 作 于点 ，则 ， ，
由于 平面 ， 平面 ，所以 ，
以 为原点， 所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以平面 的法向量为 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面
（2）由（1）知， ，平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
故可设 ，
所以 ，
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
28．（2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形 中， ， ，
将 沿 向上折起，使得平面 与平面 所成的锐二面角的平面角最大．
(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；
(2)若 ，垂足为 ，点 是 上一点，证明：平面 平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）如图，以 为坐标原点， 为 轴，平面 为 平面，
建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，显然，当 时，平面 与平面 共面，此时的锐二面角一定不是最大
的，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ．
又平面 的一个法向量为 ，
则 ，
又 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
当 时，等号成立，由
得 ，
所以 ，即点 在 面上．
所以平面 平面 ，
所以 ，
所以该几何体中任意两点间的距离的最大值为 ．
（2）由（1）知 平面 ，
所以 ．
又 ，且 ，
平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，
所以 ．
由 ，且 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，所以平面 平面 ．
29．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱 的底面 是正三角形，侧面 是
菱形，平面 平面 ， 分别是棱 的中点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
取 的中点 ，连接 ，因为 分别是棱 的中点，
则 ， ，∴四边形 为平行四边形，
所以 ，∵ 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）在平面 中过点 作 于 ，连接 ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 ，
由菱形 ， ，得 ， ，
因为点 为 的中点，∴ ，故以 为原点， 分别为 轴建立如图所示的空间
直角坐标系：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，解得 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
综上，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
30．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，
，M是棱PD上靠近点P的三等分点．
(1)证明： 平面MAC；
(2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)在（2）的条件下，若平面 平面ABCD， ， ， ，求l与平面
MAC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
因为 ， ，
所以 ，
又因M是棱PD上靠近点P的三等分点，
所以 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）延长 ，交于点 ，
所以 时平面 与平面 的公共点，
所以直线 就是平面 与平面 的交线 ；
（3）因为平面 平面ABCD， ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
则 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
即l与平面MAC所成角的正弦值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
