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21.3.3 正方形（第 1 课时）
知识点：正方形的定义及其性质
1．（2023年湖南常德）下列命题正确的是（ ）
A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】A
【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；
B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；
C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；
D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．
故选：A．
2．（2024年江苏连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是
80cm，则图中阴影图形的周长是（ ）
A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm
【答案】A
【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条
边长再减去2×20cm，
∴阴影图形的周长是：4×80+2×80−2×20=440cm ，
故选：A．
3．（2024年内蒙古）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．E是BC边上一点，F是
BD上一点，连接DE,EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（ ）A．2√2 B．2+√2 C．4−2√2 D．√2
【答案】A
【详解】解：正方形ABCD的边长为2，
1
∴BC=DC=2,∠BCD=90°,DO= BD，∠CBD=45°,
2
∴BD=√BC2+DC2=2√2，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90°，
∴BF=BD−DF=2√2−2，∠BFE=90°，
∴∠FBE=∠FEB=45°，
∴EF=BF=2√2−2，
∴BE=√2BF=√2(2√2−2)=4−2 √2，
∴△BEF的周长是BE+EF+BF=4−2 √2+2√2−2+2 √2−2=2 √2，
故选：A．
4．（2023年山东青岛）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G
为BC上一点，N为EG的中点．若BG=3，CG=1，则线段MN的长度为（ ）
√17 √13
A． √5 B． C．2 D．
2 2
【答案】B
【详解】解：连接DG，EF，∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴四边形AEFD是矩形，
∴M是ED的中点，
在正方形ABCD中，BG=3，CG=1，
∴BC=DC=4，
在Rt△DGC中，由勾股定理得，
DG=√DC2+CG2=√42+12=√17，
在△EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点，
∴MN是△EDG的中位线，
1 √17
∴MN= DG= ．
2 2
故选：B．
5．（2025年西藏）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点
F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（ ）
A．3√5 B．2 C．2√10 D．4√2
【答案】C
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
由折叠的性质易知△ABE≌△AFE，
∴AF=AB=6，∠AFE=∠B=90°，
∴AF=AD=6，∠AFG=∠D=90°，
又∵AG=AG，∴Rt△AFG≌Rt△ADG(HL)，
∴FG=DG．
∵E为BC边的中点，
1
∴BE=CE= BC=3．
2
设CG=x，则DG=6− x，
∴FG=DG=6− x，EG=EF+FG=3+6− x=9− x，
在Rt△ECG中，EC2+CG2=EG2，
∴32+x2=(9− x)2，
解得x=4，
∴CG=4，
∴DG=6−4=2，
∴AG=√AD2+DG2=2√10．
故选：C．
6．（2023年宁夏）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC．则图中阴影部分的面
积是 ．
【答案】2
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，∠CDA=90°，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴S =S +S
阴影 △ABE △CDE
1 1
= AE⋅AB+ DE⋅CD
2 2
1 1
= AE×2+ DE×2
2 2
=AE+DE
=AD
=2．故答案为：2．
7．（2024年广东深圳）如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且S =10，
正方形ABCD
S =1，则正方形DEFG的边长可以是 （写出一个答案即可）．
正方形GHIJ
【答案】2（答案不唯一）
【详解】解：∵S =10，S =1，
正方形ABCD 正方形GHIJ
∴CD=√10，GH=1，
∴1
