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21.3.3 正方形（第 1 课时）
知识点：正方形的定义及其性质
1．（2023年湖南常德）下列命题正确的是（ ）
A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】A
【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；
B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；
C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；
D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．
故选：A．
2．（2024年江苏连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是
80cm，则图中阴影图形的周长是（ ）
A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm
【答案】A
【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条
边长再减去2×20cm，
∴阴影图形的周长是：4×80+2×80−2×20=440cm ，
故选：A．
3．（2024年内蒙古）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．E是BC边上一点，F是
BD上一点，连接DE,EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（ ）A．2√2 B．2+√2 C．4−2√2 D．√2
【答案】A
【详解】解：正方形ABCD的边长为2，
1
∴BC=DC=2,∠BCD=90°,DO= BD，∠CBD=45°,
2
∴BD=√BC2+DC2=2√2，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90°，
∴BF=BD−DF=2√2−2，∠BFE=90°，
∴∠FBE=∠FEB=45°，
∴EF=BF=2√2−2，
∴BE=√2BF=√2(2√2−2)=4−2 √2，
∴△BEF的周长是BE+EF+BF=4−2 √2+2√2−2+2 √2−2=2 √2，
故选：A．
4．（2023年山东青岛）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G
为BC上一点，N为EG的中点．若BG=3，CG=1，则线段MN的长度为（ ）
√17 √13
A． √5 B． C．2 D．
2 2
【答案】B
【详解】解：连接DG，EF，∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴四边形AEFD是矩形，
∴M是ED的中点，
在正方形ABCD中，BG=3，CG=1，
∴BC=DC=4，
在Rt△DGC中，由勾股定理得，
DG=√DC2+CG2=√42+12=√17，
在△EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点，
∴MN是△EDG的中位线，
1 √17
∴MN= DG= ．
2 2
故选：B．
5．（2025年西藏）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点
F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（ ）
A．3√5 B．2 C．2√10 D．4√2
【答案】C
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
由折叠的性质易知△ABE≌△AFE，
∴AF=AB=6，∠AFE=∠B=90°，
∴AF=AD=6，∠AFG=∠D=90°，
又∵AG=AG，∴Rt△AFG≌Rt△ADG(HL)，
∴FG=DG．
∵E为BC边的中点，
1
∴BE=CE= BC=3．
2
设CG=x，则DG=6− x，
∴FG=DG=6− x，EG=EF+FG=3+6− x=9− x，
在Rt△ECG中，EC2+CG2=EG2，
∴32+x2=(9− x)2，
解得x=4，
∴CG=4，
∴DG=6−4=2，
∴AG=√AD2+DG2=2√10．
故选：C．
6．（2023年宁夏）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC．则图中阴影部分的面
积是 ．
【答案】2
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，∠CDA=90°，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴S =S +S
阴影 △ABE △CDE
1 1
= AE⋅AB+ DE⋅CD
2 2
1 1
= AE×2+ DE×2
2 2
=AE+DE
=AD
=2．故答案为：2．
7．（2024年广东深圳）如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且S =10，
正方形ABCD
S =1，则正方形DEFG的边长可以是 （写出一个答案即可）．
正方形GHIJ
【答案】2（答案不唯一）
【详解】解：∵S =10，S =1，
正方形ABCD 正方形GHIJ
∴CD=√10，GH=1，
∴1<DE<√10，
∴正方形DEFG的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
8．（2024年甘肃兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，
则EF= ．
【答案】2
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB，AD=4，
∴∠FAD=90°,∠EAD=60°,∠AFE=90°,AD=AE=4，
∴∠FAE=30°，
1
∴EF= AE=2；
2
故答案为：2．
9．（2023年甘肃兰州）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋
转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则b−a= ．【答案】3− √7
【详解】∵正方形OABC的面积为7，正方形ODEF的面积为9
∴OA=√7，OD=√9=3
即a=√7，b=3
∴b−a=3− √7
故答案为：3− √7
10．（2025年北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB=1，
∠EBC=30°，则△ABF的面积为 ．
3
【答案】 /0.375
8
【详解】解：过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠FMC，
∴AB∥FM，
∴FN=BM，
1 1
∵S = AB⋅FN,S = AB⋅BM,
△ABF 2 △ABM 2∴S =S ，
△ABF △ABM
∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=BC，∠EBC=30°，
1 1
∴∠BFC=90°,∠BCF=60°,CF= BC= ，
2 2
∴∠CFM=90°−∠ BCF=30°，
1 1
∴CM= CF= ，
2 4
3
∴BM=BC−CM= ，
4
1 3 3
∴S =S = ×1× = ，
△ABF △ABM 2 4 8
3
故答案为： ．
8
11．（2025年江苏无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线．
(1)尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不
写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）
【详解】（1）解：如图，直线l，点F即为所求.
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=∠BAF+∠EAF=90°，
∵AF平分∠BAC，1 1
∴∠BAF= ∠BAC= ×45°=22.5°，
2 2
∵直线l⊥AD，即∠AEF=90°，
∴∠EFA+∠EAF=90°，
∴∠EFA=∠BAF=22.5°．
12．（2022年湖北恩施）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点
E，DF⊥CE于点F．求证：DF=BE+EF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD,∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠DCF=90°，
∵CE⊥BG,DF⊥CE，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠DCF，
在△BCE和△CDF中，¿，
∴△BCE≅△CDF(AAS)，
∴BE=CF,CE=DF，
∴CE=CF+EF=BE+EF，
∴DF=BE+EF．
13．（2023年湖北黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点
P．
(1)求证：△ABN≌△DAM；
(2)求∠APM的大小．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠DAM=∠ABN=90°，
∵BM=CN，
∴BC−CN=AB−BM，即BN=AM，
在△ABN和△DAM中，
¿
∴△ABN≌△DAM(SAS)；
（2）解：由（1）知△ABN≌△DAM，
∴∠MAP=∠ADM，
∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°，
∴∠APM=180°−(∠ MAP+∠AMP)=90°．
14．（2025年黑龙江大庆）如图，在正方形ABCD中，AB=3√2，点E，F分别在线段AB，BC上，
AE=CF=√2，连接EF，AC．过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H．动点P在△ACD内部
及边界上运动，四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S ，S ，S ，S ，S ．若点
0 1 2 3 4
P在运动中始终满足3S =S +S +S +S ，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（ ）
0 1 2 3 4
3
A．2 B． π C．4 D．2π
2
【答案】A
【详解】解：如图，
在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC=3√2，∠BAC=∠BCA=45°，；
∴AC=√AD2+CD2=√(3√2) 2+(3√2) 2=6
∵EG⊥AC,FH⊥AC，
∴∠EGA=∠EGC=∠FHC=∠FHG=90°，
∴∠AEG=∠HFC=45°，
∴△AGE,△HFC为等腰直角三角形，
∴AG=GE,HC=HF,
∵AE=CF=√2，
∴由勾股定理得AG=GE=HC=HF=1，BE=BF，GH=AC−AG−CH=4，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∴∠GEF=45°，
∴∠GEF=180°− ， 45°−45°=90°
又∠EGH=∠FHG=90°，
∴四边形GEFH是矩形，
∴S =EG×GH=1×4=4，
0
又S +S +S =S +S
1 2 3 0 4
而3S =S +S +S +S ，
0 1 2 3 4
∴S =4，
4
∵动点P在△ACD内部及边界上运动，
∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN，则△DMN是等腰直角三角形，如图，
1
取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，则DO= AC=3，
2
1
∵S = GH×OQ=4，
4 2
∴OQ=2，
∴DQ=OD−OQ=3−2=1，
∴MN=2，即点P组成的图形长度为2，
故选：A．
15．（2022年内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD是正方形，点E
是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE=EF．（提示：取AB的中
点G，连接EG．）(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
(2)如图，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE=EF.
【详解】（1）解：∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
∵点G是AB的中点，
∴BG=AG，
∴AG=CE．
故答案为：AG=CE；
（2）取AG=EC，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°．
∵AG=CE，
∴BG=BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠DCF=45°，∴∠ECF=90°+45°=135°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△GAE≌△CEF，
∴AE=EF；
16．（2025年四川攀枝花）如图1，正方形ABCD的边长为2．E、F分别为边BC、CD上的动点，△CEF的
周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB=DF．
(1)求证：AG⊥AF；
(2)试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF，垂足为H．求MH的最小值．
【详解】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=∠D=90°，
∴∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
在△ABG和△ADF中，
¿
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴∠BAG=∠DAF，
∴∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF，
∴∠GAF=∠BAD=90°，
∴AG⊥AF；
（2）解：∵△CEF的周长为4，∴CF+CE+EF=4，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BC=CD=2，
∴BC+CD=4，
∴CF+CE+EF=BC+CD=BE+CE+CF+DF，
∴EF=BE+DF，
∵GB=DF，
∴EF=BE+DF=BE+GB=EG，
由（1）得△ABG≌△ADF，∠GAF=90°，
∴AG=AF，
在△AEG和△AEF中，
¿
∴△AEG≌△AEF(SSS)，
∴∠EAG=∠EAF，
1 1
∴∠EAG= ∠FAG= ×90°=45°，
2 2
∴∠EAF的大小是定值，定值为45°；
（3）解：连接AM，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AB是△AEG的高，
∵AH⊥EF，
∴AH是△AEF的高，
由（2）得，△AEG≌△AEF，
∴S =S ，
△AEG △AEF
1 1
∴ EG⋅AB= EF⋅AH，
2 2
由（2）得，EG=EF，∴AH=AB=2，
∵M为边BC的中点，
1
∴BM= BC=1，
2
∴AM=√AB2+BM2=√22+12=√5，
∵AH+MH≥AM，
∴2+MH≥√5，
解得MH≥√5−2，
∴MH的最小值为√5−2．
