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八年级数学下册期中测试卷
一、选择题
1.使二次根式 有意义的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若正方形ABCD的面积是3， ，那么EB的长为（ ）
A. 1 B. C. D. 3
4.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在 ABC中，AB=3，BC=6，AC=4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为
（ ） △
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
6.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
7.已知直角三角形ABC中， ， ，若 ，则AB长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
8.如图所示□ABCD，再添加下列某一个条件, 不能判定□ABCD是矩形的是（ ）
A. AC=BD B. AB⊥BC
C. 1=2 D. ABC=BCD
9.如图，从一个大正方形中截去面积为 和 的两个正方形，则剩余部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，在□ABCD中，AB AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
11.为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形
框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（ ）
A. ∠BCA＝45° B. AC＝BD
C. BD的长度变小 D. AC⊥BD
的
12.如图，矩形 中， 是 中点，作 角平分线交 于 点，若 ， ，则
的长度为（ ）
A. B. C. D.
13.如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ，分别以点A，C为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则
CD的长为（ ）
A. B. 6 C. D. 8
14.将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形可以使它的形状改变．当 时，如图（1），测得 ；当 时，如图（2），此时AC的长为（ ）
.
A B. C. 3 D.
二、填空题
15.若 ，则 的值为__________．
16.如图， 在平行四边形ABCD中， ， ，则 __________．
17.如图，点P（－2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐
标为__________．
18.如图，在菱形ABCD中，过点C作 交对角线 于点 ，且 ，若 ，则
_________．
19.在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折
痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．则下
列结论：①四边形DECF一定是矩形，②四边形DECF一定是菱形，③四边形DECF一定是正方形．其中
错误的是__________（填序号）
三、解答题
20.计算：
（1）
（2）
21.（1）如图1，在 中， ， ， ，求 的长．
的
（2）如图2，在 中， ， ， ，求 长．
22.在平行四边形ABCD中，用尺规作图 的角平分线（不用写过程，留下作图痕迹），交DC边于
点H，若 ， ，求平行四边形ABCD的周长．23.如图， 是 的边 上一点， ， 交 于点 ，若 ．
（1）求证：四边形CDBE是平行四边形；
（2）若 ， ，求四边形CDBE的面积．
24.（1）填空：（只填写符号： ）
①当 ， 时， ；
②当 ， 时， ；
③当 ， 时， ；
④当 ， 时， ；
⑤当 ， 时， ；
⑥当 ， 时， ；
则关于 与 之间数量关系的猜想是 ．
（2）请证明你的猜想；
的
（3）实践应用：要制作面积为1平方米 长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．25.如图，在四边形ABCD中， ，连接AC，过B点作AC的平行线BM，过C点作AB的平行线
CN，BM，CN交于点E，连接DE交BC于F．
（1）补全图形；
（2）求证： ．
26.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE
的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接
BH．
（1）求证：GF=GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．解析卷
一、选择题
1.使二次根式 有意义的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得 ，再解不等式即可．
【详解】由题意得： ，
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开
方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.
【详解】（1）A被开方数含分母，错误.
(2)B满足条件，正确.
(3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.
(4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.
所以答案选B.
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.
3.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若正方形ABCD的面积是3， ，那么EB的长为（ ）A. 1 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据正方形的性质得出∠B=90°，BC2=3，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理即可求出EB的长．
【详解】解：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴EB 2=EC2-BC 2，
又∵正方形ABCD的面积=BC2=3， ，
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长
的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
4.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质、运算法则及完全平方公式对各选项进行分析即可．
【详解】解：A、 无法计算，故此选项不合题意；B、 ，正确；
C、 ，故此选项不合题意；
D、 ，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质、运算法则及完全平方公式的应用，正确化简二次根式是解题关
键．
5.如图，在 ABC中，AB=3，BC=6，AC=4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为
（ ） △
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
∵点 ， 分别是边 ， 的中点，
.故选B.
6.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】C
【解析】
试题分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
试题解析：连接AC，如图：根据勾股定理可以得到：AC=BC= ，AB= ．
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
考点：勾股定理．
7.已知直角三角形ABC中， ， ，若 ，则AB长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 计算．
【详解】解：∵∠A=30°，∠C=90°，AC= ，
∴
∴
故选： ．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练运用三角函数关系是解题的关键
8.如图所示□ABCD，再添加下列某一个条件, 不能判定□ABCD是矩形的是（ ）A. AC=BD B. AB⊥BC
C. 1=2 D. ABC=BCD
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理逐项排除即可解答．
【详解】解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当AC=BD时，能判定口ABCD是矩形；
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当AB⊥BC时，能判定口ABCD是矩形；
由平行四边形四边形对边平行，可得AD//BC，即可得∠1=∠2，所以当∠1=∠2时，不能判定口ABCD是
矩形；
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当∠ABC=∠BCD时，能判定口ABCD是矩形．
故选答案为C．
【点睛】本题考查了平行四边形是矩形的判定方法，其方法有①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②
有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
9.如图，从一个大正方形中截去面积为 和 的两个正方形，则剩余部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意利用正方形的面积公式即可求得大正方形的边长，则可求得阴影部分的面积进而得出答案．
【详解】从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，大正方形的边长是 ，
留下部分（即阴影部分）的面积是：
(cm2)．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
10.如图，在□ABCD中，AB AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质可知AO=3，在Rt△ABO中利用勾股定理可得BO=5，则BD=2BO=10．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2BO，AO=OC=3．
在Rt△ABO中，利用勾股定理可得：BO=
∴BD=2BO=10．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决．
11.为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形
框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条
BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（ ）
A. ∠BCA＝45° B. AC＝BD
C. BD的长度变小 D. AC⊥BD
【答案】B【解析】
【分析】
根据矩形的性质即可判断；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
中考常考题型．
12.如图，矩形 中， 是 中点，作 的角平分线交 于 点，若 ， ，则
的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出∠AFE=∠AEF，推出AE=AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AD∥BC，
∴∠AFE=∠FEC，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∵E为BC中点，BC=8，∴BE=4，
在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，由勾股定理得：AE=5，
∴AF=AE=5，
∴DF=AD−AF=8−5=3
故选：B
【点睛】本题考查了矩形的性质， 等腰三角形的判定与性质， 直角三角形中利用勾股定理求边长．
13.如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ，分别以点A，C为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则
CD的长为（ ）
.
A B. 6 C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线 的性质得出AF=FC．再根据ASA证明
△FOA≌△BOC，那么AF=BC=3，等量代换得到FC=AF=3，利用线段的和差关系求出FD=AD-AF=1．然
后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【详解】解：如图，连接FC，
∵点O是AC的中点，由作法可知，OE垂直平分AC，
∴AF=FC．∵AD∥BC，
∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF=BC=6，
∴FC=AF=6，FD=AD-AF=8-6=2．
在△FDC中，∵∠D=90°，
∴CD2+DF2=FC2，
∴CD2+22=62，
∴CD= ．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
14.将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形可以使它的形状改
变．当 时，如图（1），测得 ；当 时，如图（2），此时AC的长为（ ）A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
图（1）中根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得BC，图2中根据勾股定理即可求得正
方形的对角线的长．
【详解】如图（1）中，连接AC，
∵∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC=3，
如图（2）中，连接AC，
∵AB=BC=CD=DA=3，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC= ．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用等
边三角形的判定确定边长是关键．
二、填空题
15.若 ，则 的值为__________．【答案】0
【解析】
【分析】
利用完全平方公式变形得： ，再代入求值即可得到答案．
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用因式分解求代数式的值，同时考查了二次根式的乘法的运算，掌握完全平方公
式的变形是解题的关键．
16.如图，在平行四边形ABCD中， ， ，则 __________．
【答案】50°
【解析】
【分析】
由平行四边形ABCD中，易得∠C=∠A，又因为DB=DC，所以∠DBC=∠C，根据三角形内角和即可求出
．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=65°，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠C=65°，
∴ ，
为
故答案 ：50°．
【点睛】此题是平行四边形的性质与等腰三角形的性质的综合，解题时注意特殊图形的性质应用．
17.如图，点P（－2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得PO的长度，从而确定点A的坐标．
【详解】解：由题意可知：
∴A点坐标为：
故答案为： ．
【点睛】本题考查实数与数轴，掌握勾股定理计算公式，利用数形结合思想解题是关键．
18.如图，在菱形ABCD中，过点C作 交对角线 于点 ，且 ，若 ，则
_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形的性质及等腰三角形的性质可知∠BEC=2∠EDC=2∠EBC，从而可求∠EBC=30°，在Rt△BCE中
可求EC值，由DE=EC可求DE的长．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=AB= ，∴∠EDC=∠EBC，
∵DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠BEC=2∠EDC=2∠EBC，
在Rt△BCE中，∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∴ ，
∴DE=EC= ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形的应用；熟练掌握菱形的
性质，得出∠EBC=30°是解题的关键．
19.在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC经过两次折叠，得到边AB，BC，
CA上的点D，E，F．折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折
痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．则下
列结论：①四边形DECF一定是矩形，②四边形DECF一定是菱形，③四边形DECF一定是正方形．其中
错误的是__________（填序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可知，CD和EF互相垂直且平分，即可得到结论．
【详解】解：连接DF、DE，DC、EF相交于点O，根据折叠的性质得，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF，
∴四边形DECF是菱形．
菱形DECF因条件不足，无法证明是正方形．
故答案为：①③
【点睛】本题考察了菱形的判定以及折叠的性质，灵活运用即可．
三、解答题
20.计算：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）9
【解析】
【分析】
（1）先化简成最简二次根式，再根据二次根式加减法法则计算即可；
（2）先利用完全平方公式展开，再根据二次根式混合运算法则计算即可得答案．
【详解】（1）
=4
= ；
（2） ．=8 4 +1+
=9 4 +
=9 ．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
21.（1）如图1，在 中， ， ， ，求 的长．
（2）如图2，在 中， ， ， ，求 的长．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理计算，得到答案；
（2）作CD⊥AB交BA的延长线于点D，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，再根
据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）在Rt ABC中，∠C＝90°，
△
∴AB＝ ＝ ；
（2）作CD⊥AB交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DCA＝30°，
∴AD＝ AC＝3，
∴CD＝ ＝ ，
∵BD＝AD+AB＝6，∴ 在Rt CDB中，BC＝ ．
△
【点睛】本题考查的是勾股定理、含30°的直角三角形的性质，解题关键在于正确做出辅助线，求线段长
度．
22.在平行四边形ABCD中，用尺规作图 的角平分线（不用写过程，留下作图痕迹），交DC边于
点H，若 ， ，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】30
【解析】
【分析】
利用基本作图作BH平分∠ABC，则∠ABH=∠CBH，再利用平行四边形的性质得到CD∥AB，AB=CD，
AD=BC=6，接着证明∠CBH=∠BHC得到CH=BC=6，所以DH=3，然后计算平行四边形ABCD的周长．
【详解】如图，BH为所作．
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，AB=CD，AD=BC=6，
∴∠ABH=∠BHC，∴∠CBH=∠BHC，
∴CH=BC=6，
∵DH= CH，
∴DH=3，
∴平行四边形ABCD的周长=2(BC+CD)=2×(6+9)=30．
【点睛】本题考查了作图-基本作图和平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质．解决本题的关键是熟
记平行四边形的性质．
23.如图， 是 的边 上一点， ， 交 于点 ，若 ．
（1）求证：四边形CDBE是平行四边形；
（2）若 ， ，求四边形CDBE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）25
【解析】
【分析】
（1）首先利用ASA得出△DCF≌△EBF，进而利用全等三角形的性质得出 CD=BE，即可得出四边形
CDBE是平行四边形；
（2）由BD⊥AC，四边形CDBE是平行四边形，可推出四边形CDBE是矩形，由F为BC的中点，求出
BC，根据勾股定理即可求得CE，由矩形面积公式即可求得结论．
【详解】（1）证明：∵BE∥AC，
∴∠ACB=∠CBE，
在 DCF和 EBF中，
△ △
，
∴△DCF≌△EBF（ASA），∴CD=BE，
∵BE∥CD，
∴四边形CDBE是平行四边形；
（2）∵BD⊥AC，四边形CDBE是平行四边形，
∴四边形CDBE是矩形，
在Rt CEB中，F为BC的中点，
∴BC△=DE=2EF=10，
∴CE2=BC2 BE2=102 52=75，
∴CE=5 ，
∴四边形CDBE的面积=BE EC=25 ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，勾股定理的
应用，得出△DCF≌△EBF是解题关键．
24.（1）填空：（只填写符号： ）
①当 ， 时， ；
②当 ， 时， ；
③当 ， 时， ；
④当 ， 时， ；
⑤当 ， 时， ；
⑥当 ， 时， ；
则关于 与 之间数量关系的猜想是 ．
（2）请证明你的猜想；
（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
【答案】（1）①=，②=，③=，④＞，⑤＞，⑥＞, ≥2 （ ≥ ， ≥ ）；（2）见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）①-⑥分别代入数据进行计算即可得解；
（2）根据非负数的性质，（ ）2≥0，再利用完全平方公式展开整理即可得证；
（3）镜框为正方形时，周长最小，然后根据正方形的面积求出边长，即可得解．
探究证明：根据非负数的性质，
【详解】（1）①当m=2，n=2时，由于 ， ，所以 =2 ；
②当m=3，n=3时，由于 ， ，所以 = ；
③当m= ，n= 时，由于 ， ，所以 = ；
④当m=4，n=1时，由于 ， ，所以 ＞ ；
⑤当m=5，n= 时，由于 ， ，所以 ＞2 ；
⑥当m= ，n=6时，由于 ， ，所以 ＞2 ；
则关于 与 之间数量关系的猜想是 ≥2 （ ≥ ， ≥ ）；
（2）证明：根据非负数的性质（ ）2≥0，
∴m 2 +n≥0，
整理得， ≥2 ；
（3）面积为1平方米的长方形镜框长与宽相等，即为正方形时，周长最小，
所以，边长为1，
周长为1×4=4．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，完全平方公式的应用，准确进行运算判断出两个算式的大小关系是
解题的关键．25.如图，在四边形ABCD中， ，连接AC，过B点作AC的平行线BM，过C点作AB的平行线
CN，BM，CN交于点E，连接DE交BC于F．
（1）补全图形；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题目连接AC，按要求分别作出BM、CN即可解答；
（2）过点D作DG//AB，由平行四边形判定和性质可得CE＝CE，DG//CE，再证明△GDF≌△CEF（ASA）
即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示：连接AC，过B点作AC的平行线BM，过C点作AB的平行线CN，BM，CN
交于点E，连接DE交BC于F．
（2）证明：过点D作DG//AB，
∵AD//BC，DG//AB，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB＝DG，
∵BE//AC，AB//CE，
∴四边形BACE是平行四边形，
∴CE＝AB，DG//CE
∴DG＝CE ，∠GDF＝∠CEF，
∵ 在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（AAS），
∴DF＝EF．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
26.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE
的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接
BH．
（1）求证：GF=GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）BH= AE，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接 ．根据对称的性质可得 ． ．证明 ，根据全等三角形
的性质得到 ．进而证明 ≌ ，即可证明.
（2）在 上取点 使得 ，连接 ．证明 ≌ ，根据等腰直角三角形的性质即
可得到线段 与 的数量关系.
【详解】（1）证明：连接 ．
∵ ， 关于 对称．
∴ ． ．在 和 中．
∴
∴ ．
∵四边形 是正方形
∴ ．
∴
∴
∴
∵ ．
∴
在 和 ．
∴ ≌
∴ ．
（2） ．
证明：在 上取点 使得 ，连接 ．∵四这形 是正方形．
∴ ． ．
∵ ≌
∴
同理：
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ．
∵
∴
∵
∴
∴
∵ ．
∴在 和 中
∴ ≌
∴
在 中， ， ．
∴
∴ ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰
直角三角形的性质与判定等知识 此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思
想的应用．
