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专题21.3.3 正方形
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
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知识梳理 技巧点拨..............................................................................................................................................................................2
知识点一：正方形的定义.........................................................................................................................................................2
知识点二：正方形的性质.........................................................................................................................................................2
知识点三：正方形的判定.........................................................................................................................................................2
知识点四：特殊平行四边形之间的关系.............................................................................................................................2
知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状................................................................2
重点难点 考点讲练..............................................................................................................................................................................3
考点讲练一 根据正方形的性质求角度...............................................................................................................................3
考点讲练二 根据正方形的性质求线段长...........................................................................................................................6
考点讲练三 根据正方形的性质求面积...............................................................................................................................9
考点讲练四 正方形折叠问题................................................................................................................................................10
考点讲练五 求正方形重叠部分面积..................................................................................................................................13
考点讲练六 根据正方形的性质证明..................................................................................................................................15
考点讲练七 正方形的判定定理理解..................................................................................................................................17
考点讲练八 添一个条件使四边形是正方形....................................................................................................................19
考点讲练九 证明四边形是正方形......................................................................................................................................22
考点讲练十 根据正方形的性质与判定求角度...............................................................................................................25
考点讲练十一 根据正方形的性质与判定求线段长......................................................................................................29
考点讲练十二 根据正方形的性质与判定求面积..........................................................................................................33
考点讲练十三 根据正方形的性质与判定证明...............................................................................................................36
考点讲练十四 中点四边形....................................................................................................................................................39
考点讲练十五 利用(特殊）平行四边形的对称性求阴影面积.................................................................................41
考点讲练十六 （特殊）平行四边形的动点问题..........................................................................................................44
考点讲练十七 四边形中的线段最值问题........................................................................................................................49
考点讲练十八 四边形其他综合问题..................................................................................................................................51
中考真题 实战演练............................................................................................................................................................................54
难度分层 闯关训练............................................................................................................................................................................60基础夯实 能力提升..................................................................................................................................................................60
创新拓展 拔尖冲刺..................................................................................................................................................................71
知识点一：正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
【要点说明】
既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方
形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
知识点二：正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
【要点说明】
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
知识点三：正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相
等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
知识点四：特殊平行四边形之间的关系
知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
【要点说明】
新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
考点讲练一 根据正方形的性质求角度
【典例分析】四边相等，四角相等的四边形叫正四边形，正四边形也称作正方形．
(1)如图1，四边形ABCD是周长为m的正方形，则∠A= ，S ABCD= ．
四边形
(2)如图2，一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，试用a，b的代数式表示图②
的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积；
(3)在（2）的条件下，若未被小正方形覆盖部分的面积为12，且a+b=7，求分别以a，b为边长的两个正
方形面积之和．
m2
【答案】(1)90°， ；
16
(2)未被小正方形覆盖部分的面积为ab；
(3)以a，b为边长的两个正方形面积之和为25．
【思路引导】本题主要考查了正方形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的定义可得答案；
a+b a−b
（2）由图示可得：大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，利用大正方形的面积减去四个小正
2 4
方形的面积即可；
（3）由（2）及本小题题意可得关于a，b的二元一次方程组，解方程组，然后将边长平方并相加即可．
【完整解答】（1）解：∵四边形ABCD是周长为m的正方形，
m
∴∠A=90°，AB= ，
4∴S ABCD=AB2=
(m) 2
=
m2
；
四边形 4 16
m2
故答案为：90°； ；
16
a+b a−b
（2）解：由图示可得：大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
2 4
(a+b) 2 (a−b) 2
大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为： −4× =ab，
2 4
∴未被小正方形覆盖部分的面积为ab；
{ab=12)
（3）解：由（2）及题意得：
a+b=7
{a=4) {a=3)
解得 或 （舍） ，
b=3 b=4
∴以a，b为边长的两个正方形面积之和为42+32=16+9=25．
【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，
连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，且
∠CGD=∠AED．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB=2，CE=❑√2，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是37°时，求∠EFC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)❑√2
(3)127°或37°
【思路引导】本题考查了正方形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理．
（1）证明△AED≌△CGD(AAS)，可得ED=DG，则矩形DEFG是正方形；
（2）由已知得AC=❑√2AB=2❑√2，则AE=❑√2，再根据△AED≌△CGD得CG=AE=❑√2；（3）分两种情况讨论：当DE与AD的夹角为37°时，点F在BC边上，∠ADE=37°，由四边形内角和定
理得：∠EFC=127°；②当DE与DC的夹角为37°时，点F在BC的延长线上，∠CDE=37°，可得
∠EFC=∠CDE=37°．
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠EDG=90°，
∵∠ADE+∠EDC=∠GDC+∠EDC，
∴∠ADE=∠CDG，
又∵∠AED=∠CGD，
∴△AED≌△CGD(AAS)，
∴ED=DG，
∵四边形DEFG为矩形，
∴四边形DEFG为正方形；
（2）解：在Rt△ABC中，AC=❑√2AB=2❑√2，
∵CE=❑√2，
∴AE=❑√2，
∵△AED≌△CGD，
∴CG=AE=❑√2；
（3）解：分以下两种情况讨论：
①当DE与AD的夹角为37°时，点F在BC边上，∠ADE=37°，
∴∠CDE=90°−∠ADE=90°−37°=53°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：
∠EFC=360°−90°−90°−53°=127°；
②当DE与DC的夹角为37°时，点F在BC的延长线上，∠CDE=37°，如图3所示：
∵∠HCF=∠≝=90°，∠CHF=∠EHD，∴∠EFC=∠CDE=37°．
综上所述，∠EFC的度数为127°或37°．
考点讲练二 根据正方形的性质求线段长
【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如
图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为
EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（ ）
A．❑√2 B．2 C．2❑√2 D．4
【答案】C
【思路引导】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8，点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AE=AF=4
在Rt△AEF中，由勾股定理得，
EF=❑√42+42=4❑√2
∵点G是EF的中点，
1
∴GF= EF=2❑√2．
2
故选：C．
【考点再现】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌
握以上知识点．
【变式训练】．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形ABCD是边长为9cm的正方形，P，Q是
正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以
1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（00）．
(1)四边形ABCD的形状为 ；
(2)当t= 时，点P运动到∠B的角平分线上；
(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
(4)当0
