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第05讲 正方形的性质和判定
考点1：正方形的概念和性质
考点2：正方形的判定
考点3：正形的综合应用
考点4：中点四边形
重点：
（1）掌握正方形的双重属性（矩形 + 菱形），理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。
（2）熟记正方形的性质与判定定理，能准确区分判定条件的前提（如 “矩形 + 邻边相等”）。
（3）灵活运用面积、边长、对角线的关系进行计算。
（4）掌握中点四边形的性质
难点：
（1）判定定理的灵活选择：根据题干条件（如已知平行四边形 / 矩形 / 菱形），选择最简判定路径，
避免逻辑混乱。
（2）综合题的辅助线添加：学会连对角线将正方形转化为等腰直角三角形，利用勾股定理或全等解
题。
（3）从属关系的理解：突破 “正方形是特殊的矩形 / 菱形，矩形 / 菱形不一定是正方形” 的逻辑
辨析，构建知识体系。
（4）折叠与坐标系综合题：结合方程思想，解决含未知线段的计算问题，考虑多解情况。
知识点1：正方形的概念与性质
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对
称轴）【题型1 利用正方形的性质求解】
【典例1】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BAE为（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【答案】B
【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角
形可得∠BAD=90°,∠DAE=60°，即可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
又∵△ADE是正三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠BAE=90°+60°=150°．
故选：B．
【变式1】如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，连接CP，CP平分∠ACD，则∠ACP的度
数是（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义，由正方形的性质可得∠ACD的度数，再由
角平分线的定义可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，
∵CP平分∠ACD，
1
∴∠ACP= ∠ACD=22.5°，
2
故选：A．
【变式2】如图，面积为25的正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（ ）
A．(25,25) B．(−5,5) C．(5,5) D．(❑√5,❑√5)
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质与直角坐标系中坐标的求解，解题的关键是求解出正方形的边长．
由面积可求解出正方形的边长，由此可求解坐标．
【详解】解：正方形OBCD的面积为25，
∴OB×OB=25，
解得OB=5，
即正方形OBCD的边长为5，
∵正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，
∴点C的坐标为(5,5)．
故选：C ．
【变式3】“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．
如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个
“方胜”图案，则点B'，D之间的距离为（ ）A．1cm B．2cm C．(2❑√2+1)cm D．(2❑√2−1)cm
【答案】D
【分析】先求出BD，再根据平移性质得BB′=1cm，然后由DB′=BD−BB′求解即可．
【详解】解：由题意，BD=❑√22+22=2❑√2(cm)，
由平移性质得BB′=1cm，
∴点D，B′之间的距离为DB′=BD−BB′ =(2❑√2−1)cm，
故选：D．
【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
知识点2：正方形的判定
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：
【题型2 添一条件使四边形是正方形】
【典例2】已知四边形ABCD为矩形，下列条件中，不能判定四边形ABCD为正方形的是（ ）
A．∠ABD=∠CBD B．∠A+∠C=180° C．AB=BC D．AC⊥BD【答案】B
【分析】根据正方形的定义逐项判定即可．
【详解】如下图，
对于选项A，由矩形的对边平行，可得内错角相等，即∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD．
则BC=CD（等角对等边）．
所以，四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
故A选项说法正确，但不符合题意；
对于选项B，对角互补是矩形本身就具有的条件，相当于没有增加判定正方形的条件，故不能判定四边
形ABCD为正方形．
故B选项说法错误，符合题意．
对于选项C， 因AB=BC，四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
故选项C说法正确，但不符合题意；
对于选项D，因矩形的对角线互相平分，
∴O为AC的中点，又AC⊥BD，
∴△OAB≌△OCB，
则AB=BC，
所以，四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
故选项D说法正确，但不符合题意；
故答案为：B．
【点睛】本题涉及矩形的性质及正方形的判定等相关知识点，解题的关键是对正方形的定义有准确的
判断．
【变式1】已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD
【答案】C【分析】根据正方形的判定，菱形的判定和矩形的判定逐项分析即可．
【详解】解：A、添加AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形，故错误；
B、添加AC＝BD，可得平行四边形ABCD是矩形，故错误；
C、根据AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形，根据AC＝BD，可得菱形ABCD是正方形，故正确；
D、添加AC平分∠BAD，可得平行四边形ABCD是菱形，故错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的判定，菱形的判定和矩形的判定，熟记判定定理是解此题的关键．
【变式2】如图，在▱ABCD中，AC⊥BD．再添加一个条件，可以判定四边形ABCD是正方形的是
（ ）
A．AB=AD B．AB=AC C．AC=BD D．AD=BC
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的判
定定理．根据正方形的判定定理即可解答．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AC⊥BD，利用对角线互相垂直且相等即可证明四边形
ABCD是正方形．
A．当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项错误，不符合题意；
B．当AB=AC时，四边形ABCD一定不是正方形，选项错误，不符合题意；
C．当AC=BD时，平行四边形角线互相垂直且相等，则四边形ABCD是正方形，选项正确，符合题意；
D．当AD=BC时，四边形ABCD不一定是正方形，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式3】小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则
下列条件添加错误的是（ ）A．（1）处可填∠B=90° B．（2）处可填AB=BC
C．（3）处可填AB=BC D．（4）处可填∠A=∠C
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解
题的关键．
根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠B=90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AB=BC是正确的，故该选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴（3）处可填AB=BC是正确的，故该选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，
∴∠A=∠C无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意；
故选：D．
【题型3 正方形的判定】
【典例3】如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED．求
证：四边形ABCD是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可
判定为正方形是解题的关键．
通过已知角的关系推导出∠AEB=∠CEB，再结合∠BAE=∠BCE和公共边BE，证明
△ABE≌△CBE，从而得到AB=CB，进而判定矩形ABCD为正方形．
【详解】证明：∵∠AED=∠CED，∠AEB=180°−∠AED，∠CEB=180°−∠CED，
∴∠AEB=∠CEB．
在△ABE和△CBE中：{∠BAE=∠BCE,
)
∠AEB=∠CEB,
BE=BE,
∴△ABE≌△CBE（AAS），
∴AB=CB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂
足分别为E，F，求证：四边形CEDF是正方形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查正方形的判定，掌握先证矩形，再证邻边相等的判定思路是解题的关键．
先证明四边形CEDF是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而得出其为正方形．
【详解】解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DFC=∠DEC=∠ACB=90°，四边形CEDF是矩形，
∵CD是角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DF=DE，
∴四边形CEDF是正方形．
【变式2】如图，四边形ABCD是矩形，E是AC延长线上的一点，连接BE，DE，且BE=DE．求证：
四边形ABCD是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了矩形和正方形，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的
判定是解题的关键，
连接BD交AC于点O，由矩形对角线性质和等腰三角形性质得EO⊥BD，得BC=DC， 即得矩形ABCD是正方形．
【详解】证明：如图，连接BD交AC于点O．
∵ ABCD
四边形 是矩形，
∴OB=OD．
∵BE=DE，
∴EO⊥BD．
∴BC=DC．
∴四边形ABCD是正方形．
【变式3】如图，在▱ABCD中，BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，BE=DE，求证：四边形EBFD
是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，灵
活运用相关性质和判定定理是解题的关键．
由平行四边形的性质可得AB=CD,AD∥BC,AD=BC，∠A=∠C，易证△AEB≌△CFD(AAS)
可得BE=FD，再通过证明四边形EBFD是平行四边形，是矩形，进而证明结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AD∥BC,AD=BC，∠A=∠C，
∵DF⊥BC，BE⊥AD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，BE∥FD，
∴△AEB≌△CFD(AAS)，
∴BE=FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠CFD=90°，∴平行四边形EBFD是矩形，
∵BE=DE，
∴矩形EBFD是正方形．
【题型4 正方形的性质与判定综合】
【典例4】如图，在△ABC中，∠BAC=45∘，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将
△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．
(1)求证：四边形AFHG为正方形；
(2)若BH=6，CH=8，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)AB=6❑√5
【分析】本题考查了正方形的判定及性质、折叠的性质及勾股定理：
（1）由折叠的性质可得到的条件是：①AG=AD=AF，②
∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四边形AGHF是矩形，
由AG=AF可证得四边形AGHF是正方形；
（2）设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x（即正方形的边长为x），BG=BD=6，
CF=CD=4；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的长，进
而可求出AB的长；
熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四边形AFHG是正方形．
（2）∵四边形AFHG是正方形，∴∠BHC=90°，
又∵GH=HF=AD，BH=6，CH=8，
设AD的长为x，则GB=BD=x−6，CD=CF=x−8．
在Rt△BCH中，由勾股定理得：BC=❑√BH2+CH2=10，
即BD+CD=(x−6)+(x−8)=10，
解得x=12，
∴AD=12，AB=❑√AD2+BD2=❑√122+62=6❑√5．
【变式1】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，BC=17，CD=7，作
AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．
(1)求证：四边形AECF是正方形；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)144
【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键
是掌握以上性质．
（1）根据垂直得出直角，证明四边形AECF为矩形，利用AAS证明△ABE≌△ADF，得出AE=AF，
即可得出结论；
（2）借助（1）的结论得出四边形ABCD的面积等于正方形AECF的面积，求出CE=12，即可求出
面积．
【详解】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AEB=90°，∠F=90°，
又∵∠BCD=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF=90°−∠DAE，又∵∠AEB=∠F=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是正方形；
（2）解：由（1）得四边形AECF是正方形，且△ABE≌△ADF，
∴四边形ABCD的面积等于正方形AECF的面积，BE=DF，
∵BC=17，CD=7，
1
∴CE= (BC+CD)=12，
2
∴正方形AECF的面积为CE2=144，
即四边形ABCD的面积为144．
【变式2】在菱形ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED=45°，DF=BE，连接
CE，AE，AF，CF．
(1)求证：四边形AECF是正方形；
(2)若BD=4，BE=3，求CD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)❑√29
【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识
点．
（1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形AECF是菱形，再根据“有一个角是
直角的菱形是正方形”得出答案；
（2）先根据菱形的性质求出BO，进而求出EO，再根据正方形的性质可得AO，然后根据勾股定理求
出AB，则此题可解．
【详解】（1）证明：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO,BO=DO,AC⊥BD
∵DF=BE，∴DF+DO=BE+BO，
即FO=EO
∵AO=CO,AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF=∠CEF=45°，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
1
∴BO=DO= BD=2,AC⊥BD,AB=CD，
2
∴EO=BO+BE=5，
∵四边形AECF是正方形，
∴AO=EO=5，
在Rt△ABO中，AB=❑√AO2+BO2=❑√29，
∴CD=AB=❑√29．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，
AC=EF，连接AE、CE、CF、AF．
(1)求证：四边形AECF是正方形；
(2)若AB=❑√13，OB=3，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=2❑√2
【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用菱形的性质得出AO=CO，BO=DO，AC⊥EF，再利用BE=DF，得出EO=FO，得
出四边形AECF是平行四边形，再由AC=EF，AC⊥BD，即可得证；
（2）先利用勾股定理求出AO=❑√AB2−OB2=2，再利用正方形的性质得出AO=OE=2，再利用勾
股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．
∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，即OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
又∵AC=EF，
∴四边形AECF是正方形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，则△AOB是直角三角形．
AO=❑√AB2−OB2=❑√(❑√13) 2 −32=2．
又知四边形AECF是正方形，AC=EF，且AC、EF互相平分，
∴OE=OA=2，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE=2❑√2．
知识点3：中点四边形
1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。
2.核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半）。
3.形状规律（由原四边形对角线决定）
①任意四边形→中点四边形是平行四边形
②对角线相等→中点四边形是菱形
③对角线垂直→中点四边形是矩形
④对角线相等且垂直→中点四边形是正方形【关键结论】
①所有中点四边形至少是平行四边形
②周长=原四边形两条对角线长度之和
③面积=原四边形面积的
【题型5 中点四边形】
【典例5】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则
四边形EFGH为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．
（1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．
（2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．
（3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．
【答案】平行四边形，见解析；（1）AC=BD，理由见解析；（2）AC⊥BD，理由见解析；（3）
AC=BD且AC⊥BD，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌
握相关知识点是解题的关键．
连接AC、BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段
EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以
证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到
答案．
【详解】解：四边形EFGH为平行四边形，
理由，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，
∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，1 1 1 1
∴EF= AC，FG= BD，GH= AC，HE= BD，
2 2 2 2
∴EF=GH，FG=HE，
∴四边形EFGH为平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（1）AC=BD，
理由，如图①四边形ABCD的对角线AC=BD，
1 1
∵ EFGH HE= BD GH= AC
2 2
四边形 为平行四边形，且 ， ，
∴HE=GH，
∴平行四边形EFGH为菱形，
故答案为：AC=BD；
（2）AC⊥BD，
理由，如图②四边形ABCD的对角线互相垂直，
∵E、F、G、H ABCD
分别是四边形 各边中点，
∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，
∴EF∥AC，HE∥BD，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥HE，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH为矩形，
故答案为：AC⊥BD；
（3）AC=BD且AC⊥BD，
理由，如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，根据AC⊥BD，由（2）可知EF⊥HE，
根据AC=BD，由（1）可知平行四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形，
故答案为：AC=BD且AC⊥BD．
【变式1】若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形
C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关
键．
根据菱形的性质，得EF=FG=GH=HE，结合三角形的中位线定理得AC=BD，即可求解．
【详解】解：如图，
∵根据题意，四边形EFGH是菱形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=FG=GH=HE，AC=2EF，BD=2HE，
∴AC=BD，
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选：A．
【变式2】四边形ABCD的中点四边形是矩形，那么四边形ABCD一定满足条件（ ）
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】本题考查判断一个四边形的中点四边形的形状．如果中点四边形是矩形，那么原四边形的对
角线必然互相垂直．【详解】解：∵四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，
∴四边形ABCD的对角线一定互相垂直，只要符合此条件即可，
故选：D．
【变式3】如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H．若对角线AC、BD的长分别是10cm、
20cm，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
【答案】B
【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC或BD的一半，进而求四边形周长
即可．
【详解】解：∵E，F，G，H，是四边形ABCD各边中点，
1 1 1
∴HG= AC，EF= AC，GF=HE= BD．
2 2 2
又∵AC=10cm，BD=20cm，
1
∴四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE= (AC+AC+BD+BD)=AC+BD=30cm．
2
故选：B．
【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已
知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提
供了一个重要的依据．
1．正方形的一条对角线长为8，则另一条对角线长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．4❑√2
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质．根据正方形的两条对角线长度相等，即可求解．【详解】解：∵正方形的两条对角线相等，且已知一条对角线长为8，
∴另一条对角线长也为8．
故选：C．
2．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，连接BP，若∠BPC=55°，则∠PBC的度数为
（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和
定理是解决问题的关键．根据正方形性质得∠BCA=45°，在△BCP中，∠BPC=55°，根据三角形
内角和定理即可得出∠PBC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCA=45°，
在△BCP中，∠BPC=55°，
∴∠PBC=180°−(∠BPC+∠BCA)=180°−(55°+45°)=80°．
故选：A．
3．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等
【答案】B
【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可．
【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等，
矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直，
故选：B．
4．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平
后的图形是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠，掌握折叠的性质是关键．根据展开后的图形即可作出判断．
【详解】
解：根据图③的剪法，展开后所得图形为 ，
故选：B．
5．下列命题中，能判断四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；
故选：A．
6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB与AD上一点，连接CE，BF，交点为G，且CE⊥BF，
已知∠ABF=30°，BG=2，则正方形的边长为( )A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据正方形的性质以及已知条件，根据等角的余角相等，得出
∠GCB=∠EBG=∠ABF=30°，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠CEB+∠GCB=90°，
∵CE⊥BF，
∴∠EBG+∠CEB=90°，
∴∠GCB=∠EBG=∠ABF=30°，
∴BC=2BG=4，
故选：B．
7．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点，若AC+BD=3，
则四边形EFGH的周长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4.5
【答案】B
【分析】本题考查了中点四边形，根据点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四条边AB，BC，
CD，DA的中点，得出HG，EF是△ACD，△BCD的中位线，同理HE,GF分别是△ABD,△CBD
的中位线，故四边形EFGH的周长为HG+EF+HE+GF=AC+BD=3，即可作答．
【详解】解：连接AC,BD，如图所示：在△ACD中，点G，H分别为边CD，DA的中点，
∴HG是△ACD的中位线，
1
∴GH= AC，
2
在△BCD中，点E，F分别为边AB，BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
1
∴EF= AC，
2
同理得HE,GF分别是△ABD,△CBD的中位线，
1 1
∴HE= DB,GF= DB，
2 2
∴四边形EFGH的周长为HG+EF+HE+GF=2HG+2HE=AC+BD=3，
故选：B．
8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，
将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图
案，则点D，B′之间的距离为（ ）
A．(2❑√2−2) cm B．(❑√2−1) cm C．2cm D．2❑√2 cm
【答案】A
【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的
关键，由题意得BB′=2cm，根据正方形的性质和勾股定理，求出BD，进而求出答案即可；
【详解】解：由题意得BB'=2cm，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=2cm,∠A=90°，
∴BD=❑√AB2+AD2=2❑√2cm，
∴DB′=BD−BB′=(2❑√2−2)cm，
∴点D，B′之间的距离为(2❑√2−2)cm，
故选：A．
9．如图，P为正方形ABCD对角线AC上的一点，点P到AB的距离PE=5cm，则点P到直线AD的距离
为 cm．
【答案】5
【分析】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质定理，根据AC平分∠DAC即可求解．
【详解】解：由题意得：AC平分∠DAC
∵点P到AB的距离PE=5cm，
∴点P到直线AD的距离为5 cm．
故答案为：5
10．如图，四边形ABCD是正方形，E是CB延长线上的一点，且BD=BE，则∠E的度数是 ．
【答案】22.5°
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握这些知识是关键；
由正方形的性质得∠DBC=45°，由等腰三角形的性质得∠BDE=∠E，再由三角形外角的性质即可
求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠E，
∵∠DBC=∠BDE+∠E=2∠E，
1
∴∠E= ∠DBC=22.5°，
2
故答案为：22.5°．
11．如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，连接BD，DE，若BE=BD，AB=1，则CE的值为
．
【答案】❑√2−1
【分析】此题考查了正方形的性质和勾股定理等知识．由正方形的性质得到AD=BC=AB=1，
∠A=90°，根据勾股定理求出BD=❑√2，得到BE=BD=❑√2，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=AB=1，∠A=90°，
∴BD=❑√AB2+AD2=❑√12+12=❑√2，
∴BE=BD=❑√2，
∴CE=BE−BC=❑√2−1，
故答案为：❑√2−1．
12．如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若
BC=12，BD =10，则点D的坐标是 ．
【答案】(20,6)
【分析】本题考查的是勾股定理，菱形的性质，正方形的性质，根据题意作出辅助线，利用菱形的性质判断出△BCD是等腰三角形是解题的关键．
过点D作DG⊥BC于点G，根据四边形BDCE是菱形可知BD=CD，可得出△BCD是等腰三角形，
1
即可得到CG= BC，再根据勾股定理求出GD即可得出结论．
2
【详解】解：过点D作DG⊥BC于点G，
∵ BDCE
四边形 是菱形，
∴ BD=CD=10，
∴ △BCD是等腰三角形，
∴点G是BC的中点，
1
∴CG= BC=6，
2
∴GD=❑√CD2−CG2=❑√102−62=8，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=12，
∴12+8=20，
∴ D (20,6)，
故答案为(20,6)．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，过点A作AE平行于BC，且AE=CD，连接BE．
(1)求证：四边形AEBD是矩形．
(2)当∠ABC= °时，四边形AEBD是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)45
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键．
（1）可证明AE=BD，则可证明四边形AEBD是平行四边形，由三线合一定理得到AD⊥BC，据此
可证明结论；
（2）当∠ABC=45°时，可证明△ABD是等腰直角三角形，得到AD=BD，则可证明矩形AEBD是
正方形．
【详解】（1）证明：∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
又∵AE=CD，
∴AE=BD，
∵AE∥BC，AE=BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：当∠ABC=45°时，四边形AEBD是正方形，证明如下：
由（1）可得AD⊥BC，且四边形AEBD是矩形，
又∵AD⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∴矩形AEBD是正方形．
14．如图，▱ABCD，AB=2❑√3，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BF∥CE，CF∥BE，BF=CF.
(1)求证：四边形BECF是正方形．
(2)连接AE，若∠AEB=75°，求线段BF的长度．【答案】(1)答案见解析
(2)3❑√6−3❑√2
【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含30°角直角三角形的性质；
（1）由四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，得到∠BEC=90°，再由
BF∥CE，CF∥BE，BF=CF，可得四边形BECF是菱形，进而得证四边形BECF是正方形；
（2）过点E作EG⊥AB，由（1）可得△BGE是等腰直角三角形，Rt△AGE是含30°角直角三角
形，设AG=x，利用AB=2❑√3，可求出BE，进而求出BF.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
1 1
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，
2 2
1
∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠BCD)=90°，
2
∴∠BEC=90°，
∵BF∥CE，CF∥BE，BF=CF，
∴四边形BECF是菱形，
又∵∠BEC=90°，
∴菱形BECF是正方形.
即四边形BECF是正方形.
（2）解：过点E作EG⊥AB，如图所示，
∵四边形BECF是正方形，
∴∠EBC=45°，
∵BE平分∠ABC，∴∠GBE=∠EBC=45°，
∵EG⊥AB，
∴∠GEB=∠GBE=45°，
∴GB=≥¿，
∵∠AEB=75°，
∴∠AEG=∠AEB−∠GEB=75°−45°=30°，
∴在Rt△AGE中，设AG=x，AE=2AG=2x，
∴¿=❑√AE2−AG2=❑√(2x) 2−x2=❑√3x，
∴GB=≥=❑√3x，
∴AB=AG+GB=x+❑√3x，
∵AB=2❑√3，
∴x+❑√3x=2❑√3，
∴x=3−❑√3，
∴GB=≥=❑√3(3−❑√3)=3❑√3−3，
∴BE=❑√GB2+GE2=❑√2(3❑√3−3)=3❑√6−3❑√2，
∵四边形BECF是正方形，
∴BF=BE=3❑√6−3❑√2.
