文档内容
第05讲 正方形的性质和判定
考点1：正方形的概念和性质
考点2：正方形的判定
考点3：正形的综合应用
考点4：中点四边形
重点：
（1）掌握正方形的双重属性（矩形 + 菱形），理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。
（2）熟记正方形的性质与判定定理，能准确区分判定条件的前提（如 “矩形 + 邻边相等”）。
（3）灵活运用面积、边长、对角线的关系进行计算。
（4）掌握中点四边形的性质
难点：
（1）判定定理的灵活选择：根据题干条件（如已知平行四边形 / 矩形 / 菱形），选择最简判定路径，
避免逻辑混乱。
（2）综合题的辅助线添加：学会连对角线将正方形转化为等腰直角三角形，利用勾股定理或全等解
题。
（3）从属关系的理解：突破 “正方形是特殊的矩形 / 菱形，矩形 / 菱形不一定是正方形” 的逻辑
辨析，构建知识体系。
（4）折叠与坐标系综合题：结合方程思想，解决含未知线段的计算问题，考虑多解情况。
知识点1：正方形的概念与性质
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对
称轴）【题型1 利用正方形的性质求解】
【典例1】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BAE为（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【变式1】如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，连接CP，CP平分∠ACD，则∠ACP的度
数是（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°
【变式2】如图，面积为25的正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
(25,25) (−5,5) (5,5) (❑√5,❑√5)
【变式3】“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．
如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个
“方胜”图案，则点B'，D之间的距离为（ ）A． B． C． D．
1cm 2cm (2❑√2+1)cm (2❑√2−1)cm
知识点2：正方形的判定
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：
【题型2 添一条件使四边形是正方形】
【典例2】已知四边形ABCD为矩形，下列条件中，不能判定四边形ABCD为正方形的是（ ）
A．∠ABD=∠CBD B．∠A+∠C=180° C．AB=BC D．AC⊥BD
【变式1】已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD
【变式2】如图，在 ▱ABCD中，AC⊥BD．再添加一个条件，可以判定四边形ABCD是正方形的是
（ ）A．AB=AD B．AB=AC C．AC=BD D．AD=BC
【变式3】小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则
下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠B=90° B．（2）处可填AB=BC
C．（3）处可填AB=BC D．（4）处可填∠A=∠C
【题型3 正方形的判定】
【典例3】如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED．求
证：四边形ABCD是正方形．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂
足分别为E，F，求证：四边形CEDF是正方形．【变式2】如图，四边形ABCD是矩形，E是AC延长线上的一点，连接BE，DE，且BE=DE．求证：
四边形ABCD是正方形．
【变式3】如图，在 ▱ABCD中，BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，BE=DE，求证：四边形EBFD
是正方形．
【题型4 正方形的性质与判定综合】
【典例4】如图，在△ABC中，∠BAC=45∘，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将
△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．
(1)求证：四边形AFHG为正方形；
(2)若BH=6，CH=8，求AB的长．
【变式1】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，BC=17，CD=7，作
AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．(1)求证：四边形AECF是正方形；
(2)求四边形ABCD的面积．
【变式2】在菱形ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED=45°，DF=BE，连接
CE，AE，AF，CF．
(1)求证：四边形AECF是正方形；
(2)若BD=4，BE=3，求CD的长．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，
AC=EF，连接AE、CE、CF、AF．
(1)求证：四边形AECF是正方形；
(2)若AB=❑√13，OB=3，求AE的长．知识点3：中点四边形
1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。
2.核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半）。
3.形状规律（由原四边形对角线决定）
①任意四边形→中点四边形是平行四边形
②对角线相等→中点四边形是菱形
③对角线垂直→中点四边形是矩形
④对角线相等且垂直→中点四边形是正方形
【关键结论】
①所有中点四边形至少是平行四边形
②周长=原四边形两条对角线长度之和
③面积=原四边形面积的
【题型5 中点四边形】
【典例5】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则
四边形EFGH为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．（1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．
（2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．
（3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．
【变式1】若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形
C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形
【变式2】四边形ABCD的中点四边形是矩形，那么四边形ABCD一定满足条件（ ）
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【变式3】如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H．若对角线AC、BD的长分别是10cm、
20cm，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
1．正方形的一条对角线长为8，则另一条对角线长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．4❑√2
2．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，连接BP，若∠BPC=55°，则∠PBC的度数为
（ ）A．80° B．75° C．70° D．65°
3．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等
4．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平
后的图形是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中，能判断四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形
6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB与AD上一点，连接CE，BF，交点为G，且CE⊥BF，
已知∠ABF=30°，BG=2，则正方形的边长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点，若AC+BD=3，
则四边形EFGH的周长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．4.5
8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，
将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图
案，则点D，B′之间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
(2❑√2−2) cm (❑√2−1) cm cm 2❑√2 cm
9．如图，P为正方形ABCD对角线AC上的一点，点P到AB的距离PE=5cm，则点P到直线AD的距离
为 cm．
10．如图，四边形ABCD是正方形，E是CB延长线上的一点，且BD=BE，则∠E的度数是 ．11．如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，连接BD，DE，若BE=BD，AB=1，则CE的值为
．
12．如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若
BC=12，BD =10，则点D的坐标是 ．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，过点A作AE平行于BC，且AE=CD，连接BE．
(1)求证：四边形AEBD是矩形．
(2)当∠ABC= °时，四边形AEBD是正方形．
14．如图， ▱ABCD，AB=2❑√3，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BF∥CE，CF∥BE，BF=CF.(1)求证：四边形BECF是正方形．
(2)连接AE，若∠AEB=75°，求线段BF的长度．
