文档内容
专题 01 勾股定理（五大类型）
【题型1已知直角的两边长，求第三边长】
【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】
【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】
【题型4 作无理数的线段】
【题型5 勾股定理的证明】
【题型1已知直角的两边长，求第三边长】
1．（2023春•禅城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则AB
边的长度是（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．（2023春•张北县校级期中）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°且AB＝3，BC＝4，则AC
＝（ ）
A．5 B． C．5或 D．±5或
3．（2023春•黄冈月考）直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（ ）
A．13 B． C．13或 D．7
4．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，则BC的长度为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
5．（2022秋•晋江市期末）我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条
直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（ ）
A．21 B．15 C．13 D．12
6．（2022秋•内江期末）如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（ ）
A．24 B．30 C．48 D．18
7．（2023•金水区开学）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，主体图案
是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，OA ＝AA ＝AA ＝…＝A A ＝1，则
1 1 2 2 3 n﹣1 n
OA 的长为（ ）
21
A．22 B． C．21 D．
【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】
8．（2023秋•朝阳区校级期末）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的
正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（ ）A．28cm2 B．42 cm2 C．49 cm2 D．63 cm2
9．（2023秋•建湖县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直
平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2022秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝
5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11.（2023春•东西湖区期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所
组成的两个新月形，面积分别记作S 和S ．若S +S ＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（
1 2 1 2
）
A．12.5 B．13 C．14 D．15
12．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，
且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋•临猗县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝
DB＝10，△ABD的面积为40，则CD的长是（ ）A．5 B． C．6 D．8
14．（2023春•凉城县期末）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是
AC边上的中线，则△BCD的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．60cm2 D．65cm2
15．（2023秋•青岛期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，斜边AB＝
4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
16．（2π023秋•昌江区期中）如π 图，△ABC中，∠ABπC＝90°，AC＝9，BCπ＝4，则正方形
ABDE的面积为（ ）
A．18 B．36 C．65 D．72
17．（2023春•焦作期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5
和11，则c的面积为（ ）A．6 B．5 C．11 D．16
18．（2023秋•昭通期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，AB＝20，CD是
AB边上的高，则CD的长是（ ）
A．4.8 B．7.2 C．8 D．9.6
19．（2023秋•河东区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是
AB边上的高，则AD的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
20．（2023秋•彰武县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，ED是
AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连结AE，则△ABE的周长为 14
．
21．（2023秋•凤翔区期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中
阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当 AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面
积为 2 4 ．
【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】
22．（2023春•西城区校级期中）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上
的高为（ ）
A． B． C．6 D．1323．（2022秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为
D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
24．（2023春•代县月考）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则边
BC的长为（ ）
A．4 B．14 C．4或14 D．8或14
25．（2022秋•榕城区期末）如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶
点均在正方形格点上，则BC边上的高是（ ）
A． B． C．2 D．
26．（2023春•长沙期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为
AB边上的高．
（1）求斜边AB的长；
（2）求CD的长．
27．（2023春•靖西市期中）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝8，BC＝6．
（1）求AB的长；
（2）求斜边上的高CD的长．28．（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝
10．
（1）若CD＝6，则AD＝ ，BD＝ ；
（2）若BC＝20，求CD的长．
【题型4 作无理数的线段】
30．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点D表示的数为
0，用圆规在数轴上截取AE＝AC，则点E所表示的数为（ ）
A．1 B．1﹣ C． ﹣1 D．
31．如图所示，数轴上点A所表示的数为 ．
35．如图所示，点C表示的数是 ．32．如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为 1，BA＝BC，写出数轴上点A所表示的数是
．
33．如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是 ．
34．如图，在数轴上作出表示 的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．
【题型5 勾股定理的证明】
35．（2023春•渝北区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，
不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
36．（2021秋•海州区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四
个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直
角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（
）
A．148 B．100 C．196 D．14437．（2022春•河东区期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古
代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．
如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的
周长为（ ）
A．10+ B．10+ C．10+ D．24
38．（2023春•朝阳区校级期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个
小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），直角
三角形的面积为S ，小正方形的面积为S ，则用含S ，S 的代数式表示a2+b2正确的是
1 2 1 2
（ ）
A．4S+S B．4S﹣S C．4S D．4S+S
1 21 1 2 1 1 2
39．（2023•攀枝花二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同
一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
40．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接
BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB
＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．42.方图”以验证勾股定理，后世也称“赵爽弦图”．实际上，赵爽弦图与完全平方公式
有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回
答以下问题：
（1）如图，正方形ABCD的面积为 ，正方形IJKL的面积为 ；（用含
a，b的式子表示）
（2）根据图中正方形ABCD的面积及正方形IJKL的面积的关系，可得（a+b）2，ab，
（a﹣b）2的等量关系为 ；
（3）请通过运算证明上述等量关系；
（4）记正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 IJKL 的面积分别为 S ，S ，S ，若
1 2 3
S+S+S＝30，直角三角形AEH的面积为 ，则求（a﹣b）2的值．
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