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专题 02 矩形的性质和判定（五大类型）
【题型1 矩形的概念和性质】
【题型2矩形和垂直平分线的综合应用】
【题型3直角三角形斜边上的中线】
【题型4矩形的判定】
【题型5 矩形的性质与判定综合】
【题型1 矩形的概念和性质】
1．（2023秋•顺德区期中）已知矩形的一边长为6，面积为48，则该矩形的对角线长为（
）
A．8 B．10 C．24 D．40
【答案】B
【解答】解：另一边的边长＝ ，
该矩形的对角线长为＝ ＝10，
故选：B．
2．（2023 秋•锦江区校级月考）如图，在矩形 ABCD 中，下列结论中一定正确的是
（ ）
A．AD＝CD B．AC＝BD C．OA＝AB D．CD＝BC
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
故B正确；当矩形ABCD的邻边相等，即四边形ABCD为正方形时，AD＝CD，CD＝BC，而题中
并没有这一条件，
故A不正确，D不正确；
当矩形ABCD的对角线AC＝2AB时，OA＝AB，而题中并没有这一条件，
故C不正确，
故选：B．
3．（2023秋•城固县期中）矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若∠OAB＝
30°，B（3，0），对角线AC与BD相交于点E，AC∥x轴，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解答】解：∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝60°，AB＝2OB＝6，
∵AC∥OB，
∴∠CAB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE＝CE＝BE＝DE，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝6，
故选：D．
4．（2023春•香洲区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OC＝4，
P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为（ ）A．1.5 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴OD＝OB＝ BC，OC＝OA＝ AC，且BD＝AC，
∴OD＝OC＝4，
∵P，Q分别为AO，AD的中点，
∴PQ＝ OD＝ ×4＝2，
故选：B．
5．（2023春•桐城市期末）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（﹣10，0），
C（0，﹣4），D是OA的中点，P是边BC上的点，连接DP，OP，当OP＝OD时，CP
的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】B
【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，﹣4），
∴AO＝10，OC＝4，
∵D是OA的中点，
∴AD＝OD＝5，
∴OP＝OD＝5，
∴CP＝ ＝ ＝3，故选：B．
6．（2023春•泌阳县期末）如图，△ABC的边长BC长为7cm，将△ABC向上平移3cm得
到△A′B′C′，已知四边形BCC′B′为长方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．21cm2 B．14cm2 C． cm2 D．42cm2
【答案】A
【解答】解：由平移得BB′＝3cm，△A′B′C′≌△ABC，
∴S△A′B′C′ ＝S△ABC ，
∴S阴影 ＝S四边形BCC′B′+S△A′B′C′ ﹣S△ABC ＝S四边形BCC′B′ ，
∵四边形BCC′B′为长方形，BC＝7cm，
∴S四边形BCC′B′ ＝BC•BB′＝7×3＝21（cm2），
∴S阴影 ＝21cm2，
故选：A．
7．（2023春•黔东南州期末）在矩形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则
点D的坐标为（ ）
A．（4，4） B．（4，3） C．（﹣4，4） D．（﹣4，﹣4）
【答案】B
【解答】解：∵长方形ABCD中，A（4，1），C（0，3），
∴点D的横坐标为4，纵坐标为3，
∴点D的坐标为（4，3）．
故选：B．8．（2023春•曹县期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝
120°，DF∥AC，CF∥BD，DF，CF相交于点F，DF＝4，则矩形ABCD的面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵DF∥AC，CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∴OC＝DF＝4，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，且AC＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝4，
∴BC＝ ＝ ＝4 ，
∴S矩形ABCD ＝AB•BC＝4×4 ＝16 ，
故选：C．
9．（2023春•汉阴县期末）如图，在矩形 ABCD中，AC、BD相交于点O．若OA＝2，
∠ADB＝30°，则BC的长为（ ）A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形．
∴OA＝ AC，OB＝ BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠ADB＝30°，
∴AB＝ BD＝OB＝2，
∴AC＝2OA＝4，
由勾股定理得，BC＝ ，
故选：D．
10．（2023•舟山三模）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角
线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”
这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，
根据图形可知他得出的这个推论指（ ）
A．S矩形ABMN ＝S矩形MNDC
B．S矩形EBMF ＝S矩形AEFN
C．S矩形AEFN ＝S矩形MNDC
D．S矩形EBMF ＝S矩形NFGD
【答案】D
【解答】解：∵AD∥EG∥BC，MN∥AB∥CD，
∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形，
∴S△AEF ＝S△AFN ，S△FMC ＝S△CGF ，S△ABC ＝S△ACD ，
∴S矩形BEFM ＝S矩形NFGD ，故选：D．
【题型2矩形和垂直平分线的综合应用】
11．（2023春•庐江县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直
平分线分别交AD、AC于点M，N，则AM的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接CM，如图所示：
在矩形ABCD中，AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∠D＝90°，
∵对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，
∴CM＝AM，
设AM＝CM＝x，
则DM＝6﹣x，
在Rt△CDM中，根据勾股定理，得32+（6﹣x）2＝x2，
解得x＝ ，
∴AM＝ ，
故选：A．
12．（2022春•增城区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、
AC、BC于点E、O、F，若AB＝3，BC＝4，则BF的长为（ ）A． B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：连接AF，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，
设BF＝x，则CF＝4﹣x
在Rt△ABF中，
x2+32＝（4﹣x）2．
解得：x＝ ，
∴BF＝ ，
故选：B．
13．（2023春•江源区期末）如图，在矩形 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交
AB，CD于点E，F，连接AF，CE，如果∠BCE＝26°，则∠CAF＝ 32 °
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，CD∥AB，OC＝OA，
∴∠FCO＝∠EAO，∵∠COF＝∠AOE，
∴△FCO≌△EAO，
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF垂直平分线段AC，
∴FA＝FC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠BCE＝26°，
∴∠FCE＝64°，
∴∠FAE＝∠FCE＝64°，
∴∠CAF＝ ∠FAE＝32°，
故答案为32°．
14．（2023•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，作BD的垂直平分线分别与AD、BC交于
点M、N，连接BM、DN．若BM＝5，NC＝3．则矩形ABCD的周长为 2 4 ．
【答案】24．
【解答】解：如图，设BD交MN于点O，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠MDO＝∠NBO，
∵MN是BD的垂直平分线，
∴OD＝OB，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形．
又∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形，
∴BN＝DN＝BM＝5，
∴AD＝BC＝BN+CNC＝5+3＝8，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝4，
∴矩形ABCD的周长＝2（CD+BC）＝2×（4+8）＝24，
故答案为：24．
15．（2022春•博兴县期末）如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分
别交AD、BC于点E、F，连接AO，若AO＝4，EF＝6，则AB＝ 4. 8 ．【答案】4.8．
【解答】解：连接BE，
∵EF为矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线，AO＝4，
∴BD＝2DO＝2AO＝8，BE＝DE，∠DOE＝90°，
∴DO＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵OB＝OD，∠EOD＝∠FOB，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴EO＝OF，
∵EF＝6，
∴EO＝3，
设AE＝x，
由勾股定理得：BE＝DE＝ ＝5，
AB2＝BD2﹣AD2＝BE2﹣AE2，
∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，
∴x＝ ，
∴AB＝ ＝4.8．
故答案为：4.8【题型3直角三角形斜边上的中线】
16．（2022秋•西安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若
∠CDA＝120°，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC的中线，
∴CD＝ AB＝AD＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠CDA＝∠B+∠DCB＝120°，
∴∠B＝60°．
故选：D．
17．（2022秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝ AB，
∵AB＝12，
∴CD＝6．
故选：D．
18．（2022秋•裕华区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交
BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）A．20 B．12 C．16 D．13
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝ BC＝4，
∵AD⊥BC，点E为AC的中点，
∴DE＝EC＝ AC＝6，
∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16，
故选：C．
19．（2023春•清江浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD
＝3，则AB＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝3，
∴AB＝2CD＝3×2＝6，
故答案为：6
【题型4矩形的判定】
20．（2023•张店区校级自主招生）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案
是（ ）
A．测量两组对边是否相等
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否互相平分
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
【答案】D
【解答】解：A、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项 A不符合题
意；
B、测量对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项 B不符合题意；
C、测量对角线是否互相平分，可以判定为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项D符合题
意；
故选：D．
21．（2023春•青山区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠BAD＝90° B．∠BAD＝∠ABC C．∠BAO＝∠OBA D．∠BOA＝90°
【答案】D
【解答】解：A、∠BAD＝90°，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，平行四边形
ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B、∵在平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，又∠BAD＝∠ABC，则∠BAD＝
∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C、∵∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，又 ，则AC＝BD，根据对角线
相等的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D、∠BOA＝90°能判定平行四边形平行四边形ABCD为菱形，不能判定它为矩形，故此
选项符合题意．
故选：D．
22．（2022秋•牡丹区期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若
添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．∠DAB＝90°
C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，
故选项A不符合题意；
若∠DAB＝90°，则四边形ABCD是矩形，
故选项B不符合题意；
若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，
故选项C符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，
若∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
则四边形ABCD是矩形，
故选项D不符合题意；
故选：C．
23．（2023•灞桥区校级四模）下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解答】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故选项C不符合题意；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意，
故选：D．
25．（2023•雁塔区一模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么
需要添加的条件是（ ）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠A＝∠C D．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：结合选项可知，添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
26．（2023春•莲池区校级期末）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意；
B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝5，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
27．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC、AC中
点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF
为矩形．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵点D、E分别为BC、AC中点，
∴AE＝EC，BD＝DC，
∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴ ADCF是矩形．
28．（▱2023秋•昌乐县期末）如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD
的延长线相交于点F，连接AF、BD▱．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若∠BEA+2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴AB＝DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠C，
∵∠BEA+∠BAE+∠ABE＝180°，∠BEA+2∠C＝180°，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴BE＝AE，
由（1）知，四边形ABDF是平行四边形，
∴BE＝ BF，
∵AE＝ AD，
∴BF＝AD，
∴平行四边形ABDF是矩形．【题型5 矩形的性质与判定综合】
29．（2023•同心县校级二模）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，
若要使平行四边形ABCD为矩形，则▱OB的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，
OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝3．
故选：B．
30．（2023春•裕华区校级期中）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上
一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，
BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．3 B．3.6 C．3.75 D．4
【答案】B
【解答】解：连接BP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
∴四边形BMPN是矩形，AC＝ ＝ ＝15，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴BO＝ MN，
当BP⊥AC时，BP最小＝ ＝ ＝7.2，∴MN＝7.2，
∴BO＝ MN＝3.6，
故选：B．
31．（2023春•兴城市期中）如图，在平行四边形 ABCD中，对角线AC、BD相交于点
O，且OA＝OD，∠OAD＝50°，则∠OAB的度数为 40 ° ．
【答案】40°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵∠OAD＝50°，
∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝40°，
故答案为：40°．
32．（2023春•台山市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝∠DBC．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，∠ACB＝30°，求BC的长．【答案】（1）证明见解析过程；
（2） ．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC，
∴BO＝CO，
∵四边形是ABCD平行四边形，
∴AC＝2OC，BD＝2OB，
∴AC＝BD，
平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝2×2＝4，
∴ ．
33．（2023春•北京期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形▱；
（2）若AD＝2，∠CAB＝30°，作∠DCB的平分线CE交AB于点E，求AE的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ﹣2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝2．
∵CE为∠DCB的平分线，
∴∠ECB＝ ∠DCB＝45°．
∵∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝ ．
∵∠CBE＝90°，∠ECB＝45°，
∴BE＝BC＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝ ﹣2．
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34．（2023春•台山市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝∠DBC．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，∠ACB＝30°，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2） ．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC，
∴BO＝CO，
∵四边形是ABCD平行四边形，
∴AC＝2OC，BD＝2OB，
∴AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝2×2＝4，
∴ ．
35．（2023春•北京期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形▱；
（2）若AD＝2，∠CAB＝30°，作∠DCB的平分线CE交AB于点E，求AE的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ﹣2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝2．
∵CE为∠DCB的平分线，
∴∠ECB＝ ∠DCB＝45°．∵∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝ ．
∵∠CBE＝90°，∠ECB＝45°，
∴BE＝BC＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝ ﹣2．
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36．（2023秋•青白江区期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO
＝CO，BO＝DO，且∠ABC＝90°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ACB＝30°，AB＝1，求：
①∠AOB的度数；
②四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①60°；② ．
【解答】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：①∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由（1）知四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°；②∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝1
∴AC＝2AB＝2，
在Rt△ABC中，BC＝ ，
∴四边形ABCD的面积为BC×AB＝ ．
37．（2023秋•辽阳期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．求
证： ．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小星：如图2，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE，BE；
小红：如图3，取BC的中点E、连接DE，
请选择一位同学的方法，完成证明．
【答案】证明过程见解答．
【解答】解：若选择小星的方法：
如图2，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE，BE，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴AB＝CE，
∵CD＝DE＝ CE，
∴CD＝ AB；
若选择小红的方法：
如图3，取BC的中点E、连接DE，∵点D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵BD＝ AB，
∴CD＝ AB．
38．（2022秋•射阳县期末）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D是边BC的中点，AE
是外角∠FAC的平分线，过点C作CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接DE，若矩形ADCE的周长是28，DE＝10，求四边形ABDE的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）48．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AE是∠FAC的平分线，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵∠BAD+∠CAD+∠FAE+∠CAE＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝ ×180°＝90°，
即∠DAE＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠ADC＝∠AEC＝∠DAE＝90°，∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ADCE是矩形，
∴∠AC＝90°，DE＝AC＝15，AE∥BD，AE＝CD，
∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵矩形ADCE的周长是28，
∴AD+CD＝14，
∴（AD+CD）2＝142，
即AD2+CD2+2AD•CD＝142，
∵AD2+CD2＝AC2＝102，
∴AD•CD＝ ＝48，
∴AD•BD＝48，
∴S平行四边形ABDE ＝BD•AD＝48．
39．（2023春•新余期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作
AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使▱CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝4，EC＝3，∠BAE＝30°，求OF的长度．
【答案】（1）证明见解答过程；（2） ．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝4，
∵EC＝3，
∴BE＝CF＝1，
∴BF＝5，
Rt△ABE中，∠BAE＝30°，
∴AB＝2BE＝2，
∴DF＝AE＝ ＝ ，
∴BD＝ ＝ ＝2 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF＝BD＝
