文档内容
专题 05 正方形的性质与判定（七大题型）
【题型1根据正方形的性质求角度】
【题型2根据正方形的性质求边长】
【题型3根据正方形的性质求面积】
【题型4添一个条件使四边形是正方形】
【题型5证明四边形是正方形】
【题型6正方形的判定与性质综合】
【题型7正方形与折叠综合】
【题型1根据正方形的性质求角度】
1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角
形，则∠ECB的度数是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB
上的点D′处，点C落在点C′处，若∠AD′M=60°，则∠MNB的度数为（ ）A．65° B．70° C．75° D．80°
3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延
长线上一点，且AC=EC，连接AE，则∠DAE的度数是（ ）
A．30° B．20° C．22.5° D．15°
4．（22-23九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等
边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是 ．
5．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是对角线
BD、AC上的点，连接CE、EF、DF，若EF∥BC，且．∠CEF=15°，则
∠EDF的度数为 ．
6．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点E在正方形ABCD内部，且△ABE是等边
三角形，连接BD、DE，则∠BDE= °．
7．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，点E是正方形ABCD内一点，△ADE是等边三角形，连接CE并延长交AB边于点F，则∠CFB=
8．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，
连接AM并延长交CD于点P，连接CM．若PM=PC，则∠BMC的度数为
．
9．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）取一张正方形纸片，先折叠成两个全等的矩形得
到折痕EF，然后展开，再把△CBH沿BH折叠，使C点落在折痕EF上，则∠CBH的
度数为 ．
【题型2根据正方形的性质求边长】
10．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵
爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，四
边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF=2，AH=6，那么AB等于（ ）
A．8 B．6❑√2 C．10 D．12
11．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4cm，将该正方形沿AC方向平移❑√2cm，得到正方形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，A′B′交BC于点
F，则A′E的长为（ ）
A．3cm B．2cm C．❑√2cm D．2❑√2cm
12．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是正方形
内的一点，且△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF的长是
（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别为边
AB,BC的中点，连接AF,DE，点G，H分别为DE,AF的中点，连接GH，则GH
的长为
14．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，P是正方形ABCD的对角线BD上的一
点，PE⊥AD于点E，连接CP，若AE=1，PC=❑√10，则点D到CP的距离为
．【题型3根据正方形的性质求面积】
15．（24-25九年级上·四川巴中·期末）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了
一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变
（如图），若正方形教具边长为10cm,∠D′=45°，则四边形A′BCD′的面积为
（ ）
A．100 cm2 B．50 cm2 C．50❑√2 cm2 D．100❑√2 cm2
16．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形ABCD中，以AC为对角线作正方形
AECF，若∠DAB=60°，AB=4，则正方形AECF的面积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
17．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则阴影部
分的面积为（ ）cm2．
A．4 B．8 C．12 D．1618．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为18cm2和
32cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（ ）
A．36cm2 B．42cm2 C．48cm2 D．50cm2
19．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，
正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等，且正方形A′B′C′O绕点O旋转，已知
AB=2，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．2 B．❑√2 C．1 D．无法确定
20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相
接，若正方形A的边长为5，正方形C的边长为3，则正方形B的面积为 ．
21．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，∠ABC=90°，四边形ACDE是正方形，
若AB=2,BC=4，则△BCE的面积等于 ．
22．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O
为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S ，△CON的面积为S ，若正方形的边长AB=6，S =6，则
1 2 1
S 的大小为 ．
2
23．（23-24八年级下·山东济宁·期末）七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰
直角三角形、正方形和平行四边形组成．如图，这是一个由边长为8cm的正方形纸板
制作的七巧板，则平行四边形（图中⑥）的面积是 cm2．
【题型4添一个条件使四边形是正方形】
24．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
25．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形
26．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，已知 ▱ABCD的对角线AC，BD交于
点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（ ）
▱ABCDA．AB=AD，AC=BD B．AB=BC，AC⊥BD
C．∠BAD=90°，AC⊥BD D．∠AOD=90°，AO=DO
【题型5证明四边形是正方形】
27．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于
E，∠ABC的平分线交AD于F，求证：四边形ABEF是正方形．
28．（24-25九年级上·江西九江·期中）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为
AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB⊥BC时，请判断四边形AEOF的形状，并说明理由．29．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F
是AD的中点，过点A作AE∥BC，交BF的延长线于点E，连接CE．
(1)求证：AE=DC．
(2)若△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，求证：四边形ADCE是正方形．
30．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC
的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．求证：四边形AFDE为正方形．
31．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别是
AB，BC，CD，DA的中点．
(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
(2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．
【题型6正方形的判定与性质综合】
32．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=❑√3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF
为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
33．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，
CD上．将矩形ABCD分别沿BE，EF翻折后点A，D均落在点G处，此时B，G，F
三点共线，若BG=2EG．
(1)求证：矩形ABCD为正方形；
(2)若DF=2，求BC的长．
34．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）已知：四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上
一点，连接DE，BE．过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩
形DEFG，连接CG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若正方形ABCD的边长为9，CG=3❑√2，求正方形DEFG的边长．35．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，点E，F
分别在边BC，CD上，且PE⊥PF于点P．
(1)特例发现：如图1，当点P在对角线AC，BD的交点处时，求证：PE=PF；
(2)探究证明：如图2，当点P不在对角线AC，BD的交点处时，判断PE与PF的数量
关系，并说明理由；
(3)拓展运用：在（2）的条件下，若EC=4，CF=2，连接EF，请直接写出PE的长．
36．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上
一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形
DEFG，连接CG．
(1)求证：ED=EF；(2)若AB=2，CE=❑√2，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
37．（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，四边形ABCD是正方形，M是边AB上的点，
N是边BC上的点，已知∠MDN=45°．
(1)求证：MN=AM+CN；
(2)若CN=6，AM=4，求正方形ABCD的边长．
38．（22-23八年级下·贵州遵义·期末）已知，四边形ABCD是正方形，点P(不与点D重合)
是对角线BD上一个动点．
(1)【问题解决】
如图①，连接AP，CP，求证：△ABP≌△CBP；
(2)【问题延伸】
如图②，连接CP，过点P作PE⊥CP交线段AB于点E，连接CE．求∠PEC的度数；
(3)【拓展应用】
如图③，连接CP，过点P作PE⊥CP交线段AB于点E，在点P的运动过程中，请直
接写出线段PB，PD，BE的数量关系．【题型7正方形与折叠综合】
39．（2025·陕西西安·一模）如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D
落在BC边上的点E 处，折痕为GH．若点E恰好是BC的中点，则线段CH的长为
（ ）
9 3
A． B．❑√3 C．3 D．
4 2
40．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是
AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，
则∠PBQ的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．60°
41．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，
将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，则△BEG的周长为_________．42．（24-25九年级下·河南驻马店·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC
的点A的坐标为(0,2)，E是线段BC上一点，且∠AEB=67.5°，沿AE折叠后B点落
在点F处，那么点F的坐标为 ．
43．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边
AB在x轴上，点A的坐标为(2,0)，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在点
F处．若点F的坐标为(0,8)，则点E的坐标为 ．
44．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连
接DE，把△DEC沿DE折叠得到△≝¿，延长EF交AB于点G，连接DG．
(1)求证△ADG≌△FDG；
(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF，求线段AG的长；(3)在（2）的条件下求出△BEF的面积．
45．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形ABCD中，AE⊥FG，求证：
AE=FG；
（2）如图②，将边长为12的正方形ABCD折叠，使点A落在CD上的点E，然后压平
折痕FG，若FG的长为13，求CE的长．
46．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）【操作感知】如图1，在矩形纸片ABCD的
AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接
PM、BM．∠DPM=60°，则∠MBC的大小为______度．
【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作
感知】进行折叠，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．（1）证明：△MBQ≌△CBQ；
（2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______．
