文档内容
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形（2个知识点+11大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
题型一 正方形的性质理解
题型二 根据正方形的性质求角度
题型三 根据正方形的性质求线段长
题型四 根据正方形的性质求面积
题型五 正方形折叠问题
题型六 求正方形重叠部分面积
题型七 根据正方形的性质证明
题型八 正方形的判定定理理解
题型九 添一个条件使四边形是正方形
题型十 中点四边形
题型十一 平行四边形的动点问题
【知识梳理】
知识点1：正方形的概念与性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分
成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
知识点2：正方形的判定
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
题型一 正方形的性质理解
1．正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．四角相等
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点O、B的坐标分别是 ， ，则顶点C的坐标
是 ．
3．如图，在正方形 中，点E在对角线 上，连接 ，延长 交 于点G，交 的延长
线于点F．
(1)求证： ．
(2)若 ，且 ，求正方形的边长．
(3)若 ，求 的值．
题型二 根据正方形的性质求角度
1．如图，正方形 外侧作等边三角形 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．如图，正方形 的对角线 ， 交于点O，P为边 上一点，且 ，则 的度数为
．
3．如图，点E、F分别在正方形 的边 上， ， 与 相交于点O．求 的度
数．
题型三 根据正方形的性质求线段长
1．如图，正方形 的边长为8，点M在 上，且 ，N是 上一动点，则 的最小
值为（ ）
A．8 B． C． D．10
2．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为 的正方形 沿对角线 方向平移 得到正方形 ，形成一个“方胜”图案，
则点D， 之间的距离为 ．
3．已知：如图，正方形 ，连接 ，E是 延长线上一点， ，连接 交 于点F．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求点F到 的距离．
题型四 根据正方形的性质求面积
1．如图，已知等腰直角三角形纸板 中， ．现要从中剪出一个尽可能大的正方形，则能
剪出的最大正方形的面积是（ ）
A． B． C．25 D．50
2．如图，正方形 的边长为2， 是等边三角形，则阴影部分的面积等于 ．
3．如图，正方形 的顶点C在直线a上，且 直线a于M， 直线a于N．(1)求证：
(2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形 的面积．
题型五 正方形折叠问题
1．如图，在正方形 中， ，点E，F分别在边 ， 上， ，若将四边形
沿 折叠，点 恰好落在 边上，则 的长度为（ ）
A．3 B．6 C． D．
2．在课本上的“数学活动 折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边
长为 ，则 的长为 ．
3．如图，已知在正方形 中， ， ．将正方形 折
叠，使点B落在 边的中点Q处，点A落在P处，折痕为 ．已知 长为 ．(1)求线段 和线段 的长；
(2)连接 ， ．
题型六 求正方形重叠部分面积
1．如图，在正方形 中， 为线段 上一点且 ，连结 ， 交于点 ，分别作 ，
的中点M，N，连结 ，若 ，则 为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．如图，在正方形 中， ，E是 的中点，按以下步骤作图．分别以点A和点E为圆心，以
大于 的长为半径作弧，两弧相交于点G，H．作直线 交 于点F．则 的长为 ．
3．如图，P是正方形 对角线 上一点，点E在 上，且 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，试判断 的度数，并证明你的结论．
题型七 根据正方形的性质证明
1．如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，且 ， ，下列说法错误的是
（ ）
A．四边形 是平行四边形
B．若 ，四边形 是菱形
C．若 ，四边形 是矩形
D．若 ，四边形 是正方形
2．如图，平行四边形 对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件
可以是 （只需添加一个）．
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上．(1)在图中画出以线段 为一边的正方形 ，且点C和点D均在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出以线段 为一腰，底边长为 的等腰三角形 ，点E在小正方形的顶点上，连接 ，
请直接写出线段 的长．
题型八 正方形的判定定理理解
1．如图，荐四边形 是平行四边形，则下列结论中错误的是（ ）
A．当 时，它是菱形 B．当 时，它是矩形
C．当 时，它是矩形 D．当 时，它是正方形
2．如图，菱形 中，对角线 、 相交于点O，不添加任何辅助线，要使四边形 是正方形，
则需要添加一个条件是 ．（填一个即可）
3．如图，四边形 的对角线 、 互相垂直平分，请从以下三个选项中① ；②
；③ ，选择一个合适的选项作为已知条件，使四边形 是正方形．(1)你选择的条件是______；（填序号，填一个即可）
(2)根据你选择的条件写出证明过程．
题型九 添一个条件使四边形是正方形
1．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线垂直的矩形是正方形．
2．如图，在四边形 中， ，垂足为点 ．若四边形 的
面积为13，则 ．
3．如图，在 中，E、M分别为 的中点， ，延长 交 的延长线于点N，连
接 ．
(1)证明：四边形 是菱形；
(2)当 满足什么条件时，四边形 是正方形，说明理由．
题型十 中点四边形
1．如图，在菱形 中， ， ，顺次连接菱形 各边中点 、 、 、 ，则四边
形 的周长为（ ）A． B． C． D．
2．如图，点 、 、 、 分别是四边形 边 、 、 、 的中点，若四边形 是菱
形，则四边形 的对角线 和 需要满足的条件是 ．
3．我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形 中，E，
F，G，H分别是边 ， ， ， 的中点，依次连接各边中点得到中点四边形 ．
(1)这个中点四边形 的形状一定是______；
(2)若 ，证明四边形 是菱形．
题型十一 平行四边形的动点问题
1．如图，在平行四边形 中， ， ，点P在 边上以每秒 的速度从点A向点
D运动，点Q在 边上以每秒 的速度从点C出发，在 间往返运动，两个点同时出发，当点P到
达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为 ，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，
Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A． B． C． 或 D． 或2．如图，在四边形 中， ，且 ， 动点P，Q分别从点D，B同时出发，
点P以 的速度向终点A运动，点Q以 的速度向终点C运动． 秒时四边形 是平行
四边形？
3．如图，在四边形 中， ， ，点 自点 向 以 的速度运动，
到 点即停止．点 自点 向 以 的速度运动，点 点即停止，点 同时出发，设运动时间为
．
(1)当 为何值时，四边形 是平行四边形？
(2)当 为何值时，四边形 是平行四边形？
1．（2024上·贵州毕节·九年级统考期末）如图，将 个边长都为 的正方形按如图所示摆放，点 ， ，
…， 分别是正方形的中心，则这 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）A． B． C． D．
2．（2023上·河南焦作·九年级统考期中）如图，正方形 和正方形 的边长分别为6和2，点
F，G分别在边 ， 上，P为 的中点，连接 ，则 的长为（ ）
A．5 B．5 C． D．5
3．（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，在正方形 中，E、F分别是 、 的中点， 、
交于点G，连接 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确
的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
4．（2024上·贵州遵义·九年级统考期末）如图，正方形 中， 为对角线， ， 分别为 ，
上的点，将 与 分别沿 ， 折叠，使 ， 分别落在对角线 上的 ， 处．若
，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为6，点 ， 分别在 ， 上，，连接 、 ， 与 相交于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，则的 长
为（ ）
A．2.5 B． C．5 D．
6．（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，已知四边形 和四边形 均为正方形，且 是
的中点，连接 ，若 ，则 的长为 ．
7．（2023下·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，正方形 中，点 在对角线 上，
，若 ，则 ．
8．（2024上·四川成都·九年级校考期末）如图，在正方形 中，点E在边 上， ，点P、Q
分别是直线 上的两个动点，将 沿 翻折，使点A落在点F处，连接 ，
若正方形的边长是6，则 的最小值是 ．9．（2024上·江苏泰州·八年级统考期末）如图，菱形 的边长为17，点 是对角线 上的一点，且
，连挍 ，在 的左侧作 为边的正方形 ，连接 ，则 ．
10．（2024上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，正方形 ，点 是射线 上的动点，过点 作
，交直线 于点 ，连接 ，取 中点 ，连接 并延长交直线 于点 ，若 ，
，则 的长为 ．
11．（2023上·贵州遵义·九年级统考期中）如图，在正方形 中，连接 ，以点B为圆心， 的长
为半径画弧，交 的延长线于点E，连接 ，过点B作 ，垂足为点F，交 于点G．
(1)写出图中一对全等三角形 ．
(2)求 的度数．12．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形 中，延长 至点E，使得
，连接 ， ， 交 于点F．
(1)试探究 的形状；
(2)求 的度数．
13．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，M是正方形 的边 上一点，E是 边的中点，
平分 ．
(1)如图1，写出线段 和 之间的数量关系_______；
(2)若四边形 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断（1）中的关系式是否成立．若
成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．14．（2024上·河南信阳·八年级统考期末）（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如
图1，在正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，连接 ，并延长 到点G，使
，连接 ．若 ，猜想 之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E在线段 的延长线上，且 时，试探究 之间的数量关系，并
说明理由；
15．（2023上·陕西咸阳·九年级统考期中）【问题提出】
（1）如图①，正方形 的对角线 与 相交于点E，连接 ，若 ，则正方形 的边长
为________；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形 中，点E是边 上一点，且点E不与C、D重合，过点A作 的垂线交
延长线于点F，连接 ，试判断 的形状，并说明理由；【问题解决】
（3）如图③，四边形 是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E
在边 上，已知． 米， 米， 米， ， 、 为果园内两
条小路，现在 的中点F处修建一个临时库房，沿 修一条运输通道．
①判断 的形状，并说明理由；
②试求该运输通道的长度 ．
