文档内容
专题 05 正方形的性质与判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用正方形的性质求角度......................................................................................................................1
题型二、利用正方形的性质求线段长..................................................................................................................4
题型三、利用正方形的性质求面积......................................................................................................................7
题型四、利用正方形的性质求折叠问题............................................................................................................11
题型五、根据正方形的性质证明与求解............................................................................................................15
题型六、根据正方形的性质与判定求解............................................................................................................24
题型七、正方形的性质与判定的综合问题........................................................................................................29
题型八、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）....................................................................................38
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用正方形的性质求角度
1．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图， 是正方形 的对角线 上一点，且 ，连接
，则 的度数是 ．
2．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）如图，在正方形 的右侧作等边三角形 ，则 的度数
是 ．
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在正方形 中，E是 延长线上一点， ，则
的度数为 ．
4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）点 为正方形 中对角线 上一点（点 不与端点 、重合），当 为等腰三角形时， 的度数为 ．
题型二、利用正方形的性质求线段长
5．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图， 是正方形 的对角线，延长 至点 ，连接 ，
若 ， ，则 的长为 ．
6．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，已知点 是正方形 外的一点，连接 若
， ，则 的长为 ．
7．（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形 中，对角线 ， 交于点 ，延长 至点 ，
使 ，连接 ，点 为 的中点，连接 ．若 ，则 的长为 ．
8．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在正方形 中， ，点F从点A出发，沿
运动到点C，点E是边 的中点，连接 ， ， ，当 为等腰三角形时， 的
长为 ．
题型三、利用正方形的性质求面积
9．（25-26八年级下·全国·周测）四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形 ．如果 ，那么菱形 与正方形ABCD的面积之比是 ．
10．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，三个边长为 的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点
O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为 ．
11．（25-26八年级上·四川成都·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股
定理．如图，已知正方形 和正方形 ，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无
缝隙的大正方形 ，若正方形 和正方形 的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则
的长为 ．
12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如图，已知并排放置的正方形 和正方形 ，其中点E在
直线 上，如果a表示正方形 的边长，b表示正方形 的边长， 表示 的面积， 表
示正方形 的面积，那么 的值为 ．
题型四、利用正方形的性质求折叠问题
13．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在正方形 中， ，点 是 的中点，把
沿 折叠，点 落在点 处，延长 交 于点 ，连接 ，则 的长为 ．14．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，正方形 的边长为8，将正方形折叠，使顶点 落在
边上的点 处，折痕为 ，若 ，则线段 的长为 ．
15．（24-25九年级上·内蒙古包头·月考）如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．
将 沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ．下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
16．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知正方形 的边长是 ，点E是边 上一点，把
沿 折叠，若点B的对应点落在正方形 的对角线上，则线段 的长是 ．
题型五、根据正方形的性质证明与求解
17．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在正方形 中，点P是对角线上 的一点，点E在
的延长线上，且 ， 交 于点F．
(1)证明： ；
(2)如图，把正方形 改为菱形 ，其它条件不变，当 时，连接 ，试探究线段与线段 的数量关系，并说明理由．
18．（2025·陕西西安·一模）问题提出
（1）如图1，在正方形 中， 分别在边 上，连接 ，交于点 ，且 ，求
证： ；
问题解决
（2）如图2，某公园有一块正方形 的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路
，其余部分种植各种不同的花卉．已知点 分别在边 上，且 于
点 ．若 ，求小路 的最小值．（小路的宽度均忽略不计）
19．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）问题发现：
（1）如图 ，在正方形 中， ，点 在边 上（不与 、 重合），连接 ，将 沿
翻折，得到 ，连接 并延长交 于点 ．
①若 ，求 的值．
②如图 ，若 与 交于点 ，连接 ，若 ，求证： ．
迁移运用：
（2）如图 ，四边形 中， ，垂足为 ， ，过点 作 ，垂足为 ，连接
．若 ，且 ，求 的值．
20．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，
形成科学的思维习惯．(1)观察发现
如图1，将正方形 折叠，使点 的对应点 落在 边上，折痕分别与 ， 交于点 ， ，则
折痕 和 的数量和位置关系分别是_________；
(2)类比探究
在（1）的条件下，设 与 交于点 ，连接 交 于点 ，如图2．求证： ；
(3)拓展应用
如图3，正方形 的边长为9，点 是 边上的一动点，点 在边 上，且 ．连接 ，
将正方形 沿 折叠，使点 ， 分别落在点 ， 处，当点 落在直线 上时，请直接写出线
段 的长．
题型六、根据正方形的性质与判定求解
21．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，且
，则 ，点 的坐标为 ．
22．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在 中， 平分 交 于
点 ，按下列步骤作图．步骤1：分别以点 和点 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于
两点；步骤2：作直线 ，分别交 于点 ；步骤3：连接 ．若 ，
则线段 的长为 ．
23．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在正方形 中， ，点 在对角线 上， ．点
E、F分别在边 、 上，且 ，连接 、 ，则 的最小值为 ．24．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，在 中，点D为 边上的点，将 沿 折叠，
使点A落在点E处，连接 ，已知 ， ，则当 为直角三角形时， 的长为
．
题型七、正方形的性质与判定的综合问题
25．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点P是矩形 的边 的延长线上一点，连接 ，过点
B作 于点E．过点D作 于点F， ．
(1)求证：四边形 是正方形；
(2)若 ， ，求 的长．
26．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形 为正方形， ，点E为对角线
上一动点，连接 ，过点E作 ，交 于点F，以 为邻边作矩形 ，连接 ．
(1)求证：矩形 是正方形．
(2)探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)直接写出 的最小值．∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是正方形 对角线的一点，
∴ ，
27．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过
点E作 ，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形．
(2)如图②，当点E在线段AC上时，
①若 ， ，求CG的长度；
②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数：________________．
28．（2025九年级下·吉林·专题练习）已知正方形 中， 是 上一动点，过点 作 交正
方形的外角 的平分线于点 ．
(1)【动手操作】
如图①，在 上截取 ，连接 ，根据题意在图中画出图形，图中 _____度．
(2)【深入探究】 是线段 上的一个动点，如图②，过点 作 交直线 于点 ，以 为斜
边向右作等腰直角三角形 ，点 在射线 上，连接 ．试判断四边形 的形状，并证明．
(3)【拓展应用】是射线 上的一个动点，过点 作 交直线 于点 ，以 为斜边向右作等腰直角三角形
，点 在射线 上，连接 ．若 ， ，求线段 的长．
题型八、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）
29．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形 中，点M为 的中点，连接 ，请仅用
无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，在 上作出点E，使 ；
(2)在图2中，在 的延长线上作出点F，使 ．
30．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形 放置在矩形 上，且 ，
请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，画出 的中点 ；
(2)在图2中，画出 的中点 ．
31．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在正方形 中，点E是 的中点，请仅用无刻度的直尺，
分别按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图①中，作出 边的中点P；
(2)在图②中，作出一个面积等于正方形 面积的一半的正方形．
32．（2025·河南·模拟预测）如图，在正方形 中， 为 中点．(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在 上方过点 作 ，使 ， 交 的延
长线于点 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，求 的长．
一、单选题
1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形 中， 为 上一点．若 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中，对角线 、 交于点O，添加下列一个
条件，能使矩形 成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知正方形 边长为 ，连接 平分
交 于点 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，点E在正方形 的对角线 上，且 ，
的两直角边 分别交 于点M、N．若正方形 的边长为8，则阴影部分的面积为
（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
5．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形 中， ，点E在边 上， ，将
沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 、 ，给出以下结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，中国结内包含两个全等的正方形．若两个大正方形的面积均
为 ，重叠部分的小正方形的面积为 ，则 的长为 ．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， 是边 的中点，过点 作直线 ，
交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ，连接 ， ．当时，四边形 是正方形．
8．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形 为正方形，点E为对角线 上一点，
连接 ，过点E作 交边 于点 F，以 为邻边作矩形 ，连接 ．若
，则 ．
9．（25-26九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在正方形 中，E为 上一点，连接 ，以点D为圆
心，以 的长为半径作弧，交 于点F，连接 ，过点F作 ，分别交 于点 ，若
，则 的长为 ．
10．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）已知：点 是正方形 的边 所在直线上的点，过点
作 交 于点 ，连接 ， ，若 的周长为 ，则 的长为 ．
三、解答题
11．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图， ， ， 平分 ， 平分 ，
， ， .
(1)求证：四边形 是正方形．(2)连接 ，若 ，求线段 的长度．
12．（2025九年级·江西·专题练习）已知直线 上的点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点．
请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，以线段 为较长对角线作菱形 ；
(2)在图2中，将直线 绕着点 逆时针旋转 ．
13．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在 中， ，点D在 上，
，垂足为F，且 ，点E为线段 的中点，过点F作 交射线 于G，连接
．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是菱形．
(3)当 时，求证：四边形 是正方形．
14．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形 绕着点 按顺时针方向旋转，得到矩形 ，
点 与点 对应，点 恰好落在边 上， 于点 ，其中 ， ．
(1)求证： ．
(2)连接 ，交 于点 ，求 的长．
(3)过点 作 ，交 于点 ．求证：四边形 是正方形．
15．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形 中， ，点 在对角线 上运动（点 不与点 ，点 重合）， ，以点 为顶点作菱形 ，且菱形 与菱形
的形状、大小完全相同，即 ，在菱形 绕点 旋转的过程中， 与边 交
于点 与边 交于点 ．
特例感知】
（1）如图1，当 ， 时，则 ， ， 之间满足的数量关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8， ，求 的值（用含 的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接 ，求 的长度．
16．（25-26九年级上·江西宜春·期末）【课本再现】
如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边
长都为2，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点 转动．
【问题发现】
（1）①如图1，求证： ；
②如图1，四边形 的面积为________；线段 ， ， 之间的数量关系是________；
【类比迁移】
（2）如图2，点 是矩形 对角线 的中点，点 又是矩形 的一个顶点，与 边 相交
于点 ， 与边 相交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 ， ， 之间的
数量关系，并进行证明：
【拓展应用】
（3）如图3，有一个菱形菜园 ， ， 为人行步道，且交于点 ，现要在菱形菜园 的右
下角建一四边形储藏间 ．已知点 在 上，点 在 上， ．若四边形储藏
间 的占地面积为 （人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园 边上围一圈篱笆，请直
接写出需要篱笆多少米？
