核心素养教案合集8下数（文字式Q）选择2_初中数学_八年级数学下册（人教版）_教案多套

16.1 二次根式 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件. 2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简. 3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二 次根式. 【数学眼光】 经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程, 发展学生的归纳概括能力. 【数学语言】 经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性 和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识. 二、课型 新授课 三、课时第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟 练化简二次根式. 【教学难点】 运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、平方根、立方根知识等. 学生：三角尺、铅笔、立方根、平方根知识. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电 视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传 播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r=√2Rh，其中地球半径 R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h km、h km，那么它们 1 2√2Rh 的传播半径之比是 1. √2Rh 2 √2Rh 教师问：式子 1表示什么?公式r=√2Rh中的√2Rh表示什么意义？ √2Rh 2 （二）探索新知 1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件（出示课件4- 6） 用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:(教师依次出 示问题) （1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形 的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的 宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位： s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2， 如 果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_____．教师问：上边问题的答案是什么呢？ 学生1答：（1） ， . 学生2答：（2） . 学生3答：（3） ． 教师问： 这些式子分别表示什么意义？ 学生讨论后并回答. h 学生1答：分别表示3，S，65， 的算术平方根． 5 教师问：这些式子有什么共同特征？ 师生总结：①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 教师问：你能用语言描述一下它们的特征吗？ 师生共同讨论后解答如下：都表示一个非负数(包括字母或式子 表示的非负数)的算术平方根. 教师问：根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条 件？ 师生共同讨论如下：一个正数有两个平方根；0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0. （出示课件7）定义：一般地，我们把形如 的 式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 教师强调： （1）a可以是数，也可以是式. （2）两个必备特征：①外貌特征：含有“ ”； ②内在特 征：被开方数a ≥0 考点1：利用二次根式的定义识别二次根式 例：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（出示课件8） （1） ； （2）81； （3） ；（4） （5） ;（6） ；（7） . 师生共同分析过程见课件： 解答如下： 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数” 的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 出示课件9，学生自主练习，教师订正。考点2：利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 教师依次出示问题： 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? （出示课 件10） 教师问：二次根式有意义的条件是什么？ 学生答：被开方数是非负数. 学生独立思考后，师生共同解答. 解：由x-2≥0，得x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ；（2） 教师问：分式的分母有何要求？ 学生答：分母不为0. 学生独立思考后，教师找两位学生解答. 解：（1）由题意得x-1＞0，∴x＞1. （2）∵被开方数需大于或等于零， ∴x+3≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 总结点拨：（出示课件11） 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列 不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为 零. 【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） 学生独立思考后，教师分别找两位学生解答. 解：(1)∵无论x为任何实数，-x2+2x-1=-(x-1)2≤0 ∴当x=1时， 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， 在实数范围内都无意义. 总结点拨：（出示课件12） 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成 含完全平方的形式，再进行分析讨论.教师问：对于二次根如何确定字母的取值范围呢？ 学生1答：被开方数是非负数. 学生2答：分式的分母不为0. 教师总结：（出示课件13） 二次根式有意义的条件应用的不同类型： (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A＞0； (3)多个二次根式相加如 有意义的条件： (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 2.师生共同探究二次根式的双重非负性 教师问：二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？ 学生回答：a的取值范围是非负数. 教师问： 本身的取值范围又是什么？学生答： 的取值范围是非负数. 师生共同总结如下：当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ；当a=0时，表示0的算术平方根，因此 .这就是说， 当a≥0时， . 教师问：当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 学生答：因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 教师问： 呢？ 学生答：要使x³ ≥0，必须x ≥0 . 教师总结：（出示课件16） 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于 任意一个二次根式 ，必须满足以下两条： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的双重非负性：①二次根式的被开方数非负；②二次根 式的值非负. 考点1：利用二次根式的双重非负性求字母的值若 ，求2a -b+3c的值.（出示课 件17） 教师问：二次根式的值是什么数？ 学生回答：是非负数. 教师问：绝对值的结果是什么数？ 学生回答：是非负数. 教师问：一个数的平方是什么数？ 学生答：非负数. 分析后，师生共同解答如下： 解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得a=-3,b=2,c=1. 所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5. 师生共同归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零. 初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 出示课件18，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：二次根式的双重非负性和不等式求字母的值 已知实数x、y满足等式 ，求x2- 2xy+y2的值. （出示课件19）教师问：二次根式的被开方数（3-x）和（x-3）有何特点？ 学生回答：（3-x）和（x-3）互为相反数. 师生共同解答如下： 解： 由题意得 解得：x=3. 把x=3,代入得y=-5. 所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64. 师生共同归纳：若 ，则根据被开方数 大于等于0，可得a=0. 出示课件20，学生自主练习，教师给出答案。 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件21-28） 练习课件第21-28页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结（出示课件29） 一 般 地 ， 我 们 把 形 如 的 式 子 叫 作 二次根式的 ___________. “ ”称为二次根号，根指数为 概念 _____,可省略. 二次根式有 被开方数（式）为_________,即 有意义 a≥0. 意义的条件二次根式的 双重非负性： 非负性 （五）课前预习 预习下节课（16.1第2课时）的相关内容. 知道算术平方根的意义、代数式的定义和 （√a） 2=a，√a2=a(a≥0) 七、课后作业 1、教材第3页练习第1、2题. 2、练习试卷册第6-7页第1、8题. 八、板书设计 1．二次根式的定义 一般地，我们把形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件 被开方数(式)为非负数；√a有意义⇔a≥0. 九、教学反思 成功之处： 我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力 求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生 始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课争取做到 先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我增加了有拓展性 的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高. 不足之处：受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也 是一个非负数的练习没有落实到位. 16.1 二次根式 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解(√a)2=a(a≥0)和√a2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简. 2.用具体数据结合算术平方根的意义推出(√a)2=a(a≥0)和探究 √a2=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题. 3.了解代数式的概念. 【数学眼光】 在明确(√a)2=a(a≥0)和√a2=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的 实用性. 【数学语言】通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培 养学生解决问题的能力. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简. 【教学难点】 能运用二次根式的性质化简. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3） 观察课件中所列数字的进出情况，想一想你发现了什么？（二）探索新知 1.探究(√a)2的性质（出示课件5-7） 教师问：什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 学生答：一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的 平方根.a的平方根是 教师问：什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 学生答：若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平 方根. 用 (a≥0)表示. 教师问：请同学们完成下面的题目：（出示课件6） 教师依次出示问题： 填空： √4 学生1答： （ ）2=4. √2 学生2答：（ ）2=2. √1 3 学生3答：（ ）2= . √0 学生4答：（ ）2=0.教师问：通过（1）的计算，你能确定( √a )²（a≥0）的化简结 果吗？说说你的理由. 师生一起解答：√4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， √4是一个平方等于4的非负数，因此有( √4 )² =4. √1 1 同理，√2 ， ，√0分别是 2， ,0的算术平方根. 3 3 √1 1 因此 （√2）2=2 , （ ）2= ,（√0）2=0 3 3 教师总结：（出示课件8） （√a）2(a≥0)的性质：一般地，（√a）2＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 教师强调：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式√a有 意义的前提条件. 考点1：利用（√a）2(a≥0) 的性质进行计算 计算：（出示课件9） （1） ； （2） . 师生共同讨论解答如下： 解：（1）（√1.5）2 =1.5 ; （2）（2√5）2=22×（√5）2=4×5=20出示课件10，学生自主练习，教师给出答案。 考点2：利用（√a）2(a≥0) 的性质分解因式 在实数范围内分解因式：（出示课件11） （1）4x2-5 ; (2)m4-6m2+9. 学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）4x2-5 =（2x-√5）(2x+√5); (2)m4-6m2+9=（m2-3）2=（m+√3）2（m-√3）2. 总结点拨：（出示课件11） 本题逆用了（√a）2=a(a≥0) 在实数范围内分解因式. 出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正. 2.探究√a2 (a≥0)的性质 教师问：你能解释下列式子的含义吗? √ 1 2 √22, √0.12, （ ） , √02. 3 学生讨论后回答： 学生1答：√22表示2的平方的算术平方根. 学生2答：√0.12表示0.1的平方的算术平方根. √ 1 2 1 学生3答： （ ） 表示 的平方的算术平方根. 3 3学生4答： √02表示0的平方的算术平方根. 教师依次展示下列问题: 根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据. √ 1 2 √22=_____; √0.12=_______; （ ） =_____; √02=______. 3 学生1答：√22=2; 学生2答：√0.12=0.1; √ 1 2 1 学生3答： （ ）= ; 3 3 学生4答：√02=0. 教师追问：同学们独立完成填空后,请说出得到结论的依据. 学生讨论后回答如下： 学生1答：∵4=22,∴√22=2,因此√22=2; 学生2答：∵0.01=0.12,∴√0.12=0.1,因此√0.12=0.1; 1 1 √ 1 2 1 √ 1 2 1 学生3答：∵ =（ ）2,∴ （ ）= ,因此 （ ）= ; 9 3 3 3 3 3 学生4答：∵0=02,∴√02=0,因此√02=0. 教师问:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示 这个规律吗?师生讨论后共同解答如下：一个非负数的平方的算术平方根等于 这个数.即√a2=a(a≥0). 教师问：当a＜0时，√a2= ？ 学生答：当a＜0时，√a2=-a. 教师问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据. √ 1 2 √（-2）2=_____; √（-0.1）2=_______; （- ） =_____; 3 √（-0）2=______. 学生分组讨论后回答如下： 学生1答：√（-2）2=2; 学生2答：√（-0.1）2=0.1; √ 1 2 1 学生3答： （- ）= ; 3 3 学生4答： √（-0）2=0. 教师问：同学们独立完成填空后,请说出得到结论的依据. 学生讨论后回答： 展示学生答案如下： 学生1答：∵（-2）2=4=22,∴√（-2）2=√4=2,因此√（-2）2=√4=2; 学生2答： ∵（-0.1）2=0.01=0.12,∴√（-0.1）2=√0.01=√0.12==0.1 因此√（-0.1）2=0.1; 学生3答：∵（- 1 ） 2 = 1 =（ 1 ）2,∴ √ （- 1 ） 2 = √1 = √ （ 1 ） 2 = 1 3 9 3 3 9 3 3 √ 1 2 1 ,因此 （- ）= ; 3 3 学生4答：∵（-0）2=0=02,∴√02=0,因此√02=0. 教师问:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示 这个规律吗? 师生讨论后共同解答如下：一个负数的平方的算术平方根等于这 个数的相反数.当a<0时, √a2=-a(a<0). 教师归纳总结：（出示课件16） √a2的性质： {a(a≥0) √a2=|a|= -a(a<0) 教师强调：即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 考点1：利用√a2 (a≥0) 的性质进行计算 化简：(出示课件17) （1）√16；（2）√（-5）2； （3）√10-2；（4）√（3.14-π）2 学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）√16=√42=4； （2）√（-5）2=√52=5； （3）√10-2=√（10-1）2=10-1； （4）√（3.14-π）2=|3.14-π|=π-3.14 出示课件18：引导学生讨论相关问题 师生共同归纳：（出示课件19） 计算√a2一般有两个步骤: ①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即 √a2=|a| ; {a(a≥0) ②去掉绝对值符号,即|a|= -a(a<0) 出示课件20-21，学生自主练习，教师给出答案。 拓展归纳：（出示课件22）（ ）2和 的区别 √a √a2 （√a）2 √a2 从运算顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方 从取值范围看 a≥0 a取任何实数 从运算结果看 a |a| 表示一个非负数 a 表示一个实数 a 意义 的算术平方根的 的平方的算术平 平方 方根 考点2：几何图形与 的性质相结合的题目 √a2 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:（出示课件 23） √a2-√b2+√(a-b) 2 a b 学生独立思考后，师生共同解答. 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b）=-2a. 出示课件25，学生自主练习，教师给出答案。 3.探究代数式的定义 s 教师问：回顾我们学过的式子，如5，a,a+2b，-ab, ,-x3,√3, t √a (a≥0), 这些式子有哪些共同特征？ 学生先独立思考，然后共同探究后回答：（1）含有数或表示数 的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母． 归纳总结：（出示课件26） 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方） 把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 教师问：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？ { 整式 学生讨论后回答：代数式 分式 二次根式 考点1：利用代数式的定义判断代数式 下列式子: （出示课件23） m (1)x; (2)a-b; (3) ;(4)√1+x2 ;(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中 n 是代数式的有( )A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 学生独立思考后，师生共同解答. 解：(5)是等式，（6）是不等式，所以不是代数式，其余都是代 数式. 答案：B. 出示课件28，学生自主练习，教师给出答案。 考点2：列代数式 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度； （2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡， 若面积为S，用代数式表示出它的长.（出示课件29） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是（v+2.5）km/h，逆水 行驶的速度是（v-2.5） km/h． √ s （2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以x= 15 √ s ,所以它的长为5 . 15师生共同总结如下：（出示课件30） 列代数式的要点： ①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、 差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确运算顺序； ③牢记一些概念和公式． 出示课件31，学生自主练习，教师给出答案。 （三）课堂练习（出示课件32-37） 练习课件第32-37页题目，约用时15分钟. （四）课堂小结（出示课件38） 师生共同回顾本节课所学主要内容: 知识要点 关键点 注意事项 任何非负数的算术平 (√a)2=a(a≥ 方根的平方,其结果 被开方数a是非负数 0) 仍然是它本身 任何实数的平方的算 √a2=|a| 术平方根是它的绝对 底数a可以是任何实数 值 ① 式 子 中 不 能 出 现 用运算符号把数和表 “=,≠,≥,≤,<,>”;② 代数式 示数的字母连接起来 单个的数字或单个的字母 的式子叫代数式 也是代数式 （五）课前预习预习下节课（16.2第1课时）的相关内容. 知道二次根式的乘法法则及其逆运用. 七、课后作业 1、教材第4页练习第1,2题. 2、练习试卷册第6-7页第3、9/10题. 八、板书设计： 二次根式 第2课时 1.二次根式的性质1: 考点1 考点2 2.二次根式的性质2: 考点1 考点2 3.代数式 考点1 考点2 4.练习 九、教学反思： 本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的 形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高. 在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展 开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够. 在探 究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究 二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力. 16.2 二次根式的乘除 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解√a∙√b=√ab(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根 的性质进行二次根式的计算和化简. 2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算. 【数学眼光】 1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一 步了解数学知识之间是互相联系的. 2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.【数学语言】 鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数 学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的 乘法运算. 【教学难点】 二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、插图等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程（一）导入新课（出示课件2） 某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为√5cm，宽为√3cm，则它 的面积是多少呢？ 学生列式：√5×√3 教师提出问题：想想如何计算这个式子呢？ （二）探索新知 1.探究二次根式的乘法法则（出示课件4-6） 教师依次展示下列问题： （1） √4×√9=____×_____=____;√4×9=_______=____. （2） √16×√25=____×____=____;√16×25=_______=____. （3） √25×√36=____×____=____;√25×36=_______=____. 学生独立思考后回答： 学生1答： （1） √4×√9=_2_× _ 3_=_6;√4×9=√36= _6__. 学生2答： （2） √16×√25=_4_×_5=_20;√16×25=√400=__20__. 学生3答：（3） √25×√36=_5×_6_=_30_;√25×36=√900=_30_. 教师问：观察计算结果,你能发现什么规律? 学生依次回答：观察三组式子的结果，我们得到下面的等式： 学生1答： （1）√4×√9=√4×9. 学生2答：（2）√16×√25=√16×25. 学生3答：（3）√25×√36=√25×36. 教师问：你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？ 学生回答：√a∙√b=√ab(a≥0,b≥0) 教师问：想一想：√（-4）×（-9）=√-4×√-9成立吗？ 学生回答：不成立. 教师问：为什么呢？ 学生回答：因为√-4、√-9没有意义！ 教师问：因此被开方数a，b需要满足什么条件？ 学生回答：a，b是非负数，即a≥0,b≥0. 师生一起归纳总结：（出示课件7） 二次根式的乘法法则是:√a∙√b=√ab(a≥0,b≥0) 二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.教师追问：你能用语言描述一下二次根式的乘法法则吗？ 学生回答：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 教师强调：a,b都必须是非负数. 考点1：简单的二次根式的乘法运算 计算：（出示课件8） √1 （1） √3×√5;（2） ×√27 3 师生共同讨论解答如下： 解： （1） √3×√5=√15; √1 √1 （2） ×√27 = ×27=√9=3 3 3 教师追问：下边的式子如何运算？ √2×√3×√5 师生共同分析如下：可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法 法则 学生解答如下： 解： √2×√3×√5=（√2×√3 ）×√5= √6×√5= √30 师生共同总结如下：（出示课件9） 只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（ √a∙√b ……√k= √ab……k(a≥0,b≥0……k≥0)） 出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：因数不是1二次根式的乘法运算 计算:(出示课件12) 1 （1）2 √5×3√7;（2）4 √27×（- √3 ） 2 学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）2 √5×3√7=（2×3）（√5×√7）=6√35; 1 1 （2）4 √27×（- √3 ）=4 ×（- ）×（√27×√3）=-2×9=-18 2 2 教师总结点拨：（出示课件12） 当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项 式的法则计算，即m√a∙n√b=（mn）√ab(a≥0,b≥0). 教师强调：（出示课件13） 二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即 √a∙√b ……√n=√ab……n(a≥0,b≥0……n≥0) ②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数 的积作为被开方数，即m√a∙n√b=（mn）√ab(a≥0,b≥0). 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 考点3：二次根式的大小比较 比较大小:（出示课件15-16） （1） 2√5与3√3 ;（2）-2√13与-3√6 ; 学生独立思考后，师生共同解答. 解： 学生1解答： (1)方法一： ∵2√5=√22×5=√20，3√3=√32×3=√27 又∵20＜27，∴√20＜√27,即2√5＜3√3. 学生2解答： （1）方法二： ∵（2√5）2=22×（√5）2 =4×5=20，（3√3）2=32×（√3）2 =9×3=27， 又∵20＜27，∴（2√5）2＜（3√3）2,即2√5＜3√3.学生3解答： (2)∵-2√13=-√22×13=-√52，-3√6=-√32×6=-√54 又∵52＜54，∴√52＜√54, ∴-√52＞-√54, 即-2√13＞-3√6. 教师问：比较二次根式大小的方法有哪些？ 师生共同归纳：（出示课件17） 比较两个二次根式大小的方法： (1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当 两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大． (2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是 正数时，平方大的二次根式大． (3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近 似值，再进行比较． 出示课件18，学生自主练习，教师给出答案。 2.探究二次根式的乘法法则的逆用（出示课件19） 教师依次展示下列问题： （1）√4×9=_______=____； √4×√9=____×_____=____.（2）√16×25=_______=____； √16×√25=____×___=____. （3）√25×36=_______=____； √25×√36=____×____=___. 依次展示下列问题答案： 学生1答： （1）√4×9=√36=_6___； √4×√9=_2_× _ 3_=_6. 学生2答： （2）√16×25=√400=__20__； √16×√25=_4_× _ 5=_20. 学生3答： （3）√25×36=√900=_30_； √25×√36=_5×_6_=_30_. 教师问：观察计算结果,你能发现什么规律? 学生分题号回答如下： 学生1答：（1）√4×9= √4×√9. 学生2答：（2）√16×25= √16×√25. 学生3答：（3）√25×36= √25×√36. 教师问：你发现了什么规律？ 学生回答：两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积. 教师问：你能用字母表示你所发现的规律吗？ 学生回答：√ab=√a∙√b(a≥0,b≥0)考点1：利用二次根式的乘法法则的逆用计算 化简：（出示课件20） （1）√16×81；（2）√4a2b3 (a≥0,b≥0). 解： （1）√16×81 = √16×√81 =4×9 =36; （2）√4a2b3 =√4·√a2·√b3 =2a·√b·b2 =2a√b2·√b =2ab√b 总结点拨：（出示课件21） 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号 里开出来. 出示课件21，学生自主练习，教师给出答案。 考点2：利用二次根式的乘法法则及逆用计算计算：（出示课件22） √1 （1） √14×√7;（2）3 √5×2√10 ；（3） √3x× xy 3 学生独立思考后，师生共同解答. 依次展示学生答案： 学生1解： （1）√14×√7=√14×7=√72×2=√72×√2=7√2; 学生2解： （2）3 √5×2√10=3 ×2×√5×10=6√52×2=6√52×√2=6×5√2=30√2 学生3解： √1 √ 1 （3） √3x× xy= 3x· xy=√x2y=√x2·√y=x√y. 3 3 教师问：你能说一下化简二次根式的步骤吗？ 引导学生回答并总结如下：（出示课件23） 化简二次根式的步骤： 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算 术平方根的积； 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 √a2=|a|，把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 . 出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件25-33） 练习课件第28-34页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结（出示课件34） 二次根式的乘 内容 法 二次根式的乘 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即 法法则 √a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0) 积的算术平方 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 根的性质 即√ab=√a∙√b(a≥0,b≥0) 多个二次根式相乘时此法则也适用，即 二次根式的乘 √a·√b……√n=√ab……n(a≥0,b≥0……n≥0) 法法则拓展 m√a∙n√b=（mn）√ab(a≥0,b≥0) （五）课前预习 预习下节课（16.2第2课时）的相关内容. 知道最简二次根式的定义及其二次根式的除法法则 七、课后作业1、教材第7页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第12-13页第2、3题及第6题（1）（2）. 八、板书设计 二次根式的乘除 第1课时 1.二次根式的乘法 考点1 考点2 考点3 2.二次根式乘法法则的逆用 考点1 考点2 3.例题讲解 九、教学反思 优点之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、 计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发 展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创 新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性, 基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的核心素养目 标. 学生基本掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应 将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面, 从而使计算简便. 自我反思：进一步放手让学生自学本节内容,让学生在观察、归 纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上,重点进行 计算和化简方面的练习,让学生先练,教师后教. 16.2 二次根式的乘除 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.会进行简单的二次根式的除法运算. 2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运 算. 3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化 成最简二次根式. 【数学眼光】1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运 算法则. 2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题. 【数学语言】 在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的 相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质 进行二次根式的化简与运算. 【教学难点】 二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用. 五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3） 站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近 √h 似地符合公式为d=8 . 5 h 问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 =20时，他看到的水 5 平线的距离d 是多少？ 1 学生答：d =8√20=16√5 1 h 问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 =40 时，此时 5 他看到的水平线的距离d 是多少？ 2 学生答：d =8√40=16√10 1 问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到 的水平线的距离是原来的多少倍？ d 16√10 解： 2= d 16√5 1 教师提出问题：乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？ （二）探索新知 1.探究二次根式的除法（出示课件5） 教师依次出示下列问题： 计算下列各式： √4 √4 （1） =___÷___=__; =_____; √9 9 √16 √16 （2） =___÷___=__; =______; √25 25 √36 √36 （3） =___÷___=__; =_______; √49 49 学生依次解答如下： √4 2 √4 2 学生1答：（1） =2÷3= ; = ; √9 3 9 3 √16 4 √16 4 学生2答：（2） =4÷5= ; = ; √25 5 25 5 √36 6 √36 6 学生3答：（3） =6÷7= ; = ; √49 7 49 7 教师问： 观察两者有什么关系？ 出示课件6： 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： 依次展示学生答案： √4 √4 学生1答：（1） = ; √9 9 √16 √16 学生2答：（2） = ; √25 25 √36 √36 学生3答：（3） = . √49 49教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法 √a 运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？（出示课件7） √b √a √a 学生回答： = . √b b √a √a 教师问：在前面发现的规律 = 中，a,b的取值范围有没有 √b b 限制呢？ 学生讨论回答：a≥0，b＞0 师生一起归纳总结：（出示课件8） 二次根式的除法法则: √a √a = （a≥0，b＞0） √b b 教师问：你能利用文字描述二次根式的除法法则吗？ 学生答：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 教师追问：当二次根式根号外的因数(式)不为1时，如何处理呢？ 学生答：类比单项式除以单项式法则进行化简. 教师总结如下： 文字叙述: 算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项m√a m√a 式法则，易得 = （a≥0，b＞0,n≠0） n√b n b 考点1：利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根 式 计算：（出示课件9） √24 √3 √ 1 （1） ;（2） ÷ ; √3 2 18 师生共同讨论解答如下： √24 √24 解：（1） = =√8=2√2; √3 3 √3 √ 1 √3 1 √3 （2） ÷ = ÷ = ×18=√3×9=3√3; 2 18 2 18 2 教师追问：像（2）除式中有分数或分式时，如何化简呢？ 学生答：先要转化为乘法再进行运算. 出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次 根式 计算: （出示课件11） 3√42 √ 1 1√1 （1） ;（2）2 1 ÷ ; 5√6 2 2 6 学生独立思考后，师生共同解答. 3√42 3√42 3 解：（1） = = √7; 5√6 5 6 5√ 1 1√1 1 √3 1 √3 （2）2 1 ÷ =（2÷ ） ÷ =（2×2） ×6=4√9=12; 2 2 6 2 2 6 2 教师问：类似（2）中被开方数中含有带分数的怎样计算呢？ 学生答：应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进 行运算. 出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正. 2.探究商的算术平方根的性质 从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式： √4 √4 （1） = ; 9 √9 √16 √16 （2） = ; 25 √25 √36 √36 （3） = . 49 √49 教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法 √a 运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？ b √a √a 学生回答: = . b √b √a √a 教师问：在前面发现的规律 = 中，a,b的取值范围有没有限 b √b 制呢？学生回答：a≥0，b＞0 师生一起归纳总结：（出示课件13） 二次根式的商的算术平方根的性质: √a √a = （a≥0，b＞0） b √b 教师问：你能利用语言描述商的算术平方根的性质吗？ 学生答:商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的 算术平方根. 考点1：商的算术平方根的性质的应用 化简:（出示课件14-15） √ 3 √75 √ 7 （1） ;（2） ; （3） 2 ; 100 27 9 √ 81 √0.09×169 （4） (x>0); （5） . 25x2 0.64×196 学生独立思考后，师生共同解答. 展示学生答案如下： √ 3 √3 √3 学生1解：（1） = = ; 100 √100 10 √75 √52×3 √52 5 学生2解：（2） = = = ; 27 √32×3 √32 3√75 √75 5√3 5 学生3补充解法： = = = . 27 √27 3√3 3 √ 7 √25 √25 5 学生4解：（3） 2 = = = ; 9 9 √9 3 √ 81 √92 9 学生5解：（4） == = ; 25x2 √（5x）2 5x √0.09×169 √0.32× 132 0.3×13 39 学生6解：（5） = = = . 0.64×196 √0.82×142 0.8×14 112 教师问：像（5）可以如何计算的呢？ 学生答：可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方 根性质. 出示课件16，学生自主练习，教师给出答案。 3.出示课件17，探究最简二次根式的定义 教师依次展示下列问题： √3 3√2 √8 计算：（1） ;（2） ;（3） . √5 √27 √2a 学生讨论后分别解答： √3 √3×5 √15 √15 学生1解：（1） = = = ; 5 5×5 52 5 3√2 √ 2 √2 √6 学生2解：（2） =3 = = ; √27 32×3 3 3 √8 √23×√2a 4√a 2√a 学生3解：（3） = = = . √2a √2a×√2a 2a a教师问：观察上面各小题计算的最后结果并思考： （1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？ 学生回答：是最简. （2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二 次根式满足什么条件就可以说它是最简了？ 教师引导学生归纳总结（出示课件19） 最简二次根式应满足的条件： (1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式. 教师强调：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然 后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含 有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式. 考点1：分母有理化 计算:（出示课件20） √3 3√2 √8 （1） ;（2） ;（3） . √5 √27 √2a 学生独立思考后，师生共同解答. √3 √3×√5 √15 解：（1） = = ; 5 √5×√5 53√2 3√2 √2×√3 √6 （2） = = = ; √27 3√3 √3×√3 3 √8 2√2 2 2√a （3） = = = . √2a √2a √a a 总结点拨： 分母形如n√a的式子，分子、分母同乘以√a可使分母不含根号. 方法点拨：（出示课件21） 师生总结归纳：化成最简二次根式的一般方法: (1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 √8=√4×2=√4×√2=2√2; (2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分 √ 1 √4 √4×3 母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 1 = = = 3 3 3×3 2√3 3 (3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简, √ 3 √ 30 √30 如 √0.3 = = = . 10 100 10 出示课件22，学生自主练习，教师给出答案。 4.二次根式的应用 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2√3，b=√10 ，求a的值.（出示课件20）学生独立思考后，师生共同解答. 解：∵S=ab, S 2√3 2√3×√10 √30 ∴a= = = = ; b √10 √10×√10 5 出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件25-29） 练习课件第19-23页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件30） 二次根式的 内容 除法 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平 二次根式的 √a √a 除法法则 方根.即 = （a≥0，b＞0）. √b b 商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方 商的算术平 √a √a 方根的性质 根的商.即 = （a≥0，b＞0）. b √b 最简二次根式满足两个条件：被开方数不含 最简二次根 分母； 式 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. （五）课前预习 预习下节课（16.3第1课时）的相关内容. 知道二次根式加减运算的法则.七、课后作业 1、教材第10页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第12-13页第5、8、9、10题. 八、板书设计 二次根式的乘除 第2课时 1.二次根式的除法 考点1 考点2 2.商的算术平方根的性质 考点1 3.最简二次根式 考点1 4. 二次根式的应用 5.练习 九、教学反思 成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、 计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在 探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分 反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生 创新精神和创造能力的核心素养目标. 存在问题：由于本节课内容较多,练习量大,学生基本掌握了二次 根式的除法法则和商的算术平方根的性质,但一些学生在计算时,没 有把结果化成最简二次根式. 补救措施：在总结二次根式乘法一课的学习方法之后,进一步放 手让学生自学本节内容,让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和 商的算术平方根的性质,重点进行计算练习,提高二次根式乘除运算 的能力. 16.3 二次根式的加减 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1. 理解二次根式可以合并的条件.2. 类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减运算法则. 3. 能熟练地进行二次根式的加减法运算. 【数学眼光】 先提出问题,分析问题,在分析问题过程中,渗透对二次根式进行 加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简. 【数学语言】 体会合作学习的乐趣. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 二次根式加减法的运算. 【教学难点】 快速准确进行二次根式加减法的运算. 五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 引导学生观察每只小白兔身上的最简二次根式，进行分类整理。 （二）探索新知 1.出示课件4，探究二次根式可以合并的条件 教师问：在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察 下图并思考，你能得到什么算式呢？ 学生答：由上图，易得2a+3a=5a. 教师问：当a的值分别是√2 ，√3时，结果怎样呢？ 学生1答：当a=√2时，分别代入左右得2√2+3√2=5√2 ; 学生2答：当a=√3时，分别代入左右2√3+3√3=5√3 ;...... 教师问：观察上边的算式结果，你发现了什么？ 学生回答：二次根式的被开方数相同的可以进行加减运算. 教师问: 前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开 方数相同可以合并.继续观察下面的过程：（出示课件5） 当a、b的值分别是√2，√8时，结果怎样呢？ 学生回答：当a=√2,b=√8时，得2a+3b=2√2+3√8 . 教师问：这两个二次根式可以合并吗？ 学生回答：不能. 教师追问：2√2 和3√8都是最简二次根式吗？ 学生回答：3√8不是最简二次根式. 教师问：把3√8化为最简二次根式是多少？ 学生解答：因为3√8=3√22×2，所以3√8=6√2.教师问：化简后可以合并了吗？ 学生解答：可以. 教师问：你又有什么发现吗? 学生共同讨论后解答如下：二次根式化为最简二次根式后，被开 方数相同的可以进行加减运算. 教师归纳总结：（出示课件6） 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二 次根式可以合并. 教师强调： 1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式 再判断; 2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根 指数和被开方数(式)不变.如：m√a+n√a=（m+n）√a 出示课件7，学生自主练习，教师给出答案。 考点1：利用二次根式可以合并的条件求字母的值 若最简二次根式2n+ √13m-2n与√3可以合并，求√mn 的值.(出示课 件8)师生共同讨论解答如下： {2n+1=2, 解：由题意得 3m-2n=3, 4 { m= , 3 解得： 1 n= , 2 √4 1 √6 即√mn= × = . 3 2 3 总结点拨：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方 数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可. 出示课件9，学生自主练习，教师给出答案。 2.出示课件10-12，探究二次根式的加减 教师问：现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方 式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？ 怎样列式求两个正方形边长的和? 学生回答：求出边长相加，即√8+√18.教师问：所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个 二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）. 师生共同讨论后解答如下： 解：列式如下：√8+√18 =2√2+3√2 （化成最简二次根式） =（2+3）√2 （逆用分配律） =5√2 ∵√18=3√2<5, 5√2<7.5. ∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板． 师生分析如下： 依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题． 总结归纳：（出示课件13） 二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并. 加减法的运算步骤： (1)化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)并——把被开方数相同的二次根式合并. “一化简二判断三合并” 考点1：二次根式的加减计算 计算:（出示课件14） （1）√80-√45； （2）√9a+√25a； √ 1 √ 1 （3）√8+ ； （4）3√12- ； 50 27 学生独立思考后，师生共同解答. 分别展示学生的解答过程： 学生1解：（1）√80-√45=4√5-3√5=√5； 学生2解：（2）√9a+√25a=3√a+5√a=8√a； √ 1 1 √2 21√2 学生3解：（3）√8+ =2√2+ =2√2+ = ； 50 5√2 10 10 √ 1 1 √3 53√3 学生4解：（4）3√12- =6√3- =6√3- = ； 27 3√3 9 9出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：二次根式的加减混合运算 计算:（出示课件16） √1 （1）2√12-6 +3√48； 3 （2）（√12+√20）+（√3-√5）； 学生独立思考后，师生共同分析后学生解答. 学生1解： √1 （1）2√12-6 +3√48； 3 = 4√3-2√3+12√3 =14√3； 学生2解： （2） （√12+√20）+（√3-√5）； =2√3+2√5+√3-√5 =3√3+√5 出示课件17，学生自主练习，教师给出答案。 考点3：二次根式的综合性题目 有一个等腰三角形的两边长分别为5√2，2√6 ，求其周长.学生独立思考后，师生共同解答. 解：①当腰长为5√2 时， ∵5√2+5√2=10√2＞2√6 ∴此时能构成三角形，周长为10√2+2√6 ②当腰长为2√6时， ∵2√6+2√6=4√6＞5√2 ∴此时能构成三角形，周长为 5√2+4√6. 出示课件19，学生自主练习，教师给出答案。 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件20-26） 练习课件第20-26页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结（出示课件27） 二次根式的 内容 加减 一般地，二次根式的加减时，可以先将二次 法则 根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的 二次根式进行合并. (1)与实数的运算顺序一样；(2)实数的运算 注意 律仍然适用；(3)结果要化成最简形式. （五）课前预习预习下节课（16.3第2课时）的相关内容. 知道二次根式四则混合运算的运算法则. 七、课后作业 1、教材第13页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第17-18页第2、3、10题. 八、板书设计 第1课时 1.二次根式可以合并的条件 考点1 2.二次根式的加减 考点1 考点2 考点3 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处： 在授课过程中,以学生为主体,进行探究性学习,让学 生自己发现规律,得出概念.在例题的选择上由简到难,符合学生的认 知规律,便于掌握.在得到定义、法则的过程中,让学生经历发现、思 考、探究的过程,体会学习知识的成功与快乐.不足之处：在教学过程中,存在着一些不足之处.一是对学情分析 不足,主要是过高估计学生的学习能力,对以前学过的二次根式的化 简复习工作做得不够,导致后续的新知识的学习遇到许多麻烦.二是 在学生自主学习方面还存在着不足.遇到困难有畏难情绪、对老师的 依赖性太强.这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导. 补救措施：适当增加习题练习量,被开方数有分母时化简易出错, 对此类题目重点训练. 16.3 二次根式的加减 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上,使学生了解二次 根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟 练地进行二次根式的混合运算. 【数学眼光】1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比 较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用. 2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法. 【数学语言】 1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性. 2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 能熟练进行二次根式的混合运算. 【教学难点】 灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 如何进行单项式与多项式相乘的运算？你能用字母表示这一结论 吗？ m(a+b+c)= ma+mb+mc 思路：单×多 单×单 教师问：若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一 组)，然后对比归纳，你们发现了什么？让我们进入今天的学习吧！ （二）探索新知 1.出示课件4，探究二次根式的混合运算 教师问：二次根式四则混合运算如何进行呢？ 学生讨论后师生共同总结：二次根式的加、减、乘、除混合运算 与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 考点1：考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力 计算：（出示课件4）（1）（√8+√3）×√6 ；（2）（4√2-3√6）÷2√2 师生共同讨论后，学生解答如下： 学生1解： （1） （√8+√3）×√6 ； =√8×√6+√3×√6 =4√3+3√2 学生2解： （2） （4√2-3√6）÷2√2 =4√2÷2√2-3√6÷2√2 3 =2- √3 2 出示课件5，学生自主练习，教师给出答案. 考点2：考查二次根式的多项式乘法运算能力 计算：（出示课件6） （1）（√2+3）×（√2-5） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）原式 =（√2）2+3√2-5√2-15=2-2√2-15 =-13-2√2 教师追问：指出上式运算每一步的依据？ 师生一起总结： 第一步的依据是：多项式乘多项式法则； 第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根 式； 第三步的依据是：合并同类项． 出示课件7，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件8，探究利用乘法公式计算二次根式 教师问：整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 学生1回答：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 学生2回答：完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2- 2ab+b2. 教师问：整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 学生回答：已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用. 考点1：考查利用乘法公式计算二次根式的能力计算：（出示课件9） （1）（√5+√3）×（√5-√3）；（2）（√3+2）2 学生独立思考后，师生共同分析后，学生分别解答. 学生1解： （1） （√5+√3）×（√5-√3）； =（√5）2-（√3）2； =5-3 =2； 学生2解： （2） （√3+2）2 =（√3）2+2√3×2+22； =3+4√3+4 =7+4√3 出示课件10-11，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：有关代数式的二次根式运算 已知x=√3+1,y=√3-1,试求x2+2xy+y2的值.(出示课件12)学生独立思考后，师生共同解答. 解：x2+2xy+y2=（x+y)2 把x=√3+1,y=√3-1代入上式得 原式=[（√3+1）+（√3-1）]2 =(2√3)2 =12. 出示课件13，学生自主练习，教师给出答案. 3.出示课件14，探究分母有理化 教师问：在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去 √5 掉分母的二次根式的方法，比如: √7 √5 √5×√7 √35 学生回答： = = . √7 √7×√7 7 教师问：如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子， 如：√2-1，√3-√2等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？ 师生共同讨论后解答如下： 根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，学生分别回答. 学生1回答：√2-1乘以√2+1. 学生2回答：√3+√2乘以√3-√2.考点1：分母有理化的应用 计算：(出示课件15) 1 4 （1） ；（2） . √3-√2 √5+1 学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1） 1 ； √3-√2 √3+√2 = （√3-√2）（√3+√2） =√3+√2 （2） 4 . √5+1 4（√5-1） = （√5+1）（√5-1） =√5-1 总结点拨： 分母形如m√a±n√b的式子，分子、分母同乘以m√a∓n√b 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号. 出示课件16，学生自主练习，教师给出答案。 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。 （三）课堂练习（出示课件17-26） 练习课件第17-26页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结（出示课件27） 师生共同回顾本节课所学主要内容: 关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1) 运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项 式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简 化二次根式的有关运算. （五）课前预习 预习下节课（17.1第1课时）的相关内容. 知道勾股定理的内容和勾股定理的证明 七、课后作业 1、教材第14页练习第1,2题. 2、练习试卷册第17-18页第8、9、11题. 八、板书设计 二次根式的加减 第2课时1.二次根式的混合运算 考点1 考点2 2.利用乘法公式计算二次根式 考点1 考点2 3.分母有理化 考点1 4.例题讲解 九、教学反思 成功之处：教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根 式同样适用,反映了数学理论的一贯性,使学生在学习中感到所学并 不难.整节课,始终以练习为主,通过例题练习,将新旧知识紧密联系 在一起,并不断巩固运算法则和运算律在二次根式的运算中的运用. 不足之处：过分注重了探究整式的乘法法则和公式在二次根式的 混合运算中仍然适用的问题,让学生运用法则和公式计算二次根式的 混合运算的练习时间较少,一些学生还容易出现运算顺序出现错误和 错用公式的现象.适当增加变式练习,增加二次根式混合运算的例题,提高分析问题 和解决问题的能力,真正达到灵活运用因式分解、约分等技巧,运用 运算律使计算简便的目的. 17.1 勾股定理 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算. 【数学眼光】 1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验 证的数学发现过程. 2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数 学思想、分类讨论思想. 【数学语言】通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价 值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激 发学生的民族自豪感和爱国情怀. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共3课时 四、教学重难点 【教学重点】 探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算. 【教学难点】 用拼图的方法验证勾股定理. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等. 学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2）引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识 （二）探索新知 1.出示课件4-10，探究勾股定理的认识与证明 相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家做客，发现朋友家 用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我 们也来观察一下图案，看看你能发现什么数量关系？ 学生1回答：直角三角形的两条直角边和斜边都是正方形的边长. 学生2回答：斜边正方形的边长最大. 教师问：三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？教师依次展示下列问题： 看图完成下面的题目： （1） A中含有____个小方格，即A的面积是______个单位面积． （2）B的面积是_______个单位面积． （3）C的面积是________个单位面积． 学生1回答：（1）A中含有9 个小方格，即A的面积是9 个单位 面积． 学生2回答：(2) B的面积是9 个单位面积．学生3回答：(3) C的面积是18 个单位面积． 教师问：三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？ 学生回答：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: S +S =S A B C 教师问：S +S =S 在图2中还成立吗？ A B C 学生讨论后回答：仍然成立. 教师问：你是如何得到结果的呢？ 学生回答：A的面积是16个单位面积．B的面积是9个单位面积． C的面积是25个单位面积． 教师问：你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流． 学生回答：如下图所示：教师问：至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上 的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S +S =S . 去掉网 A B C 格结论会改变吗？ 学生回答：不会. 教师问：式子S +S =S 能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗? A B C 师生一起解答：如图所示： a2 + b2 = c2教师问：去掉正方形结论会改变吗？ 学生回答：不会. 教师问：那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是什么呢？ 学生回答：a2 + b2 = c2 教师：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c， 那么a2+b2=c2. 如何利用拼图证明呢？ 师生一起看数学家的证明： 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想 还不能把问题彻底搞清楚. 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来 探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．教师依次展示各种证明方法： （1）赵爽拼图证明法： 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正 方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？ 试试看. 小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方 形，拼成一个新的正方形. 剪、拼过程展示：（出示课件11） 教师问：如何进行证明呢？ 师生共同讨论后解答如下： 证明：∵S ＝c2，S ＝(b-a)2, 大正方形 小正方形 ∴S ＝4·S ＋S ， 大正方形 三角形 小正方形 1 ∴c2=4× ab+（b-a）2=a2+b2 2(2) 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.(出示课件13) 教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗？ 师生共同讨论后解答如下： 证明：∵S =(a+b)2=a2+b2+2ab, 大正方形 S =4S +S 大正方形 直角三角形 小正方形 1 =4× ab+c2 2 =c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2+b2=c2. （3）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 教师问：你能证明上边的问题吗？ 学生讨论后回答： 证明： 1 ∵S = （a+b）（a+b）, 梯形 2 1 1 1 S = ab+ ab+ c2, 梯形 2 2 2 ∴a2 + b2 = c2. 教师总结归纳;(出示课件16) 勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2 + b2 = c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 表示为：Rt△ABC中，∠C=90°, 则a2 + b2 = c2. 总结点拨：（出示课件17） 公式变形勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方 和等于斜边的平方. 出示课件18，学生口答，教师订正。 考点1：利用勾股定理求直角三角形的边长 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（出示课件19） （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.师生共同讨论解答如下： 解：(1)据勾股定理得 (2)据勾股定理得 出示课件20，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长 在Rt△ABC中， ∠C=90°.（出示课件21） （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 学生独立思考后，师生共同解答. 解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52， 解得 （舍去） (2) 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152， 解得 （舍去）总结点拨：（出示课件21） 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方 程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. 出示课件22，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件23-27） 练习课件第23-27页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件28） 内 容 如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边 勾股定理 长为c,那么a2+b2=c2. 1.在直角三角形中 2.看清哪个角是直角 注 意 3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要 分类讨论 （五）课前预习 预习下节课（17.1第2课时）的相关内容. 会用勾股定理解决实际问题. 七、课后作业1、教材第24页练习第1,2题. 2、练习试卷册第33页第3、4、8题. 八、板书设计 勾股定理 第1课时 1.探索勾股定理 2.勾股定理的证明 考点1 考点2 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应 的核心素养目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学 生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过 程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的. 整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证—— 总结升华”为主线,使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程,努 力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.不足之处：在教学过程中,高估了学生证明勾股定理的能力,主要 困难在于一些学生不能对图形进行正确的割补.对图形的割补过程没 有给学生详细的呈现. 补救措施：适当增加学生拼图的时间,通过实践操作,画图分析, 独立分析证明思路,正确完成证明过程. 17.1 勾股定理 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长. 2.能应用勾股定理解决简单的实际问题. 3.能说出勾股定理,能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的 实际问题. 【数学眼光】 1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想, 培养学生解决现实问题的意识和能力.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股 定理的应用方法. 【数学语言】 在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的 应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提高学生学习数学的 兴趣和信心. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共3课时 四、教学重难点 【教学重点】 运用勾股定理解决实际问题. 【教学难点】 勾股定理的灵活运用. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、直尺、练习本、三角形模型. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 波平如镜一湖面，3尺高处出红莲. 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边. 离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲. 请君动脑想一想，湖水在此深几尺？ 示意图见课件，就是求AD的长 教师：这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题，学完本节 课知识后，自己再想想怎么计算此题吧！ （二）探索新知 1.出示课件4-6，探究勾股定理解决线段长度问题 教师问：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2 m的长方 形薄木板能否从门框内通过？为什么？学生答：不能，因为木板的长3m大于2m，宽2.2m大于1m. 教师问：木板能横着或竖着从门框通过吗？ 学生答：不能. 教师问：这个门框能通过的最大长度是多少？ 学生讨论后回答：如图所示，小于线段AC的长度才可以. 教师问：怎样判定这块木板能否通过木框？ 学生回答：求出斜边AC的长，与木板的宽比较. 师生一起解答： 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5． AC= √5 ≈2.24． 因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过． 出示课件7，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件8-9，探究勾股定理解决线段移动问题 教师问：如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上， 这时AO 为2.4米．求梯子的底端B距墙角O多少米？ 学生回答： 解：（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理， OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1. OB=1.答：梯子的底端B距墙角O为1米. 教师问：如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也 外移0.5米吗？ 学生回答：在Rt△COD中，根据勾股定理， OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15. OD=√3.15≈1.77．BD=OD-OB≈1.77-1=0.77 答：梯子底端B也外移约0.77米. 出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件12-19） 练习课件第12-19页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件20） 用勾股定理计算时,要先画好图形,并标好图形,理清各边之间的 关系,再灵活运用勾股定理计算.在利用勾股定理进行有关计算和证 明时,要注意运用方程的思想;求直角三角形有关线段的长,有时还要 运用转化的数学思想,或利用添加辅助线的方法构造直角三角形,再运用勾股定理求解. （五）课前预习 预习下节课（17.1第3课时）的相关内容. 知道如何在数轴上标出无理数及构造直角三角形表示出无理数. 七、课后作业 1、教材第26页练习第1,2题. 2、练习试卷册第33页第2、5、6题. 八、板书设计 勾股定理 第2课时 1.解决线段长度问题 2.解决线段移动问题 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课运用勾股定理解决实际问题,整节课注重基础, 通过分类探索,由浅入深,注重讲练结合,引导学生独立分析,自主学 习,提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.虽然只是勾股定理 的实际应用这一知识点,但是涉及生产生活的各个方面,受时间约束无法一一列举,本课中的三个例子缺乏开放性. 补救措施：在问题设计上,进一步注意层次性、开放性,并增加每 一类题目的变式训练题,提高学生分析问题和解决问题的能力.同时, 在后续学习中加强与勾股定理的综合运用训练. 17.1 勾股定理 第3课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.利用勾股定理,能在数轴上找到表示无理数的点. 2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型,并能用 勾股定理解决简单的实际问题. 【数学眼光】 1.经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程,发展学生灵活运用 勾股定理解决问题的能力. 2.在用勾股定理解决实际问题的过程中,体验解决问题的策略,发 展学生的动手操作能力和创新精神.3.在解决实际问题的过程中,学会与人合作,并能与他人交流思维 过程和结果,形成反思的意识. 【数学语言】 1.在利用勾股定理寻找数轴上表示无理数的点的过程中,体会勾 股定理的重要作用,并从中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建 立自信心. 2.在解决实际问题的过程中,形成实事求是的态度以及进行质疑 和独立思考的习惯. 二、课型 新授课 三、课时 第3课时 共3课时 四、教学重难点 【教学重点】 能利用勾股定理在数轴上表示无理数. 【教学难点】 利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、圆规等. 学生：复习尺规作图的有关知识,准备三角板、直尺、圆规、铅 笔. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 欣赏课件中海螺的图片： 在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数 学教育大会的会徽. 这个图是怎样绘制出来的呢？这就是今天我们探究的问题. （二）探索新知 1.出示课件4-5，探究证明“HL” 教师问：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和 一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 教师展示问题： 已 知 ： 如 图 ， 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′ C′ 中 ， ∠C=∠C′=90°， AB=A′B ′，AC=A′C′ ． 求证：△ABC≌△ A′B′ C′ ． 学生讨论后回答： 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A ′B′ C′中，∠C=∠C′=90°，根 据勾股定理，得BC=√AB2-AC2，B＇C＇=√A＇B＇2-A＇C＇2. ∵AB=A′B′, AC=A′C′,∴BC=B′C′． ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 2.出示课件6-8，探究利用勾股定理在数轴上确定无理数 教师问：你能在数轴上表示出√2的点吗？-√2呢？ 师生一起解答：（出示课件6） 放幻灯片，展示作图过程. 教师问：用同样的方法作√3 ，√4， √5，√6，√7 呢？ 学生答：如下图所示（放映幻灯片，展示作图过程） 总结点拨：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在 数轴上画出表示该无理数的点. 教师问：长为√13的线段是直角边的长都为正整数的直角三角形 的斜边吗？ 教师依次展示学生的解答如下： 学生1解答：学生2解答： 学生3解答： 教师总结如下，其中后两种符合要求. 教师问：根据上面问题你能在数轴上画出表示√13的点吗？师生总结如下： 步骤： 1.在数轴上找到点A,使OA=3; 2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则 点C即为表示√13的点. 总结点拨（出示课件9） 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直 角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交 点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 考点1：利用勾股定理在数轴上确定无理数的点 在数轴上作出表示√17的点.（出示课件10） 师生共同讨论解答如下： 解：作法： （1）在数轴上找到点A，使OA=1； （2）过点A作直线垂直于OA，在直线上取点B,使AB=4，那么 OB=√17； （3）以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C， 则OC=√17. 如图，在数轴上，点C为表示√17的点. 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正. 3.出示课件12-13，探究利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段 教师问：在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 请在给定网格中以A出发分别画出长度为√2，√5，√8的线段AB． 教师展示答案如下： 学生1回答： 学生2解答： 学生3解答：教师追问：如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你 能画出几条边长为√10的线段? 学生讨论后回答：如图所示： 总结点拨：（出示课件13） 勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构 成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度. 考点1：利用勾股定理在网格上作线段 如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的 直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为√5的线段？（出示 课件14） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：如图所示，有8条.总结点拨：（出示课件14） 一个点一个点地找，不要漏解. 出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正. 4.利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠， 使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求 AM的长.（出示课件16） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2. 在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2. ∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2， 即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2， 解得x＝2.即AM＝2. 师生共同归纳如下：（出示课件17） 折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法: (1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程； (4)解这个方程，从而求出所求线段长. 出示课件18，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧.（三）课堂练习（出示课件19-26） 练习课件第19-26页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件27） 师生共同回顾本节课所学主要内容: 1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在 直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边. 2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边 形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理. （五）课前预习 预习下节课（17.2第1课时）的相关内容. 知道勾股定理的逆定理和原命题、逆命题的定义 七、课后作业 1、教材第27页练习第1,2题. 2、练习试卷册第33页第1、7题. 八、板书设计 勾股定理 第3课时 1. 利用勾股定理证明HL定理2. 利用勾股定理在数轴上表示无理数 3. 利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段 考点1 4. 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度 5. 例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用, 从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导 学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规 作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.由于学生尺规作图的能 力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完 成作图. 补救措施：教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步 骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习 中的困难. 17.2 勾股定理的逆定理第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解并能证明勾股定理的逆定理. 2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念. 3.会认识并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆 定理判定一个三角形是否为直角三角形. 【数学眼光】 1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成 的过程. 2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数 形结合方法的应用. 【数学语言】 1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形 的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系. 2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的 意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 勾股定理的逆定理的应用. 【教学难点】 勾股定理的逆定理的证明. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、绳子、铅笔、直尺、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结， 4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角 便是直角.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？这就是今天我 们探究的问题！ （二）探索新知 1.出示课件4-9，探究勾股定理的逆定理 教师问：据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 这种方法 对吗？ 学生答：三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形． 教师问：完成下面的问题： 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数 为边长画出三角形(单位：cm). ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17． 师生依次解答作图如下： 教师问：用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 师生一起解答：如下图所示， 它们都是直角三角形.（出示课件 6）教师问：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 这三组数在数量关系上有什么相同点？ 学生分别解答如下： 学生1解答：① 5,12,13满足52+122=132, 学生2解答：② 7,24,25满足72+242=252, 学生3解答：③ 8,15,17满足82+152=172. 教师问：如果用字母a，b，c代替上面每一组的数字，你能得到 a，b，c之间什么关系式呢？ 学生回答：a2+b2=c2 教师问：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 学生回答：∵32+42=52，∴满足. 教师问：根据上面的式子你有什么猜想呢? 学生答：一个三角形的两边的平方和等于另一边的平方，这个三角形是直角三角形. 教师总结如下：由上面几个例子，我们猜想： 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角 形是直角三角形. 教师问：你觉得这个猜想严谨吗？为什么？ 学生1回答：我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 学生2回答：我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据， 不能由部分代表整体. 教师问：试着完成下面的题目。 展示问题：已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且 a2+b2=c2 .求证：∠C=90°. 师生共同解答如下：证明：作∆A B C , 使∠C =90°，B C =a，C A =b. 根据勾股定理， 1 1 1 1 1 1 1 1 则有A B 2=B C 2+C A 2=a2+b2. ∵a2+b2=c2, ∴A B =c，∴AB=A B . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 在△ABC和△A B C 中， 1 1 1 BC=B C , 1 1 CA=C A , 1 1 AB=A B . 1 1 ∴∆ABC≌∆A B C . 1 1 1 ∴∠C=∠C =90°. 1 教师总结归纳：（出示课件10） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 教师追问：你能利用符号语言描述一下上面的定理吗？ 师生一起总结如下： 符号语言： 在△ABC中，若a2+b2=c2则△ABC是直角三角形. 教师总结点拨：（出示课件11） 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三 边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此 三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 考点1：利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是, 那么哪一个角是直角？（出示课件12） (1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ，b=14 ，c=15. 师生共同讨论解答如下： 学生1解： (1)∵152+82=289，172=289， ∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直 角. 学生2解： (2)∵132+142=365，152=225， ∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴这个三角形不是直角三角形. 师生总结点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是 直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平 方. 出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形 若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=√14，试说明△ABC是 直角三角形.（出示课件14） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：∵a+b=4,ab=1, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14. 又∵c2=14,∴a2+b2=c2, ∴△ABC是直角三角形. 出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件16，探究勾股数 教师问：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三 角形是直角三角形.你能找到满足a2+b2=c2的三个数均为正整数吗？ 学生1回答：可以找到，例如3，4，5. 学生2回答：可以找到，例如5，12，13. 教师问：如果满足a2+b2=c2的三个均为正整数，我们把具有这种 性质的一组数叫做勾股数.你能举出实际的例子吗？ 学生1回答：3，4，5. 5，12，13 学生2回答：6，8，10. 7，24，25. 学生3回答： 8，15，17. 9，40，41. 学生4回答：10，24，26 教师问：勾股数有很多，那么如何快速找勾股数呢？ 师生共同解答如下：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整 数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.出示课件17，学生自主练习，教师给出答案。 3.出示课件18，互逆命题和互逆定理 教师问：看下面的两个命题： 命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那 么a2+b2=c2. 命题2如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角 形是直角三角形. 你发现了什么？ 师生共同解答如下：发现：两个命题的条件和结论如下所示： 教师问：两个命题的条件和结论有怎样的关系？ 学生回答：两个命题的条件和结论有如下联系：它们是题设和结 论正好相反的两个命题. 教师总结归纳：（出示课件20） 定义：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 归纳总结：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可 能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一 个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定 理为互逆定理. 出示课件21，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件22-27） 练习课件第22-27页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结（出示课件28） 师生共同回顾本节课所学主要内容: (1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个 三角形是不是直角三角形. (2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理. (3)三个数满足勾股数的两个条件:①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数. (4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角 三角形中运用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角 三角形的. （五）课前预习 预习下节课（17.2第2课时）的相关内容. 知道利用勾股定理及其逆定理解决实际问题的方法 七、课后作业 1、教材第33页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第39-40页第1、2、7、8题. 八、板书设计 17.2 勾股定理的逆定理 第1课时 1.勾股定理的逆定理 (1)归纳猜想 (2)原命题、逆命题 (3)勾股定理的逆定理的证明2.勾股数 3.互逆命题和互逆定理 考点1 考点2 4.例题讲解 九、教学反思 成功之处： 1.本节课以“提出问题——解决问题”为主线,以学生的自主探 索学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,能力目 标基本实现,情感目标基本实现. 2.在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用,教师不能 一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和 方向,让学生去自主探究,注重了知识上的及时巩固,也侧重了学生各 方面的素质的培养. 不足之处： 1.在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使 优生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好的书写习惯. 2.本节课内容较多,由于时间紧,还是不敢放手,总是牵着学生走, 结果学生的积极性没有充分调动起来,还需要注意教师精讲,留足时 间让学生探究. 17.2 勾股定理的逆定理 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1．进一步理解勾股定理的逆定理； 2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题． 【数学眼光】 1.通过对勾股定理的逆定理应用的探索,经历知识发生、发展和 形成的过程. 2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状的应用, 体验数形结合方法的应用. 【数学语言】 1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状的应用,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系. 2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的 意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 【教学难点】 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3）工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所示：该模板中的 AB、BC 相交成直角才符合规定.你能测出这个零件是否合格呢？(身 边只有刻度尺) 观察课件图片，引出本课知识点。 （二）探索新知 1.出示课件5，利用勾股定理的逆定理解答角度问题 教师问：如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号 每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口 一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远 航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？学生答：就是求∠1的大小，因为题目中没有角度，感到无从下 手解答问题. 教师问：认真读题，找已知是什么？ 学生讨论后回答：“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的 航程及距离已知，如下图. 教师问：需要解决的问题是什么？ 学生回答：求出两艘船航向所成角. 教师问：由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此我们想到利用什么思想？ 师生一起解答： 转化的思想. 教师问：知道线段长度，通过线段长度来求角的度数，我们可以 利用什么转化呢？ 学生回答：勾股定理逆定理. 教师问：你能写出解答过程吗？ 师生一起解答： 解：根据题意得：PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. 总结点拨：解决实际问题的步骤：①标注有用信息,明确已知和 所求；②构建几何模型(从整体到局部)；③应用数学知识求解.出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正. 2.利用勾股定理的逆定理解答面积问题 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm， CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.（出示课件10） 师生共同讨论解答如下： 解：连接BD. 在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2， ∴BD=5cm. 又∵ CD=12cm，BC=13cm, ∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形. 1 1 ∴S =S －S = BD•CD－ AB•AD 四边形ABCD Rt△BCD Rt△ABD 2 2 1 = ×(5×12－3×4)=24 (cm2)． 2 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正. 3.利用勾股定理的逆定理解答检测问题 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他 在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请 你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？（出示课件12） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， ∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵AC2＝92＝81， ∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°， ∴该农民挖的不合格．出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件15-22） 练习课件第15-22页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结（出示课件23） 航海问题 应用 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 勾股定理的逆 定理的应用 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用 勾股定理及其逆定理来解决问题 （五）课前预习 预习下节课（18.1第1课时）的相关内容. 知道平行四边形的定义和平行四边形的性质及两平行线之间的距 离. 七、课后作业 1、教材第39页练习第10,12题.2、练习试卷册第40页第6、9、10、11题. 八、板书设计 1．利用勾股定理的逆定理解答角度问题 2．利用勾股定理的逆定理解答面积问题 3．利用勾股定理的逆定理解答检测问题 4.例题讲解 九、教学反思 成功之处：在本节课的教学活动中，尽量给学生充足的时间和空 间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导 学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教 学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、 用于生活”的教育思想． 不足之处：教学中学生的方位角掌握不是很好，课上未能及时解 决，在以后教学中应该多让学生自己动手画图，增加解决方位角问 题的能力. 18.1.1 平行四边形的性质第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解平行四边形的定义及有关概念. 2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平 行四边形的性质进行简单的计算和证明. 3.了解平行线间距离的概念. 【数学眼光】 1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象 思维和抽象思维. 2.在进行性质探索的活动过程中,发展学生的探究能力. 3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的 能力,培养学生的推理能力和逻辑思维能力. 【数学语言】 在性质应用过程中培养独立思考的习惯,让学生在观察、合作、 讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积 极思考、合作学习的学习态度.二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 平行四边形边、角的性质探索和证明. 【教学难点】 如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思 想方法. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、教学中出示的教学插图和例题的投 影图片等. 学生：三角尺、铅笔、方格纸,量角器,刻度尺. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 我们一起来观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆等图,它们是什么几何图形? （二）探索新知 1.出示课件4-6，探究平行四边形的定义 教师问：下列常见的四边形它们的边之间有什么关系呢？ 师生总结如下：四边形的对边之间有如下关系： 教师问：你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？ 学生答：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 总结点拨：（出示课件6） 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.记作：□ ABCD. 读作：平行四边形ABCD. 判定： ∵AB∥CD, AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 性质： ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, AD∥BC, 教师强调：图形中字母的标识顺序应为顺时针方向或逆时针方向. 考点1：利用平行四边形的定义判断平行四边形 如图是某区部分街道示意图，其中BC∥AD∥EG，AB//FH∥DC． 图中的平行四边形共有_____个.并把它们表示出来.（出示课件7）师生共同讨论解答如下： 教师依次展示学生答案： 学生1解答：∵DC∥FH ∥ AB，DA∥ EG∥ CB， ∴平行四边形有：□ABCD，□AEOF, □GOFD, □BEOH, □CHOG. 学生2回答： 还有平行四边形：□AEGD, □BEGC. □ABHF, □CHFD. 教师提示： 用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行. 出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件9-12，探究平行四边形边的特征 教师问：平行四边形除两组对边分别平行外,你还能得到对边有 什么关系? 学生回答：看到两组对边是相等的. 教师问：用什么方法得到这个关系?学生回答：可以观察一下，看到相等. 教师问：观察的准确吗？如何验证呢？ 学生回答：利用刻度尺测量一下. 教师问：如何测量呢？ 学生回答：测量方法演示见课件（出示课件9） 教师问：度量的结果准确吗？ 学生回答：容易有误差. 教师问：有什么方法更简单准确呢？ 学生回答：可以剪裁，折叠看是否重合.（出示课件10） 教师问：剪裁对操作的要求很高，如果操作不当也不准确，有更 好的办法吗？ 学生回答：推理证明. 教师问：怎样进行证明呢？ 师生共同讨论后解答如下：先根据题目画图，再写“已知”与 “求证”，最后证明. 教师问：请同学们想一想，写出已知、求证和画出图形. 学生回答：已知:四边形ABCD是平行四边形 求证:AD=BC, AB=CD. 学生先独立思考，师生共同解答如下： 证明：连接AC，□ABCD中 ∵ AB∥CD，AD∥BC, ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4. 又AC＝CA, ∴△ABC≌△CDA （ASA）. ∴AB＝CD，CB＝AD.总结点拨：作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对 角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题． 总结归纳：（出示课件12） 平行四边形的性质 平行四边形的两组对边分别相等. 教师问：你能利用几何语言描述一下吗？ 师生总结： 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）. 或 在□ABCD中，AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）. 考点2：利用平行四边形边的性质求证线段的关系 如图，在□ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求 证： BE=DF.（出示课件13）学生独立思考后，师生共同解答. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD. ∴∠BAE=∠DCF. 又∵AE=CF， ∴△ABE≌△CDF. ∴BE=DF. 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 3.出示课件15-18，探究平行四边形角的特征 教师问：前面我们探究了平行四边形的边的性质，平行四边形的 角有何性质呢？ 学生回答：看着有的相等吧！ 教师问：请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并 记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗?学生回答：测得∠A =∠C，∠B =∠D.（出示课件15） 教师问：平行四边形的两组对角有什么数量关系？ 学生回答：猜想平行四边形的两组对角分别相等. 教师问：怎样证明这个猜想呢？ 学生回答：写出已知、求证， 画出图形， 进行证明. 教师问：如何证明呢？ 师生共同解答如下： 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证:∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC，AB ∥ CD. ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵AC是△ABC和△CDA的公共边， ∴△ABC≌△CDA. ∴∠ABC=∠ADC. ∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3， ∴∠BAD=∠BCD. 教师问：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义， 证明其对角相等？ 学生讨论后解答： 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°. ∴∠B=∠D. 同理可得∠A=∠C. 总结点拨：（出示课件18）平行四边形的性质 平行四边形的两组对角分别相等. 教师问：你能利用几何语言描述一下平行四边形角的性质吗？ 师生总结如下： 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C, ∠B=∠D（平行四边形的对角相等）. 或 在□ABCD中，∠A=∠C, ∠B=∠D（平行四边形的对角相等）. 考点1：利用平行四边形角的性质求证角的关系在□ABCD中,已知∠A=52°，求其余三个角的度数.（出示课件 19） 学生独立思考后，师生共同解答. 解: ∵四边形ABCD是平行四边形且∠A=52°（已知), ∴∠C=∠A=52°（平行四边形的对角相等）. 又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）, ∴∠A+∠B=180°∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180º－ 52°=128 °. 出示课件20，学生自主练习，教师给出答案. 4.出示课件21-23，探究平行线间的距离 教师问：如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E， F．线段AE与CF有怎样的数量关系？学生回答：AE=CF 教师问：你能写出证明过程吗？ 学生回答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD=CB. 又∵∠AED=∠CFB=90°， ∴△ADE≌△CBF（AAS）. ∴AE=CF. 教师问：在上述证明中还能得出什么结论？ 学生回答：线段DE=BF. 教师问：如果改变条件，还有这样的性质吗？例如：若m // n，作 AB//CD//EF，分别交 m于A，C，E，交 n于B，D，F.线段AB，CD，EF相等吗？ 学生回答：AB=CD=EF 教师问：你是如何得到结果的呢？ 学生回答：由平行四边形的定义易知四边形ABDC，CDFE均为平 行四边形. 由平行四边形的性质得AB=CD=EF. 师生共同归纳：两条平行线之间的平行线段相等. 教师问：什么是点直线的距离呢？ 学生回答：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直 线的距离. 教师问：如果点在一条直线上呢？例如下面的问题： 两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另 一条直线的距离. 师生共同讨论后解答如下： 若m//n，AB , CD , EF垂直于n，交n于B , D , F , 交 m于A, C , E. 学生回答：因为AB , CD , EF垂直于 n，所以 ∠ABD=∠CDF=∠EFH，所以AB∥CD∥EF,所以四边形ABCD和四边形 CDFE都是平行四边形，由此得到AB=CD=EF. 教师问：由上面的证明你得到什么呢？ 学生回答：平行线间的距离相等. 教师归纳如下：两条平行线间的距离相等. 出示课件24，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件25-30）练习课件第25-30页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件31） 平行四边形 内 容 定 义 两组对边分别平行的四边形 1.两组对边分别平行，相等 性 质 2.两组对角分别相等，邻角互补 1.两条平行线间的距离相等 其它结论 2.两条平行线间的平行线段也相等 （五）课前预习 预习下节课（18.1.1第2课时）的相关内容. 知道平行四边形的对角线的性质 七、课后作业 1、教材第43页练习第1,2题. 2、练习试卷册第59页第1、4、9题. 八、板书设计 第1课时 1.平行四边形的定义 考点12.平行四边形边的性质 考点1 3.平行四边形边的性质 考点1 4.平行线间的距离 5.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节以探究活动的形式,让学生通过自主探索、合作 交流去发现和体验新知识.整个过程充满着观察、实验、模拟、推断 等探索性与挑战性活动.改变了以例题、示范、讲解为主的教学方式, 引导学生投入到探索与交流的学习活动中去.这一节课学生已通过画 图,测量,猜想的探究方式发现“平行四边形的对边相等,对角相等” 等特征.学生参与度高,提高学生的学习兴趣和实际操作能力,取得较 好的学习效果. 不足之处：引导学生进行思考的语言不够精练,时间把握得不够 好,课堂不够紧凑.由于性质探索部分花了较多时间,导致练习的时间不够多.应该让学生在练习的时候有更多的时间讨论,说得更多. 自我反思：最后的小结部分留足时间,由学生自己归纳本节课的 内容,把性质按边、角进行归纳,配以图表方便记忆.补充例题在教学 中侧重对学生思路的引导,开阔学生的视野. 18.1.1 平行四边形的性质 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质. 2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题 和简单的证明题. 【数学眼光】 在观察、操作、推理、归纳的探索活动中,进一步培养学生的数 学说理能力与习惯. 【数学语言】通过小组合作探究学习,促进同学间的情感交流,体验学习的乐趣, 在自我评价中学会自我肯定,增强学习的自信心. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用. 【教学难点】 综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、教学中出示的教学插图和例题等. 学生：三角尺、铅笔、两张方格纸,铅笔,图钉. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2）一位饱经沧桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终 于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱, 他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的:(如右图所 示) 当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少,同学们,你认为 老人这样分合理吗?为什么? 本节课,我们将继续学习与平行四边形的对角线有关的性质,你将 会明白老人的分法是否合理. （二）探索新知 1.出示课件4-5，探究平行四边形对角线的性质 教师问： 想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外， 对角线有什么性质呢？ 如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O．OA与 OC，OB与OD有什么关系？学生答：猜想平行四边形的对角线互相平分. 教师：下面我们一起来证明这个猜想？ 求证：OA=OC，OB=OD． 学生讨论后回答： 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD. ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∴△COD≌△AOB. ∴OA=OC，OB=OD． 总结点拨：（出示课件6） 平行四边形的性质平行四边形的对角线互相平分. 教师问：你能利用几何语言描述一下平行四边形角的性质吗？ 师生总结如下： 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）. 或 ∵在□ABCD中， ∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）. 或AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO. 考点1：利用平行四边形对角线的性质求线段的值 已知□ABCD的周长为60cm，对角线AC , BD相交于点O，△AOB 的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．（出示课件7） 师生共同讨论解答如下： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm， ∴AB－AD＝5cm. 又∵ABCD的周长为60cm， ∴AB＋AD＝30cm. 则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm. 总结点拨：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三 角形的周长之差等于邻边边长之差. 出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用平行四边形对角线的性质求线段的相等如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB， CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.（出示课件9） 学生独立思考后，师生共同解答. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA=OC (平行四边形的性质). ∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）. 在△AOE和△COF中 ∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚, OA = OC, ∠EAO = ∠FCO, ∴ △AOE≌△COF(ASA). ∴OE = OF（全等三角形的对应边相等）. 出示课件10，学生思考后口答，教师讲解.总结点拨：（出示课件10） 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对 边的延长线相交，得到线段总相等. 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件12，探究平行四边形的面积 教师问：平行四边形的面积如何求呢？ 学生回答：底乘以高 教师问：如图，在□ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC. 求 BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的面积． 师生共同讨论后解答如下： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8cm,CD=AB=10cm. ∵AC⊥BC， ∴△ABC是直角三角形.根据勾股定理得AC=√AB2-BC2 =√102-82=6cm 又∵OA=OC, 1 ∴OA= AC=3cm, S =BC·AC=8×6=48cm2 2 平行四边形ABCD 出示课件13，学生自主练习，教师给出答案. 3.出示课件14-16，探究平行四边形中有关图形的面积 教师问：如图，EF过□ABCD的对角线AC , BD的交点O，△AOE 与△COF的面积有何关系？ 学生回答：△AOE与△COF的面积相等. 教师问：你能证明上边的问题吗？ 学生回答： 解：理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC. ∴∠ EAO=∠FCO{∠EAO=∠FCO， 在△AOE与△COF中， OA=OC， ∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴S =S △AOE △COF 教师问：四边形AEFD与四边形BCFE的面积有何关系？ 学生回答：四边形AEFD与四边形BCFE的面积相等. 教师问：如何证明我们的猜想呢？ 学生回答：理由如下： 由前面的证明过程可同理得出 S =S S =S △AOD △COB △COD △AOB ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∴△ AOD和∠COD等底同高 ∴S =S △AOD △COD ∴ S =S =S =S △ADO △ODC △BCO △AOB ∵S = S +S + S , 四边形AEFD △ADO △AEO △DOF S = S +S + S , 四边形BEFC △BCO △BEO △COF ∴S = S . 四边形AEFD 四边形BEFC总结点拨：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的 三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全 等. 教师：观察下面不同位置过对角线交点的直线，思考有什么特点？ 师生总结点拨：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成 面积相等的两部分. 考点1：利用平行四边形的有关图形的面积证明相等如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的 两个四边形面积相等吗？（出示课件17） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：设直线EF交AD,BC于点N,M. ∵AD∥BC, ∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO. 又∵AO=CO, ∴△NAO≌△MCO， ∴S =S +S +S =S +S +S 四边形ANMB △NAO △AOB △MOB △MCO △AOB △MOB 1 =S +S = S . △AOB △COB 2 平行四边形ABCD ∴S =S , 四边形ANMB 四边形CMND 即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等. 师生共同归纳：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 出示课件18-19，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件20-25） 练习课件第20-25页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件26） 师生共同整理平行四边形性质等知识. 名称 平行四边形 图形 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 边 角 对角线 性质 平行四边形的对边对角相等;邻角 对角线互相平分 平行;对边相等 互补 （五）课前预习 预习下节课（18.1.2第1课时）的相关内容. 知道平行四边形的判定定理. 七、课后作业 1、教材第44页练习第1,2题.2、练习试卷册第59页第2、5、6、8题. 八、板书设计 第2课时 1.平行四边形的对角线的性质. 考点1 考点2 2. 平行四边形的面积 3.平行四边形中有关图形的面积 考点1 4.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课以问题为载体,以学生的动手实践、自主探究 为主要的学习方式.在教学过程中,实施开放式教学,创设民主、宽松 的教学氛围,最大限度地调动学生的积极性,激发他们的学习兴趣.教 师成为课堂问题的激发者、有序探究的组织者、学生错误的澄清者、 多角度思考的促进者,使师生成为“数学学习的共同体”. 不足之处：由于学生的水平不一,可能有学生跟不上,对于综合题 目理解不到.尤其是例题讲解很难落实到位.补救措施：设计分层练习,或者组织有效的学习小组,互相学习. 补充的例题以老师讲解为主,教材的例题可交给学生独立完成. 18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.在探索平行四边形的判定条件中,理解并掌握用边、角、对角 线来判定平行四边形的方法. 2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题. 3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题. 【数学眼光】 经历平行四边形判定条件的探索过程,发展学生的合情推理意识 和表述能力. 【数学语言】 培养学生合情推理的能力及严谨的书写表达,体会几何思维的真 正内涵.二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共3课时 四、教学重难点 【教学重点】 理解和掌握平行四边形的判定定理. 【教学难点】 对平行四边形的判定与性质定理的综合运用. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了 实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分, 他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去就行 了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？ （二）探索新知 1.出示课件4-6，探究平行四边形的判定定理1 教师问：如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做 成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形 状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？ 学生答：是平行四边形. 教师问：由上面的过程你得到了什么结论？学生答：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 教师问：如何证明这个结论呢？ 学生回答：写出已知，求证和画出图形.如下： 已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC. 求证： 四边形ABCD是平行四边形. 教师问：你能用平行四边形的定义来证明吗？ 师生一起解答： 证明：连接AC， 在△ABC和△CDA中, AB=CD (已知)， AC=CA (公共边)， BC=DA(已知)， ∴△ABC≌△CDA(SSS). ∴∠1=∠4 ,∠2=∠3.∴AB∥CD, AD∥ BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 总结归纳：（出示课件6） 由上述证明可以得到平行四边形的判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 教师问：你能利用几何语言描述一下平行四边形的判定定理吗？ 学生回答：在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 教师强调： 几何语言： 在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 考点1：利用两组对边分别相等识别平行四边形 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行 四边形．（出示课件7） 师生共同讨论解答如下： 证明：在Rt△MON中， 由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得x＝8. ∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5. ∴PM＝ON，OP＝MN， ∴四边形PONM是平行四边形． 出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件9-12，探究平行四边形的判定定理2 教师问：怎么处理本课开头遗留的玻璃碎片问题呢？接下来跟着 老师一起解决吧！ 学生讨论后回答：使∠B=∠D，∠A=∠C即可 教师：我们一起来试一下 作图如下， 学生回答：这样看着与原来的一样了. 教师问：对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么? 学生回答：猜想两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 教师问：如何证明呢？ 学生回答：已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平 行四边形. 师生共同解答如下： 证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）, 又∵∠A+∠B+∠C+∠D =360 °, ∴ 2∠A+ 2∠B=360 °, 即∠A+ ∠B=180 °. ∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）. 同理可证AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行 四边形). 总结归纳：（出示课件13） 平行四边形的判定定理2: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.教师问：你能利用几何语言描述一下两对角相等判定四边形是平 行四边形吗？ 师生一起总结： 符号语言： ∵∠A=∠C，∠B=∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形. （两组对角分别相等的四边形是平行四边形） 考点1：利用平行四边形的判定定理2判定平行四边形 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝ 40°. (1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．（出示课件14） 学生独立思考后，师生共同解答. (1) 解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°， ∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°； (2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB. ∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°， 又∵∠D＝∠B＝55° ∴∠DCB＝∠DAB＝125°. ∴四边形ABCD是平行四边形． 出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正. 3.出示课件16-17，探究平行四边形的判定定理3 教师问：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，用小钉绞合在 一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD，转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？ 学生回答：是. 教师问：由此得到什么结论呢？ 学生回答：猜想对角线互相平分的四边形是平行四边形. 教师问：你能证明上边的问题吗？ 师生共同解答如下： 已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC， OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在△ADO 和△CBO中， OA=OC， ∠AOD=∠COB， OB=OD，∴△ADO ≌△CBO. ∴∠1=∠2. ∴AD∥BC. 同理AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 教师总结点拨：（出示课件18） 平行四边形的判定定理3: 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 教师问：你能利用几何语言描述一下判定定理3吗？ 师生总结： 几何语言： ∵OA=OC ， OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. （对角线互相平分的四边形是平 行四边形） 考点1：利用平行四边形的判定定理3判定平行四边形如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点， 并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形. （出示课件19） 学生独立思考后，师生共同解答. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO=CO,BO=DO. ∵AE=CF ， ∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF. 又∵BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形. 出示课件20，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件21-28）练习课件第21-28页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件29） 内 容 定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边 形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的 判定（1） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. （五）课前预习 预习下节课（18.1.2第2课时）的相关内容. 知道平行四边形的判定定理4. 七、课后作业 1、教材第47页练习第1,2题. 2、练习试卷册第66页第2、7题. 八、板书设计 平行四边形的判定 第1课时 1.平行四边形的判定:定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 考点1 （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 考点1 （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 考点1 2.例题讲解 九、教学反思 成功之处：达尔文说过:“最有价值的知识是关于方法的知识.” 本课围绕“方法比知识更重要”这一新的教学价值观,紧扣“方法” 二字进行突破.在教学过程中注重学习方法,思维方法和探索方法的 渗透.与此同时,关注学生的主体作用,通过激活学生的思维,促进师 生和生生之间的互动,达到提高学生能力的目的. 不足之处：没有兼顾到为不同认知基础的学生提供相应的学习机 会和适当帮助,特别在用不同方法进行证明时,没有顾及部分基础较差同学的接受能力,没有对不同的方法进行整理并板书过程,使一部 分学生没有跟上课堂的节奏,应设法让他们也能真正参与到学习中去. 补救措施：在例题选配上,应力求使几种判定方法更全面,适当增 设一些例题,能够应用到几个不同的判定方法. 18.1.2 平行四边形的判定 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法. 2.会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明. 【数学眼光】 在学生熟练掌握平行四边形的判定方法的基础上,通过定理、习 题的分析和证明,提高学生的逻辑思维能力,进一步掌握平行四边形 性质与判定之间的区别与联系. 【数学语言】1.通过平行四边形的性质与判定的应用,启迪学生的思维,提高分 析问题的能力. 2.培养学生的合情推理能力及严谨的书写表达,体会几何思维的 真正内涵. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共3课时 四、教学重难点 【教学重点】 平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据不同条件能正确 地选择判定方法. 【教学难点】 综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、小木棍等. 学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、小木棍、直尺.六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 取两根等长的木条AB,CD，将它们平行放置，再用两根木条 BC,AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？ 同学们,通过今天的学习你一定能回答出来. （二）探索新知 1.出示课件4-9，探究平行四边形的判定定理4 教师问：我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边 形. 请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满足 什么条件时这个四边形是平行四边形？ 师生讨论： 教师问：平行四边形的一组对边的条件有哪些？ 师生总结如下：平行四边形的一组对边的条件分为四种情况：① 一组对边平行；②一组对边相等；③一组对边平行，另一组对边相 等；④一组对边平行且相等. 教师问：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，请给出证明，如果不是，请举出反例说明. 学生答：小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不 是平行四边形. 教师问：满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 学生答：我们学习的等腰梯形的两腰相等，但不是平行四边形， 还有例如：如图1 ，这个四边形EFGH满足一组对边EF=HG相等的条 件，但它不是平行四边形. 教师问：如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行 四边形吗？ 学生回答：如图2，等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底）， 而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形．教师问：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．请你猜想， 这个命题成立吗？ 师生一起解答：我们在方格纸上利用手中的木棍，做一个满足一 组对边平行且相等的四边形，并判断所做的四边形是否是平行四边 形. 学生操作完成后回答：是平行四边形. 教师问：如何证明我们的猜想是否正确呢？ 学生回答：先把上述命题改写成已知、求证，并画出图形 已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.求证：四边形 ABCD是平行四边形. 教师问：请同学们思考如何证明呢？ 师生一起解答： 教师依次展示学生证明过程：学生1证明： 如图， 连接 AC. ∵AB //CD ， ∴∠1=∠2． 又 ∵AB =CD ，AC =CA ， ∴△ABC≌△CDA． ∴BC =DA ． ∴四边形ABCD是平行四边形． 学生2证明： 如图，连接 AC． ∵AB //CD ， ∴∠1=∠2 ． 又 ∵AB =CD ，AC =CA ，∴△ABC≌△CDA ． ∴∠BCA=∠DAC ． ∴AD //BC ． ∴四边形ABCD是平行四边形． 总结点拨：（出示课件10） 平行四边形的判定定理4： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 教师问：你能利用几何语言描述一下判定定理4吗？ 师生总结： 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵AB//CD，AB =CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 教师强调：同一组对边平行且相等. 考点1：直接利用平行四边形的判定定理4判定平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证： 四边形EBFD是平行四边形. （出示课件11） 师生共同讨论解答如下： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB =CD，EB //FD． 1 1 又 ∵EB = AB ，FD = CD， 2 2 ∴EB =FD ． ∴四边形EBFD是平行四边形． 出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：平行四边形的判定定理4和全等三角形判定平行四边形 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD 的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边 形．（出示课件13）学生独立思考后，师生共同解答. 证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD， 在△ACE和△DBF中， AC＝DB ,∠A＝∠D, AE＝DF , ∴△ACE≌△DBF(SAS). ∴CE=BF，∠ACE=∠DBF. ∴CE∥BF. ∴四边形BFCE是平行四边形． 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 考点3：平行四边形的性质和判定的综合题目 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE 相等吗？为什么？（出示课件15）学生独立思考后，师生共同解答. 解：BF＝CE．理由如下： ∵DF∥BC，EF∥AC， ∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE. ∴FD=CE. ∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD. ∴∠FBD=∠FDB. ∴BF=FD. ∴BF＝CE. 出示课件16，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件17-25） 练习课件第17-25页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结（出示课件26） 到现在为止,我们主要学习了哪些平行四边形的判定方法? 从边上看:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②两组对边分别相 等的四边形是平行四边形;③一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形. 从对角线上看: 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 从角上看: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （五）课前预习 预习下节课（17.1.2第3课时）的相关内容. 知道三角形中位线的定义及三角形中位线定理 七、课后作业 1、教材第47页练习第3,4题. 2、练习试卷册第98页第1、5、8题. 八、板书设计 平行四边形的判定 第2课时 1.平行四边形的判定定理4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 考点1 考点2 考点3 2.例题讲解 九、教学反思 成功之处：从已经学过的平行四边形的判定方法作为复习引入, 通过学生操作、验证,总结归纳新的平行四边形的判定方法.通过例 题与练习,深化判定定理的理解与应用,并通过“一题多解”提高学 生灵活应用判定方法的能力. 不足之处：没有兼顾到为不同认知基础的学生提供相应的学习机 会和适当帮助,特别在用不同方法进行证明时,没有顾及部分基础较 差同学的接受能力,没有对不同的方法进行整理并板书过程,使一部 分学生没有跟上课堂的节奏,应设法让他们也能真正参与到学习中去. 自我反思：在例题选配上,应力求使几种判定方法更全面,适当增 设一些例题,能够应用到几个不同的判定方法. 18.1.2 平行四边形的判定第3课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线定理. 2.能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算. 【数学眼光】 在灵活运用三角形中位线定理进行有关证明和计算的过程中,经 历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力. 【数学语言】 结合实际问题,进一步理解三角形中位线的概念及性质,培养创造 性思维. 二、课型 新授课 三、课时 第3课时 共3课时 四、教学重难点 【教学重点】掌握三角形中位线的性质. 【教学难点】 三角形中位线性质的证明. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别 找出线段AB,AC的中点D,E,若测出DE的长,就能求出池塘的宽BC, 你知道为什么吗? 我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等 性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某 些问题吧！ （二）探索新知1.出示课件4-7，探究三角形的中位线 教师问：什么叫三角形的中线？ 学生答：连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线. 教师问：每个三角形有几条中线？ 学生答： 3条中线. 教师问：三角形的中线有哪些性质？ 学生1回答：三角形的每一条中线把三角形的面积平分. 学生2回答：三角形的中线相交于同一点. 教师问：已知点D,E分别是AB,AC边的中点，则像线段DE具有 这种特点叫做中位线.你能试着说出中位线的定义吗？ 学生回答：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.总结点拨：（出示课件6） 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.则线段 DE就称为△ABC的中位线. 教师问：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有 的中位线吗？ 学生回答：有三条，如图，△ABC的中位线是DE，DF，EF.教师问：三角形的中位线与中线有什么区别？ 学生回答：中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一 个顶点和它的对边中点的线段. 教师问：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？ 学生回答：线段BC大于线段DE. 教师问：度量一下你手中的三角形，看看是怎样的结论？ 1 学生回答：BC=2DE,或DE= BC 2 教师问：线段DE与BC有怎样的位置关系？ 学生回答：感觉到DE∥BC 教师问：请猜想一下线段DE和BC的关系？ 学生共同讨论后回答：三角形的中位线（DE）平行于三角形的第 三边（BC）且等于第三边的一半． 教师问：如何证明你的猜想？ 分析过程见课件分析1: 分析2： 教师问：通过上边的分析，你能证明你的猜想吗？ 学生回答：如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点， 1 求证：DE∥BC，DE= BC. 2 师生一起解答： 教师依次展示学生解答过程： 学生1证明：延长DE到F，使EF=DE．连接FC． ∵∠AED=∠CEF，AE=CE， ∴△ADE≌△CFE. ∴∠ADE=∠F，AD=CF. ∴CF AD , ∴BD CF. ∴四边形BCFD是平行四边形. ∴DF BC . 1 又∵DE= DF ， 2 1 ∴ DE∥BC，DE= BC. 2 学生2证明： 证明：延长DE到F，使EF=DE．连接AF,CF ,DC． ∵AE=EC，DE=EF ，∴四边形ADCF是平行四边形． ∴CF AD . ∴CF BD . ∴四边形BCFD是平行四边形. ∴DF BC ． 1 又∵DE= DF ， 2 1 ∴ DE∥BC，DE= BC. 2 教师总结点拨：（出示课件13） 如图，D，E ，F分别是△ABC的三边的中点，那么，DE，DF，EF 都是△ABC的中位线. 1 DE∥BC且DE= BC; 2 1 同理:DF∥AC且DF= AC; 2 1 EF∥AB且EF= AB. 2 总结归纳：（出示课件14）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 教师问：你能利用几何语言描述一下三角形中位线定理吗？ 师生总结： 符号语言： ∵DE是△ABC的中位线， （ ∵AD=BD, AE=CE ) 1 ∴DE∥BC且DE= BC. 2 注：这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据. 总结点拨：（出示课件15） ①中位线DE,EF,DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边 的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE， 四边形ADFE和DFCE.②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的 周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一. 考点1：利用中位线定理求线段 如图，在△ABC中，D,E分别为AC,BC的中点，AF平分∠CAB，交 DE于点F.若DF＝3，求AC的长.（出示课件16） 师生共同讨论解答如下： 解：∵D,E分别为AC,BC的中点， ∴DE∥AB，∴∠2＝∠3. 又∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3.∴∠1＝∠2. ∴AD＝DF＝3.∴AC＝2AD＝2DF＝6. 出示课件17-18，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用三角形的中位线判断平行四边形 如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，点O是△ABC内部任 意一点，连接OB,OC，点G,F分别是OB,OC的中点，顺次连接点 D,G,F,E.求证：四边形DGFE是平行四边形.（出示课件19） 学生独立思考后，师生共同解答. 证明： 在△ABC中， ∵AD=BD,AE=CE, 1 ∴DE BC. 2在△OBC中， ∵OG=BG,OF=CF, 1 ∴GF BC. 2 ∴DE GF. ∴四边形DGFE是平行四边形. 出示课件20，学生自主练习后口答，教师订正. 考点3：利用三角形的中位线求角度 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的 中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 学生独立思考后，师生共同解答. 解： ∵M,N,P分别是AD,BC,BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线. 1 1 ∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC. 2 2∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形. ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°. ∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°. ∴∠PMN=(180°−130°)÷2=25°． 出示课件22，学生自主练习，教师给出答案。 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件23-30） 练习课件第23-30页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件31） 师生共同归纳本节课所学知识: 三角形的中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形 的中位线.两层含义:如图,①∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE为△ABC的中 位线;②∵DE为△ABC的中位线,∴D,E分别为AB,AC的中点. 三角形中位线的性质: 三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半. 特点:在一个题设下,有两个结论.一个表示位置关系,另一个表示 数量关系. 结论:有两个,一个表明中位线与第三边的位置关系,另一个表明 中位线与第三边的数量关系. 三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边并且等于第 三边的一半. ∵D,E分别是AB,AC的中点, ∴DE∥BC,DE=BC. 作用:在已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍 分关系. （五）课前预习 预习下节课（18.2.1第1课时）的相关内容. 知道矩形的定义和矩形的性质及直角三角形的性质七、课后作业 1、教材第49页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第66页第3、6题. 八、板书设计 平行四边形的判定 第3课时 1.三角形的中位线的定义 2.三角形的中位线的性质 考点1 考点2 考点3 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应 的核心素养目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学 生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过 程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的. 整节课以“创设情境—合作探究—猜想验证—结论总结—实践应 用”为主线,使学生亲身体验中位线的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向合作探究式课堂转变. 不足之处：在教学过程中,高估了学生证明中位线定理的能力,主 要困难在于一些学生不能对图形进行正确添加辅助线,特别是用多种 方法证明中位线定理时,处理有些仓促,有部分学生跟不上节奏. 补救措施：在例题选配上,还需要进一步突破应用中位线定理时 如何添加辅助线这一难点.适当增加学生探究的时间,通过独立思考, 合作探究,引导学生分析证明思路,正确完成证明过程. 18.2 .1 矩形 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.认识矩形,理解并运用矩形的性质定理计算或证明. 2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,会用它解决求 线段长或线段倍分关系的问题. 【数学眼光】 让学生经历探索矩形的性质定理和判定定理、直角三角形性质的过程,进一步获得对图形的探索、猜测和证明的经验,发展推理能力. 【数学语言】 1.通过探究矩形与平行四边形的区别与联系,使学生体会一般与 特殊的关系. 2.通过课堂活动培养学生观察、归纳、猜想、证明的探索精神和 实践能力,发展学生的合情推理能力,进一步培养学生的逻辑思维能 力、推理论证能力及表达能力. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 矩形性质定理的运用. 【教学难点】 利用矩形的性质定理进行证明和计算. 五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本、直尺、量角器、橡皮擦、课本、 铅笔盒. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？ 教师拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,不管怎么拉, 它还是一个平行四边形吗?为什么?(演示拉动过程如图所示) 再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止, 让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形),引出本课题. （二）探索新知 1.出示课件4-6，探究矩形的定义 教师问：我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四 边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究 一种特殊的平行四边形—— 矩形。 教师问：矩形是怎么形成的呢? 课件演示过程 教师问：教师拿教具边做边讲解.改变∠B的大小,平行四边形 ABCD的形状随之发生改变.当平行四边形ABCD的一个角为直角时,这 时的图形是矩形.提问:矩形是平行四边形吗? 学生答：矩形是平行四边形. 教师问：矩形是特殊的平行四边形,哪儿特殊? 学生答：有一个角是直角. 教师问：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形. 矩形是我们生活中最常见的图形之一,你能举出一些例子吗? 学生回答：如:教室的黑板,门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等. 总结点拨：（出示课件6） 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形是特殊的平行四边形 2.出示课件7-12，探究矩形的性质 教师问：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质， 你能说一说矩形的一般性质吗？ 师生总结如下：具备平行四边形所有的性质.教师问：矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的 所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ 学生回答：对角线看着相等，角是直角. 教师问：请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌, 铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数, 并记录测量结果. 学生操作并且填写下表： B测量D C D ∠BAD ∠ADC ∠ABC ∠BCD 物体 橡皮擦 课本 桌子 教师问：根据测量的结果,你有什么猜想？ 学生1回答：矩形的四个角都是直角. 学生2回答：矩形的对角线相等.教师问：怎么证明猜想1呢？ 师生一起解答： 求证：矩形的四个角都是直角． 已知：如图所示，四边形ABCD是矩形. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠A=90°. 又∵ 矩形ABCD是平行四边形, ∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D,∠A +∠B = 180°. ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°, 即矩形的四个角都是直角. 教师问：猜想2又怎么证明呢？ 师生一起解答： 求证:矩形的对角线相等 已知：如图,四边形ABCD是矩形. 求证：AC = BD.证明：在矩形ABCD中, ∵∠ABC = ∠DCB = 90°, 又∵AB = DC ， BC = CB, ∴△ABC≌△DCB (SAS). ∴AC = BD, 即矩形的对角线相等. 总结点拨：（出示课件13） 矩形特殊的性质: 从角上看：矩形的四个角都是直角． 从对角线上看： 矩形的两条对角线相等． 归纳总结：（出示课件14） 矩形的性质： 边：矩形的两组对边分别平行；矩形的两组对边分别相等.角：矩形的四个角都是直角 对角线：矩形的两条对角线相等；矩形的两条对角线互相平分. 数学语言： ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC，CD∥AB. ∴AD=BC，CD=AB. ∴AC=BD. ∴AO=CO，OD=OB. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 考点1：利用矩形的性质求线段的长 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点 O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.（出示课件15）师生共同讨论解答如下： 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD， 1 1 OA=OC= AC,OB=OD= BD , 2 2 ∴OA=OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形. ∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8. 总结点拨：矩形的对角线相等且互相平分. 出示课件16，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用矩形的性质解答折叠问题 将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重 合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长.（出示课件17） 学生独立思考后，师生共同解答.解：矩形纸片ABCD中，∠DAB=90°，AD=BC, AB=CD，BD= √AB2+BC2=√62+82=10. 又∵△ADG沿DG折叠得到△A′DG, ∴△ADG≌△ A′DG. ∴AD=A′D, AG=A′G，A′B=AB-A′D=10-6=4， 设AG=x，则BG=AB-AG=8-x， 在Rt△GA′B中，由勾股定理得,A′B2+A′G2=BG2 ∴x2+42=(8-x)2 解得x=3. ∴ AG=3. 总结点拨：（出示课件17） 在矩形中，常遇到折叠问题，利用勾股定理列方程是解决问题的 基本方法. 出示课件18，学生自主练习后口答，教师订正. 3.出示课件19-23，探究矩形的对称性及相关性质 教师问：矩形ABCD是轴对称图形吗？ 学生回答：是轴对称图形. 教师问：矩形ABCD的对称轴有几条？学生回答：有2条. 教师问：矩形是中心对称图形吗？ 学生回答：是. 教师问：矩形的对称中心是什么？ 学生回答：它的对角线的交点. 总结点拨：（出示课件19） 矩形的性质： 对称性：轴对称图形. 对称轴：2条. 中心对称：中心对称图形.对称中心：对角线的交点. 归纳总结：（出示课件20） 边 角 对角线 对称性 对角相等 平行四边形 对边平行且相等 对角线互相平分 中心对称图形 邻角互补 中心对称图形 四个角 为 矩形 对边平行且相等 对角线互相平分且相等 直角 轴对称图形教师问：你在矩形中还发现了哪些基本图形？ 学生回答：两对全等的等腰三角形. 教师问：还有哪些性质呢？ 学生回答：四个全等的直角三角形. 4.出示课件23，探究直角三角形的性质 教师问：如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到 什么结论？ 学生回答：得到一个直角三角形. 教师问：Rt△ABC中，点O是线段AC上的什么点呢？ 学生回答：点O是线段AC的中点. 教师问：Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？ 学生回答：BO是△ABC的一条中线. 教师问：BO的长度与斜边AC有什么关系？学生回答：猜想BO的长度等于斜边AC长度的一半. 教师问：你能证明你的猜想吗？ 师生共同解答如下： 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: 1 BO= AC. 2 证明:延长BO至D, 使OD=BO,连接AD,DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， 1 1 ∴BO= BD= AC. 2 2总结点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 考点1：利用直角三角形的性质解答题目 如图，在△ABC中，AD是高，E,F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（出示课件25） (2)求证：EF垂直平分AD.（出示课件26） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）∵AD是△ABC的高，E,F分别是AB,AC的中点， 1 1 ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， 2 2 1 1 DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4. 2 2 ∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18； （2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E,F在线段AD的垂直平分线上. ∴EF垂直平分AD. 师生共同归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 出示课件27，学生自主练习，教师给出答案。 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件28-34） 练习课件第28-34页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件35） 内 容 矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 1.具有平行四边形的一切性质； 2.四个内角都是直角，两条对角线互相平分且相 矩形的性质 等 3.具有2条对称轴的轴对称图形 直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 的性质 （五）课前预习 预习下节课（18.2.1第2课时）的相关内容. 知道矩形的判定定理1和判定定理2. 七、课后作业 1、教材第53页练习第1,2,3题.2、练习试卷册第73页第1、2、4题. 八、板书设计 矩形 第1课时 1.矩形的定义 2.矩形的性质 考点1 考点2 3.矩形的对称性及相关性质 4.直角三角形性质 考点1 5.考点讲解 九、教学反思 成功之处：本节课内容是矩形的性质,本课按矩形的定义——矩 形的性质(一般性质和特殊性质)——矩形性质与平行四边形性质的 比较的流程进行讲解.整节课目标明确,让学生清楚地意识到这节课 需要掌握的知识;内容比较流畅,知识点很自然地串联在一起;课堂目 标完成良好,学生的反应力和做题的正确率都比较好.不足之处：知识的掌握需要有一个内化的过程,不可能一蹴而就, 由于课堂时间有限,加上学生个体的差异,有部分学生不能灵活运用 所学来解决相关的问题. 补救措施：在教学方案的实施上,要想方设法调动学生学习的积 极性,尽量发挥学生的主体作用,团队作用. 18.2.1 矩形 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解并掌握矩形的判定方法. 2.使学生能应用矩形的定义、判定等知识,解决简单的证明题和 计算题,进一步培养学生的分析能力. 【数学眼光】1.从矩形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出 证明,进一步理解互逆命题的意义,体会矩形的性质与判定的区别与 联系. 2.让学生经历探索矩形判定定理的过程,理解并掌握矩形的判定 方法,积累几何学习的经验,发展合情推理和演绎推理的能力. 【数学语言】 在课堂活动中,通过观察、思考、猜想、证明,培养学生主动参与、 乐于探究、勤于动手的学习习惯. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定 定理. 【教学难点】能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外 出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式 的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形. 你能想一个办法确定谁做的门是矩形吗？ （二）探索新知 1.出示课件4-7，探究矩形的判定定理1教师问：小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．请你利用 直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗？ 学生答：可以利用矩形的定义进行判定，先测量两组对边是否相 等，再测量角是否为直角. 教师问：除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？ 师生一起解答：矩形是特殊的平行四边形，有平行四边形的判定 方法，类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 教师问：你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并 进行证明的吗？ 学生答： 教师问：同样，你能通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形 的方法呢？学生回答：猜想对角线相等的四边形是矩形． 教师问：上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来， 同学们猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？请同学们讨 论一下！ 学生1回答：不对，等腰梯形的对角线也相等. 学生2回答：矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相 等且平分. 学生3回答：猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 教师问：你能证明这一猜想吗？ 师生一起解答： 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：平行四边形ABCD中，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明: ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB=DC.又∵ AC=DB，BC=CB, ∴ △ABC≌ △DCB（SSS）. ∴ ∠ABC=∠DCB. ∵ AB//CD , ∴ ∠ABC+∠DCB=180°. ∴ ∠ABC=∠DCB=90°. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是矩形. 总结点拨：（出示课件8） 矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形 . （对角线相等且互相平分的四边形是矩形.） 教师问：你能利用几何语言描述一下矩形的判定定理吗？ 师生总结如下： 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，（或OA=OC=OB=OD） ∴四边形ABCD是矩形. 考点1：利用对角线判定矩形 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD， ∠OAD=50°．求∠OAB的度数．（出示课件9） 师生共同讨论解答如下： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， 1 1 ∴OA=OC= AC. OB=OD= BD. 2 2 又∵OA=OD，∴AC=BD. ∴四边形ABCD是矩形. ∴∠BAD=90°. 又∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=40°. 出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件11-12，探究矩形的判定定理2教师问：前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角， 它的逆命题是什么？ 学生回答：逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 教师问：这个逆命题成立吗？ 学生回答：成立. 教师问：有一个角是直角的四边形是矩形吗？ 学生1回答：不是，如下图： （有一个角是直角） 教师问：有两个角是直角的四边形是矩形吗？ 学生2回答：不是矩形，例如直角梯形.如图 （有二个角是直角） 教师问：有三个角是直角的四边形是矩形吗？学生回答：有三个角是直角的四边形是矩形.如图： （有三个角是直角） 教师问：四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？ 学生回答：四边形至少有三个角是直角就是矩形。 教师问：某同学由“边——直角、边——直角、边——直角、 边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判 断对吗？为什么？ 学生回答：猜想有三个角是直角的四边形是矩形 . 教师问：你能证明上述结论吗？ 师生一起解答：已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形 ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC , AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 总结点拨：（出示课件14） 矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形. 教师问：你能利用几何语言描述一下矩形的判定定理吗？ 师生总结： 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形. 教师问：到现在为止，如何证明一个四边形是矩形呢？ 归纳总结：（出示课件15） 矩形的几种判定方法: 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形 . （对角线相等且互相平分的四边形是矩形.） 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形 . 考点1：利用角判断四边形是矩形 如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线 MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点 F. (1)求证:OE=OF.(2)当O运动到何处时, 四边形AECF为矩形? （出示课件16） 学生独立思考后，师生共同解答. 证明：（1）∵CF平分∠ACD， ∴∠1=∠2. 又∵ MN∥BC， ∴∠1=∠3. ∴ ∠2=∠3. ∴OC=OF. 同理可证：OC=OE. ∴OE=OF. （2）答：当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形. 理由：由（1）知OE=OF,又AO=CO, ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵EC, FC分别平分∠ACB ,∠ACD, ∴∠2+∠4=90°,即∠ECF=90°. ∴四边形 AECF是矩形. 出示课件18，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件19-27） 练习课件第19-27页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件28） 内 容 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 判定定理： 矩形的判定 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. （五）课前预习 预习下节课（18.2.2第1课时）的相关内容.知道菱形的定义和菱形的性质 七、课后作业 1、教材第55页练习第1,2题. 2、练习试卷册第73-74页第3、5、10题. 八、板书设计 矩形 第2课时 1.矩形的判定: 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. （1）对角线相等的平行四边形是矩形. 考点1 （2）有三个角是直角的四边形是矩形. 考点1 2.例题讲解 九、教学反思 成功之处：在课堂教学中,学生学习的积极性的高低,对课堂教学 效率的高低有决定性的作用.因此教师不仅要在备课上下工夫,还要在课堂上特别关注学生对数学活动的参与程度,要将自己对学生的殷 切期望,用恰到好处的激励评价表达出来,让学生把他们的聪明才智 充分地发挥出来,并享受学习中的乐趣. 补救措施：矩形的判定定理学生基本掌握,但综合运用时,仍有困 难,要注意加强训练,促进能力的提升. 自我反思：对于数学中的问题,教师不必有问必答.要做到三个 “不”:学生能自己说出来的,教师不说;学生能自己学会的,教师不 讲;学生能自己做到的,教师不教.尽可能地提供多种机会让学生去理 解、感悟、体验,从而提高学生的数学认识,促进学生数学水平的提 高. 18.2.2 菱形 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解菱形的定义,掌握菱形的特殊性质.2.能运用菱形的性质定理计算或证明,能根据菱形的性质解决简 单的实际问题. 3.会利用对角线的长求菱形的面积. 【数学眼光】 1.经历菱形的性质定理的探究、证明过程,丰富学生的数学活动 经验和体验,进一步培养和发展学生的合情推理能力和表达能力. 2.通过菱形的性质定理以及相关问题的证明和计算,进一步培养 和发展学生的演绎推理能力. 【数学语言】 1.由菱形的定义,能从数学的角度去探究菱形的特殊性质,并能运 用菱形的性质进行有关的证明和计算,发展应用意识. 2.在应用菱形性质的过程中培养学生独立思考的习惯,在数学学 习活动中获得成功的体验,通过菱形性质的探究学习,体会它的内在 美和应用美. 二、课型 新授课三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 菱形性质定理的运用. 【教学难点】 菱形性质定理的理解及灵活应用. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、菱形教具等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3） 观看课件中的图片，看看有什么熟悉的图形？ 如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等时,这又是一类特 殊的平行四边形——菱形.那么什么样的图形是菱形?为什么说菱形是特殊的平行四边形?菱形具有怎样的性质?这些就是我们这节课要 解决的问题. （二）探索新知 1.出示课件5-7，探究菱形的定义 教师问：前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四 边形有一个角是直角时,成为什么图形? 学生答：矩形. 教师问：矩形是平行四边形由角变化得到，如果从边的角度,将 平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么 呢? 学生答：菱形. 教师问：在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长 度，得到一个特殊的平行四边形——菱形，你能说出菱形的定义吗？师生一起解答：有一组邻边相等的平行四边形 总结点拨：（出示课件7） 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 教师问：如何利用几何语言描述菱形的定义呢？ 学生回答：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 教师总结如下： 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形， AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 出示课件8-9，学生欣赏图形，体会菱形在生活中的应用. 2.出示课件10-12，探究菱形边的性质教师问：如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱 形的纸片？ 学生回答：可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后 沿图中的虚线剪下，打开即可. 教师问：你知道这样做其中的道理吗？ 画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题：菱 形的四条边在数量上有什么关系? 学生回答：看到菱形的四条边都相等. 教师问：由此你得到什么猜想？ 学生回答：猜想菱形的四条边都相等. 教师问：如何证明我们的猜想是否正确呢？师生共同解答如下： 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相 交于点O. 求证:AB=BC=CD=AD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. 总结点拨：（出示课件13） 菱形的性质：菱形的四条边都相等. 教师问：你能利用几何语言描述一下菱形的性质吗？ 师生总结： 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD. 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 3.出示课件15-17，探究菱形对角线的性质 教师问：请同学们完成下面的操作： 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开 即得一个菱形. 学生完成操作：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的 图形(如图）. 教师问：同学们，根据你的操作，回答以下问题: 菱形是轴对称图形吗? 学生回答：是轴对称图形.教师问：请指出菱形的对称轴，并说明它有几条对称轴？ 学生回答：两条对角线所在直线都是它的对称轴.它有两条对称 轴. 教师问：根据上面折叠过程，菱形的两条对角线有什么关系? 师生猜想:菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分 一组对角. 教师问：如何证明我们的猜想是否正确呢？ 师生一起解答如下： 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相 交于点O.求证:AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：∵AB=AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB=OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 总结点拨：（出示课件18） 菱形的性质： 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 教师问：如何利用几何语言描述菱形的性质呢？ 师生总结如下： 符号语言: ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD ; AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC. 教师问：请同学们完成下面的表格，熟记平行四边形、矩形、菱 形的性质： 平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质 对边相等 对角相等 对角线互相平分 教师总结归纳：（出示课件19） 平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质 对边相等 对边相等 四边相等 对角相等 四个角都是直角 对角相等 对角线互相平分 对角线互相平分且 两条对角线互相垂直平 相等 分，并且每一条对角线 平分一组对角 考点1：利用菱形的性质求线段的长 如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，BD＝12cm，AC ＝6cm，求菱形的周长．（出示课件20）师生共同讨论解答如下： 解：∵四边形ABCD是菱形， 1 1 ∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD. 2 2 ∵AC＝6cm，BD＝12cm， ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理,得 AB=√AO2+BO2=√32+62=3√5（cm） ∴菱形的周长＝4AB＝4×3√5 ＝12√5 (cm)． 出示课件21，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用菱形的性质求证线段相等 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且 ∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. （出示课件22）学生独立思考后，师生共同解答. 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB . ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB. ∴∠ABC=∠DAE. ∵∠DAE＝2∠BAE， ∴∠BAE＝∠ADB. 又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA . ∴AO＝BE . 出示课件23，学生自主练习后口答，教师订正. 4.出示课件24-25，探究菱形的面积 教师问：菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面 积公式计算菱形的面积呢? 学生回答：菱形的面积等于底乘以高，如图所示：S =BC×AE. 菱形 教师问：计算菱形的面积除了上式方法外,能利用对角线计算菱 形的面积吗? 师生一起解答： 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线 表示出菱形ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD. ∴S =S +S 菱形ABCD △ABC △ADC 1 1 = AC·BO+ AC·DO 2 2 1 = AC(BO+DO) 2 1 = AC·BD. 2 总结点拨：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半考点3：利用菱形的面积公式解答问题 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的 对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结 果分别精确到0.01m和0.1m2）.（出示课件26） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：∵花坛ABCD是菱形， 1 ∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC=30°. 2 1 在Rt△OAB中，AO= AB=10m， 2 BO=√AB2-AO2=√202-102=10√3（m）. AC=2AO=20cm，BD=2BO=20√3≈34.64（m） 1 ∴S =4×S = AC×BD=200√3≈346.4（m2） 菱形ABCD △OAB 2 出示课件27，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧.（三）课堂练习（出示课件28-35） 练习课件第28-35页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件36） 在学生归纳小结的基础上,教师补充. 1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质: (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质. (2)菱形的四条边都相等,菱形的两条对角线互相垂直,并且每 一条对角线平分一组对角. (3)菱形是轴对称图形,有两条对称轴. 3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,也可利用平行四边 形的面积公式求菱形的面积. （五）课前预习 预习下节课（18.2.2第2课时）的相关内容. 知道菱形的判定定理1和判定定理2 七、课后作业 1、教材第57页练习第1,2题.2、练习试卷册第81-82页第2、3、11题. 八、板书设计 菱形 第1课时 1.菱形的定义 2.菱形的性质 3.菱形对角线的性质 考点1 考点2 4.菱形的面积 5.例题讲解 考点1 九、教学反思 成功之处：培养灵活思维的同时注意解题“通法”这一不变因素, 强化学生用解直角三角形的方法解决几何计算问题,用解特殊直角三 角形的方法解决特殊菱形问题. 不足之处： 1.对学生的情况个人估计过高.本节课设计的内容较多,知识点较复杂,导致预设的内容在本节课没有圆满完成,需要在课后进一步学 习.涉及二次根式的计算、化简时,有的学生容易出错. 2.在合作交流的过程中,学生画图,写出已知和求证,再写出证明 过程,这样很浪费时间,为了使课堂的容量增加.今后多采用让学生口 述的方式.这样不仅节省了时间,也锻炼了学生的语言表达能力,就可 以节省出时间多做练习. 18.2.2 菱形 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和 计算. 2.了解菱形的现实应用和常用判别条件. 【数学眼光】1.从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出 证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与 联系. 2.让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定 方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合 情推理和演绎推理能力. 【数学语言】 1.让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习 习惯. 2.通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法 的作用. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点【教学重点】 菱形的定义和判定定理的运用. 【教学难点】 探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 通过课件所列框架图，回顾学过菱形的有关知识点。 教师提出问题：怎样判断一个四边形是菱形呢？ （二）探索新知 1.出示课件4-6，探究菱形的判定定理1 教师问：根据菱形的定义,你能得到菱形的一个判定方法吗？ 学生答：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 教师问：你能说一下证明过程吗？ 学生答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴四边形ABCD是菱形. 教师问：你还有其他的方法判定一个四边形是菱形吗? 学生讨论后回答：定义是从边考虑的，可以试着从对角线和角进 行探究. 教师问：用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉, 做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转 动木条,这个四边形什么时候变成菱形?（课件演示过程） 学生回答：猜想对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 教师问：你能证明上边的猜想吗？试着写出已知、求证学生答： 已知：在□ABCD中，AC ⊥ BD.求证：□ABCD是菱形. 师生一起证明： ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BA=BC. ∴平行四边形ABCD是菱形. 总结归纳：（出示课件7） 菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 教师问：你能利用几何语言描述一下菱形的判定定理1吗？ 学生回答： 几何语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. 考点1：利用对角线判定菱形 如图，□ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4， BO=3.求证：四边形ABCD是菱形.（出示课件8） 师生共同讨论解答如下： 证明：∵ OA=4,OB=3,AB=5， ∴ AB2=OA2+OB2. ∴△AOB是直角三角形，即AC⊥BD. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. 出示课件9，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件10-11，探究菱形的判定定理2 教师问：李芳同学先画两条等长的线段AB , AD，然后分别以 B，D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC，CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？ 学生回答：这个四边形是菱形. 教师问：这个四边形满足的什么条件得到菱形呢？ 学生回答：猜想四条边都相等的四边形是菱形. 教师问：你能证明上边的命题并用几何语言描述吗？ 学生回答：已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四 边形ABCD是菱形. 教师问：请同学们想一想，证明上边的命题。 学生回答： 证明：∵AB=BC=CD=AD, ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. 总结点拨：（出示课件12） 菱形的判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形. 教师问：你能利用几何语言描述一下菱形的判定定理2吗？ 学生回答： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. 教师总结如下： 几何语言： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. 总结归纳：（出示课件13） 菱形的判定：文字语言 图形语言 符号语言 考 ∵在□ABCD中AB=AD 一组邻边相等的平 判定方法1 ∴四边形ABCD是菱形 行四边形是菱形 点 ∵在□ABCD中AC⊥BD 对角线互相垂直的 判定方法2 ∴四边形ABCD是菱形 平行四边形是菱形 1 ： 四边相等的四边形 ∵AB=BC=CD=DA 判定方法3 是菱形 ∴四边形ABCD是菱形 利 用边相等判断四边形是菱形 如图所示，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求 证：四边形EFGH是菱形.（出示课件14） 学生独立思考后，师生共同解答. 证明：连接AC , BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∵点E , F , G , H为各边中点， 1 1 ∴EF=GH= BD,FG=EH= AC 2 2∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正. 3.探究菱形性质和判定的综合应用 如图，在△ABC中，D , E分别是AB , AC的中点，BE＝2DE，延 长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．（出示课件 16-17） 学生独立思考后，师生共同解答. 学生1证明： （1）证明：∵D , E分别是AB , AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC. ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形； 学生2解答： (2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°. ∴△EBC是等边三角形. 过点E作EH⊥BC, 则HE=√42-22=√12=2√3, ∴菱形的边长为4，高为2√3， ∴菱形的面积为4×2√3=8√3. 总结点拨：（出示课件18） 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以 证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或 对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 出示课件19，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件20-25）练习课件第20-25页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件26） 内 容 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定定理： 菱形的判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四边相等的四边形是菱形. 运用定理进行计算和证明 （五）课前预习 预习下节课（18.2.3第1课时）的相关内容. 知道正方形的定义和正方形的性质. 七、课后作业 1、教材第58页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第81-82页第1、4、10题. 八、板书设计 菱形 第2课时 1.判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 考点1 2.判定定理2：四条边相等的四边形是菱形.考点1 3.菱形性质和判定的综合运用 4.例题讲解 九、教学反思 成功之处： 1.本教案设计重点突出,设计合理,符合学生的心理接受能力. 2.本教案重点突出了学生的探究新知的过程,让学生在观察、实 验、猜测、计算、推理、验证等活动过程中,真正理解和掌握基本的 数学数学思维、数学思想和方法,积累数学活动经验. 补救措施：菱形的判定定理学生基本掌握,但综合运用时,仍有困 难,还需要一定的训练. 自我反思：“自主探索,合作交流”的学习方式,有助于学生思维 能力的培养,今后的教学中,仍要注意学生学习方式的培养,重视学生 学习的全过程,让学生真正成为课堂的主人,学习的主人. 18.2 .3 正方形 第1课时 一、核心素养目标【数学思维】 1.理解并运用正方形的定义计算和证明. 2.理解并运用正方形的性质进行计算和证明. 3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一 般与特殊的关系. 【数学眼光】 经历正方形的定义及其性质定理的探究过程,丰富认识图形的经 验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力. 【数学语言】 让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的 思想和方法来思考和分析问题的习惯. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】正方形的定义和性质定理的应用 【教学难点】 正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？ 怎样研究这类图形？想一想我们是怎样研究矩形和菱形的. （二）探索新知 1.出示课件4-19，探究正方形的定义 学生观看正方形课件演示过程教师问：两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD（如下图所示） 图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？ 学生答：这个图形始终是矩形. 教师问：当CD移动到C＇D＇位置，此时AD＇＝AB，四边形ABCD 还是矩形吗？ 学生答：是矩形，但此时边长相等了，是特殊的矩形——正方形. 教师问：矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢? 学生回答：矩形一组邻边相等时变成正方形.教师问：菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢? 学生回答：菱形有一个角是直角时变成正方形. 教师总结点拨：（出示课件20） 教师问：如何来给正方形下定义？ 学生回答：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫 正方形. 2.出示课件21-23，探究正方形的性质 教师问：请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考. 正方形是不是轴对称图形?学生回答：是轴对称图形. 教师问：有几条对称轴呢? 学生回答：有4条对称轴. 教师问：请你说出平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性吗？ 学生1回答：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称 中心. 学生2回答：矩形即是中心对称图形，又是轴对称图形，对角线 的交点是对称中心，有两条对称轴. 学生3回答：菱形即是中心对称图形，又是轴对称图形，对角线 的交点是对称中心，有两条对称轴. 学生4回答：正方形即是中心对称图形，又是轴对称图形，对角 线的交点是对称中心，有四条对称轴. 教师总结点拨：（出示课件22）平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性 中心对称图形（对角线的交点） 即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条） 即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条） 即是中心对称图形，又是轴对称图形（四条） 教师问：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有怎样的关系？ 师生一起解答：（课件演示过程图） （1）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：（2）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 教师问：正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊 的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.正方形的边有哪些性 质？ 学生回答：对边平行且相等，四条边相等. 教师问：正方形的角有哪些性质？ 学生回答：正方形的四个角都是直角，对角相等，邻角互补. 教师问：正方形的对角线有哪些性质？ 学生回答：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 总结归纳： 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 教师问：试着证明正方形的性质：“正方形的四个角都是直角, 四条边相等.”。 师生一起解答： 已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边都相 等,四个角都是直角. 证明： ∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=BC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD.教师问：试证明正方形的性质：“正方形的对角线相等且互相垂 直平分.” 师生一起解答： 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求 证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 考点1：利用正方形的性质求线段相等 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直 角三角形. 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.求 证:△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.（出示课件27） 师生共同讨论解答如下： 证明: ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO≌△CDO≌△DAO. 出示课件28，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用正方形的性质求角度 如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD＝ ∠EDA＝15°.（出示课件29） 学生独立思考后，师生共同解答.证明：∵ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°， ∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 出示课件30，学生自主练习后口答，教师订正. 考点3：利用正方形的性质证明线段相等 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG.（出示课件 31） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD. 又∵四边形DEFG也是正方形, ∴DE=DG. 又∵正方形的每个内角为90°, ∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC， ∴∠ADE＝∠CDG. ∴△AED≌△CGD(SAS). ∴AE=CG. 出示课件32，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件33-39） 练习课件第33-39页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件40） 内 容 定义：有一组邻相等，并且有一个角 是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形的性质 性质：1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 （五）课前预习 预习下节课（18.2.3第2课时）的相关内容. 知道正方形的判定方法. 七、课后作业 1、教材第62页习题18.2第15,17题. 2、练习试卷册第88页第1、4、7题. 八、板书设计 18.2.3 正方形 第1课时 1.正方形的定义 2.正方形的性质 考点1 考点2 考点3 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：通过本节课的教学活动,学生进一步认识了正方形,基 本掌握了正方形的定义和性质,并能运用所学的知识解决一些问题.不足之处：由于课堂时间有限,加上学生个体的差异,学生不能灵 活运用所学来解决相关的问题. 自我反思：在课堂教学中,要注意发挥学生的主体作用,团队作用, 让学生通过独立思考,合作交流等方式,积极参与到课堂的教学活动 中,真正做课堂的主人,学习的主人. 18.2.3 正方形 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解并运用正方形的定义进行证明. 2.理解并运用正方形的判定进行计算和证明. 3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一 般与特殊的关系. 【数学眼光】 经历正方形的定义及其判定定理的探究过程,丰富认识图形的经 验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力. 【数学语言】让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的 思想和方法来思考和分析问题的习惯. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间 的联系和区别. 【教学难点】 会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算. 五、 课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2）宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见 售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁 还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重 合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为 宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？ （二）探索新知 1.出示课件4-7，探究正方形的判定教师问：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱 形框架的形状.量量看是不是正方形呢？ 学生答：是正方形. 教师问：菱形满足怎样的条件是正方形？ 学生1答：当菱形有一个角是直角时是正方形. 学生2答：当菱形的对角线相等时是正方形. 教师问：你能证明：“对角线相等的菱形是正方形.”吗？ 学生回答：写出已知、求证，画出图形，并且证明. 师生一起解答： 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 教师问：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠 部分得到是一个正方形吗？ 学生回答：是一个正方形. 教师问：你能验证得到的四边形是正方形吗？ 学生回答：可量一量四条边是否都相等，角是不是直角，加以验 证. 教师问：矩形的边满足怎样的条件是正方形？ 学生回答：有一组邻边相等的矩形是正方形. 教师问：矩形的对角线满足怎样的条件是正方形？学生回答：对角线互相垂直的矩形是正方形. 教师总结归纳： 教师问：你能把命题“对角线互相垂直的矩形是正方形.”用几 何语言描述吗？ 学生回答： 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.求证：矩形ABCD是正方形. 教师问：你能证明上边的问题吗？ 学生回答： 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB, ∴AD=AB=BC=CD, ∴矩形ABCD是正方形. 总结点拨：（出示课件8） 正方形常见的判定方法：先证明是矩形再证明是菱形或先证明是 菱形再证明是矩形.（观看课件演示过程） 总结归纳：（出示课件9） 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 考点1：由矩形到正方形的识别已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于 E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．（出示课件10） C E F A B D 师生共同讨论解答如下： 证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F, ∴∠DEC=90°，∠DFC=90°， ∴四边形CFDE有三个直角， 它是矩形. 又∵CD平分∠ACB, ∴DE=DF. ∴四边形CFDE是正方形. 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：由菱形到正方形的识别如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证： 四边形EFGH是正方形. 学生独立思考后，师生共同解答. 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO, ∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形. 出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件15-24） 练习课件第15-24页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件25） （五）课前预习 预习下节课（19.1.1第1课时）的相关内容. 知道常量、变量的定义 七、课后作业 1、教材第59-60页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第88-89页第6、9题.八、板书设计 正方形 第2课时 1．正方形的判定方法： 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形． 一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形； 考点1 考点2 2.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过 实践活动调动学生的积极性，给学生动手操作的机会，变被动为主 动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程， 以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习 习惯． 不足之处：对于正方形的判定，用到了前面平行四边形、矩形、 菱形的性质和判定，教学中应该培养学生的读图能力，逐渐养成数形结合解决问题的习惯，在以后的练习中要进行强化训练. 19.1.1 变量与函数 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.了解常量与变量的概念,能分清实例中哪些是常量、哪些是变 量. 2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量. 【数学眼光】 经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,以提高分 析问题和解决问题的能力. 【数学语言】 引导学生探索实际问题中的数量关系,渗透“事物是运动的,运动 是有规律的”辩证思想,培养学生对学习的兴趣和积极参与数学活动 的热情. 二、课型 新授课三、课时 第1课时，共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 认识变量、常量,会用式子表示变量间的关系. 【教学难点】 用含有一个变量的式子表示另一个变量. 六、 课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 七、 教学过程 （一）导入新课（出示课件2-5） 教师出示课件第2-5页，并向学生描述有关变量的几种现象。 教师：当我们用数学的眼光来分析现实世界的各种现象时,会遇 到各种各样的量,如行星在宇宙中的位置随时间而变化、气温随海拔 而变化、汽车行驶里程随行驶时间而变化等等。 教师问：哪位同学还能说出其他类似的现象？学生答：某城市一天中各时刻变化着的气温等. 教师：像这样在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变. 为了更深刻地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律,在这一 章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事 物变化的规律. （二）探索新知 探究常量与变量（出示课件7-10） 教师依次出示问题： 1.汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间 为t h，填写下表，s的值是不是随t 的值的变化而变化吗？ t/h 1 2 3 4 5 s/km 教师问：填表格的依据是什么？ 学生答：根据路程等于速度乘以时间 填写表格如下： t/h 1 2 3 4 5 s/km 60 120 180 240 300 教师问：s的值是不是随t 的值的变化而变化呢？学生答：是 教师问：在以上这个过程中，变化的量是什么？不变化的量是什 么？ 学生答：变化的量是时间t，路程s；不变化的量是速度。 教师问：请同学们试用含t的式子表示s 学生答：汽车的速度是不变的，s=60t. 2.每张电影票的售价为10元/张，如果第一场售出150张票，第 二场售出205张票，第三场售出310张票， （1）第一场电影的票房收入 _____元； 第二场电影的票房收入 _____元； 第三场电影的票房收入 _____元. （2）在以上这个过程中,变化的量是________________________; 不变化的量是___________. （3）设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的 式子表示y？ （4）y的值随x的值的变化而变化吗？教师讲解完题意，找学生依次答题： 学生1答： （1） 150 0 、 205 0 、 310 0 学生2答： （2）变化的量是 售出票数 x， 票房收入 y_； 不变化的量是 _ 票价 1 0 元 / 张 _。 学生3答： （3）列式为：y=10x. 学生4答： （4）y的值随x的值的变化而变化。 3.你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当 圆的半径r分别为10cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少？ S的值随r的值的变化而变化吗？ 教师带领学生读题后，找学生分别回答S的三种数值。 学生1答：当圆的半径为10cm时，面积为S=100πcm2; 学生2答：当圆的半径为20cm时，面积为S=400πcm2 ; 学生3答：当圆的半径为30cm时，面积为S=900πcm2 .教师接着提出问题：S的值随r的值的变化而变化吗？ 学生答：S的值随r的值的变化而变化. 教师问：请写出本题中S与 r之间关系式？ 学生答：圆面积S与圆的半径r之间的关系式是S=πr2； 教师问：这个式子中，变化的量是什么？不变化的量是什么？ 学生答：变化的量是S，r；不变化的量是π. 教师问：这个问题反映了什么随什么的变化过程呢？ 学生答：反映了圆的面积S随半径r的变化过程． 教师强调：π是始终不变的数值，是常量， 4.用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m， 3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的 变化而变化吗？ 教师展示完题目，给出学生思考时间后，找学生依次作答此题 学生1答： 当x为3m时，y为2m; 当x为3.5m时，y为1.5m; 当x为4m时，y为1m;当x为4.5m时，y为0.5m; 教师继续问：y的值随x的值的变化而变化吗？ 学生1答：y的值随x的值的变化而变化. 教师问：写出矩形的周长10m与它的边长x，y之间的关系式。 学生2答：列式为：2(x+y)=10； 教师再问：式子中变化的量是什么？不变化的量是什么？ 学生2答：变化的量是x，y；不变化的量是10。 教师问：上述运动变化过程中出现的量，你认为可以怎样分类？ （出示课件11） 学生答：一种是数值发生变化的量，还有一种是数值始终不变的 量。 教师展示分类情况。 师生共同归纳，展示变量、常量概念：（出示课件12） 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数 值始终不变的量为常量。 教师提示学生变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变. 考点1：实际问题中常量与变量的识别（出示课件13）某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作量W与时间t之 间的关系中，下列说法正确的是( ) A. 数100和W，t都是变量 B. 数100和W都是常量 C. W和t是变量 D. 数100和t都是常量, 师生共同讨论解答如下： 解析：工作量W与时间t是变量，100是常量 ，故选C. 答案：C. 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：关系式中常量与变量的识别 指出下列关系式中的变量与常量：（出示课件15） (1)y=3x－4; (2)y=x; (3)y=x2＋2x－8; (4)S=πr2． 学生独立思考后，教师找四位同学分别解答此题. 解： （1）3和-4是常量，x和y是变量．（2）1是常量，x、y是变量． （3）1、2、-8是常量，x、y是变量． （4）π是常量，s、r是变量． 出示课件16，学生自主练习后，教师另找四位同学口答并订正. 考点3：确定两个量之间的关系式（出示课件17） 教师出示问题：弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为 10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表： 重物的质量(kg) 1 2 3 4 5 弹簧长度(cm) 怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 l(cm)? 学生独立思考后，教师问：怎么填表呢？ 学生答：原长不变，每增加1kg，弹簧伸长0.5cm。表格依次填： 10.5、11、11.5、12、12.5。 教师问：那怎么用含m和l的式子来表示这一规律呢？ 学生答：也就是在10的基础上，m每增加1，l就增加0.5，列方程为l=10+0.5m. 出示课件18，学生思考后找同学口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧。 （三）课堂练习（出示课件19-23） 练习课件第19-23页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结（出示课件24） 在一个变化过程中，数值始终不变的量为常 常量 常量与 量 变量的 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变 概念 变量 量 易错提醒 在不同的条件下，常量与变量是相对的 （注：横线上的语句由学生填写） （五）课前预习 预习下节课（19.1.1第2课时）的相关内容. 知道自变量、函数、函数值、解析式的定义 七、课后作业 1、教材第71-72页练习第（1）-（4）题. 2、练习试卷册第110-111页第1、9、10题. 八、板书设计变量与函数 第1课时 1.常量与变量: 常量:在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量. 变量:在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量. 考点1 考点2 考点3 2.例题讲解: 九、教学反思 成功之处：本节课以问题为载体、以学生为主体、以合作交流为 手段、以能力提高为目的.在探究知识上,以学生自主探究分组交流 为主线,发挥学生的主体作用.在课堂教学中选择贴近生活的实例,与 变量和常量的概念紧密结合,能使课堂效果达到最佳状态. 在某个变化过程中,变量和常量是相对而言的,学生理解较困难, 解题时学生容易出现把π看成变量这种错误. 补救措施：教学时通过对比教学多举出变量和常量是相对而言的 事例,让学生真正理解变量和常量的概念. 19.1.1 变量与函数第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 初步了解函数三种表示方法以及三种表示方法的优缺点,会根据 具体情况选择适当方法表示函数. 【数学眼光】 1.经历回顾思考,训练提高归纳总结能力. 2.利用数形结合思想,根据具体情况选用适当方法解决问题的能 力. 【数学语言】 通过分析具体的问题中的一个变量的值对应着另一个变量的值, 体会到函数是刻画变量之间的对应关系的数学模型. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点【教学重点】 函数表示方法的应用. 【教学难点】 确定实际问题中函数自变量的取值范围. 五、课前准备 教师：课件、直尺、带有网格的纸,三角板等. 学生：三角尺、铅笔、带有网格的纸. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 你听说过“两个铁球同时落地”的故事吗?站在比萨斜塔顶部,让 两个铁球自由下落,在铁球下落的过程中,随着时间的变化,铁球下落 的速度是怎样变化的?铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变 化.这就是我们今天要继续学习的内容. （二）探索新知 1.出示课件4-6，探究函数的有关概念 教师问：全运会火炬手以3米／秒的速度跑步前进传递火炬，传 递路程为s米，传递时间为t秒，填写下表：t(秒 1 2 3 4 ) s(米 ) 学生口答，教师填写如下表： t( 1 2 3 4 秒) s( 3 6 9 12 米) 教师问： 怎样用含t的式子表示 s？ 学生答：s=3t 教师问：根据上面的问题，完成下面的题目： ________ 随着 _______的变化而变化，当______确定一个值时， ________就随之确定一个值. 学生口答，教师总结：传递路程s随着 传递时间t的变化而变 化，当传递时间t确定一个值时，传递路程s就随之确定一个值. 教师问：用10m长的绳子围成长方形，若改变长方形的长度，长 方形的面积会怎样变化. 一边长为x( 2 4 3 2 … m ) .5 另一边长为 1 2 2.5 3 …( 5-x)(m） 长方形面积 … (m2) 教师依次展示学生答案： 学生口答，教师总结如下表： 一边长为x( 2 … 4 3 2 m ) .5 另一边长为 … 1 2 2.5 3 ( 5-x)(m） 长方形面积 … 4 6 6.25 6 (m2) 改变长方形的边长，面积也发生变化. 教师问：设长方形的面积为S(m2),一边长为x,怎样用含x的式子 表示长方形的面积S？ 学生回答：S=x(5-x) 教师问：每个问题中有几个变量？ 学生回答：有2个变量. 教师问：同一个问题中的变量之间有什么联系？ 学生回答：一个变量发生变化，另一个变量随之也发生变化. 教师问：上面的两个问题中，各变量之间有什么共同特点？ 学生回答：共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值， 相应地就确定了另一个变量的值.总结点拨：（出示课件7） 定义：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并 且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我 们就说x是自变量，y是x的函数. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 考点1：利用函数的定义判断函数 下列关于变量x，y的关系式：①y=2x+3；②y=x2+3；③y=2| x|；④y=±√x；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的函数关系的是 _______．（出示课件8） 师生共同讨论解答如下： 解析：④⑤中每一个x的值，对应着两个y的值，所以不是函数. 答案：①②③ 教师问：如何判断一个变量是不是另一个变量的函数？ 学生回答：当自变量确定时，因变量只有一个值与自变量对应. 教师总结点拨：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是 看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 出示课件9-10，学生自主练习后口答，教师订正.考点2：求函数的值 4x-2 已知函数y= x+1 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0.（出示课件11） 学生独立思考后，师生共同解答. 学生1解： 4×2-2 5 （1）当x=2时，y= =2; 当x=3时，y= ； 2+1 2 当x=-3时，y=7. 4x-2 1 1 学生2解：（2）令 =0解得x= ，即当x= 时，y=0. x+1 2 2 总结点拨：把自变量x的值代入关系式中，即可求出函数的值. 出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件13，探究确定自变量的取值范围 教师问：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系： （1）汽车以70 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位： h），行驶的路程为 s（单位：km）； （2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y． 学生1回答：（1）s=70t．学生2回答：（2）y=180° (n-2)． 教师问：问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？ 学生回答：没有实际意义. 教师问：问题（2）中，n 取2 有意义吗？ 学生回答：n取2就不是多边形了，所以没意义. 教师问：根据刚才的思考问题，你认为函数的自变量可以取任意 值吗？ 学生回答：在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制 的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没 有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量 取值范围． 考点1：确定自变量的取值范围 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y （单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量 为0.1L/km.（出示课件15-16） （1）写出表示y与x的函数关系的式子;（2）指出自变量x的取值范围； （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ 学生独立思考后，师生共同解答. 教师依次展示学生答案： 学生1解答：（1）解:函数关系式为: y = 50－0.1x. 学生2解答：（2）由x≥0及50－0.1x ≥0得0 ≤ x ≤ 500. ∴自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500. 学生3解答：（3）当 x = 200时,函数y的值为y=50－ 0.1×200=30. 因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L. 教师强调：汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！ 师生共同归纳：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解 析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义. 出示课件18，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧.（三）课堂练习（出示课件19-26） 练习课件第19-26页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件27） 一般地，在某个变化过程中，如果有 两个变量x与y，并且对于x的每一个 函数 确定的值，y 都有唯一确定的值与它 对应，那么我们就说 x 是自变量，y 函数的概念 是x的函数. 如果当 x=a 时 y=b，那么 b 叫做当自 函数值 变量的值为a时的函数值. 1.使函数解析式有意义；2.符合实际意 自变量的取值范围 义. （五）课前预习 预习下节课（19.1.2第1课时）的相关内容. 知道函数的图象和函数图象读图方法. 七、课后作业 1、教材第74-75页练习第1,2题. 2、练习试卷册第110-111页第2、5、8、11题. 八、板书设计 第2课时 1.函数的有关概念;自变量、函数和函数值 考点1 考点22.确定自变量的取值范围 考点1 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应 的核心素养目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学 生在教师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过 程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的. 不足之处：在教学过程中,高估了学生的识图能力,主要的困难在 于学生从图形获取信息的能力较弱,教学中忽略了对学生这方面能力 的培养. 补救措施：加强学生识图能力的教学,让学生多动手,多观察,熟 练地从图形中获取信息. 19.1.2 函数的图像 第1课时 一、核心素养目标【数学思维】 掌握用描点法画出一些简单函数的图象,能根据函数图象所提供 的信息获取函数的性质. 【数学眼光】 1.结合实际问题,经历探索用图象表示函数的过程. 2.学生通过自己动手,体会用描点法画函数的图象的步骤. 【数学语言】 1.从图象中获得变量之间的关系的有关信息,并预测变化趋势,进 行科学决策,应用于社会生活. 2.渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活,又应用于生活,培 养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】会用描点法画函数的图象. 【教学难点】 能正确无误地观察函数的图象. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、坐标纸. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3） 观察课件气温变化图和心电图.说一说你从图象中得到了哪些信 息? （二）探索新知 1.出示新知，探究函数的图象 先填表格再试着写出表中正方形的面积S与边长x的函数解析式， 并确定自变量x的取值范围。 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 S 学生解答如下：x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16 学生答：S=x2（x＞0） 教师问：在直角坐标系中，描出这些点，然后连接这些点. 师生一起解答： 注意：表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只 能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置. 总结点拨：（出示课件7） 上图的曲线即函数S=x2 （x＞0）的图象. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别 作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是 这个函数的图象. 注：通过图象，我们可以数形结合地研究函数. 考点1：画出已知函数的图象画出下列函数的图象：（出示课件8） 6 （1）y=2x+1； （2）y=- . x 师生共同讨论解答如下： 解：(1)从函数解析式可以看出，x的取值范围是全体实数. 第一步：从x的取值范围中选取一些简洁的数值，算出y的对应 值，填写在表格里： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -5 -3 -1 1 3 5 7 … 第二步：根据表中数值描点（x，y）； 第三步：用平滑曲线连接这些点. 画出的图象是一条直线，当自变量的值越来越大时，对应的函数 值越来越大.解：(2)①列表 ：取一些自变量的值，并求出对应的函数值， 填入表中. x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 … y … 1.2 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1. -1.2 … 5 教师问：想一想为什么表格中的自变量没有取0 学生回答：因为分母不能为0。 ②描点：分别以表中对应的x、y为横纵坐标,在坐标系中描 出对应的点. ③连线：用光滑的曲线把这些点依次连接起来. 归纳总结：（出示课件12） 描点法画函数图象的一般步骤： 第一步：列表：表中给出一些自变量的值及对应的函数值；第二步：描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标， 相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用 平滑曲线连接起来. 出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正. 2.探究实际问题中的函数图象 教师问：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某 天气温 T如何随时间 t 的变化而变化．你从图象中得到了哪些信 息？ 学生回答： （1）从这个函数图象可知：这一天中4时气温最低（-3°C）, 14时气温最高（8°C ）;（2）从0时至4时气温呈下降状态，从4时至 14时气温呈上升 状态，从14时至24时气温又呈下降状态. 考点1：从实际问题的图象中读取信息 下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报， 然后回家．其中x 表示时间，y 表示小明离家的距离，小明家、食 堂、图书馆在同一直线上．（出示课件16-20） 根据图象回答下列问题： （1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ （2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？ （3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ （4）小明读报用了多长时间？ （5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多 少？ 学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）食堂离小明家0.6km，小明从家到食堂用了8min.（2）25-8=17(min)，小明在食堂吃早餐用了17min. （3）0.8-0.6=0.2(km)，食堂离图书馆0.2km； 28-25=3(min)，小明从食堂到图书馆用了3min. （4）58-28=30(min)，小明读报用了30min. （5）图书馆离小明家0.8km，小明从图书馆回家用了68- 58=10(min)，由此算出的平均速度是0.08km/min. 总结点拨：（出示课件21） 解答图象信息题主要运用数形结合思想,化图象信息为数字信息. 主要步骤如下: (1)了解横、纵轴的意义； (2)从图象形状上判定函数与自变量的关系； (3)抓住图象中端点，拐点等特殊点的实际意义. 出示课件22，学生自主练习后口答，教师订正. （三）课堂练习（出示课件23-31） 引导学生练习课件23-31相关题目，约用时20分钟。 （四）课堂小结（出示课件32） 函数 定义 画法 的图 一般地，对于一个函数， 描点法画函数图象的一般步 象 如果把自变量与函数的每 骤：列表：在自变量取值范围内有代表性地取值，并 对对应值分别作为点的 求出相应的函数值；描 横、纵坐标，那么坐标平 点：一对对应值确定一个 面内由这些点组成的图 点；连线：按横坐标有小 形，就是这个函数的图 到大的顺序一次连接所描各 象． 点. （五）课前预习 预习下节课（19.1.2第2课时）的相关内容. 知道函数解析式、函数图象、列表格之间的关系. 七、课后作业 1、教材第79页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第117-118页第2、6、7题. 八、板书设计 19.1.2 函数的图象 第1课时 1.函数的图象 考点1 2.实际问题中的函数图象 考点1 3.例题讲解 九、教学反思根据新课标的评价理念,教师在课堂中应尊重学生的个体差异,满 足多样化的学习需求,培养学生探索方式、表达方式和解题方法的多 样化. 在教学活动中教师没有关注学生的参与程度和表现出来的思 维水平,应关注的是学生对概念的理解水平和学生的语言表达能力. 在教学过程中,注意通过对以前学过的“变量之间的关系”的回 顾与思考,力求提供生动有趣的问题情境,激发学生的学习兴趣,并通 过层层深入的问题设计,引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数 学活动. 19.1.2 函数的图象 第2课时 一． 核心素养目标 【数学思维】 1.运用丰富的实例,帮助学生全面理解函数的三种表示方法,进一 步了解三种表示方法的优缺点. 2.会根据具体情况选择适当方法表示函数. 【数学眼光】1.通过作图、交流、归纳等数学活动,提高实际问题转化为数学 问题的能力. 2.会利用函数知识推测事物发展趋势的能力. 【数学语言】 让学生通过实际操作,体会函数三种表示法在实际生活中的应用 价值,激发学生对数学学习的兴趣. 二、 课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 函数的三种表示方法及其应用. 【教学难点】 函数的三种表示方法的应用. 八、 课前准备 教师：课件、直尺、带有网格的纸,三角板等.学生：三角尺、铅笔、带有网格的纸. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 引导学生观看课件计算器流程图。 请同学们思考一下:从前面的例子看,你认为函数的表示方法有哪 些?这些方法各有什么优缺点?在遇到具体问题时,该如何选择适当的 表示方法呢?这就是我们这节课要研究的内容. （二）探索新知 1.出示新知，探究函数的三种表示方法 有根弹簧原长10 cm，每挂1kg重物，弹簧伸长0.5 cm，设所挂 的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l cm，根据上述信息完成下表： m/kg 0 1 2 3 3.5 … l/cm 学生完成下表： m/kg 0 1 2 3 3.5 … l/cm 10 10.5 11 11.5 11.75 …教师问：受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？ 学生回答：是. 教师问：函数关系式怎么写？ 学生答：y=0.5x+10. 教师问：有一辆出租车，前3公里内的起步价为8元，每超过1 公里收2元，有一位乘客坐了x（x＞3）公里，他付费y元.用含x 的式子表示y，y是x的函数吗？ 学生回答：是, y=8+2（x-3）=2x+2 教师问：这里是怎样表示所付费用y与所走路程x的函数关系的？ 学生回答：函数解析式． 教师问：完成下面的题目： 如图是某地某一天的气温变化图. （1）指出其中的两个变量是______，_______. （2）其中_______是________的函数，自变量是______.学生回答：（1）气温T，时间t；（2）气温T，时间t，时间t. 教师问：这里是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？ 学生回答：用平面直角坐标系中的一个图象来表示的． 总结点拨：（出示课件7） 函数的三种表示法：图象法、列表法、解析式法． 总结归纳：（出示课件8-9） 函数的三种表示方法: (1)列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个 变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法. (2)图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函 数的方法叫做图象法. (3)解析式法：用数学式表示函数的方法叫做解析式法. 请从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数 三种表示方法的优缺点，填写下表： 表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性 列表法 × √ √ × 解析式法 √ √ × ×图象法 × × √ √ 提示：从所填表中可以清楚看到三种表示方法各有优缺点.在遇 到实际问题时，就要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地 认识问题，需要几种方法同时使用. 考点1：函数表示方法的相互转化 一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6 个 时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y表示水位高度．（出示课 件10-14） t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否 在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律？ 学生回答：通过作图发现，这6个点在同一直线上，且每小时水 位上升0.3m.由此猜想，在这个时间段中水位可能是以同一速度均 匀上升的.（2）水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，试写出一个 符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能 表示水位的变化规律吗？ 学生回答：由于水位在最近5小时内持续上涨，对于时间t的每 一个确定的值，水位高度y 都有唯一的值与其对应，所以，y是t 的函数. 函数解析式为：y=0.3t+3. 变量的取值范围是：0≤t≤5.它表示 在这5小时内，水位匀速上升的速度为0.3m/h，这个函数可以近似 地表示水位的变化规律. 其函数的图象如下（3）据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度 将达到多少m． 学生回答：如果水位的变化规律不变，按上述函数预测，再持续 2小时，水位的高度：5.1m.此时函数图象（线段AB）向右延伸到对 应的位置，这时水位高度约为5.1m. 出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用函数表达式解答实际问题 如图，要做一个面积为12 m2的小花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．（出示课件16-17） （1）变量y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值 范围； （2）能求出这个问题的函数解析式吗？ （3）当 x 的值分别为1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量 之间的对应关系； （4）能画出函数的图象吗？学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是x＞0． 12 （2）y =2（x+ ）. x （3） x/m 1 2 3 4 5 6 y/m 26 16 14 14 14.8 16 出示课件18，学生自主练习后口答，教师订正. （三）课堂练习（出示课件19-31） 教师引导学生练习课件第19-31相关题目，约用时20分钟。 （四）课堂小结（出示课件32） 函数的表示方法列表法 解析式法 图象法 通过列出自变 把自变量与函数的每对 量的值与对应 对应值分别作为点的 概 用数学式子表 函数值的表格 横、纵坐标，顺次连接 念 示函数关系. 来表示函数关 这些点组成的图形，就 系. 是这个函数的图象． 对表中已有自 变量的每一个 能准确地反映 优 能直观、形象地反映函 值，可一目了 自变量与函数 点 数关系变化的趋势 然地得出对应 的对应关系 的函数值 列出对应值是 有限的，不易 不是所有函数 缺 由自变量的值往往难以 得出自变量和 都能用函数解 点 找到对应函数的准确值 函数之间的对 析式表示出来 应规律 （五）课前预习 预习下节课（19.2.1第1课时）的相关内容. 知道正比例函数的定义和正比例函数的解析式. 八、课后作业 1、教材第81页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第117-118页第3、6、8题. 八、板书设计 函数的图象 第2课时 1.函数的三种表示方法考点1 考点2 2.例题讲解 九、教学反思 本节课能力培养到位.设计上注重了数学思想方法在课堂中的渗 透,领悟数学知识发生与发展过程中的思想方法;注重知识“结构 化”的形成,帮助学生形成了知识体系,完善了认知结构.有效培养学 生的发散思维能力和对知识的分析、归纳能力. 在教学过程中,高估了学生的识图能力,主要的困难在于学生从图 形获取信息的能力较弱,教学中对学生这方面的能力有所减弱. 加强学生识图能力的教学,让学生多动手,多观察,熟练地从图形 中获取信息. 19.2.1 正比例函数 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 认识正比例函数的意义,掌握正比例函数解析式特点.【数学眼光】 能利用正比例函数知识解决相关实际问题. 【数学语言】 通过对实际问题的解决,亲身感受数学来源于生活,体会在学习中 与同学合作交流获得成功的喜悦,增强学习的自信心. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 理解正比例函数意义及解析式特点. 【教学难点】 正比例函数的解析式的求法. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、直尺、练习本.六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 2006年7月12日，某运动员在一次田经大奖赛110米栏的决赛 中，以12.88秒的成绩打破了尘封13年的世界纪录。 教师问：假定该运动员在这次110米栏决赛中奔跑速度是8.54 米/秒，那么他奔跑的路程y（单位：米）与奔跑时间x（单位： 秒）之间有什么关系？ 学生回答：y=8.54x (0≤x≤12.88) 类似于y=8.54x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都 具备什么样的特征呢?进入今天学习的课题:正比例函数. （二）探索新知 1.出示课件4-5，探究正比例函数的概念 教师问：写出下列问题中的函数关系式： (1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化； 学生1答： l=2πr (2)铁的密度为7.8g/cm3 ,铁块的质量m（单位：g）随它的体积 v（单位：cm3)大小变化而变化；学生2答： m=7.8v (3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度 h 随这些练习本的本数n的变化而变化； 学生3答： h=0.5n (4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位： ℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化. 学生4答：T=-2t 教师问：观察下面这些函数有什么共同点？ （1）l=2πr；(2)m=7.8v；(3)h=0.5n；(4)T=-2t 师生一起解答：这些函数都是常数与自变量的乘积的形式. 总结点拨：（出示课件6） 定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比 例函数，其中k叫做比例系数． 教师强调: 正比例函数y=kx(k≠0)的结构特征①k≠0 ②x的次数是1 出示课件7，学生自主练习后口答，教师订正. 考点1：利用正比例函数的概念求字母的值 已知y＝(k＋1)x＋k－1是正比例函数，求k的值.（出示课件 8） 师生共同讨论解答如下： 解：根据题意得：k＋1≠0且k－1＝0， 解得：k＝1. 师生共同归纳： 函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k ≠0）的形式. 出示课件9，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用待定系数法求正比例函数的解析式 若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2. （1）求正比例函数的解析式； （2）求当x=6时，函数y的值.（出示课件10） 学生独立思考后，师生共同解答.解:（1）设正比例函数解析式是 y=kx，（设） 把 x =-4, y =2 代入上式，得2 = -4k，（代） 1 解得k=- ， （求） 2 1 ∴所求的正比例函数解析式是y=- x ；（写） 2 （2）当 x=6 时, y = -3. 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件12-15，探究利用正比例函数解决实际问题 教师问：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车 的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题： （1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小 时（保留一位小数）？ 学生答： 1318÷300≈4.4（小时）. 教师问：（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位： 时）之间有什么数量关系？ 学生答:因为路程=速度×时间，所以可以列出y=300t （0≤t≤4.4）. 教师问：（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？ 学生答：y=300×2.5=750（千米）, 这时列车尚未到达距始发 站1100千米的南京南站. 考点1：利用正比例函数解答实际问题 2016年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环； 大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它. (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ (2)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间 有什么关系？ (3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是 多少千米？（出示课件16） 学生独立思考后，师生共同解答. 教师依次展示学生的解答过程： 学生1解: (1)这只燕鸥大约平均每天飞行的路程为 25600÷128=200（千米） 答：这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.学生2解：(2)假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的 行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解 析式为y =200x (0≤x≤128). 学生3解：(3)这只燕鸥飞行一个半月的行程，即 ：x=45，所以 y=200×45=9000（千米） 答：这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是9000千米. 出示课件18，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件19-24） 练习课件第19-24页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件25） 定义 求解 要点提示 析式 正比 形如y=kx 只需 自变量x的指数 例函数 （k是常数， 一个已知 是1,且比例系数 k≠0）的函 条件求出 k≠0；函数是正比 数，叫做正比 比例系数 例函数→其解析式可 例函数，其中 k即可 化为y=kx（k是常 k叫做比例系 数，k≠0）的形式. 数． （五）课前预习预习下节课（19.2.1第2课时）的相关内容. 知道正比例函数的性质和图象. 九、课后作业 1、教材第87页练习第1,2题. 2、练习试卷册第123-124页第1、9题. 八、板书设计 正比例函数 第1课时 1.正比例函数的概念 考点1 考点2 2.利用正比例函数解决实际问题 考点1 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再 通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通 过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方 法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛. 不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对 不足,部分学生就显得很吃力. 补救措施：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让部分学 生完成,另一组难的让基础好的学生完成. 19.2.1 正比例函数 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.能够画出正比例函数的图象. 2.根据正比例函数的解析式y=kx(k是常数,k≠0)和图象探索并 理解其性质. 3.根据两点确定一条直线,可以利用两点(两点法)画正比例函数 的图象. 【数学眼光】在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数性质. 【数学语言】 学生在探究合作中交流,体验知识的形成过程,感知数形结合思想. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时，共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 正比例函数图象的画法和性质的理解. 【教学难点】 利用正比例函数图象与性质灵活解题. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、坐标纸、直尺等. 学生：三角尺、坐标纸、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 教师问：谁能说一下用描点法画函数图象有哪几个步骤？学生轮流回答：①确定函数自变量的取值范围；②列表；③画图 象。 教师：接下来，我们一起去画一画正比例函数的图象吧! （二）探索新知 1.出示课件4-8，探究正比例函数的图象 教师问：画出下列正比例函数的图象： 1 （1）y=2x，y= x； 3 学生1答：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数. ①列表如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -4 -2 0 2 4 … 学生2答： ②描点；③连线.如下图： 1 教师：请同学们用同样方法画出函数y= x的图象. 3 学生3答：作图如下：教师问：观察正比例函数的图象你发现了什么？ 学生1答：是一条直线. 教师问：这条直线有什么特点，都经过哪些象限呢？ 学生1答：这两个图象都是经过原点的直线. 学生2答：直线都经过第一、三象限. 教师总结：这两个图象都是经过原点的直线，而且都经过第一、 三象限. 教师问：画出下列正比例函数的图象： （2）y=-1.5x，y=-4x. 师生一起分析后学生解答： 解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：教师问：看图，你发现这两个函数图像有什么特点？ 学生1答：这两个函数图象都是经过原点. 学生2答：这两个函数图象都是经过第二、四象限的直线. 教师总结如下：看图发现：这两个函数图象都是经过原点和第二、 四象限的直线. 总结点拨：（出示课件7） y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限 k＞0 第一、三象限 k＜0 第二、四象限 教师强调：函数y=kx的图象我们也称作直线y=kx 出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正. 总结点拨：（出示课件8）教师强调：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只 需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可. 考点1：利用正比例函数的定义求字母的值 已知正比例函数y=(k-3)x. （1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是 ________. （2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.（出示课件10） 师生共同讨论解答如下： 教师依次展示学生答案： 学生1解答：（1）解析：因为函数图象经过第一、三象限，所 以k-3>0，解得k>3. 学生2解答：（2）解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中， 得4=(k-3)·2，解得k=5. 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件12-14，探究正比例函数的性质 教师问：在函数y=x中，随着x的增大,y的值分别如何变化? 师生分析：对于函数y=x,当x=-1时，y=-1;当x=1时，y=1;当x=2时，y=2; 不难发现y的值随x的增大而增大. 对于函数y=-4x,当x=-1时，y=4;当x=1时，y=-4;当x=2时， y=-8;不难发现y的值随x的增大而减小. 教师：我们还可以借助函数图象分析此问题. 师生分析： 观察图象可以发现： ①直线y=x,y=3x向右逐渐上升,即y的值随x的增大而增大; 1 ②直线 y=- x,y=-4x向右逐渐下降，即y的值随x的增大而减 2 小. 教师问：直线y=kx,当k>0时, 随着x的增大,y的值分别如何变 化? 学生回答：当k>0时，y的值随着x值的增大而增大.教师问：当k<0时呢? 学生回答：当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 教师总结点拨：（出示课件14） 在正比例函数y=kx中： 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 考点1：利用正比例函数的性质求字母的值 已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x 值的增大而减小，求m的值.（出示课件15） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：∵正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）, ∴4=m·m，解得m=±2. 又∵y的值随着x值的增大而减小，∴m<0，故m=－2 出示课件16，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件17-23） 练习课件第17-23页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件24） 正比例函数y=kx(k≠0) 正比例函数的图象是一条过原点的直线. k>0 k<0 图象 图 象 是 自 左 向 右 上 升 图象是自左向右下降 的，经过第一、三象限 的，经过第二、四象限 |k|越大，图象越陡（即越靠近y轴） 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 （五）课前预习 预习下节课（19.2.2第1课时）的相关内容. 知道一次函数的定义和一次函数的一般式 七、课后作业 1、教材第89页练习.2、练习试卷册第123-124页第3、8、10题. 八、板书设计 正比例函数 第2课时 1.正比例函数的图象 考点1 2.正比例函数的性质 考点2 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课先引导学生利用列表、描点、连线画出正比例 函数图象,经过学生的思考、尝试,深刻理解正比例函数性质,及图象 的简单画法,通过设计填空题、解答题、作图题,让学生根据正比例 函数的解析式和性质列方程或不等式求字母的取值或取值范围,为以 后学习一次函数奠定了基础. 不足之处：在学习正比例函数的图象时,学生画图时花费时间很 长,在利用描点、连线时形成折线错误.补救措施：教学设计画图时,让学生分组,一部分画 k>0 的图象, 一部分画k<0的图象,再通过多媒体进行展示对比教学,节约时间. 19.2.2 一次函数 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量 关系写出一次函数的解析式. 2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系. 3.初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法. 【数学眼光】 1.在一次函数概念的探索过程中,经历观察——猜想——归纳的 数学发现过程. 2.体会数形结合和由特殊到一般的数学思想,培养探索创新精神. 【数学语言】 学会从实际问题中建立一次函数的模型,体会一次函数在实际生 活中的应用价值.二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共4课时 四、教学重难点 【教学重点】 一次函数的概念及其解析式. 【教学难点】 一次函数与正比例函数关系及从实际中建立一次函数的模型. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 某登山队大本营所在地的气温为 5℃，海拔每升高 1km 气温下降 6℃.登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y℃.试用函数解析式表示y与x的关系. 学生答：y=5-6x. 这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？这种形 式的函数还会有吗？ （二）探索新知 1.出示课件4-7，探究一次函数的概念 教师问：完成下面的问题： （1）有人发现，在20~25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单 位：℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差. 学生答：是函数关系，函数解析式为c=7t-35 (20≤t≤25). （2）一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是：以 厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得的差是G的值. 学生答：是函数关系，函数解析式为G=h-105. （3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费 22元和拨打电话x分钟的计时费（按0.1元/分钟收取）. 学生答：是函数关系，函数解析式为y=0.1x+22. （4）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的变化而变化. 学生答：是函数关系，函数解析式为y=-5x+50 (0≤x≤10). 教师问：你能不能说出这些函数的常数、自变量？ 教师依次展示学生答案： 学生1答：（1）c=7t-35的常数为7、-35，自变量为t； 学生2答：（2）G=h-105的常数为1、-105，自变量为h； 学生3答：（3）y=0.1x+22的常数为0.1、22，自变量为x； 学生4答：（4）y=-5x+50的常数为-5、50，自变量为x. 教师问：看上面这些函数解析式有哪些共同特征？ 学生答：它们都是常数k与自变量的乘积与常数b的和的形式. 教师问：它们是不是正比例函数，那么它们共同的特征如何表示 呢？ 学生答：不是正比例函数。 总结点拨：（出示课件8）定义：一般地，形如y=kx+b（k， b 是常数，k≠0）的函数， 叫做一次函数. 教师问：一次函数有哪些特点呢？ 学生1答：解析式中自变量x的次数是1次. 学生2答：比例系数k≠0. 学生3答：常数项：通常不为0，但也可以等于0. 教师总结如下： 一次函数的特点如下： （1）解析式中自变量x的次数是1次; （2）比例系数k≠0； （3）常数项：通常不为0，但也可以等于0. 教师问：一次函数与正比例函数有什么关系？ 师生一起解答：（1）当b=0时，y=kx+b即y=kx(k≠0)，此时该 一次函数是正比例函数. （2）正比例函数是一种特殊的一次函数. 出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正. 考点1：利用一次函数一般式求字母的值一次函数y=kx+b，当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1.求k和b的 值.(出示课件11) 师生共同讨论解答如下： 解： ∵当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1; {k+b=5, ∴ -k+b=1, 解得k=2,b=3. 出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用一次函数的概念求字母的值 已知函数y=(m-2)x+4-m2 （1）当m为何值时，这个函数是一次函数? （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?（出示课件13） 学生独立思考后，师生共同解答. 教师依次展示学生答案： 学生1解：（1）由题意可得m-2≠0，解得m≠2. 即m≠2时， 这个函数是一次函数. 学生2解：（2）由题意可得m-2≠0，4-m2=0，解得m=-2.即 m=-2时，这个函数是正比例函数.教师强调：（出示课件13） 利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，必须保证： （1）k ≠ 0； （2）自变量x的指数是“1” 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 考点3：利用一次函数解答实际问题 汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升, 求 油箱的油量y（单位：升）随行驶路程x（单位：千米）变化的函数 关系式，并写出自变量的取值范围，y是x 的一次函数吗？(出示课 件15) 学生独立思考后，师生共同解答. 9 解：油量y与行驶时间x的函数关系式为：y=50- x， 50 2500 自变量x的取值范围是0≤x≤ . 9 9 函数y=50- x，是x的一次函数. 50 出示课件16，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧.（三）课堂练习（出示课件17-25） 练习课件第17-25页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件26） 一次函数 形如 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函 数叫做一次函数. 一次函数与 正比例函数是一次函数的特殊情形，但一 正比例函数 次函数不一定是正比例函数.只有当 b=0 的关系 时，一次函数才是正比例函数. 一次函数关 根据实际问题抽象出一次函数解析式，同 系式的确定 时要注意自变量的取值范围使实际问题有 意义. （五）课前预习 预习下节课（19.2.2第2课时）的相关内容. 知道一次函数的性质和画一次函数的图象. 七、课后作业 1、教材第90-91页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第130-131页第1、7题. 八、板书设计 一次函数 第1课时 1.一次函数的概念 考点1 考点22.利用一次函数解答实际问题 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应 的核心素养目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学 生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过 程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的. 整节课以“问题情境——分析探究——总结升华”为主线,使学生亲 身体验一次函数特征的探索,深化一次函数与正比例函数的关系的理 解,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变. 不足之处：在教学过程中,高估了学生对一次函数的概念及与正 比例函数关系的理解能力,主要困难在于对一次函数的特征的掌握不 牢固,对于正比例函数只不过是一次函数的特例的理解不够深入. 补救措施：适当增加学生练习的时间,通过学生独立思考并通过 讨论分析,正确完成解题过程,达到理解概念并掌握一次函数与正比 例函数的目的.19.2.2 一次函数 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 使学生理解函数 y=kx+b(k≠0)与函数 y=kx(k≠0)图象之间的关 系,会利用两个合适的点画出一次函数的图象,掌握 k 的正负对图象 变化趋势和函数性质的影响. 【数学眼光】 通过从具体的一次函数的图象特征抽象得到一般形式一次函数的 图象特征,进而得到函数的性质,使学生经历从特殊到一般的研究问 题的过程,体会从特殊到一般的研究问题的方法. 【数学语言】 在探究一次函数的图象和性质的活动中,通过动手实践,互相交流, 使学生在探究的过程中,提高与他人交流合作的意识,提高学生的动 手实践的能力和探究精神. 二、课型新授课 三、课时 第2课时 共4课时 四、教学重难点 【教学重点】 一次函数的图象和性质. 【教学难点】 一次函数性质的理解. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 教师问：我们最快捷、最正确地画出正比例函数的图象时，通常 在直角坐标系中选取哪两个点？ 学生答：画正比例函数 y=kx(k≠0）的图象，一般地，过原点和 点（1，k).教师问：你能用这种方法作出一次函数的图象吗？这是今天我们 学习的内容！ （二）探索新知 1.出示课件4-8，探究一次函数的图象 教师问：正比例函数与一次函数有何关系? 学生回忆并回答:一次函数y=kx+b(k≠0),当b=0时,一次函数则 为正比例函数y=kx,因此,正比例函数是当常数项b=0时的一次函数, 是特殊的一次函数. 教师问：正比例函数的图象是什么图形?如何简便地画出正比例 函数的图象?为什么? 学生回忆思考并回答:正比例函数的图象是一条经过原点的直线. 根据两点确定一条直线,只要确定直线上的两个点即可画出正比例函 数的图象. 教师问：正比例函数有何性质?这些性质是由什么确定的? 师生总结：当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上 升,即y随x的增大而增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即y随x的增大而减小. 教师问：在同一坐标系内,画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象. 师生一起解答：列表： x -2 -1 0 1 2 y=-6x 12 6 0 -6 -12 y=-6x+5 17 11 5 -1 -7 描点、连线： 教师问：比较上面两个函数图象的相同点与不同点.填出你的观 察结果并与同伴交流. 学生答：这两个函数的图象形状都是一条直线，并且倾斜程度相 同.函数y=-6x的图象经过原点，函数y=-6x+5的图象与y轴交于点 （0,5），即它可以看作由直线y=-6x向上平移5个单位长度得到. 教师问：（1）画一次函数 y =2x-3 的图象． 学生答：列表：x … -2 -1 0 1 2 … y … -7 -5 -3 -1 1 … 描点、连线： 教师问：(2)在同一坐标系内画正比例函数y=2x的图象． 学生答：如下图： 教师问：比较上面两个函数的图象回答下列问题： 教师依次展示问题： （1）这两个函数的图象形状都是______，并且倾斜程度______. 学生答：一条直线，相同 （2）函数y=2x的图象经过_______，函数y=2x-3的图像与y轴 交于点(_______)，即它可以看作由直线y=2x向___平移___个单位长度而得到. 学生答：原点，（0，-3），下，3 （3）在同一直角坐标系中，直线 y=2x -3与y=2x的位置关系是 ________. 学生答：平行. 教师总结点拨：（出示课件8） 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比 例函数y=kx的图象平移|b|个单位长度得到（当b＞0时，向上平移； 当b＜0时，向下平移）. 教师问：一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴的交点坐标是什么？ b 学生答：（- ，0）. k 教师问：怎样画一次函数的图象最简单？为什么？ 学生答：由于两点确定一条直线，画一次函数图象时我们只需描 b 点(0，b)和点（- ，0）或 (1，k+b)，连线即可. k 考点1：画一次函数的图象 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： （1） y=-2x-1；（2） y=0.5x+1.（出示课件9）师生共同讨论解答如下： 解：列表： x 0 1 y=-2x-1 -1 -3 y=0.5x+ 1 1.5 1 描点、连线： 教师强调：也可以先画直线 y=-2x与 y=0.5x，再分别平移它们， 也能得到直线y=-2x-1与y=0.5x+1. 出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件11-12，探究一次函数的性质 教师问：画出函数y=x+1， y=-x+1， y=2x+1，y=-2x+1的图象. 学生答：列表：x 0 1 y=x+1 1 2 y=-x+1 1 0 y=2x+1 1 3 y=-2x+1 1 -1 描点、连线： 教师问：观察函数y=x+1， y=-x+1， y=2x+1，y=-2x+1的图象. 一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正、负对函数图象 有什么影响？ 师生总结：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x 的增大而减小. 考点1：利用一次函数的性质比较大小 P (x ，y )，P (x ，y )是一次函数y=-0.5x+3图象上的两点，下 1 1 1 2 2 2 列判断中，正确的是( )（出示课件13）A.y ＞y C.当x ＜x 时，y ＜y 1 2 1 2 1 2 B. y ＜y D.当x ＜x 时，y ＞y 1 2 1 2 1 2 学生独立思考后，师生共同解答. 解析：因为-0.5＜0，所以y随x增大而减小.故选：D. 教师强调：反过来也成立：y越大，x就越小． 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 3.出示课件15-16，探究一次函数经过象限与字母k，b的关系 教师问：根据一次函数的图象判断k，b的正负： 教师依次展示学生答案： 学生1回答：（1）b>0，k>0. 学生2回答：（2）b=0，k>0. 学生3回答：（3）b<0，k>0.学生4回答：（4）b>0，k<0. 学生5回答：（5）b=0，k<0. 学生6回答：（6）b<0，k<0. 教师问：根据上面一次函数的图象说出直线经过的象限： 教师依次展示学生答案： 学生1回答：（1）经过第一、二、三象限. 学生2回答：（2）经过第一、三象限. 学生3回答：（3）经过第一、三、四象限. 学生4回答：（4）经过第一、二、四象限. 学生5回答：（5）经过第二、四象限. 学生6回答：（6）经过第二、三、四象限. 教师问：一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有 什么影响？ 教师依次展示学生答案： 学生1回答：当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随 x的增大而增大. ① b>0时，直线经过第一、二、三象限；② b<0时，直线经过第一、三、四象限. 学生2回答：当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随 x的增大而减小. ① b>0时，直线经过第 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过第二、三、四象限. 考点1：利用一次函数的性质求字母的值 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值： （1）函数值y 随x的增大而增大； （2）函数图象与y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限.（出示课件17） 学生独立思考后，师生共同解答. 1 解：(1)由题意得1-2m>0，解得m< 2 1 (2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即m<1且m≠ . 2 1 (3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得 0 k<0 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 图象 图象是自左向右上升的 图象是自左向右下降的 经过第一、 经过第一、 经过第一、 经过第一、 经过第二、 经过第二、 二、三象限 三象限 三、四象限 二、四象限 四象限 三、四象限 |k|越大，图象越陡（即越靠近y轴） 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 图 象 一次函数y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx的图象平移 | b | 个单位长度得到（当b 平移 ＞0时，向__上 平移；当b＜0时，向 下 平移） （五）课前预习 预习下节课（19.2.2第3课时）的相关内容. 知道利用待定系数法求一次函数解析式的步骤. 七、课后作业 1、教材第93页练习第1,2,3题. 2、练习试卷册第130-131页第2、4、9题. 八、板书设计 一次函数 第2课时1.一次函数的图象 考点1 2.一次函数的性质 考点1 3.一次函数经过象限与字母k，b的关系 考点1 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本课教学内容的本质是通过研究具体一次函数的图象 特征和函数性质,抽象得到一般的一次函数的图象特征和函数性质, 在这个过程中使学生认识到由具体到一般的研究问题的方法.同时在 学生了解了正比例函数 y=kx 的图象和性质的基础上,通过比较一次 函数y=kx+b与正比例函数y=kx解析式上的区别,得到一次函数图象 与正比例函数图象之间的关系,进而得到一次函数的图象和性质,也 使学生体会到当两个函数有密切联系时,通过类比以前研究函数的方 法来研究新的函数.在“观察图象——分析解析式——归纳结论”的过程中,培养学生的数形结合的能力. 不足之处：八年级的学生是好奇、好学、好动的,但因为时间较 紧,在教学过程中没有留下更多的时间,通过让学生自己动手画图,同 学之间交流画法,谈谈想法等活动的时间也不够充分,学生的主体性 没有得到充分发挥,没有最大限度地激发学生的求知欲. 补救措施：在小结的设计上给学生一个充分从事数学活动的机会, 应充分体现学生是数学学习的主人的理念.学生所发表的见解不一定 全都是本节课的重点,只要是学生的观点正确又的确是他的知识收获， 教师就应该给予认可和鼓励. 19.2.2 一次函数 第3课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.学会用待定系数法确定一次函数的解析式.2.了解两个条件确定一个一次函数的解析式,一个条件确定一个 正比例函数的解析式. 3.掌握一次函数的简单应用. 【数学眼光】 1.经历用待定系数法求一次函数解析式的过程, 提高研究数学问 题的技能. 2.能根据函数的图象确定一次函数的表达式,体验数形结合,具体 感知数形结合思想在一次函数中的应用. 【数学语言】 能把实际问题抽象为数学问题,也能把所学的知识运用于实际,让 学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类的历史发展作用. 二、课型 新授课 三、课时 第3课时 共4课时 四、教学重难点 【教学重点】运用待定系数法求一次函数解析式. 【教学难点】 能利用一次函数图象解决有关的实际问题. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 你在作一次函数图象时，分别描了几个点？你为何选取这几个点？ 可以有不同取法吗？ 在上节课中我们学习了在给定一次函数解析式的前提下，我们可 以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求 出函数的解析式呢？这将是本节课我们要研究的问题. （二）探索新知 1.出示课件4-6，探究待定系数法求一次函数的解析式 教师问：已知一次函数的图象经过点（3,5）与（-4，-9）。求 这个一次函数的解析式呢?学生先尝试解决,交流后,师生一起解答：根据一次函数的定义, 可以设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),问题就归结为如何 求出k与b的值. 由已知条件x=3时,y=5,得3k+b=5;由已知条件x=-4时,y=-9, 得-4k+b=-9. 两个条件都要满足,即解关于k,b的二元一次方程组: {3k+b=5 -4k+b=-9 {k=2 解得 . b=-1 所以一次函数的解析式为y=2x-1. 教师：像上述过程,先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中 未知的系数,从而具体写出这个解析式的方法,叫做待定系数法. 教师问:用待定系数法确定函数解析式的一般步骤是怎样的? 教师展示学生答案：（出示课件6-7） 求一次函数解析式的步骤: 学生1答：（1）设：设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0)； 学生2答：（2）列：把图象上的点（x ，y ），（x ，y ）代入 1 1 2 2 一次函数的解析式，组成二元一次方程组；学生3答：解：解二元一次方程组得k,b； 学生4答：还原：把k,b的值代入一次函数的解析式. 整理归纳：（出示课件8） 从两方面说明： 数学的基本思想方法：数形结合 考点1：已知两点利用待定系数法求一次函数的解析式 一次函数图象经过点(9,0)和点(24,20)，写出函数解析式.（出 示课件9） 师生共同讨论解答如下： 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). 把点（9，0）与（24，20）分别代入y=kx+b，得： {0=9k+b 20=24k+b { 4 k= 解得 3 . b=-12 4 这个一次函数的解析式为y= x-12. 3出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：已知一点利用待定系数法求一次函数的解析式 若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线y=-x+3平行，求其解 析式. （出示课件11） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0) . {k=-1 由题意得 2k+b=0 { k=-1 解得 . b=2 ∴y=-x+2. 出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正. 考点3：几何面积和待定系数法求一次函数的解析式 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形 的面积为2，求此一次函数的解析式. （出示课件13） 师生共同分析: 一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x b 轴的交点是（- ，0）.由题意可列出关于k，b的方程. k 教师强调：此题有两种情况.学生独立思考后，师生共同解答. 解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). ∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2）， ∴b=2. 2 ∵一次函数的图象与x轴的交点是(- ，0)，则 k 1 | 2| ×2× - =2，解得k=1或-1. 2 k 故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2. 出示课件15，学生自主练习，教师给出答案. （三）课堂练习（出示课件17-22） 练习课件第17-22页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件23） 用待定系数法求一次函数的解析式 （1）设——设出函数解析式的一般形式 步 （2）代——把已知条件代入函数解析式中，得到关于 骤 待定系数的方程或方程组 （3）解——解方程或方程组求出待定系数的值（4）写——把求出的 k，b 值代回到解析式中，写出 函数解析式. （五）课前预习 预习下节课（19.2.2第4课时）的相关内容. 会用一次函数解决实际问题. 七、课后作业 1、教材第95页练习第1,2题. 2、练习试卷册第130-131页第3、5、11题. 八、板书设计 一次函数 第3课时 1.待定系数法求一次函数的解析式 考点1 考点2 考点3 2.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要 求学生在老师的引导下自主探索、合作交流,另一方面要求学生对探 究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——总结升华”为主线,使 学生亲身体验一次函数特征的探索, 培养学生的数形结合能力,努力 做到由传统的数学课堂向实验课堂转变. 不足之处：在教学过程中,高估了学生对与一次函数相关的实际 问题的理解能力,主要困难在于对一次函数的分段讨论理解不透彻, 根据实际问题中自变量的取值范围画图象掌握不牢固. 补救措施：在问题处理环节设计上给学生一个充分从事数学活动 的机会,应充分体现学生是数学学习的主人的理念.让学生能充分地 参与到探究活动中,大胆发表见解,通过讨论交流深入理解、掌握解 决问题的方法. 19.2.2 一次函数 第4课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题； 2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力； 3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问 题的能力. 【数学眼光】 1.经历用待定系数法求一次函数解析式的过程, 提高解答数学问 题的技能. 2.能根据函数的图象确定一次函数的表达式,体验数形结合,具体 感知数形结合思想在一次函数中的实际应用. 【数学语言】 能把实际问题抽象为数学问题,也能把所学的知识运用于实际,让 学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类的历史发展作用. 二、课型 新授课 三、课时 第4课时 共4课时 四、教学重难点 【教学重点】学会用一次函数解决实际问题. 【教学难点】 根据实际问题建立一次函数模型. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3） 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事.故事梗概 为:"一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶 中，使水面升高，从而喝到了水."告诉人们遇到困难要积极想解决 办法，认真思考才能让问题迎刃而解的道理.数学问题也一样哦!如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子， 水能刚好在瓶口？说说你的做法！ （二）探索新知 考点1：一次函数解答实际问题 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离称为指距.某 项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测 得的指距与身高的一组数据： 指距d(cm) 20 21 22 23 身高h(cm) 160 169 178 187①求出h与d之间的函数解析式（不要求写出自变量d的取值 范围）. ②某人身高为196 cm，一般情况下他的指距应是多少？（出示 课件5） 师生共同讨论解答如下： 解：（1）设h与d之间的函数关系式为： h=kd+b． 把d=20，h=160，d=21，h=169， 分别代入得， 20k+b＝160， 21k+b＝169. 解得k=9，b=-20， 即h=9d-20.（2）当h=196时，196=9d-20，解得d=24（cm）． 出示课件7-8，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：分段函数的解析式与图象 “黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2 kg 以上的种子，超过2 kg 部分的种子的价格打8 折. （1）填写下表： 购买种子数量/ 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … kg 付款金额/元 … （2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象. （出示课件9-12） 师生共同分析： 从题目可知，种子的价格与购买种子量有关. 若购买种子量为0≤x≤2时，种子价格y为： y =5x . 若购买种子量为x＞2时，种子价格y为： y= 4 （ x- 2 ） +10=4x+ 2 学生独立思考后，师生共同解答. 解：(1) 填写表格如下： 购买种子数量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …付款金额/元 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 … （2）设购买量为x千克，付款金额为y元. 当0≤x≤2时，y=5x； 当x＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2. {5x(0≤x≤2) y= 4x+2(x>2) 教师：上面的函数关系叫做分段函数. 强调： 1.它是一个函数； 2.要写明自变量取值范围. 教师：试着画出它的图象吧。 {5x(0≤x≤2) y= 的函数图象为: 4x+2(x>2) 出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正.（三）课堂练习（出示课件14-24） 练习课件第14-24页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件25） 1.根据实际问题直接列解析式 一次函数与 2.设解析式，再利用待定系数法求解析式 实际问题 3.分段函数的应用 （五）课前预习 预习下节课（19.2.3第1课时）的相关内容. 会用一次函数图象求方程和不等式的解. 七、课后作业 1、教材第98-99页习题19.2第3,11题. 2、练习试卷册第130-131页第6、8、10题. 八、板书设计 一次函数 第4课时 1．一次函数解答实际问题 2．分段函数的解析式与图象 3．例题讲解 九、教学反思成功之处：本节课的设计，力求体现新课程改革的理念，结合学 生自主探究的时间，为学生营造宽松、和谐的氛围，让学生学得更 主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养学生的探索能力和 创新能力，激发学生学习的积极性．在学生选择解决问题的诸多方 法的过程中，不过多地干涉学生的思维，而是通过引导学生自己去 探究来选择合适的办法解决问题． 不足之处：分段函数的解析式要注明自变量的取值范围，这是学 生的易错点，在教学中重视不够，练习不多，所以部分学生在解答 相关问题时出错，在以后的教学中要补齐这些知识. 19.2.3 一次函数与方程、不等式 一、核心素养目标 【数学思维】 1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 的相互联系.2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次 不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不 等式的解集. 3.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能 通过图象法来求二元一次方程组的解. 【数学眼光】 通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究, 引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维 能力. 【数学语言】 在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美, 以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心. 三、 课型 新授课 三、课时 1课时四、教学重难点 【教学重点】 1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质 联系. 2.掌握用图象求解方程、不等式的方法. 【教学难点】 根据一次函数的图象求解方程和不等式. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就 坐，这时 “x+y=5” 来了. 想一想：“x+y=5”属于二元一次方程还是一次函数呢？下面我 们开始今天的学习。（二）探索新知 1.出示课件4-6，探究一次函数与一元一次方程 教师问：我们先来看下面两个问题： （1）解方程2x+20=0. （2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？ 教师追问：对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么相同 和不同？ 学生答：2x+20=0是一元一次方程，y=2x+20是一次函数. 教师问：从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？ 师生一起解答： 问题(1)解方程2x+20=0， 得x=-10. 问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为（0）时，所对应的 （自变量x）为何值？ 实质上这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10.因此，这两个问 题实际上是同一个问题. 教师问：从图象上看：请作出函数y=2x+20的图象.学生答：作图如下： 教师问：函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0? 学生答：与x轴的交点(-10,0). 教师问：方程2x+20=0的解是多少？ 学生答：x=-10. 教师问：有上面的问题可以得到什么呢？ 学生答：即当x=-10时，函数y=2x+20的值为0，这说明方程 2x+20=0的解是x=-10.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标. 教师问：由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0 （a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为 0有什么关系？ 师生一起解答：由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致. 由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数,a≠0) 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0 时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b, 确定它与x轴交点的横坐标的值. 总结点拨：（出示课件7） 一次函数与一元一次方程的关系 从数的角度看 求ax+b=0(a, b是 x为何值y= ax+b 常数，a≠0)的解 的值为0 从形的角度看 求ax+b=0(a, b是 确定直线y= ax+b 常数，a≠0)的解 与x轴交点的横坐标 出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正. 考点1：利用一次函数、方程及图象解答问题一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过 几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方 面进行解答) （出示课件9） 师生共同讨论解答如下： 学生1解答： 解：设再过x秒它的速度为17米/秒， 由题意得2x+5=17, 解得x=6. 答：再过6秒它的速度为17米/秒. 学生2解答：解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒） 的函数y=2x+5. 由2x+5=17,得 2x－12=0. 由图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.学生3解答：解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒） 的函数y=2x+5.由图可以看出当y=17时，x=6. 出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件13-15，探究一次函数与一元一次不等式 教师问：观察下面3个不等式有什么共同点与不同点？ （1）3x+2>2; (2)3x+2<0; (3)3x+2<-1. 学生答：3个不等式相同的特点是：不等号左边都是3x+2； 不同点是：不等号及不等号右边分别是2，0，1. 教师问：你能从函数的角度对以上3个不等式进行解释吗？ 学生答：这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别 为大于2、小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围. 教师问：结合函数图象如何解释呢？学生答：在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足条件大于2、小于 0、小于-1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件. 教师总结点拨：（出示课件16） 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax +b＞0或ax +b＜0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于 在某个一次函数y=ax +b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值 范围. 总结归纳：（出示课件17） 一次函数与一元一次不等式的关系见课件流程图 考点1：利用一次函数的图象解一元一次不等式 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? （出示课件18-19）学生独立思考后，师生共同解答. 教师依次展示学生解答过程： 学生1解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交 于点B(2，0). 学生2解：（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位 于x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象 位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2； 学生3解：（2）由图象可知，当x>1时，y<3. 出示课件20-21，学生自主练习后口答，教师订正.3.出示课件22-26，探究一次函数与二元一次方程组 教师出示问题：1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的 速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h． (1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y(m)与气球 上升时间 x(min)的函数关系． 学生1答： 气球1 海拔高度：y=x+5； 学生2答：气球2 海拔高度：y =0.5x+15． 教师问：一次函数与二元一次方程有什么关系？ 师生一起解答： 一次函数y=0.5x+15 用方程观点看：二元一次方程y-0.5x=15用函数观点看：二元一次方程y=0.5x+15 从式子（数）角度看：一次函数 二元一次方程 教师问：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？ 学生答：由函数图象的定义可知：直线y=0.5x+15上的每个点的 坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y=0.5x+15上的每 个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解. 教师问：(2)什么时刻，1号气球的高度赶上2 号气球的高度？ 这时的高度是多少？请从数的方面分别加以研究. 学生答： {y=x+5 从数的角度看：解方程组 . 就是求自变量为何 y=0.5x+15 值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数 值．教师问：从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？ 学生答：二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交 点坐标． 总结归纳：（出示课件27） 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对 应一个一次函数，也对应一条直线． 方程组的解 对应两条直线交点的坐标. 出示课件28，学生继续自主练习，教师给出答案. 考点3：一次函数的图象与二元一次方程组如图，求直线l 与l 的交点坐标.（出示课件29） 1 2 师生共同分析：由函数图象可以求直线l 与l 的解析式，进而 1 2 通过方程组求出交点坐标. 学生独立思考后，师生共同解答. 解：因为直线l 过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得 1 直线l 的解析式为y =2x+2.同理可求得直线l 的解析式为y=-x+3. 1 2 1 { x= , { y=2x+2 3 解方程组 ，得 y=x+3 8 y= , 3 1 8 即直线l 与l 的交点坐标为（ ， ）. 1 2 3 3 出示课件31，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧.（三）课堂练习（出示课件32-39） 练习课件第32-39页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件40） 从函数值看 从函数图象看 解一元一次方程 ax+b 解一元一次方程 ax+b =k 一次函数 =k 就是求当函数 就是求函数（y=ax +b） 与一元一 （y=ax +b）值为k时 图象上纵坐标为k的点的 次方程 对应的自变量的值； 横坐标； 求kx+b＞0(或<0) 求kx+b＞0(或<0)(k≠0) 一次函数 (k≠0)的解集即求函数 的解集即确定直线 与一元一 y=kx+b的值大于(或小 y=kx+b在x轴上方(或下 次不等式 于)0时，x的取值范 方)的图象所对应的横坐 围； 标的范围. 一次函数 每个一次函数都对应一 求两直线的交点坐标，即 与二元一 个二元一次方程 求对应的二元一次方程组 次方程组 的解. （五）课前预习 预习下节课（19.3第1课时）的相关内容. 知道方案选择的方法与步骤. 七、课后作业 1、教材第98页练习和第99页习题19.2第12题. 2、练习试卷册第137-138页第1、2、7、8题. 八、板书设计 19.2.3 一次函数与方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程考点1 2.一次函数与一元一次不等式 考点1 3.一次函数与二元一次方程组 考点1 4.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节内容的本质是通过研究一次函数与方程、不等式 的关系解决与一次函数相关的实际问题. 把学生的探索和验证活动 放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一 方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认 识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——总 结升华”为主线,使学生亲身经历一次函数与方程、不等式的探索, 培养学生的数形结合的能力,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂 转变. 不足之处：在教学过程中,学生对与一次函数与方程、不等式的关系理解有一定的困难,对用函数的观点去解释一次函数与方程、不 等式的关系的阐述上不是太清晰,在用图象解决实际问题的方法掌握 不牢固. 补救措施：在问题处理环节设计上给学生一个充分从事数学活动 的机会,应充分体现学生是数学学习的主人的理念.让学生能充分地 参与到探究活动中,大胆发表见解,通过讨论交流深入理解一次函数 与方程、不等式的关系,并掌握解决问题的方法. 19.3 课题学习 选择方案 一、核心素养目标 【数学思维】 1.利用一次函数知识,根据实际问题背景建立一次函数模型. 2.灵活运用变量关系建立一次函数模型并且选择最佳方案解决相 关实际问题. 【数学眼光】1.让学生在探索过程中,体会“问题情境——建立模型——解释 应用——回顾拓展”这一数学建模的基本思想,感受函数知识的应用 价值. 2.让学生结合自身的生活经历,模仿尝试解决一些身边的函数应 用问题,体会数学与现实的密切联系,提高解决问题的能力,体会一次 函数在分析和解决实际问题中的作用. 【数学语言】 1.通过对实际问题的数据关系的探索,使学生领会分类讨论的思 想和善于总结的学习态度. 2.通过小组讨论交流合作,培养学生的合作意识和探索精神;认识 到函数与现实有密切关系,感受到数学的实际价值. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点【教学重点】 建立一次函数模型解决实际问题. 【教学难点】 分类讨论的分析方法. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3） 教师引导学生参与课件中话题，引出新课 （二）探索新知 1.出示课件5-10，探究选择方案 教师问：怎样选取上网收费方式？ 学生答：选择实惠的. 教师问：下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式. 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/min） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05C 120 不限时 选择哪种方式能节省上网费? 学生答：要对三种上网方式进行比较，找出最方便实惠的. 教师问：哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？ 学生答：A、B会变化，C不变. 教师问：在A、B两种方式中，上网费由哪些部分组成？ 学生答：上网费=月使用费+超时费. 教师问：影响超时费的变量是什么？ 学生答：上网时间. 教师问：这三种方式中有一定最优惠的方式吗？ 学生答：没有一定最优惠的方式，与上网的时间有关. 教师问：设月上网时间为x，则方式A、B的上网费y 、y 都是x 1 2 的函数，要比较它们，需在 x > 0 时，如何比较？ 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/min） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 学生答：要比较它们，需在x>0 时，考虑何时 （1）y =y ； （2）y y . 1 2 1 2 1 2教师问：在方式A中，超时费一定会产生吗？什么情况下才会有 超时费？ 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/ min） A 30 25 0.05 学生答：不一定，只有在上网时间超过25小时时才会产生． 当0≤x≤25时，y =30； 1 当x＞25时，y =30+0.05×60（x-25）=3x-45. 1 {30,(0≤x≤25) 合起来可写为：y = 1 3x-45,(x>25) 教师问：你能自己写出方式B的上网费y 关于上网时间 x之间 2 的函数关系式吗? 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/ min） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 {50,(0≤x≤50) 学生答：y = 2 3x-100,(x>50) 教师问：方式C的上网费y 关于上网时间x之间的函数关系式呢? 3 学生答：当x≥0时，y =120. 3教师问：你能利用函数图象进行比较吗？ 师生一起解答： 在同一坐标系画出它们的图象： 2 当上网时间0≤x≤31 时，选择方式A最省钱. 3 2 当y =y 时，x=31 . 1 2 3 2 1 当上网时间31 ≤x≤73 时，选择方式B最省钱. 3 3 1 当y =y 时，x=73 . 2 3 3 1 当上网时间x>73 时，选择方式C最省钱. 3 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件13-19，探究怎样租车 教师问：某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现 有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位： 45 30 人/辆） 租金 （单位：元/辆） 400 280 （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案． 学生问：租车的方案有哪几种？ 师生一起解答：共三种：（1）单独租甲种车；（2）单独租乙种 车；（3）甲种车和乙种车都租． 教师问：如果单独租甲种车需要多少辆？ 1 学生答：240÷45=5 . 单独租甲种车要6辆 3 教师问：单独租乙种车呢？ 学生答：240÷30=8，单独租乙种车要8辆. 教师问：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？ 学生答：汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆. 教师问：要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？ 学生答：说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)—— 单独租乙种车；所以租车的辆数只能为6辆． 教师问：在讨论3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情 况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？ 师生一起解答： 方法1：分类讨论——分3种情况； 方法2：设租甲种车x辆，确定x的范围. 教师问：看下面的问题： 甲种客车 x辆 乙种客车（6-x） 辆 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金 （单位：元/辆） 400 280 为使240名师生有车坐，可以确定x的一个范围吗？ 学生答： 45x+30(6-x) ≥240, 15x≥60, x≥4. 教师问：为使租车费用不超过2300元，又可以确定x的范围吗？学生答： 400x+280(6-x) ≤2300, 120x≤620, 1 x≤5 . 6 教师问：由上边的两个问题结果，你能找出x的取值范围吗？ 1 学生答：x的取值范围为：4≤x≤5 . 6 教师问：结合问题的实际意义，你能有几种不同的租车方案?为 节省费用应选择其中的哪种方案？ 师生一起解答： 甲种客车 x辆 乙种客车（6-x） 辆 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金 （单位：元/辆） 400 280 设租用 x 辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是 x 的函数， 即y=400x+280(6-x)，化简为：y=120x+1680. 1 所以：y=120x+1680.（4≤x≤5 .） 6 方案一：当x=4时，即租用4辆甲种汽车，2辆乙种汽车 y=120×4+1680=2160.方案二：当x=5时，即租用5辆甲种汽车，1辆乙种汽车 y=120×5+1680=2280. 由函数可知 y 随 x 增大而增大，所以 x = 4时， y 最小. 教师问：除了分别计算两种方案的租金外，还有其他选择方案的 方法吗？ 学生答：根据人数等其他变量来选择方案. 总结点拨：（出示课件20） 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从 中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据 问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数 学模型. 考点1：利用一次函数解答方案选择问题 某土产公司组织20辆相同型号的汽车装运甲、乙、丙三种土特 产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装 运同一种土特产，且必须装满，并且丙种型号汽车车辆是甲种型号汽车车辆的2倍，根据下表提供的信息，解答以下问题.（出示课件 21-22） 土特产种类 甲 乙 丙 每辆汽车运载量/吨 8 6 5 每吨土特产获利/百元 12 16 10 (1)设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数 为y，求y与x之间的函数关系式； (2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排 方案有几种？并写出每种安排方案； (3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案？并求 出最大利润的值. 师生共同讨论解答如下： 教师依次展示学生解答过程： 学生1解：(1)y与x之间的函数关系式为y＝20－3x； 学生2解：(2)由x≥3，y≥3，(20－x－y)≥3， 把y＝20－3x代入，可得x≥3，y＝20－3x≥3， 17 20－x－(20－3x)≥3，可得3≤x≤ ， 3又∵x为正整数， ∴x＝3,4,5.故车辆的安排有三种方案，即： 方案一：甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆； 方案二：甲种4辆，乙种8辆，丙种8辆； 方案三：甲种5辆，乙种5辆，丙种10辆. 学生3解： (3)设此次销售利润为W元， W＝8x·12＋6(20－3x)·16＋ 5· 2x · 10 ＝－92x＋1920， ∵W随x的增大而减小，又x＝3,4,5. ∴当x＝3时，W ＝1 644(百元)＝16.44万元. 最大 答：要使此次销售获利最大，应采用(2)中方案一，即甲种3辆， 乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元. 出示课件25，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件26-39）练习课件第26-39页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件40） 1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数 关系式（建立数学模型）. 解决方案问题 2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变 步骤 量的范围. 3.利用一次函数的增减性知识从而选择出最佳 方案. （五）课前预习 预习下节课（20.1.1第1课时）的相关内容. 知道平均数和加权平均数的定义 七、课后作业 1、教材第104页实践活动. 2、练习试卷册第141-142页第4、6题. 八、板书设计 19.3 课题学习 选择方案 1.怎样选取上网收费方式 2.怎样租车3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课通过以生活中的实例问题为载体,以一次函数 的知识作为解题工具,把复杂问题通过分解转化为简单问题,思路清 晰而简练,突出重点,训练到位,体现了学生自主、合作、探究、交流 的学习方式,激发学生学习数学的兴趣,培养了学生运用数学知识解 决实际问题的能力. 不足之处：在教学过程中,高估了学生的数学建模能力,由于试题 难度较大,基础不好的同学把实际问题转化成数学问题感到困难. 补救措施：适当增加学生交流的时间,练习时可以根据学生的基 础进行分层要求. 20.1.1 平均数 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.使学生理解数据的权和加权平均数的概念.2.使学生掌握加权平均数的计算方法. 【数学眼光】 1.通过加权平均数的学习,经历运用数据描述信息,做出推断的过 程,形成和发展统计观念. 2.通过加权平均数的学习,进一步认识数据的作用,体会统计的思 想方法. 【数学语言】 渗透数学公式的简单美和结构的严谨美,展示了寓深奥于浅显、 寓纷繁于严谨的辩证统一的数学美. 四、 课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 会求加权平均数. 【教学难点】对“权”的正确理解. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 教师出示问题：如图ABCD四个杯子中装了不同数量的小球，你 能让四个杯子中的小球数目相同吗？ 观察小球演示过程，回顾平均数的有关知识。 （二）探索新知 1.出示课件4-7，探究平均数与加权平均数 教师出示问题：重庆7月中旬一周的最高气温如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温/℃ 38 36 38 36 38 36 36 教师问：你能快速计算这一周的平均最高气温吗？ 258 学生答：（38+36+38+36+38+36+36）÷7= 7 教师问：你还能回忆、归纳出算术平均数的概念吗？ 学生答：日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”. x +x +⋯+x 一般地，对于n个数x , x , …, x ，我们把x= 1 2 n, 叫 1 2 n n 做这n个数的算术平均数，简称平均数. 教师问：计算某篮球队10个队员的平均年龄： 年龄（岁） 27 28 29 30 31 相应队员数 1 3 1 4 1 学生1答：平均年龄 27×1+28×3+29×1+30×4+31×1 x= =29.1 10 教师问：还有其他算法吗？ 学生2答：平均年龄 27+28+28+28+29+30+30+30+30+31 x= =29.1 10 教师问：请问，在年龄确定的时候，影响平均数的因素是什么？ 学生答：在年龄确定的情况下，队员人数1、3、1、4、1是影响 平均数的因素. 教师依次出示问题： 一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、 说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如下表所 示：应试者 听 说 读 写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 教师问：（1）如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计 算两名应试者的平均成绩（百分制）.从他们的成绩看，应该录取谁？ 学生答： 85+78+85+73 （1）甲的平均成绩 =80.25 4 73+80+82+83 乙的平均成绩 =79.5 4 因为80.25＞79.5，所以应该录取甲. 教师问：（2）如果公司要招聘一名笔译能力较强的翻译，那听、 说、读、写成绩按2:1:3:4的比确定，计算两名应试者的平均成绩， 从他们的成绩看，应该录取谁？ 学生答： 85×2+78×1+85×3+73×4 （1）甲的平均成绩 =79.5 2+1+3+4 73×2+80×1+82×3+83×4 乙的平均成绩 =80.4 2+1+3+4 因为79.5<80.4，所以应该录取乙. 教师问：如果公司想招一名口语能力较强的翻译，则应该录取谁？（听、说、读、写的成绩按照3:3:2:2的比确定．） 应试者 听 说 读 写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 学生答：通过计算比较，应该录取甲. 教师问：将问题（1）、（2）、（3）比较，你能体会到权的作 用吗？ 师生一起解答：同样一张应试者的应聘成绩单，由于各个数据所 赋的权数不同，造成的录取结果截然不同. 教师强调：数据的权能够反映数据的相对重要程度！ 总结点拨：（出示课件10） 定义：一般地，若n个数x , x , …, x 的权分别是w ,w ,…,w 1 2 n 1 2 n x w +x w +⋯+x w ，则 1 1 2 2 n n，叫做这n个数的加权平均数. w 1+w 2+⋯+wn 如上题解（2）中平均数79.5称为甲选手的加权平均数；其中 2、1、3、4就是甲选手听、说、读、写各项得分的权！ 教师问：权有何意义呢？ 师生总结：权的意义：（1）数据的重要程度;（2）权衡轻重或份量大小 考点1：利用加权平均数解答实际问题 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个 方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占 50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%的比例，计算选手的综合成 绩（百分制）.进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示： 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 请确定两人的名次.(出示课件11) 师生共同分析： 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 权 50% 40% 10% 师生共同讨论解答如下： 85×50%+95×40%+95×10% 解：选手A的最后得分是 50%+40%+10% =42.5+38+9.5=9095×50%+85×40%+95×10% 选手B的最后得分是 =47.5+34+9.5=91. 50%+40%+10% 由上边的结果可知选手B获得第一名，选手A获得第二名. 教师问：你能说说算术平均数与加权平均数的区别和联系吗？ 师生总结： 1.算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权 相等）； 2.在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权 平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数. 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件15-16，探究加权平均数的其它形式 教师问：加权平均数有其它表示形式吗？ 在求n个数的算术平均数时，如果x 出现f 次，x 出现f 次，…， 1 1 2 2 x 出现f 次（这里f +f +…+f =n）那么这n个数的算术平均数x= k k 1 2 k x f +x f +⋯+x f 1 1 2 2 k k n 也叫做x ，x ，…，x 这k个数的加权平均数，其中f ， 1 2 k 1 f ，…，f 分别叫做x ，x ，…，x 的权. 2 k 1 2 k 考点1：加权平均数的应用某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如 下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人.求这个跳水队 运动员的平均年龄（结果取整数）.（出示课件17） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：这个跳水队运动员的平均年龄为： 13×8+14×16+15×24+16×2 x= ≈14（岁）. 8+16+24+2 答：这个跳水队运动员的平均年龄约为14岁. 出示课件18，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件19-28） 练习课件第19-28页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件29） 平均数与加权平均数 一般地，对于 n 个数 x ,x , …, x ，我们把 1 2 n 平均数 叫做这n个数的算术平均数，简称平均数. 若n个数x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，…， 1 2 n 1 2 加权平均 x w +x w +⋯+x w w ，则 1 1 2 2 n n 叫做这 n 个数的加权 数 n w 1+w 2+⋯+wn 平均数. 加权平均 在求 n 个数的算术平均数时，如果 x 出现 f 次， 1 1x 出现 f 次，…，x 出现 f 次（这里 f +f +… 2 2 k k 1 2 +f =n ） 那 么 这 n 个 数 的 算 术 平 均 数 x= k 数的其他 x f +x f +⋯+x f 1 1 2 2 k k也叫做 x ，x ，…，x 这 k 个数 1 2 k 形式 n 的加权平均数，其中 f ，f ，…，f 分别叫做 x ， 1 2 k 1 x ，…，x 的权。 2 k （五）课前预习 预习下节课（20.1.1第2课时）的相关内容. 会用平均数解决实际问题 七、课后作业 1、教材第113页练习第1,2题. 2、练习试卷册第162-163页第1、5、8题. 八、板书设计 平均数 第1课时 1.平均数与加权平均数 考点1 2.加权平均数的其它形式 考点1 3.例题讲解 九、教学反思成功之处：本节课把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要 求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探 究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的 目的.平均数是统计中的一个重要概念,新教材注重了学生在经历统 计活动的过程中体会平均数的本质内涵,理解平均数的意义,发展学 生的统计观念.基于以上认识,我在设计中突出了让学生在具体情境 中体会为什么要学习平均数,注重引导学生在统计的背景中理解平均 数的含义,在比较、观察中把握平均数的特征,进而运用平均数解决 实际问题,了解它的价值,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转 变. 不足之处：在教学过程中,高估了学生理解加权平均数的能力,主 要困难在于一些学生不能对权的含义理解透彻. 补救措施：适当增加学生熟知的一些实例,通过计算平均数,深刻 理解权的含义及对平均数的影响. 20.1.1 平均数第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.加深对加权平均数的理解. 2.会根据频数分布表求加权平均数,从而解决一些实际问题. 3.会用计算器求加权平均数的值. 【数学眼光】 经历探索加权平均数的应用过程,体验和理解统计的基本思想,学 会频数分布表中应用加权平均数的方法. 【数学语言】 乐于接触社会环境中的数学信息,了解数学对促进社会进步和发 展人类理解精神的作用. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点【教学重点】 能根据频数分布表利用组中值的方法应用公式计算加权平均数. 【教学难点】 对算术平均数的简便算法与加权平均数算法一致性的理解. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 某汽车厂为了了解2000辆汽车的安全可靠性能,你认为下列方法 是否可行,为什么？ 1. 从中抽出15辆做碰撞试验； 2. 用抽取的15辆汽车的安全可靠性可以作为一个样本； 3. 用抽取的样本的安全可靠性来估计整批2000辆汽车的安全可 靠性能. （二）探索新知 1.出示课件4-8，探究一组数据中的平均数和组中值教师出示问题：为了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计 了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量，得到下表，这天5路 公共汽车平均每班的载客量是多少？ 载客量/人 频数（班次） 1≤x<21 3 21≤x<41 5 41≤x<61 20 61≤x<81 22 81≤x<101 18 101≤x<121 15 学生答：用总的乘客人数除以总的班次即可. 学生问：表格中载客量是六个数据组，而不是一个具体的数，各 组的实际数据应该选谁呢？ 教师答：要选取组中值，数据分组后，一个小组的组中值是指： 这个小组的两个端点的数的平均数． 1+21 1≤x＜21的组中值为 =11. 2 教师问：上面问题的组中值分别是多少呢？ 学生依次回答，教师总结如下： 计算后得到下表:载客量/人 组中值 频数(班次) 1≤x<21 11 3 21≤x<41 31 5 41≤x<61 51 20 61≤x<81 71 22 81≤x<101 91 18 101≤x<121 111 15 教师：根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中 值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权． 教师问：请解答“这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少？ ” 师生一起解答： 解：这天5路公共汽车平均每班的载客量是 11×3+31×5+51×20+71×22+91×18+111×15 x = ≈73（人） 3+5+20+22+18+15 答：这天5路公共汽车平均每班的载客量是73人. 教师问;如何利用计算器求平均数呢？ 师生一起解答：使用计算器的方法： 1.不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算 器的使用说明书. 2.通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x ，x ，…，x ，以及它们的权f ， f ，…，f ； 1 2 n 1 2 n 最后按动求平均数的功能键（例如x键），计算器便会求出平均 x f +x f +…+x f 数x= 1 1 2 2 n n的值. n 考点1：在一组数据中求平均数 种菜能手李大叔种植了一批新品种黄瓜.为了考察这种黄瓜的生 产情况，他随机抽查了部分黄瓜藤上长出的黄瓜根数，得到如图所 示的条形图.请计算这个新品种黄瓜平均每株结多少根黄瓜．（出示 课件9） 师生共同分析：读图，从图中可以得到哪些信息？如何计算平均 数？条件是否足够？ 师生共同讨论解答如下： 解：条形图中样本的平均数为 （10×10+13×15+14×20+15×18） ÷ （10+15+18+20）≈13 （根）故这个新品种黄瓜平均每株结13根黄瓜. 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件13-16，探究利用样本估计平均数 教师问：果园里有100 棵梨树，在收获前，果农常会先估计果 园里梨的产量．你认为该怎样估计呢？ 学生答：估计梨的个数和每个梨的质量. 教师问：果农从100 棵梨树中任意选出10 棵，数出这10棵梨 树上梨的个数，得到以下数据：154，150，155，155，159，150， 152，155，153，157．你能估计出平均每棵树的梨的个数吗？ 150×2+152+153+154+155×3+157+159 学生答：x = =154 10 所以平均每棵梨树上梨的个数为154． 教师问：果农从这10 棵梨树的每一棵树上分别随机摘4个梨， 这些梨的质量分布如下表： 梨的质量x/kg 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5 0.5≤x＜0.6 频数 4 12 16 8 能估计出这批梨的平均质量吗？ 0.25×4+0.35×12+0.45×16+0.55×8 学生答：x = =0.42（kg） 4+12+16+8 所以平均每个梨的质量约为0.42 kg．教师问：你能估计出该果园中梨的总产量吗？ 学生答：154×100×0.42=6468（kg） 所以该果园中梨的总产量约为6468 kg． 教师问：这个生活中的问题是如何解决的，体现了怎样的统计思 想？ 学生答：样本估计总体；用样本平均数估计总体平均数． 考点1：利用样本估计求平均数 某灯泡厂为了测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯 泡，它们的使用寿命如下表所示．这批灯泡的平均使用寿命是多少？ （出示课件17） 使用寿命x/h 600≤x＜1 000 1000≤x＜1 400 1400≤x＜1 800 1800≤x＜2 200 2200≤x＜2 600 灯泡只数 5 10 12 17 6 学生独立思考后，师生共同解答. 解：据上表得各小组的组中值，于是 800×5+1200×10+1600×12+2000×17+2400×6 x= =1672（h） 50 答：即样本平均数为1 672． 因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1672h． 出示课件19，学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件20-29） 练习课件第20-29页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件30） 用样本平均数估计总体平均数 数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两 组中值 个端点的数的 平均数 . 对于频数分布表、频数直方图等问题，计算平均数 时，常用各组的 组中值 代表各组的实际 平均数 数据，把各组的 频数 看作相应组中值的 权． 总体平均 当要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性 数 时，常用样本平均数估计总体平均数. （五）课前预习 预习下节课（20.1.2第1课时）的相关内容. 知道中位数、众数的定义七、课后作业 1、教材第116页练习. 2、练习试卷册第161-162页第3、7、9题. 八、板书设计 平均数 第2课时 1.一组数据中的平均数和组中值 考点1 2.利用样本估计平均数 考点1 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应 的核心素养目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学 生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过 程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的. 整节课以“问题情境—合作探究—分析计算—总结升华”为主线,使学生亲身体验根据频数分布表计算加权平均数的探索和验证过程,努 力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变. 不足之处：在教学过程中,对于组中值的作用、为什么要取组中 值没有深入讨论,有些学生只是知道要取组中值,对于其中的原因根 本没有明白,部分学生对于权的理解还不够深刻. 补救措施：适当增加学生熟悉的实例,通过对比,使学生明白为什 么要取组中值,并能更进一步理解权的含义,掌握根据频数分布表计 算加权平均数的方法. 20.1.2 中位数和众数 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.认识中位数和众数,并会求一组数据的众数和中位数. 2.能够在具体的情境中选择合适的统计量表示数据. 3.培养学生运用数学来解决实际问题的意识,养成“用数字来说 话”的思想和习惯.【数学眼光】 通过设置问题情境,经过探索、研究、解决问题,使学生经历中位 数和众数产生的过程,感受统计在生活中的应用. 【数学语言】 1.通过小组间的交流与合作,体验数学活动充满探索与创新的特 点,从而培养学生的合作交流意识和探索精神. 2.在解决实际问题的情境中,体会数学与实际生活的联系,增强统 计意识,培养统计能力. 五、 课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 理解中位数、众数的概念,会求一组数据的中位数和众数. 【教学难点】 利用中位数、众数分析数据信息并做出决策.五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3） 某次数学考试，婷婷得了 78 分. 全班共 30 人, 其他同学的成 绩为 1 个 100 分，4 个 90 分, 22 个 80 分,以及一个 2 分和一个 10 分.婷婷计算出全班的平均分为 77 分，所以婷婷告诉妈妈说，自己 这次成绩在班上处于“中上水平”. 婷婷有欺骗她妈妈吗？你对此有何评价？ 继续观察课件第3页情景图，思考这个公司员工收入如何。 （二）探索新知 1.出示课件5-6，探究中位数的概念 教师出示问题：下表是某公司员工月收入的资料． 月 4 1 1 5 5 3 3 2 收 5000 8000 0000 500 000 400 000 500 入/元 人 1 1 1 3 6 1 11 1 数 教师问：(1)计算这个公司员工月收入的平均数；学生答： x= 45000×1+18000×1+10000×1+5500×3+5000×6+3400×1+3000×11+2500×1 1+1+1+3+6+1+11+1 =6336. 教师问：（2）如果用（1）算得的平均数反映公司全体员工月收 入水平，你认为合适吗？为什么？ 学生答：不合适，平均数远远大于绝大多数人（22人）的实际 月工资，绝大多数人“被平均”，所以不合适． 教师问：该公司员工的中等收入水平大概是多少元？ 学生答：中等水平是3400元. 教师问：你是怎样确定的？ 学生答：一半人月工资高于该数值，另一半人月工资低于该数值； 这个值就是中等水平. 教师问：“平均数”和“中等水平”谁更合理地反映了该公司绝 大部分员工的月工资水平？ 学生答：“中等水平”. 教师总结：中位数定义：一组数据按由小到大（或由大到小）顺序排列，如 果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是数据的中位数. 教师问：如果数据的个数是偶数时，中位数会是什么呢？ 师生一起解答：如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平 均数为这组数据的中位数． 教师强调：如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合 理地反映该组数据的整体水平． 教师强调：（出示课件8） 1.求中位数要将一组数据按大小顺序排列，而不必计算，顾名思 义，中位数就是位置处于最中间的一个数（或最中间的两个数的平 均数），排序时，从小到大或从大到小都可以． 2.当数据个数为奇数时，中位数是这组数据中的一个数据；但当 数据个数为偶数时，其中位数是最中间两个数据的平均数，它不一 定与这组数据中的某个数据相等. 考点1：求中位数 在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手所用的时间（单位：min）如下：136 140 129 180 124 154 146 145 158 175 165 148 （1）样本数据（12名选手的成绩）的中位数是多少？ （2）一名选手的成绩是142min，他的成绩如何？（出示课件9- 10） 师生共同讨论解答： 教师依次展示学生解答过程： 学生1解：（1）先将样本数据按照由小到大的顺序排列： 124 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175 180 这组数据的中位数为处于中间的两个数146, 148的平均数，即 146+148 =147. 2 答：样本数据的中位数是147. 学生2解：（2） 由（1）知样本数据的中位数为147，它的意义 是：这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于147min，有一 半选手的成绩慢于147min. 这名选手的成绩是142min，快于中位数147min，因此可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好. 教师问：你能说一说中位数的特征及意义吗？ 师生归纳总结：（出示课件11） 中位数的特征及意义： 1.中位数是一个位置代表值（中间数），它是唯一的. 2.如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映 该组数据的整体水平． 3.如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于或大于这个 中位数的数据各占一半，反映一组数据的中间水平． 出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用中位数求字母的值 已知一组数据10，10，x，8(由大到小排列)的中位数与平均数 相等，求x值及这组数据的中位数.（出示课件13） 师生共同分析： 由题意可知最中间两位数是10，x，列方程求解即可. 学生独立思考后，师生共同解答. 解：∵10，10，x，8的中位数与平均数相等,∴ (10+x)÷2＝ (10+10+x+8)÷4. ∴x＝8. (10+x)÷2＝9. ∴这组数据的中位数是9. 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件15-16，探究众数的概念 教师问：下表是某公司员工月收入的资料． 月 4 1 1 5 5 3 3 1 收 5000 8000 0000 500 000 400 000 000 入/元 人 1 1 1 3 6 1 11 1 数 如果小张是该公司的一名普通员工，那么你认为他的月工资最有 可能是多少元？ 学生答：小张月工资最有可能是3400元 教师问：如果小李想到该公司应聘一名普通员工岗位，他最关注 的是什么信息？ 学生答：该公司一名普通员工月工资多少元. 教师给出定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 教师强调： （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中. （2）一组数据的众数可能不止一个.如1，1，2，3，3，5中众 数是1和3. （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的 次数，如1，1，1，2，2，5中众数是1而不是3. 考点1：求众数 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销 售量如表所示.你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议码？ 尺码/厘米 2 2.5 3 23.5 4 24.5 5 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 学生独立思考后，师生共同解答. 解：由上表看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据 的众数，它的意义是：23.5厘米的鞋销量最大.因此可以建议鞋店 多进23.5厘米的鞋. 出示课件19，学生自主练习，教师给出答案.（三）课堂练习（出示课件20-29） 练习课件第20-29页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件30） 中位数和众数 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排 列：如果数据的个数是奇数，则称 处于中间位置的 中位数 数 为这组数据的中位数；如果 数据的个数是偶数，则称 中 间两个数据的平均数为这组数据的中位数． 一组数据中 出现次数最多 的数据称为这组数据 众数 的众数.． （五）课前预习 预习下节课（20.1.2第2课时）的相关内容. 会利用众数和中位数解决实际问题. 七、课后作业 1、教材第117页练习和教材第118页练习第1,2题. 2、练习试卷册第168页第1、2、6题. 八、板书设计 中位数和众数第1课时 1.中位数 考点1 考点2 2.众数 考点1 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处：本节课的教学设计遵循学生的认知心理,通过设计学 生熟悉的问题情境,激发学生的学习兴趣及积极性,适时组织与引导 学生自主探索、与同伴合作交流,认识中位数、众数的特点,能根据 实际问题,选择适当的统计量,表示一组数据的不同特征,突破重难点, 完成本节课的学习目标,让学生感受“现实的数学、有用的数学”. 自我反思：学生对中位数和众数的定义的掌握和理解较易接受, 但在求中位数时容易出错. 补救措施：在教学中需强调:(1)先将一组数据排序;(2)当一组数 据的个数是偶数时,则要求中间两个数的平均数作为这组数据的中位数.教学过程中精心设计几种不同情形,巩固学生对中位数的求法. 20.1.2 中位数和众数 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表. 2.了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异. 3.能灵活应用这三个数据代表解决实际问题. 【数学眼光】 通过实际问题情境理解平均数、中位数和众数这三个统计量之间 的联系与区别,培养学生的应用意识和实践能力. 【数学语言】 在解决实际问题的情境中,让学生体会数学与实际生活的联系,感 受统计在生活中的应用,增强统计意识,培养统计能力. 六、 课型 新授课 三、课时第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 了解平均数、中位数、众数之间的差异. 【教学难点】 灵活运用这三个数据代表解决问题. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 八年级某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩好而争论， 他们的五次数学成绩分别是： 小华：62,94,95,98,98； 小明：62,62,98,99,100； 小丽：40,62,85,99,99. 他们都认为自己的数学成绩比另两位同学好，你看呢？（二）探索新知 1.出示课件4-7，探究平均数、众数和中位数的应用 教师问：有6 户家庭的年收入分别为（单位：万元）：4，5， 5，6，7，50．你认为这6户家庭的年收入水平大概是多少？ 教师依次展示学生答案： 4+5+5+6+7+50 学生1答：（1）用平均数估计：x= ≈12.83（万 6 元）； 5+6 学生2答：（2）用中位数估计：中位数= =5.5（万元）； 2 学生3答：（3）用众数估计：众数=5（万元）． 教师问：如果把数据50改成9，结果又会怎样？ 教师依次展示学生答案： 学生1答： 4+5+5+6+7+9 （1）用平均数估计：x= =6（万元）； 6 学生2答： 5+6 （2）用中位数估计：中位数= =5.5（万元）； 2 学生3答： （3）用众数估计：众数=5（万元）．教师问：请你对这三种估计结果进行评价，这些结果是否比较客 观地反映了这些家庭的年收入水平？ 师生一起解答：因为这些数据之中，平均数最容易受到极端值的 影响，中位数和众数不易受到极端值的影响，所以可以用中位数和 众数来反映这些家庭的收入，但是数值有些偏低.它们各有优缺点. 教师问： 请说说平均数、众数和中位数这三个统计量的各自特 点． 师生总结： 1.平均数计算要用到所有的数据，任何一个数据的变动都会相应 引起平均数的变动，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端 值的影响较大． 2.众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心 的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势，缺点是当 众数有多个且众数的频数相对较小时可靠性小，局限性大． 3.中位数仅与数据的排列位置有关，不易受极端值影响，中位数 可能出现在所给数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势，中位数的计算很 少． 出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正. 考点1：利用平均数、众数和中位数解答实际问题 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根 据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的 月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位： 万元），数据如下： 17 18 16 13 24 15 28 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 14 15 26 15 32 23 17 15 15 28 28 16 19 （1）月销售额在哪个值的人数最多？中间的月销售额是多少？ 平均的月销售额是多少？ （2）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多 少合适？说明理由． （3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．（出示课件9-10） 师生共同分析：本题通过分析样本数据的平均数、中位数、众数 来估计总体的情况. 确定一个适当的月销售目标是一个关键问题，如果目标定得太高， 多数营业员完不成任务，会使营业员失去信心；如果目标定得太低， 不能发挥营业员的潜力. 师生共同讨论解答如下： 解：整理上面的数据得以下图表（请补充完整） 销售额/万元 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 6 8 0 2 人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2 学生1解：（1）解：样本数据的众数是15，中位数是18，利用 计算器求得这组数据的平均数约是20.3.可以推测，这个服装部营 业员的月销售额为15万元的人数最多，中间的月销售额是18万元， 平均月销售额大约是20.3万元.学生2解：（2）解：这个目标可以定为每月20.3万元（平均 数）.因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大. 可以估计，月销售额定为每月20.3万元是一个较高的目标，大约会 有三分之一的营业员获得奖励. 学生3解：（3）解：月销售额可以定为每月18万元（中位数）. 因为从样本情况看，月销售额在18万元以上（含18万元）的有16 人，占总人数的一半左右.可以估计，如果月销售额定为18万元， 将有一半左右的营业员获得奖励. 出示课件16，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用平均数、众数、中位数与统计图结合的问题 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别绘制成下列两个统计图： 甲队员射击训练成绩 乙队员射击训练成绩根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩(环) 中位数(环) 众数(环) 甲 a 7 7 乙 7 b 8 (1)写出表格中a，b的值； (2)分别运用表中的三个统计量，简要分析这两名队员的射击成 绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？（出示课件18- 20） 学生独立思考后，师生共同分析后解答. 教师依次展示学生答案 学生1解：（1）a＝7，b＝7.5. 学生2解：（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环， 从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多.综合以上各因素，若选派一名学 生参赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大. 出示课件21，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么 样吧. （三）课堂练习（出示课件22-35） 练习课件第22-35页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件35） 平均数、中位数和众数的特点 能充分利用数据提供的信息．但它受极端值的影响 平均数 较大 中位数仅与数据的排列位置有关，不易受极端值影 中位数 响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所 给的数据中． 众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人 众数 们关心的一个量，不易受极端值影响. （五）课前预习 预习下节课（20.2第1课时）的相关内容. 知道方差的定义和方差的性质，会求简单的方差.七、课后作业 1、教材第121页练习和第121习题20.1第1,2题. 2、练习试卷册第168页第3、8、9题. 八、板书设计 中位数和众数 第2课时 1.平均数、中位数、众数的应用 考点1 考点2 2.例题讲解 九、教学反思 成功之处：平均数、中位数和众数是三种反映一组数据集中趋势 的统计量,本节课首先通过创设问题情境,激发学生的学习兴趣,再通 过由浅入深设计实际问题,使学生思维分层递进,目的是突出本节重 点,分解了难点,通过追问层层引导,启发学生运用类比、归纳、猜想 等思维方法探究实际问题的解决方法. 不足之处：不能正确把握操作的时间,如在利用平均数、中位数、 众数来分析实际问题时没有根据问题的难易程度来合理分配时间.自我反思：教学时应该根据提出问题的难易程度,和所给的讨论 时间成正比.难一点的问题,应多给点时间,反之则少给点时间.这样 既保证了解决问题的有效性,又不至于浪费时间. 20.2 数据的波动程度 第1课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.理解方差的概念及统计学意义. 2.会计算一组数据的方差. 3.能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题. 【数学眼光】 经历探索方差的应用过程,体会数据波动中的方差的求法,积累统 计经验. 【数学语言】 培养学生的统计意识,形成尊重事实、用数据说话的态度,认识数 据处理的实际意义. 七、 课型新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 理解方差的意义，会计算一组数据的方差. 【教学难点】 运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3） 教练的烦恼 甲，乙两名射击选手的测试成绩统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9乙命中环数 10 6 10 6 8 现要从甲，乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你 是教练，你认为挑选哪一位比较合适？ （二）探索新知 1.出示课件5-8，探究方差的概念 教师问：农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时， 甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、 乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的 试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表： 甲 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 .65 .50 .62 .59 .65 .64 .50 .40 .41 .41 乙7.55 7.56 7.5 7.44 7.4 7.52 7.58 7.4 7.53 7.49 3 9 6 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 学生答：产量高的玉米种子 教师问：甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明． 学生1答：x =7.537. 甲 学生1答：x =7.515. 乙 教师总结：x =7.537，x =7.515. 甲 乙说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大． 可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大． 教师问：那么如何选择呢？ 学生答：可以选择产量稳定的. 教师问：如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？ 师生一起解答：①设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情 况． 教师依次展示学生答案： 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 产量波动较大 产量波动较小 总结点拨：（出示课件9-10） 1.方差的概念：设有n个数据x ，x ，…，x ，各数据与它们的平均数x的差的平 1 2 n 方分别是（x -x）2, （x -x）2，……（x -x）2，我们用这些值的平 1 2 n 1 均数，即用S2= [（x -x）2+（x -x）2+……+（x -x）2 ] n 1 2 n 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫作这组数据的方差． 2.方差的意义 方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大 小). 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小． 教师问：②请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度． 师生一起解答：两组数据的方差分别是： （7.65-7.537）2+（7.50-7.537）2+⋯+（7.41-7.537）2 S2 = ≈0.010 甲 10 ， （7.55-7.515）2+（7.56-7.515）2+⋯+（7.49-7.515）2 S2 = ≈0.002 乙 10 ， 显然 S2 ＞S2 ，即说明甲种甜玉米产量的波动较大，这与我们 甲 乙从产量分布图看到的结果一致． 根据样本估计总体的统计思想，种植乙种甜玉米产量较稳定． 出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正. 考点1：利用加权平均数方差解答实际问题 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团表演了同一舞剧， 参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是： 甲 1 1 1 1 1 1 1 1 团 63 64 64 65 65 66 66 67 乙163 165 165 166 166 167 168 168 团 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？（出示课件13） 师生共同讨论解答如下： 解： 方法一：甲、乙两团女演员的平均身高分别是 163+164×2+165×3+166+167 x = ≈165， 甲 8 163+164×2+165+166+167×2+168 x = ≈166， 乙 8 两组数据的方差分别是： （163-165）2+（164-165）2+⋯+（167-165）2 S2 = =1.5， 甲 10（163-166）2+（165-166）2+⋯+（168-166）2 S2 = =2.5， 乙 10 显然，由 S2 ＜S2 可以知道 ，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 甲 乙 方法二：取 a = 165 甲芭蕾舞团数据为： -2，-1， -1， 0，0，1，1，2 乙芭蕾舞团数据为： -2，0，0，1，1，2，3，3 求两组新数据方差. （-2-0）2+（-1-0）2+⋯+（2-0）2 S2 = =1.5， 甲 10 （-2-0.8）2+（0-0.8）2+⋯+（3-0.8）2 S2 = =2.5， 乙 10 教师问：数据较大时如何求方差呢？ 教师总结点拨：（出示课件16） 求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法： 1.任取一个基准数a； 2.将原数据减去a，得到一组新数据； 3.求新数据的方差. 教师问：如何利用计算器求方差呢？（出示课件17-18） 师生一起解答：使用计算器说明：1.不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算 器的使用说明书. 2.通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；然后依次输 x2 入数据x ，x ，…，x ；最后按动求方差的功能键（例如 键）， 1 2 n 1 计算器便会求出方差S2= [（x -x）2+（x -x）2+……+（x -x）2 ] 1 2 n n 的值. 观看课件求方差示例（出示课件18） 出示课件19，学生自主练习后口答，教师订正. （三）课堂练习（出示课件20-28） 练习课件第20-28页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件29）方差 x ，x ，⋯，x x ，x ，⋯，x 方差的 设有n个数据 1 2 n及它们的平均数 ，则 1 2 n的方 概念 1 差为s2= [ （ x -x ） 2 + （ x -x ） 2 + …… + （ x -x ） 2 ] . n 1 2 n （1）方差用来衡量一组数据的波动大小 (即这组数据偏离平均数的 方差的 大小). 意义 （2）方差越大，数据的波动 越大；方差越小，数据的波动越小． （五）课前预习 预习下节课（20.2第2课时）的相关内容. 会利用方差、平均数、众数、中位数分析实际问题 七、课后作业 1、教材第126页练习第1,2题. 2、练习试卷册第174-175页第1、3、7题. 八、板书设计 数据的波动程度 第1课时 1．方差的概念 考点1 2.例题讲解九、教学反思 成功之处：通过这节课的教学，让我深刻的体会到只要我们充分 相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的 探究过程，这样既能让学生自主获取数学数学思维，而且还能让学 生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学 习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精 神和创新思维． 补救措施：学生在求方差时，由于计算量大，容易出现计算错误， 这是上课时忽视的地方，需要让学生多做练习，总结技巧. 20.2 数据的波动程度 第2课时 一、核心素养目标 【数学思维】 1.能熟练计算一组数据的方差. 2.能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策. 【数学眼光】经历探索方差的应用过程,体会数据波动中的方差的求法,积累统 计经验. 【数学语言】 培养学生的统计意识,形成尊重事实、用数据说话的态度,认识数 据处理的实际意义. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 比较多组数据的方差及集中趋势，并进行决策. 【教学难点】 对多组数据进行分析比较，合理评价. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本.六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 某工厂研制甲、乙两种电灯泡，从两种电灯泡中各抽取了 20 只 进行寿命试验，得到如下数据（单位:小时）： 灯泡甲：1610 1590 1540 1650 1450 1650 1570 1630 1690 1720 1580 1620 1500 1700 1530 1670 1520 1690 1600 1590 灯泡乙：1670 1610 1550 1490 1430 1610 1530 1430 1410 1580 1520 1440 1500 1510 1540 1400 1420 1530 1520 1510 根据上述两个样本，你准备选哪种灯泡?请说明理由！ （二）探索新知 1.出示课件4，探究利用方差做决策 教师出示问题：某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、 乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同， 品质相近．快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿． 教师问：（1）可通过哪些统计量来关注鸡腿的质量？ 学生答：每个鸡腿的质量；鸡腿质量的稳定性． 教师问：（2）如何获取数据？ 学生答：抽样调查． 考点1：利用方差做决策 例1 检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15 个，记录它们的质 量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该 选购哪家加工厂的鸡腿？ 甲 4 4 5 4 6 3 6 3 6 5 8 7 4 2 3 乙5 3 9 2 6 1 3 2 8 4 7 8 0 1 5 师生共同讨论解答如下： 解：样本数据的平均数分别是： 74+74+⋯+72+73 x = ≈75， 甲 15 75+73+⋯+71+75 x = ≈75， 乙 15 样本数据的方差分别是： （74-75）2+（74-75）2+⋯+（72-75）2+（73-75）2 S2 = ≈3， 甲 15 （75-75）2+（73-75）2+⋯+（71-75）2+（75-75）2 S2 = ≈8， 乙 15由 可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由 ＜ 可 x =x S2 S2 甲 乙 甲 乙 知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应 该选购甲加工厂生产的鸡腿． 出示课件7，学生自主练习后口答，教师订正. 例2：利用方差分析成绩 一次科技知识竞赛,两组学生成绩统计如下: 5 6 7 8 9 1 分数 0 0 0 0 0 00 2 5 10 13 14 6 甲组 人 数 4 4 16 2 12 12 乙组 已经算得两个组的人平均分都是80分,请根据你所学过的统计知 识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由. （出示课件9） 学生独立思考后，师生共同分析后解答. 教师依次展示学生解答过程： 学生1解: (1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,以成绩的众数比较看,甲组成绩好些； 学生2解：(2) S2 =172， S2 =256. 甲 乙 因为S2 ＜ S2 ，从数据的离散程度的角度看，甲组较优； 甲 乙 学生3解：(3)甲、乙两组成绩的中位数都是80分,甲组成绩在 中位数以上(包括中位数)的人有33人,乙组成绩在中位数以上(包括 中位数)的人有26人,从这一角度,看甲组成绩总体较好; 学生4解：(4)从成绩统计表看,甲组成绩高于80分的人数为20 人,乙组成绩高于80分的人数为24人,乙组成绩集中在高分段的人 数多,同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人,从这一角 度看,乙组的成绩较好. 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正. 例3：利用方差挑选队员 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛． 在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位: cm）如下： 甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？（出示课件14） （2）历届比赛表明，成绩达到5.96 m就很可能夺冠，你认为为 了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比 赛．（出示课件16） 师生共同分析： （1）分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好， 根据方差判断出谁的成绩波动大． 学生独立思考后，师生共同解答. 585+596+610+598+612+597+604+613+601 学生1解：（1）x = 甲 10 =601.6， 613+618+580+574+618+593+585+590+598+624 x = =599.3， 乙 10 样本数据的方差分别是： S2 = 甲 （585-601.6）2+（596-601.6）2+⋯+（613-601.6）2+（601-601.6）2 ≈ 10 65.84，S2 = 乙 （613-599.3）2+（618-599.3）2+⋯+（598-599.3）2+（624-599.3）2 ≈ 10 284.21， 由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙 队员的成绩也不突出，所以甲队比较突出． 学生2解：（2）从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的 可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大． 但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性 大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛． 教师问：在解决实际问题时，方差的作用是什么？ 学生答：反映数据的波动大小．方差越大,数据的波动越大；方 差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差． 教师问：运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？ 学生答：先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相 近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况． 出示课件18，学生自主练习，教师给出答案.（三）课堂练习（出示课件19-29） 练习课件第19-29页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件30） 根据方差做决策 （1）判断数据的波动性大小；（2）根据样本方差估 方差的应用 计总体方差 先计算样本数据的平均数； 根据方差做 当两组数据的平均数 时，再利用方 决策的步骤 差比较它们的波动情况. （五）课前预习 预习下节课（20.3第1课时）的相关内容. 知道课题学习的步骤和写课题报告的环节. 七、课后作业 1、教材第127页练习和128页习题20.2第3,4题. 2、练习试卷册第174-175页第5、9、10题. 八、板书设计 1．利用方差做决策 考点1例1 例2 例3 2.例题讲解 九、教学反思 成功之处：通过这节课的教学，让我深刻的体会到只要我们充分 相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的 探究过程，这样既能让学生自主获取数学数学思维，而且还能让学 生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学 习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精 神和创新思维. 不足之处：教学中对数据的处理不够细腻，应该更加学生分组讨 论的过程，讨论能加深学生的印象，利于学生理解掌握. 20.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析 一、核心素养目标 【数学思维】 1.了解设计图表的方法和基本要素. 2.了解数据的收集与处理的方法.3.掌握调查报告的撰写要求. 【数学眼光】 经历社会调查活动,了解调查报告的基本要素和数据来源. 【数学语言】 通过合作学习,培养学生合作交流的意识和探究精神,体会数学在 生活中的应用,激发学生爱数学的热情,体会数学的应用价值. 八、 课型 新授课 三、课时 第1课时 共1课时 四、教学重难点 【教学重点】 抽样调查的相关概念及其调查结果的数据分析. 【教学难点】 抽样调查中样本的选取和数据的分析. 九、 课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 收集近两年学校八年级学生的《体质健康登记表》，分析登记表 中的数据，对学校八年级学生的体质健康情况进行评定，从而提出 增强学生体质健康的建议. 这个调查如何完成呢？ （二）探索新知 1.出示课件4-11，利用统计知识进行数据分析活动 教师出示问题： 某校七年级有4个班，共有180人，其中男生85人，女生95人. 各小组在课前收集了七年级学生的部分《体质健康登记卡》，收集 到了部分数据． 下表是用来记录学生体质健康测试结果的登记表.我们如何填写呢？ 师生一起解答： 一、收集数据 1.确定样本 从全校七年级的各班分别抽取5名男生和5名女生，组成一个容 量为40的样本. 2.确定抽取样本的方法 按照各班的学号，分别在每个班抽取学号排在最前面的5名男生 和5名女生. 二、整理数据 分析样本的体质健康登记表中的各项数据.例如，计算每个个体的最后得分，按评分标准整理样本数据，得 到下表： 成绩 划记 频数 百分比 不及格 3 7.5% 及格 正 8 20% 良好 正正正 17 42.5% 优秀 正正 12 30% 合计 40 40 100% 三、描述数据 根据上面的各种表格，画出条形图、扇形图、折线图、直方图等， 使得数据分布的信息更清楚地显现出来.例如，根据上表，可以画出 条形图和扇形图. 四、分析数据 根据原始数据或上面的各种统计图表，计算各组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差等，通过分析图表和各种统计量得出结 论. 例如，根据表1、图1、图2可知，样本的体质健康成绩达到良 好的最多，有17人，良好及以上的有29人，约占统计人数的70%， 由此可以估计全校七年级学生的体质健康成绩有类似的结果. 五、撰写调查报告 六、交流 写出活动总结，向全班同学介绍本小组的调查过程，展示调查结 果，交流通过数据处理寻找规律、得出结论的感受.考点1：利用统计知识对数据进行分析 某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月 销售额，统计了这15人某月的销售量如下： 每人销售件数 1800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 (1)求这15人营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数； (2)假设销售部负责人把每位营销人员的月销售量定320件，你 认为是否合理，为什么？如果不合理，请你制定一个较合理的销售 定额，并说明理由.（出示课件12） 师生共同讨论解答如下： 学生1解：（1）平均数 1800×1+510×1+250×3+210×5+150×3+120×2 x= =320（件）. 1+1+3+5+3+2 而中位数是210件，众数是210件. 学生2解：（2）不合理.如果把营销员的月销售量定为320件， 320件是一个销售平均数，其中一些营销员特别有能力，这些平均 数受这个人的影响，而中位数是210件，众数是210件，因此我们 认为以210件为规定量比较科学.出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. （三）课堂练习（出示课件15-23） 练习课件第15-23页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件24） 师生共同回顾本节学习的数学知识与方法,统计的基本过程: (1)收集数据; (2)整理数据; (3)描述数据; (4)分析数据; (5)撰写调查报告; (6)交流反思. （五）课前预习 预习下节课（数学活动第1课时）的相关内容. 知道数学活动的步骤 十、课后作业 1、教材第134页数学活动2. 2、练习试卷册第179页学以致用. 八、板书设计20.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析 1.数据分析统计的过程： (1)收集数据; (2)整理数据; (3)描述数据; (4)分析数据; (5)撰写调查报告; (6)交流. 考点1 2.例题讲解 九、教学反思： 成功之处：整节课让每位学生经历收集数据→整理数据→描述数 据→分析数据→总结交流一系列活动,增强学生的统计意识和解决实 际问题的能力,体会数学来源于生活,应用于生活. 感受到紧迫感,意 识到必须从现在抓起,认真进行体育方面的锻炼,不断增强个人体质. 在教学过程中,对学生的调查情况应当作及时的、恰当的评价,通过 对各组间不同的抽样方法、数据分析等方面进行比较,让学生进行数学方法的优化,提高应用数学的能力. 补救措施：适当增加一些实例,让学生通过实践操作,独立分析寻 求解决实际问题的数学方法,增强应用数学的意识 . 下次购买徽信 dzzy888666