文档内容
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形（2个知识点+11大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
题型一 正方形的性质理解
题型二 根据正方形的性质求角度
题型三 根据正方形的性质求线段长
题型四 根据正方形的性质求面积
题型五 正方形折叠问题
题型六 求正方形重叠部分面积
题型七 根据正方形的性质证明
题型八 正方形的判定定理理解
题型九 添一个条件使四边形是正方形
题型十 中点四边形
题型十一 平行四边形的动点问题
【知识梳理】
知识点1：正方形的概念与性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分
成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
知识点2：正方形的判定
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
题型一 正方形的性质理解
1．正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．四角相等
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质、矩形的性质等知识，根据正方形、矩形的性质即可判断．
【详解】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，
互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点O、B的坐标分别是 ， ，则顶点C的坐标
是 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质可知点 关于 轴对称， 所在直线为 的垂直平分线，根据正方形对
角线计算求出点 的坐标．
【详解】解：连接 ，∵四边形 是正方形，
∴点 关于 轴对称，
∴ 所在直线为 的垂直平分线，即 的横坐标均为1，
根据正方形对角线相等的性质， ，
又∵点 关于 轴对称，
∴ 点纵坐标为1， 点纵坐标为 ，
故 点坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线 的长
度，即求点 的纵坐标是解题的关键．
3．如图，在正方形 中，点E在对角线 上，连接 ，延长 交 于点G，交 的延长
线于点F．
(1)求证： ．
(2)若 ，且 ，求正方形的边长．
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)(3)
【分析】（1）根据正方形的性质证明 得到 ，再由平行线的性质得到
，由此即可证明 ；
（2）根据等边对等角和三角形外角的性质证明 ，再由正方形的性质证明
，进而推出 ，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质
先求出 的长，进而求出 的长即可得到答案；
（3）设 ，由 ，得到 ，则 ，如图所
示，在 上取一点H使得 ，证明 是等腰直角三角形，推出 ，则
，由此即可得到结论 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形的边长为 ；
（3）解：设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，在 上取一点H使得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等等，灵
活运用所学知识是解题的关键．
题型二 根据正方形的性质求角度
1．如图，正方形 外侧作等边三角形 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定
的应用，由等边三角形的性质可得 ，进而可得 ，又因为 ，结合等
腰三角形的性质，可得 的大小，进而可求出 的度数．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：A．
2．如图，正方形 的对角线 ， 交于点O，P为边 上一点，且 ，则 的度数为
．
【答案】 /22.5度
【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形 是正方形，可得 ， ，再根
据 ，即可求出 的度数．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
3．如图，点E、F分别在正方形 的边 上， ， 与 相交于点O．求 的度
数．
【答案】
【分析】根据正方形的性质得 ， ，再利用 证明 ，可得
，再利用直角三角形的性质求解即可．
【详解】解： 四边形 是正方形，， ，
在 和 中，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角的判定与性质等知识，证明 是解题的
关键．
题型三 根据正方形的性质求线段长
1．如图，正方形 的边长为8，点M在 上，且 ，N是 上一动点，则 的最小
值为（ ）
A．8 B． C． D．10
【答案】D
【分析】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，能够根据轴对称的性质以及三角形的
三边关系找到点N与点P重合时 取最小值是解决本题的关键．
要使 最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．由此
可知点D的对称点是点B，连接 交 于点N，此时 最小值即是 的长，然后利用勾股定理
求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，设 交 于点 ，四边形 正方形，
∴ 垂直平分 ，
∴点 与点 是关于直线 对称，
，
，
点 为 上的动点，
∴当B、M、N三点不共线时， ，
当点 运动到点 时， ，
∴ 的最小值为 的长度，
四边形 为正方形，
， ，
又∵ ，
∴ ，
，
的最小值是10．
故选：D．
2．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，
将边长为 的正方形 沿对角线 方向平移 得到正方形 ，形成一个“方胜”图案，
则点D， 之间的距离为 ．
【答案】【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质、勾股定理，根据平移的性质求出 是解题的关键．
根据正方形的性质、勾股定理求出 ，根据平移的性质求出 ，计算即可．
【详解】解：∵四边形 为边长为 的正方形，
∴ ，
由平移的性质可知， ，
∴ ，
故答案为： ．
3．已知：如图，正方形 ，连接 ，E是 延长线上一点， ，连接 交 于点F．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求点F到 的距离．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质．
（1）根据正方形的性质，等边对等角以及三角形的外角进行求解即可；
（2）过点 作 ，根据角平分线的性质得到 ，即可．
掌握正方形的性质，等边对等角，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵正方形 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
过点 作 ，
∵ ，
∴ ．即：点F到 的距离为2．
题型四 根据正方形的性质求面积
1．如图，已知等腰直角三角形纸板 中， ．现要从中剪出一个尽可能大的正方形，则能
剪出的最大正方形的面积是（ ）
A． B． C．25 D．50
【答案】C
【分析】本题主要考查图形的拼接，涉及正方形的性质和等腰直角三角形的性质，根据题意要求从一张等
腰直角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形是以两直角边、斜边中点和直角顶点为正方形四个顶点，设
正方形 的边长是a，则 ，且 ，求解即可．
【详解】解：假设能剪出的最大正方形为 ，如图，
则 ， ，设正方形为 的边长为a，
∵ ，
∴ ，
则 ，即 ，解得 ，
∴能剪出的最大正方形的面积25．
故选：C．
2．如图，正方形 的边长为2， 是等边三角形，则阴影部分的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，根据阴影部分的面积=正方形的面积
的面积 的面积计算即可．
【详解】解：如图，过点E作 于点F, 于点G，则四边形 为矩形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
又正方形的面积为 ， 的面积 ， 的面积 ，
∴阴影部分的面积=正方形的面积 的面积 的面积= ，故答案为 ．
3．如图，正方形 的顶点C在直线a上，且 直线a于M， 直线a于N．
(1)求证：
(2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可得 ，从而得到 ，再由
直线， 直线a，可得 ，从而得到 ，可证明
，即可求证；
（2）根据题意可得 ， ，从而得到 ，再由勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ 直线， 直线a，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点B，D到a的距离分别是1，2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴正方形 的面积 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明 是
解题的关键．
题型五 正方形折叠问题
1．如图，在正方形 中， ，点E，F分别在边 ， 上， ，若将四边形
沿 折叠，点 恰好落在 边上，则 的长度为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形与折叠，含30度角的直角三角形，根据正方形的性质，折叠的性质，得到
，进而得到 ， ，设 ，则 ， ，
即可得到 ，求解即可．解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的性质．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵将四边形 沿 折叠，点 恰好落在 边上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
解得： ．
故选：B．
2．在课本上的“数学活动 折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边
长为 ，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，先由折叠的性质得出 的长度，再利
用勾股定理求出 的长度，最后根据 求解即可,熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】由折叠的性质得 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．如图，已知在正方形 中， ， ．将正方形 折
叠，使点B落在 边的中点Q处，点A落在P处，折痕为 ．已知 长为 ．(1)求线段 和线段 的长；
(2)连接 ， ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）由对角线为 ，易知边长为8．设 ，由折叠可知在 中，由勾股定理有
，解得 ，即可得 ；
（2）连接 ，作 于点G，连接 交 于点H，由折叠知 ，可证明
，则 ， ，在 中由勾股定理可求 ．
【详解】（1）解：∵对角线 ，
∴ ，
设 ，由折叠可知 ，
由于Q为 中点，
则 ，
在 中，由勾股定理可得：
，解得： ．
故 ；
（2）解：如图所示，连接 ，作 于点G，连接 交 于点H，
由折叠可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
由折叠可得 ，
由勾股定理有 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟悉折叠的性质、
掌握以上定理并利用勾股定理建立关于x的方程是解题的关键．
题型六 求正方形重叠部分面积
1．如图，在正方形 中， 为线段 上一点且 ，连结 ， 交于点 ，分别作 ，
的中点M，N，连结 ，若 ，则 为（ ）A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握正方形的性质，理解三角形的中
位线定理是解决问题的关键．连接 ，根据正方形的性质得 过点 ， ，进而可求出
， ，再证 为 的中位线，然后根据三角形的中位线定理可得出
的长．
【详解】连接 ，如图所示：
∵四边形 为正方形， 为对角线，点 为 的中点，
∴ 过点 ， ，
，
，
∵ 过点 ，
∴点 为 的中点，
又∵点 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
，
故选：B．
2．如图，在正方形 中， ，E是 的中点，按以下步骤作图．分别以点A和点E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点G，H．作直线 交 于点F．则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查正方形的性质，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段
垂直平分线的作法和性质、勾股定理是解题的关键．先由作法得出 且平分 ，从而得到
，在 中，设 ，则 ，由勾股定理，得 ，
求解即可．
【详解】解：连接 ，
由作图可知， 且平分 ，
，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∵E是 的中点，
，
在 中，设 ，则 ，
由勾股定理，得 ，解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
3．如图，P是正方形 对角线 上一点，点E在 上，且 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，试判断 的度数，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的判
定定理是解题的关键．
（1）根据正方形的性质四条边都相等可得 ，对角线平分一组对角线可得 ，然后
利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，然后等量代换即可
得证；
（2）根据全等三角形对应角相等可得 ，根据等边对等角可得 ，从而得到
，再根据 ，求出 ，然后根据四边形的内角和
定理求出 ，判断出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2） ．理由如下：
连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在四边形 中， ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
题型七 根据正方形的性质证明
1．如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，且 ， ，下列说法错误的是
（ ）A．四边形 是平行四边形
B．若 ，四边形 是菱形
C．若 ，四边形 是矩形
D．若 ，四边形 是正方形
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及正方形的判定等知识，
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定
以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、 ， ，
四边形 是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、若 ，则平行四边形 是菱形，故选项B不符合题意；
C、若 ，则平行四边形 是矩形，故选项C不符合题意；
D、若 ，则平行四边形 是矩形，不一定是正方形，故选项D符合题意．
故选： ．
2．如图，平行四边形 对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件
可以是 （只需添加一个）．
【答案】
【分析】由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出四边形 是菱形，再由 ，即可判定
四边形 是正方形．
【详解】添加条件： ，理由如下：
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形
四边形 是正方形
故答案为： ．【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．正方形的判
定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个
菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①②进行判定．
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出以线段 为一边的正方形 ，且点C和点D均在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出以线段 为一腰，底边长为 的等腰三角形 ，点E在小正方形的顶点上，连接 ，
请直接写出线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，
【分析】（1）根据正方形的概念和网格的特点求解即可；
（2）首先根据等腰三角形的性质和网格的特点画图，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，正方形 即为所求；
（2）如图所示，等腰三角形 即为所求；
∴ ．
【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会利用思想结合的思想解决问题．题型八 正方形的判定定理理解
1．如图，荐四边形 是平行四边形，则下列结论中错误的是（ ）
A．当 时，它是菱形 B．当 时，它是矩形
C．当 时，它是矩形 D．当 时，它是正方形
【答案】D
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
当 ，平行四边形 是菱形，故选项A正确，不符合题意；
当 ，平行四边形 是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当 ，平行四边形 是矩形，故选项C正确，不符合题意；
当 ，平行四边形 是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
2．如图，菱形 中，对角线 、 相交于点O，不添加任何辅助线，要使四边形 是正方形，
则需要添加一个条件是 ．（填一个即可）
【答案】 答案不唯一
【分析】根据有一个角是直角的菱形是正方形判断即可．
【详解】∵有一个角是直角的菱形是正方形，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．3．如图，四边形 的对角线 、 互相垂直平分，请从以下三个选项中① ；②
；③ ，选择一个合适的选项作为已知条件，使四边形 是正方形．
(1)你选择的条件是______；（填序号，填一个即可）
(2)根据你选择的条件写出证明过程．
【答案】(1)①
(2)见解析
【分析】根据正方形的判定定理即可求证．
【详解】（1）解：选择①
（2）证明：∵四边形 的对角线 、 互相垂直平分
∴四边形 是菱形
∵
∴四边形 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
法二：选②
证明：∵四边形 的对角线 、 互相垂直平分
∴四边形 是菱形
∵
∴四边形 是正方形（对角线相等的菱形是正方形）
法三：选③
证明：∵四边形 的对角线 、 互相垂直平分
∴四边形 是菱形
∵
∴四边形 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
【点睛】本题考查正方形的判定．熟记相关判定定理是解题关键．题型九 添一个条件使四边形是正方形
1．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线垂直的矩形是正方形．
【答案】C
【分析】本题主要考查对正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，根据菱形的定义即可判断A；根据矩
形的判定即可判断B；根据正方形的判定即可判断CD．
【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法正确，不符合题意；
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；
C．对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
D．对角线垂直的矩形是正方形，原说法正确，不符合题意．
故选：C．
2．如图，在四边形 中， ，垂足为点 ．若四边形 的
面积为13，则 ．
【答案】
【分析】作 于F，如图，易得四边形 为矩形，再证明 得到 ，
，则可判断四边形 为正方形，四边形 的面积=四边形 的面积，然后根据
正方形的面积公式计算 的长．
【详解】解：作 于F，如图，， ，
∴四边形 为矩形，
，
即 ，
，
即 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
∴四边形 为正方形，
四边形 的面积=四边形 的面积，
四边形 的面积为13，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角
相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注
意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3．如图，在 中，E、M分别为 的中点， ，延长 交 的延长线于点N，连
接 ．(1)证明：四边形 是菱形；
(2)当 满足什么条件时，四边形 是正方形，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 是等腰直角三角形时，四边形 是正方形，理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可得 ，可得 ，可证 ，可得
，可证四边形 是平行四边形，由直角三角形的性质可得 ，可得四边形
是菱形；
（2）由菱形的性质可得 ，可得 ，则四边形 是正方形．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：当 是等腰直角三角形时，四边形 是正方形，理由如下：∵四边形 是菱形，∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，直角三角形斜边中线
的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
题型十 中点四边形
1．如图，在菱形 中， ， ，顺次连接菱形 各边中点 、 、 、 ，则四边
形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形 为平行四边形，再求对角线长度，然后利用三角
形中位线定理求出此平行四边形边长即可求出周长．
【详解】解：如图，连接 、 ，相交于点 ，
点 分别是边 的中点，
， ，
，同理 ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形， ， ，对角线 互相垂直，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
在 中， ， ，
，
，
， ，
四边形 的周长为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，菱形的性质及平行
四边形的判定与性质进行计算．
2．如图，点 、 、 、 分别是四边形 边 、 、 、 的中点，若四边形 是菱
形，则四边形 的对角线 和 需要满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是补充条件使四边形为菱形，考查了三角形中位线的性质，先证明四边形 是平
行四边形，结合 ，可得四边形 是菱形，逆推 ．
【详解】解：∵点 、 、 、 分别是四边形 边 、 、 、 的中点，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，当 ，则四边形 是菱形，
∴ ，
∴当 时，四边形 是菱形．
故答案为：
3．我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形 中，E，
F，G，H分别是边 ， ， ， 的中点，依次连接各边中点得到中点四边形 ．
(1)这个中点四边形 的形状一定是______；
(2)若 ，证明四边形 是菱形．
【答案】(1)平行四边形
(2)见解析
【分析】（1）根据中位线的性质得出 ， ，根据平行公理得出 ，同理得出
，即可得出答案；
（2）先根据中位线性质证明 ， ，得出四边形 为平行四边形，再根据 ，
得出 ，证明平行四边形 是菱形．
【详解】（1）解：连接 、 ，如图所示：
∵E，F，G，H分别是边 ， ， ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∴四边形 为平行四边形，
故答案为：平行四边形．
（2）证明：如图，连接 、 ，
E，F，G，H分别是边 ， ， ， 的中点，∴ ， ， ，
， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，
平行四边形的判定方法．
题型十一 平行四边形的动点问题
1．如图，在平行四边形 中， ， ，点P在 边上以每秒 的速度从点A向点
D运动，点Q在 边上以每秒 的速度从点C出发，在 间往返运动，两个点同时出发，当点P到
达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为 ，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，
Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形 为平行四边形可
得出 ，结合平行四边形的判定定理可得出当 时以 四点组成的四边形为平行四
边形，分三种情况考虑，在每种情况中由 即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，∴ ，
若要以 四点组成的四边形为平行四边形， 则 ，
设运动时间为 ，
当 时， ， ，
∴ ，
，
∴ (舍去)；
当 时， ，
∴ ，
解得： ；
当 时， ，
∴ ，
解得： (舍去)；
综上所述， 的值为 时, 以 为顶点的四边形是平行四边形．
故选:B．
2．如图，在四边形 中， ，且 ， 动点P，Q分别从点D，B同时出发，
点P以 的速度向终点A运动，点Q以 的速度向终点C运动． 秒时四边形 是平行
四边形？
【答案】3
【分析】由运动时间为 秒，则 ， ，而四边形 是平行四边形，所以 ，
则得方程 求解．
【详解】解：设 秒后，四边形 是平行四边形，
， ，，
当 时，四边形 是平行四边形，
，
，
秒时四边形 是平行四边形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是由 ，得到 ．
3．如图，在四边形 中， ， ，点 自点 向 以 的速度运动，
到 点即停止．点 自点 向 以 的速度运动，点 点即停止，点 同时出发，设运动时间为
．
(1)当 为何值时，四边形 是平行四边形？
(2)当 为何值时，四边形 是平行四边形？
【答案】(1)当 时，四边形 是平行四边形
(2)当 时，四边形 是平行四边形
【分析】（1）根据题意用含 的式子表示 ， ， ，根据四边形 是平行四边形可得 ，
由此即可求解；
（2）根据题意用含 的式子表示 ，根据四边形 是平行四边形可得 ，由此即可
求解．
【详解】（1）解：根据题意得， ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴当 时，四边形 是平行四边形，
∴ ，解得 ，
∴当 时，四边形 是平行四边形．
（2）解：∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
∴ ，解得 ，
∴当 时，四边形 是平行四边形．
【点睛】本题主要考查动点，平行四边形的综合，理解动点的运算，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
1．（2024上·贵州毕节·九年级统考期末）如图，将 个边长都为 的正方形按如图所示摆放，点 ， ，
…， 分别是正方形的中心，则这 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质和三角形全等，连接正方形中心和顶点，通过三角形全等，求出一个重
叠部分和正方形的面积关系，进而推出 个正方形有多少个重叠部分，即可求解．
【详解】解：连接 ， ，根据正方形的性质，可得： ， ，
，
， ，
，
，
同理可得其他阴影部分面积也等于 ； 个正方形有 个阴影部分，所以面积为 ，
故选：B．
2．（2023上·河南焦作·九年级统考期中）如图，正方形 和正方形 的边长分别为6和2，点
F，G分别在边 ， 上，P为 的中点，连接 ，则 的长为（ ）
A．5 B．5 C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理和中位线定理，正确做出辅助线是解出本题关键．根据题意延长 交 于点
，作 于点 ，则 是 的中位线，求得 的长，再利用勾股定理即可得到本题答
案．
【详解】解：延长 交 于点 ，作 于点 ，，
∴ ，
∵P为 的中点，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵直角 中， ，
∴ 是等腰直角三角形，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故选：C．
3．（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，在正方形 中，E、F分别是 、 的中点， 、
交于点G，连接 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确
的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【分析】本题根据题意证明 即可判断①，利用正方形性质和全等三角形性质得到
， ，即可判断②，延长 交 的延长线于点 ，证明
，得到 为 斜边上的中线，即可判断③，根据若 ，证明 为等
边三角形，利用等边三角形性质得到 ，因为 ，所以 ，出现矛盾，即可判断④．【详解】解： 四边形 为正方形，
， ，
E、F分别是 、 的中点，
，
，
，
①正确；
由①知 ， ，
，
，即 ，
②正确；
如图，延长 交 的延长线于点 ，
由题知， ，
， ，
，
，
，
由②知 ，
为 斜边上的中线，
，
③正确；
若 ，则 ，
有 为等边三角形，即 ，
，
，④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半、等边
三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质找到图形中线段和角之间的关系．
4．（2024上·贵州遵义·九年级统考期末）如图，正方形 中， 为对角线， ， 分别为 ，
上的点，将 与 分别沿 ， 折叠，使 ， 分别落在对角线 上的 ， 处．若
，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了正方形的折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠
的性质和数形结合是解题的关键．设 ，根据折叠的性质、等腰三角形的判定和性质得到
，利用勾股定理列方程即可求得答案．
【详解】解：∵正方形 中， 为对角线， ，
∴ ， ，
设 ，
∵将 与 分别沿 ， 折叠，使 ， 分别落在对角线 上的 ， 处．
∴ ， ， ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
即 的长是 ，
故选：A
5．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为6，点 ， 分别在 ， 上，
，连接 、 ， 与 相交于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，则的 长
为（ ）
A．2.5 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识．先证明
，进而得 ，用勾股定理求得 ，便可得 ．
【详解】解： 四边形 为正方形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，，
点 为 的中点，
，
， ，
，
，
故选：B．
6．（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，已知四边形 和四边形 均为正方形，且 是
的中点，连接 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点 作 交 于点 ，
交 于点 ，则 ，再证明 ，得出 ，再利用勾股定理即可解答．
【详解】解：过点 作 交 于点 ，交 于点 ，则 ，
四边形 和四边形 均为正方形，
， ， ，
，，
， ，
， ，
，
故答案为： ．
7．（2023下·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，正方形 中，点 在对角线 上，
，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，由
“ ”可证 ，可得 ，由勾股定理可求 ，由平行线的性质可证
，由勾股定理可求 的长，由面积法可求 的长，即可得 的长．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点D作 于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
8．（2024上·四川成都·九年级校考期末）如图，在正方形 中，点E在边 上， ，点P、Q
分别是直线 上的两个动点，将 沿 翻折，使点A落在点F处，连接 ，
若正方形的边长是6，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】此题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称，根据两点之
间线段最短解决最短问题．
作点D关于 的对称点 ，连接 ，由轴对称可知， ， ，又
，即可推出当 共线时， 定值最小，最小值为 ．
【详解】解：如图，作点D关于 的对称点 ，连接 ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
由轴对称可知， ，
∴ ，
∵ ，当 共线时， 定值最小，最小值为 ，
∴ 的最小值是 ，
故答案为：
9．（2024上·江苏泰州·八年级统考期末）如图，菱形 的边长为17，点 是对角线 上的一点，且
，连挍 ，在 的左侧作 为边的正方形 ，连接 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形和正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质．
连接 ，交 于点O，过点F作 于点H，设 ， ，则 ，由菱形的对角
线互相垂直平分可得 ， ，由勾股定理得在 中， ，在
中， ，从而 ，代入即可求得 ，得到 ，
，由正方形的性质可证 ，得到 ， ，进而根据勾股定
理在 中，求得 的长．
【详解】连接 ，交 于点O，过点F作 于点H，
∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵在正方形 中， ，
即 ，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴在 中， ．
故答案为：
10．（2024上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，正方形 ，点 是射线 上的动点，过点 作
，交直线 于点 ，连接 ，取 中点 ，连接 并延长交直线 于点 ，若 ，
，则 的长为 ．【答案】 或
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理；
当点 在线段 上时，作 于 ，由正方形的性质可得 ， ，
，证明 是等腰直角三角形， ， ，证明
得出 ，证明 是等腰直角三角形得出 ，
，最后由勾股定理 ，计算即可得出答案；当点 在射线 上
时，同样的方法即可求解．
【详解】解：点 在线段 上时，如图，作 于 ，
四边形 是正方形， ，
， ， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点 在射线 上时，如图，作 于 ，
四边形 是正方形， ，
， ， ，
，
， ，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
故答案为： 或 ．
11．（2023上·贵州遵义·九年级统考期中）如图，在正方形 中，连接 ，以点B为圆心， 的长
为半径画弧，交 的延长线于点E，连接 ，过点B作 ，垂足为点F，交 于点G．(1)写出图中一对全等三角形 ．
(2)求 的度数．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2) 的度数为
【分析】本题考查正方形性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正
方形的性质．
（1）根据已知写出一对全等三角形即可；
（2）由四边形 是正方形，可得 ，而 ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和
定理即可得到 的度数．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ 的度数为 ．
12．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形 中，延长 至点E，使得
，连接 ， ， 交 于点F．
(1)试探究 的形状；
(2)求 的度数．
【答案】(1) 是等腰三角形，理由见解析(2)
【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角
等于与它不相邻的两个内角的和等知识，掌握正方形的性质是解题的关键．
（1）根据正方形的性质可得 ，进而得 ，即可解决问题；
（2）利用正方形的性质及三角形外角定义求出 ，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问
题．
【详解】（1）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
13．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，M是正方形 的边 上一点，E是 边的中点，
平分 ．(1)如图1，写出线段 和 之间的数量关系_______；
(2)若四边形 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断（1）中的关系式是否成立．若
成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)
(2)结论 仍然成立，证明见解析
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形
的判定等知识，考查了基本模型的构造(平行加中点构造全等三角形)，综合性比较强，添加辅助线，构造
全等三角形是解决这道题的关键．
（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长 、 交于点 ，如图，证 ，从而有
，只需证明 即可．
（2）延长 、 交于点 ，证 ，再证 即可．
【详解】（1）解：延长 、 交于点 ，如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．∵E是 的中点，
∴
在 和 中，
故 ；
（2）结论 仍然成立．
证明：延长 、 交于点 ，如图
∵四边形 是矩形，
平分
在 和 中，14．（2024上·河南信阳·八年级统考期末）（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如
图1，在正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，连接 ，并延长 到点G，使
，连接 ．若 ，猜想 之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E在线段 的延长线上，且 时，试探究 之间的数量关系，并
说明理由；
【答案】（1）它们的数量关系是： ，证明见解析；（2） ，证明见解析
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确
作出辅助线得出全等三角形．
（1）由正方形性质可得 ， ，可证得 ，
，即可证得结论；
（2）在 上截取 ，连接 ．可证得 ， ，即可证得结
论．
【详解】解：它们的数量关系是： ，
∵四边形 为正方形，
， ，
，
，
， ，∵四边形 为正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
（2）如图2，在 上截取 ，连接 ．
∵四边形 为正方形，
， ，
，
，
， ，
∵四边形 为正方形，
，
，
，，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
15．（2023上·陕西咸阳·九年级统考期中）【问题提出】
（1）如图①，正方形 的对角线 与 相交于点E，连接 ，若 ，则正方形 的边长
为________；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形 中，点E是边 上一点，且点E不与C、D重合，过点A作 的垂线交
延长线于点F，连接 ，试判断 的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形 是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E
在边 上，已知． 米， 米， 米， ， 、 为果园内两
条小路，现在 的中点F处修建一个临时库房，沿 修一条运输通道．①判断 的形状，并说明理由；
②试求该运输通道的长度 ．
【答案】（1）6；（2）△AEF是等腰直角三角形，理由见解析；（3）①△ABE是等腰直角三角形，理由
见解析；②该运输通道的长度DF为80 米
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相
关性质定理，是解题的关键．
（1）根据正方形的性质和三角形的中位线定理，即可解答；
（2）通过证明 ，得出 ，即可得出结论；
（3）①过点A作 于点G，通过证明 ，得出 ， ，
即 ，即可得出结论 是等腰直角三角形．②连接 、 ，取 的中点M，
连接 ， 根据等腰直角三角形的性质得出 ．再证明 ，得出
．则 为 的中位线，得出 米， ，进而得出 为等腰直
角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 为正方形，
∴点 为 中点，
∵点F为边 的中点，
∴ ，
∴ ，即正方形 边长为6；
故答案为：6；
（2） 是等腰直角三角形．
理由：∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形
（3）①过点A作 于点G，如图③．
∵ ，
∴四边形 是矩形．
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， 米，
∴ 40米 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，即 ，
∴ 是等腰直角三角形．
②连接 、 ，取 的中点M，连接 ，如图③．
∵F为 的中点， 和 都是直角三角形，
．在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵点F、M分别为 、 的中点，
∴ 为 的中位线，
米， ，
，即 为等腰直角三角形，
米，
即该运输通道的长度 为 米．
