文档内容
专题 05 正方形的性质与判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用正方形的性质求角度......................................................................................................................1
题型二、利用正方形的性质求线段长..................................................................................................................4
题型三、利用正方形的性质求面积......................................................................................................................7
题型四、利用正方形的性质求折叠问题............................................................................................................11
题型五、根据正方形的性质证明与求解............................................................................................................15
题型六、根据正方形的性质与判定求解............................................................................................................24
题型七、正方形的性质与判定的综合问题........................................................................................................29
题型八、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）....................................................................................38
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用正方形的性质求角度
1．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图， 是正方形 的对角线 上一点，且 ，连接
，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关
键．因为在正方形 中，则 ，因为 ，则 ，利用三角形内角和定理
可求 ，则 的度数可求．
【详解】解：在正方形 中，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
2．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）如图，在正方形 的右侧作等边三角形 ，则 的度数
是 ．【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，
根据正方形的性质，等边三角形的性质，求出 ， 为等腰三角形， 与 的度数，再
利用 求出结果即可．
【详解】解： 四边形 为正方形， 为等边三角形，
， ， ，
， 为等腰三角形，
， ，
， ，
，
故答案为： ．
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在正方形 中，E是 延长线上一点， ，则
的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握正方形的性质和等腰三角
形的性质是解答的关键．先根据正方形的性质得到 ， ，则 ，再根据等腰
三角形的性质可得到 ，进而可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）点 为正方形 中对角线 上一点（点 不与端点 、
重合），当 为等腰三角形时， 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查正方形的性质（对角线平分内角、各角为 、各边相等）和等腰三角形的性质和
分类讨论思想，熟练掌握正方形的性质和分类讨论思想是解题的关键．
根据题意 为等腰三角形的三种可能： ，逐一分析，其中 时点
与 重合，不符合“点 不与端点 、 重合”的条件需舍去，通过等腰三角形的性质和角的和差关系，
求出 即可．
【详解】解：由正方形 得： ，
当 为等腰三角形时，有 ，分类讨论：
①当 时，如图所示：
，
，
，
；
②当 时，如图所示：
，
，
，
；
③当 时，点 与 重合，
点 不与端点 、 重合，
当 时不合题意，故舍去．
综上所述： 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．题型二、利用正方形的性质求线段长
5．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图， 是正方形 的对角线，延长 至点 ，连接 ，
若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理．
根据正方形的性质得到 ， ， ，根据三角形内角和定理求出 ，
根据等角对等边得到 ，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 是正方形 的对角线，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ （负值舍去）．
故答案为： ．
6．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，已知点 是正方形 外的一点，连接 若
， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，以 为对角线画正方形 ，延长 交 于点H，得 ，
可得 ， ，再根据勾股定理即可求出 的长
【详解】解：如图，以 为对角线画正方形 ，延长 交 于点H，∴ ，得矩形 ，
∴
在 中，
∴
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
7．（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形 中，对角线 ， 交于点 ，延长 至点 ，
使 ，连接 ，点 为 的中点，连接 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明 ， ，又因为点 为 的
中点，得出 ，再根据勾股定理得 ，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在正方形 中， ，点F从点A出发，沿
运动到点C，点E是边 的中点，连接 ， ， ，当 为等腰三角形时， 的
长为 ．
【答案】1或2或
【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，分三种情况再结合勾股定理
建立方程求解即可.
【详解】解：根据题意，可知：在正方形 中， ，点E是边 的中点，
∴ ， ， ．
当 时，设 ，
∴ ．
， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为1或2或 ．故答案为：1或2或
题型三、利用正方形的性质求面积
9．（25-26八年级下·全国·周测）四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形
ABCD变为菱形 ．如果 ，那么菱形 与正方形ABCD的面积之比是 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含 角的直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公
式是解决问题的关键．
过点 作 于点 ，利用含 角的直角三角形的三边关系，在直角三角形中得到 ，
从而 ，菱形 的面积 ，两个面积作比即可得到答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图所示，
则 ．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是菱形，
∴ ，∴菱形 的面积 ，
∴菱形 与正方形 的面积之比 ．
故答案为： ．
10．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，三个边长为 的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点
O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接 ， ，由
正方形的性质可得 ，证明△ △ 可得 ，进而可求解．
【详解】解：连接 ， ，
由题意知：四边形 ，四边形 都是正方形，
， ， ， ，
，
△ △ ，
，
，
．
故答案为： ．
11．（25-26八年级上·四川成都·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股
定理．如图，已知正方形 和正方形 ，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无
缝隙的大正方形 ，若正方形 和正方形 的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的
关键．
设 ， ，根据正方形的性质得到 ，证明 ≌ ，推出
，根据 解题即可．
【详解】解：如图：
设 ， ，
∴ ，
∵四边形 、四边形 和 都是正方形，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
即 ，
∴ ．
故答案为：20．
12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如图，已知并排放置的正方形 和正方形 ，其中点E在
直线 上，如果a表示正方形 的边长，b表示正方形 的边长， 表示 的面积， 表
示正方形 的面积，那么 的值为 ．
【答案】
【分析】根据 , ， ，即可求得答案．
【详解】解： ∵正方形 和正方形 的边长分别为a、b，
∴ ，
∴
，
∵ ．
∴ ，
故答案为： ．题型四、利用正方形的性质求折叠问题
13．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在正方形 中， ，点 是 的中点，把
沿 折叠，点 落在点 处，延长 交 于点 ，连接 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形与折叠的问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形和线段中
点的定义可得 ，由折叠的性质和正方形的性质可得 ，则可
证明 ，得到 ；设 ，则 ，由勾股定理得
，解方程得到 ，由勾股定理得 ．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ；
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
故答案为： ．
14．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，正方形 的边长为8，将正方形折叠，使顶点 落在
边上的点 处，折痕为 ，若 ，则线段 的长为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识．先根据正方形的性质得到 ，
， ，再根据折叠的性质得到 ，设 ，则 ，在 中，根据
勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵正方形 的边长为8， ，
∴ ， ， ，
由折叠的性质得 ，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理得 ，
解得 ，
即 ．
故答案为： ．
15．（24-25九年级上·内蒙古包头·月考）如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．
将 沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ．下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】②④
【分析】本题考查正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠得到 ，
， ，进而得到 ，证明 ，得到，进而推出 判断①，线段的和差关系，等量代换，判断②，设
，在 中，利用勾股定理求出 的长，再根据面积公式，以及等高三角形的面积比
等于底边比，判断③和④即可．
【详解】解：∵正方形 ， ，
∴ ， ，
∵折叠，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故①错误；
∵ ，
∴ ；故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；故③错误；
∵ ，
∴ ；故④正确；
故答案为：②④．
16．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知正方形 的边长是 ，点E是边 上一点，把
沿 折叠，若点B的对应点落在正方形 的对角线上，则线段 的长是 ．【答案】 或
【分析】本题考查正方形和折叠，勾股定理，等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键，分点B的
对应点 落在 上和点B的对应点 落在 上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵正方形 的边长为4，
∴ ， ，
∴ ，
当点B的对应点 落在 上时，如图：
则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 与点 重合时，此时 与点 重合，满足题意，如图，
∴ ；
综上： 或 ；
故答案为： 或 ．
题型五、根据正方形的性质证明与求解
17．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在正方形 中，点P是对角线上 的一点，点E在
的延长线上，且 ， 交 于点F．(1)证明： ；
(2)如图，把正方形 改为菱形 ，其它条件不变，当 时，连接 ，试探究线段
与线段 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)线段 与线段 的数量关系是： ，理由见解析
【分析】（1）先证出 ，得 ，由于 ，得 ；
（2）先证 ，得 ， ，由 ，得到 ，
，而可得 ，再结合三角形内角和定理可得 ， 为等边三角形，即
可得到结论；
【详解】（1）证明：在正方形 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ；
理由如下：
在菱形 中， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ．
18．（2025·陕西西安·一模）问题提出
（1）如图1，在正方形 中， 分别在边 上，连接 ，交于点 ，且 ，求
证： ；
问题解决
（2）如图2，某公园有一块正方形 的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路
，其余部分种植各种不同的花卉．已知点 分别在边 上，且 于
点 ．若 ，求小路 的最小值．（小路的宽度均忽略不计）
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）证明 ，即可得证；
（2）如图，过 作 ，过 作 ，两条平行线交于点 ，证明 ， ，可
得 ，可得当 三点共线时， 最小，过 作 交 于 ，
而 ，再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：∵正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，过 作 ，过 作 ，两条平行线交于点 ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ， ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，
过 作 交 于 ，而 ，
∴ ， ，
同理可得：四边形 是平行四边形，
∴ ，
结合（1）可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵正方形 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
19．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）问题发现：
（1）如图 ，在正方形 中， ，点 在边 上（不与 、 重合），连接 ，将 沿
翻折，得到 ，连接 并延长交 于点 ．
①若 ，求 的值．
②如图 ，若 与 交于点 ，连接 ，若 ，求证： ．
迁移运用：
（2）如图 ，四边形 中， ，垂足为 ， ，过点 作 ，垂足为 ，连接
．若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）① ；②见解析；（2）【分析】（1）①利用翻折和正方形的性质证三角形全等即可求得结果；②利用翻折及平行线的性质找出
角及边的等量关系，即可证明全等；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，设 ，分别表示出 ，则 的值可求．
【详解】（1）①解：由翻折可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ （ ），
∴ ；
②证明：∵ ，
∴ ，
∵正方形 中 ， ，
∴ ，
∵由翻折可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ ）；（2）解：延长 到点 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （ ），
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．20．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，
形成科学的思维习惯．
(1)观察发现
如图1，将正方形 折叠，使点 的对应点 落在 边上，折痕分别与 ， 交于点 ， ，则
折痕 和 的数量和位置关系分别是_________；
(2)类比探究
在（1）的条件下，设 与 交于点 ，连接 交 于点 ，如图2．求证： ；
(3)拓展应用
如图3，正方形 的边长为9，点 是 边上的一动点，点 在边 上，且 ．连接 ，
将正方形 沿 折叠，使点 ， 分别落在点 ， 处，当点 落在直线 上时，请直接写出线
段 的长．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)2或8
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识
是解题的关键．
（1）根据折叠的性质可得 垂直平分 ，证明 即可；
（2）连接 ，证明 ，可得 ， ，再证 ，
可得 ，进而即可得证；
（3）分两种情况讨论，点Q在线段 上或 延长线上，设 ，由题易得 ，
， ，则 或12，进而分别在 中， ，在 中，
，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点F作 于点H，设 与 交于点O，根据折叠的性质可得 垂直平分 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ， ；
（2）证明：如图，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∵ 垂直平分 ，∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴在四边形 中， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：线段 的长为2或8．
连接 ，设 ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
当点Q落在线段 上时，如图，
此时 ，
在 中， ，
在 中， ，则 ，
解得 ，
∴ ；
当点Q在 延长线上时，如图，
此时 ，
在 中， ，
在 中， ，
则 ，
解得 ，
∴ ；
综上，线段 的长为2或8．
题型六、根据正方形的性质与判定求解
21．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，且
，则 ，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，能够正确作出
辅助线是解题关键．
直接根据点 ，点 即可求出 ；过点C作 ， ，先证得四边形 是
矩形，再通过 可证得 ，进而证得矩形 是正方形，再通过线段的和差关系算出
，进而可得到答案．【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ ， ，
∴
如图，过点C作 ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ， ．
22．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在 中， 平分 交 于
点 ，按下列步骤作图．步骤1：分别以点 和点 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于
两点；步骤2：作直线 ，分别交 于点 ；步骤3：连接 ．若 ，
则线段 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
推出直线 垂直平分 ，证明四边形 为正方形，根据三角形的面积解题即可．
【详解】解：由题意知，直线 垂直平分 ，
∴ ， ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为正方形；
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
23．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在正方形 中， ，点 在对角线 上， ．点
E、F分别在边 、 上，且 ，连接 、 ，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质．
作 交 于M，反向延长 到G，使 ，作 交 于N，延长 到H，使
，连接 ， ，根据正方形的性质得到 ， ，根据勾股定理得到
，根据等边对等角得到 ，可知 ，根据勾股定理求出 ，
则 ， ，证明四边形 是正方形，得到 ， ，则
， ，证明 ，得到 ，则 ，根据勾股
定理求 的值即可．
【详解】解：如图，作 交 于M，反向延长 到G，使 ，作 交 于N，延
长 到H，使 ，连接 ， ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
解得： （负值舍去），
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
24．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，在 中，点D为 边上的点，将 沿 折叠，
使点A落在点E处，连接 ，已知 ， ，则当 为直角三角形时， 的长为
．
【答案】 或
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，分三种情况讨论： ；
； ，根据折叠的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 为直角三角形，
∴ 或 或 ，
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∴C、E、B共线，
如图，∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，
∴ ，
而 ， ， ，
故此种情况不合题意；
③当 时，
由折叠，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形，
又∵ ，
∴矩形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
综上， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．题型七、正方形的性质与判定的综合问题
25．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点P是矩形 的边 的延长线上一点，连接 ，过点
B作 于点E．过点D作 于点F， ．
(1)求证：四边形 是正方形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性
质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由垂直的定义可得 ，即 ；再根据矩形的性质可得
，进而得到 ，再证明 可得 ，进而证明结论；
（2）由矩形的性质以及已知条件可得 ，进而得到 ，根据直角三角形的性质可得
，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵过点B作 于点E．过点D作 于点F，
∴ ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
（2）解：∵矩形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
26．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形 为正方形， ，点E为对角线
上一动点，连接 ，过点E作 ，交 于点F，以 为邻边作矩形 ，连接 ．
(1)求证：矩形 是正方形．
(2)探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)直接写出 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)是定值，6
(3)
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助
线是解题的关键．
（ ）过 作 于 点，过 作 于 点，可证四边形 是正方形，得 ，进
而证明 ，得到 ，即可求证；
（ ）证明 ，可得 ，即得 ，即可求解；
（3）由矩形 为正方形，得到 ，根据垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，
最小值为 ，此时， 有最小值，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，过 作 于 点，过 作 于 点，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，∵ 是正方形 对角线的一点，
∴ ，
，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 为正方形；
（2）解： 是定值，定值为 ，理由如下：
∵矩形 为正方形，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是定值，定值为 ．
（3）解：∵矩形 为正方形，
∴ ，
由垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时， 有最小值，
由（2）知 ，
∴ 的最小值为 ．
27．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过
点E作 ，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形．
(2)如图②，当点E在线段AC上时，
①若 ， ，求CG的长度；
②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数：________________．
【答案】(1)见解析
(2)① ，② 或
【分析】（1）要证明矩形 是正方形，核心是证明矩形的邻边相等．利用正方形 的对角线性
质，构造辅助线 ，得到正方形 ；再通过角的互余关系证明 ，从
而证得全等，推出 ，矩形即可判定为正方形．
（2）①先由正方形边长 ，得对角线 ；结合 ，可知 ，即
为 中点，此时 与 重合，矩形 为正方形，故 ．
②分两种情况讨论： 当 与 夹角为 时，利用正方形对角线的角性质和三角形内角和，计算得
； 当 与 夹角为 时，利用矩形和正方形的角性质，得 ．
【详解】（1）证明：如图①，过点E作 ，交DC的延长线于点P， ，交BC的延长线于
点Q，则四边形 为矩形，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴四边形 为正方形， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中:∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形．
（2）解：①如图②，在 中，由勾股定理，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴点F与点C重合，此时 是等腰直角三角形，
∴矩形 是正方形， ．
②分以下两种情况讨论：①如图③，当 与 的夹角为 时， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
②如图④，当 与 的夹角为 时，
∵ ，
∴ ．
综上所述，当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时， 的度数为 或 ．28．（2025九年级下·吉林·专题练习）已知正方形 中， 是 上一动点，过点 作 交正
方形的外角 的平分线于点 ．
(1)【动手操作】
如图①，在 上截取 ，连接 ，根据题意在图中画出图形，图中 _____度．
(2)【深入探究】 是线段 上的一个动点，如图②，过点 作 交直线 于点 ，以 为斜
边向右作等腰直角三角形 ，点 在射线 上，连接 ．试判断四边形 的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
是射线 上的一个动点，过点 作 交直线 于点 ，以 为斜边向右作等腰直角三角形
，点 在射线 上，连接 ．若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1) ；
(2)矩形 是正方形；见解析；
(3)线段 的长为 或 ．
【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定
理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，
并根据动点的位置进行分类讨论．
（1）利用正方形的直角性质，结合 证 为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算
的度数；
（2）先在 上截取 ，证明 得 ，再构造辅助线证 得
，结合 证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形；
（3）分点 在线段 上和点 在 延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形 均为正方形，
得到 ，再利用勾股定理分别计算 的长度，即可得 的长．
【详解】（1）解：根据题意画图如图；
∵四边形 是正方形，
∴ ，又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：四边形 为正方形，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 上截取 ，连接 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，，
，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是矩形，
又∵ ，
∴矩形 是正方形；
（3）解：①当点 在线段 上时，
由（2）知四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；
②当点 在 延长线上时，延长 至 ，使得 ，连接 ，
∵ ， ，且 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，即 ．
延长 至点 ，使 ，连接 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，且 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
结合 ，可得 ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴平行四边形 是矩形，
又∵ ，
∴矩形 是正方形．
，
综上所述，线段 的长为 或 ．
题型八、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）
29．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形 中，点M为 的中点，连接 ，请仅用
无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中，在 上作出点E，使 ；
(2)在图2中，在 的延长线上作出点F，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，正确作图是解答本题的关键．
（1）连接 交于点 ，连接 并延长交 于点 ，则点 为 的中点，可得四边形 是
平行四边形，则 ；
（2）在（1）的基础上连接 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，由 互相垂直平分
得 ，得 ，根据 证明 得 ，再证明
，可证明四边形 是平行四边形，可得 ．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图， 即为所作．
30．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形 放置在矩形 上，且 ，
请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中，画出 的中点 ；
(2)在图2中，画出 的中点 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质，熟练掌握矩形的性质、正方形的
性质及轴对称图形的性质是解题的关键．
（1）连接正方形和矩形的对角线交于 ，作直线 交 于点 ，点 即为所求；
（2）延长 交于点 ，则四边形 是矩形，连接正方形和矩形 的对角线，交于 ，作
直线 交 于点 ，点 即为所求．
【详解】（1）解：如图点 为所作中点
（2）解：如图点 为所作中点
31．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在正方形 中，点E是 的中点，请仅用无刻度的直尺，
分别按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法）(1)在图①中，作出 边的中点P；
(2)在图②中，作出一个面积等于正方形 面积的一半的正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 交于点O，连接 并延长交 于点P即可；
（2）在（1）的基础上，连接 交于点H，作直线 分别交 于点G，点F，依次连接
即可．
【详解】（1）解：如图所示点P为所求：
∵点E是 的中点，点O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵在正方形 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴点P为 边的中点；
（2）解：如图所示，正方形 为所求：
由（1）知四边形 是矩形， 是 的中位线，∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 所在直线垂直平分 ，
∵ ，
∴ 所在直线垂直平分 ， 所在直线垂直平分 ，
∴ 所在直线是正方形 的对称轴，
∴四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 都是正方形，且边长都相等，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
设正方形 的边长为 ，则 ，正方形 的面积为 ，
∴ ，
∴正方形 的面积为 ，
∴正方形 的面积等于正方形 面积一半．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线
的性质以及判定等知识，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质，线段垂直平分线的性质以及判定是解题的
关键．
32．（2025·河南·模拟预测）如图，在正方形 中， 为 中点．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在 上方过点 作 ，使 ， 交 的延
长线于点 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)图见解析(2)
【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定
理．
（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图的方法作图即可；
（2）连接 ．由正方形的性质得到 ，进而
，证明 得到 ，求出 ，
，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：连接 ．
四边形 为正方形， ，
，
，
在 与 中，
，
．
为 中点，，
，
在 中， ．
一、单选题
1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形 中， 为 上一点．若 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键．
由正方形的性质可得 ．根据三角形的内角和定理求出 ．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中，对角线 、 交于点O，添加下列一个
条件，能使矩形 成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
根据正方形的判定逐个判定即可得到答案．
【详解】解：选项A、 时不能判定矩形 是正方形，故A不符合题意，
选项B、 时，矩形 是正方形，故B符合题意，
选项C、 时不能判定矩形 是正方形，故C不符合题意，
选项D、 时不能判定矩形 是正方形，故D不符合题意，
故选：B．
3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知正方形 边长为 ，连接 平分
交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题；过点 作
于点 ，设 ，根据 ，列方程求解即可．
【详解】解：过点 作 于点 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即： 是等腰直角三角形，
∵正方形 边长为 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
在 中，∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故选：D．
4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，点E在正方形 的对角线 上，且 ，
的两直角边 分别交 于点M、N．若正方形 的边长为8，则阴影部分的面积为
（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是连接 构造全
等三角形．
连接 ，由 得到点E是 的中点，然后结合正方形的性质得到 、
、 ，进而结合 得到 ，从而得证 ，
再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形 的面积与 的面积，最后由正方形的边长求得结
果．
【详解】解：连接 ，
∵ ，∴点E是 的中点，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 的边长为8，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴重叠部分四边形 的面积为16．
故选：C．
5．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形 中， ，点E在边 上， ，将
沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 、 ，给出以下结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行
线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、
面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性．
【详解】解：如图，由题意可知， ， ，
，
在 和 中，，
∴ ，故①正确；
∵正方形边长是12，
，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，
， ， ，故②正确；
，故③错误；
，
，
， ，
，
，故④正确；
∴①②④正确，
故选：B．
二、填空题
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，中国结内包含两个全等的正方形．若两个大正方形的面积均
为 ，重叠部分的小正方形的面积为 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，二次根式的加减，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
由大正方形和小正方形的面积分别求出正方形的边长，即 、 的长度，最后根据线段的和差关系求出
的长．
【详解】解： 两个大正方形的面积均为 ，
．小正方形的面积为 ，
，
．
故答案为： ．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， 是边 的中点，过点 作直线 ，
交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ，连接 ， ．当
时，四边形 是正方形．
【答案】90°
【分析】要确定 的度数使四边形 为正方形，需先分析四边形 的形状，利用角平分线、
平行线的性质及正方形的判定条件推导．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
同理， 平分 ， ．
∴ ．
∵ 是边 的中点，
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是矩形．
当 时， 平分 ，
可得： ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形， ．
∴矩形 是正方形．故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，角平分线与平行线的性质，解题关键是先利用“对角线互相平
分且相等”证明矩形，再通过“邻边相等的矩形是正方形”推导角度．
8．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形 为正方形，点E为对角线 上一点，
连接 ，过点E作 交边 于点 F，以 为邻边作矩形 ，连接 ．若
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以
上知识，证明 是解题的关键．
根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到 ， ，如图所示，过点 作
于点 ， 于点 ，可证矩形 是正方形，矩形 是正方形，从而得到
，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形， 是正方形 的对角线，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，则 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（25-26九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在正方形 中，E为 上一点，连接 ，以点D为圆
心，以 的长为半径作弧，交 于点F，连接 ，过点F作 ，分别交 于点 ，若
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，延长 与 交
于点 ，由正方形得到 ， ，再证明 ，
即可证明 ，得到 ．
【详解】解：延长 与 交于点 ，∵ ，
∴ ， ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∵以点D为圆心，以 的长为半径作弧，交 于点F，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为
故答案为：1．
10．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）已知：点 是正方形 的边 所在直线上的点，过点
作 交 于点 ，连接 ， ，若 的周长为 ，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，分为 如图，当 在 上时，由勾股定理得
，所以 ，则 或 （舍去），然后通过正方形性
质和勾股定理即可求解； 如图，当 在 延长上时，由勾股定理得 ，所以
，则 （舍去）或 ，然后通过正方形性质和勾股定理即可求解，
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解： 如图，当 在 上时，∵ ， 的周长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 在 延长线上时，
∵ ， 的周长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （舍去）或 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上可得： 的长为 或 ．三、解答题
11．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图， ， ， 平分 ， 平分 ，
， ， .
(1)求证：四边形 是正方形．
(2)连接 ，若 ，求线段 的长度．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含 角直角三角形的性质；
（1）由四边形 是平行四边形， 平分 ， 平分 ，得到 ，再由 ，
， ，可得四边形 是菱形，进而得证四边形 是正方形；
（2）过点E作 ，由（1）可得 是等腰直角三角形， 是含 角直角三角形，设
，利用 ，可求出 ，进而求出 .
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是菱形，
又∵ ，
∴菱形 是正方形.
即四边形 是正方形.
（2）解：过点E作 ，如图所示，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中，设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ .
12．（2025九年级·江西·专题练习）已知直线 上的点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点．
请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，以线段 为较长对角线作菱形 ；
(2)在图2中，将直线 绕着点 逆时针旋转 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了限定工具作图—无刻度直尺作图，掌握正方形的性质，菱形的判定是解题的关键．
（1）连接 ， 交于点 ，连接 ， 交于点 ，则四边形 为菱形；
（2）连接 ， 交于点 ，连接 ， 交于点 ，连接 交 于点 ，则 为所求．
【详解】（1）解：如图1，菱形 即为所求．
（2）解：如图2，直线 即为所求．(作法不唯一)
13．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在 中， ，点D在 上，
，垂足为F，且 ，点E为线段 的中点，过点F作 交射线 于G，连接
．
(1)求证： ；(2)求证：四边形 是菱形．
(3)当 时，求证：四边形 是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）证明 ，得出 ， ，证明
，得出 ， ，证明 ，得出 ；
（2）根据平行线的性质得 ，证明 ，根据等腰三角形的判定得出 ，
证明 ，即可证明结论；
（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到 ，求得 ，
根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据正方形的判
定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
（3）证明：∵ ， ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∵ 为 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴四边形 是正方形．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和
性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键．
14．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形 绕着点 按顺时针方向旋转，得到矩形 ，
点 与点 对应，点 恰好落在边 上， 于点 ，其中 ， ．
(1)求证： ．
(2)连接 ，交 于点 ，求 的长．
(3)过点 作 ，交 于点 ．求证：四边形 是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)(3)见解析
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定定理、勾股定理、熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由矩形的性质可得 ， ，由平行线的性质可得 ，由旋转得 ．
再证明 得出 ，即可得证；
（2）证明 得出 ， ，由勾股定理得出 ，求出
，最后再由勾股定理计算即可得出结果；
（3）先证明四边形 是矩形．再求出 ，即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
， ，
．
， ，
．
由旋转，得 ．
在 和 中，
，
，
．
，
．
（2）解：在 和 中，
，
，
， ．
在 中，由勾股定理，得 ．
，
．
在 中，由勾股定理，得 ，
．（3）证明：∵四边形 是矩形， ，
∴四边形 是矩形．
，
，
∴四边形 是正方形．
15．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形 中， ，点 在对角线 上运动
（点 不与点 ，点 重合）， ，以点 为顶点作菱形 ，且菱形 与菱形
的形状、大小完全相同，即 ，在菱形 绕点 旋转的过程中， 与边 交
于点 与边 交于点 ．
特例感知】
（1）如图1，当 ， 时，则 ， ， 之间满足的数量关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8， ，求 的值（用含 的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接 ，求 的长度．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 的长度为 或 ．
【分析】（1）连接 ，当 ， 时，四边形 和 均为正方形，且 为 的中
点，可证得 （ ），得出 ，即可求得答案；
（2）过点 作 ，交 于 ，可证得 、 、 均为等边三角形，得出
，再证得 （ ），即可得出答案；
（3）连接 交 于 ，运用勾股定理求得 ，分两种情况：当点 在线段 上时，当点 在
线段 上时，分别求得 即可．【详解】解：（1）当 ， 时，
四边形 和 均为正方形，且 为 的中点，
如图1，连接 ，则 ， ， ，
，
（ ），
，
，
；
故答案为： ；
（2）如图2，过点 作 ，交 于 ，
四边形 和四边形 是形状、大小完全相同的菱形，且边长为
8， ，
， ，
、 均为等边三角形，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，，
（ ），
，
，
；
（3）连接 交 于 ，
四边形 是菱形，
，即 ，
，
，
，
当点 在线段 上时，如图2，过点 作 于 ，则 ，
，
由（2）知： ，
，
，
；
当点 在线段 上时，如图3，则 ，
，
，
；
综上所述， 的长度为 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角
形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，运用分类讨论思想是解题关键．
16．（25-26九年级上·江西宜春·期末）【课本再现】
如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边
长都为2，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点 转动．
【问题发现】
（1）①如图1，求证： ；
②如图1，四边形 的面积为________；线段 ， ， 之间的数量关系是________；
【类比迁移】
（2）如图2，点 是矩形 对角线 的中点，点 又是矩形 的一个顶点，与 边 相交
于点 ， 与边 相交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 ， ， 之间的
数量关系，并进行证明：
【拓展应用】
（3）如图3，有一个菱形菜园 ， ， 为人行步道，且交于点 ，现要在菱形菜园 的右
下角建一四边形储藏间 ．已知点 在 上，点 在 上， ．若四边形储藏
间 的占地面积为 （人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园 边上围一圈篱笆，请直
接写出需要篱笆多少米？【答案】（1）①证明见解析；② ； ；（2） ，证明见解析；（3）需要
篱笆
【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角
形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
（1）①根据 证明 即可；②根据 ，得出 ，根据
，求出结果即可，根据 ，得出 ，根据勾股定理得出
，根据线段之间的数量关系，即可得出结论；
（2）猜想： ，连接 ，延长 交 与点 ，证明 ，再利用勾
股定理证明即可；
（3）取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，证明 为等边三角形，得出
，证明 为等边三角形，得出 ， ，证明 ，
得出 ，设 ，则 ， ，根据
，得出 ，求出结果即可．
【详解】解：（1）①证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵正方形的边长为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
连接 ，如下图所示：
∵ 为矩形中心，
∴ ，
延长 交 与点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵矩形 ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ；
（3）取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，如图所示：∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为等边三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
，
∴ ，
∴ ，
解得 ，负值舍去，
，
∴ ，
∴菱形菜园需要篱笆 ．
