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专题07 正方形的重难点题型归纳（九大题型）
重难点题型归纳
【题型1 利用正方形的性质求角度】
【题型2 利用正方形的性质求线段长度】
【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】
【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】
【题型5 正方形的判定证明】
【题型6 正方形的性质与判定综合】
【题型7 求正方形形中最值问题】
【题型8 正方形中“十字架”模型】
【题型9 正方形中“对角互补”模型】
【题型1 利用正方形的性质求角度】
1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，
且AE=AD，连接DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
2．（20-21八年级下·山东烟台·期末）如图，延长正方形ABCD边BA至点E，使AE=BD，
则∠E为（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°3．（24-25九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形ABCD外侧，以AD为一边向上作等
边三角形ADE，连接BE，则∠ABE的度数是（ ）
A．5° B．10° C．15° D．30°
4．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在正方形ABCD的内侧，作等边
三角形ADE，则∠CBE为（ ）
A．15° B．25° C．75° D．30°
5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接
BE，CE，则∠BEC的度数为（ ）
A．150° B．175° C．120° D．135°
【题型2 利用正方形的性质求线段长度】
6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别
在边AB，CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边
上，则BE的长度为（ ）A．1 B．❑√2 C．❑√5 D．2
7．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、
CD上，且∠EAF=45∘，BE=2，CF=3连接EF．则EF为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD，
CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长是（ ）．
2
A．2−❑√2 B．2❑√2−1 C． ❑√2 D．2❑√2−2
3
9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，先
活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=5，接着活动学具成为图
2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）A．5 B．5❑√2 C．10 D．2❑√5
10．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形，直线m、n、l
分别经过A、B、C三点，且m∥n∥l．若m与n之间的距离是2，n与l之间的距离是
3，则CD的长是（ ）
A．3 B．4 C．❑√13 D．3❑√2
11．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在边长为25 的正方形ABCD中，△ABE 和
△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，延长AE交DF于点G，延长CF交
BE于点H，BE=DF=24，则EF的长是（ ）
A．14 B．17 C．17❑√2 D．17❑√3
12．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E为CD上一点，
连接AE，过点D作AE的垂线交BC于点F，连接AF．若DE=2，则AF的长为
（ ）
A．8 B．4❑√13 C．2❑√13 D．2❑√10
【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】
13．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内取一点
E，使得BE=CE，连接ED、BD，BD与CE相交于点O，若∠EOD=75°，则
△BED的面积为（ ）❑√34
A． B．4❑√3−4 C．❑√3+1 D．16−8❑√3
2
14．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点N为正方形对角线BD上的任意一点（不
包括B，D两点），过点N做NG⊥BC，NM⊥DC，垂足分别为G，M，若四边形
NGCM的周长为6❑√5cm，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．9❑√5cm2 B．12❑√5cm2 C．36❑√5cm2 D．45cm2
15．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，AE平分
∠BAC交BC于点E，BE=2，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．6 B．4❑√2 C．2+2❑√2 D．2+4❑√2
16．（23-24八年级下·广西玉林·期末）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一
个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变(如
图)，若正方形教具边长为8cm，∠D′=45°，则四边形A′BCD′的面积为（ ）A．32cm2 B．32❑√2cm2 C．64cm2 D．64❑√2cm2
17．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教村母题变式）如图，边长为6的正方形ABCD
的中心与正方形EFGH的顶点E重合，且与边BC,AB分别相交于点M,N，图中阴影
部分的面积记为S，两条线段MB,BN的长度之和记为l，将正方形EFGH绕点E逆时
针转动适当角度，则有S+l=（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
18．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，E是正方形ABCD内一点，AE⊥BE于
E，若AE=6，BE=8，则阴影部分的面积为（ ）
A．48 B．76 C．78 D．84
【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】
19．（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，F在坐标
轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标
为(6,0)，则点D的坐标为（ ）A． B． C． D．
(2,4) (2,6) (2,2❑√3) (2,2+2❑√3)
20．（2024·山西晋中·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为❑√2的正方形AOBC，顶
点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，将正方形AOBC绕点O顺时针旋转
15°，则旋转后点C的坐标为（ ）
A．(❑√3 1) B． C． D．
, (❑√3,1) (1,❑√3) (❑√6,❑√2)
2 2
21．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中放置了一个边长为❑√5的正
方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是(0,2)，点C在x轴上，则点C的坐标为
；点D的坐标为 ．
22．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(5，5)，
点E、F分别在边BC、BA上，CE=2．若∠EOF=45°，则F点的坐标是 ．23．（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边
AB在x轴上，AB=2，且AB的中点是坐标原点O．固定点A，B，把正方形沿箭头
方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为 ．
【题型5 正方形的判定证明】
24．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在△ABC中，AD是角平分线，
DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
(1)判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？为什么？
25．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AB
的中点，AD=BC．过点D作DE⊥AB且DE=BD，连接CE．求证：四边形BCED是正
方形．26．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线
BD上的三等分点，连接AE,CE,AF,CF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
1
(2)连接AC，若AC⊥BD，且AC= BD，判断四边形AECF的形状，并证明．
3
【题型6 正方形的性质与判定综合】
27．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形ABCD中， AB=3❑√2，点E是对角
线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作
矩形DEFG，连接AG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形．
(2)求AG+AE的值．28．（23-24八年级下·天津·期末）如图1，点E是正方形ABCD内的一点，连接CE，点F
在点E右侧，且∠ECF=90°，CE=CF；连接BE，DF，EF．
(1)如图1，
①求证：BE=DF；
②延长BE交线段DF于点P，若BC=2CE=4，PE=PF，线段BP的长为______．
(2)如图2，EF交CD于点G，若B，E，F三点在同一条直线上，且AE⊥BF，求证：
CG=DG．
29．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交
BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
(1)求证：四边形ABEF是正方形；
(2)若AD=AE，AB=2，
①求AG的长；
②求OF的长．【题型7 求正方形形中最值问题】
30．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在正方形ABCD中AB=2cm，点P为
AC上一动点，点E为CD的中点，则PE+PD的最小值为（ ）
A．2cm B．❑√2cm C．2❑√2cm D．❑√5cm
31．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是
边DC，CB上的动点，且始终满足DE=CF，AE，DF交于点P．连接CP，线段CP长的
最小值为（ ）
A．❑√3−1 B．❑√3+1 C．❑√5−1 D．❑√5+1
32．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是以AB为直
径的半圆O上一点，则CP的最小值为 ．
33．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图：已知正方形ABCD的边长为4，若P是对角
线BD上一动点，E为边AD中点；连接PE，PA；则P点运动过程中，PA+PE的最小值为 ．
34．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为3的正方形ABCD中，E、F分
别是边AB、BC上的动点，且EF＝2，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP＋
PM的最小值是 ．
35．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BD、CD上的
动点．且BE=CF．则AE+AF的最小值为 ．
36．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知正方形ABCD的周长为20，AE=1
，CF=4，若M为对角线AC上一动点，则EM+FM的最小值为 ．
【题型8 正方形中“十字架”模型】
37．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形ABCD中，AE⊥FG，求证：
AE=FG；（2）如图②，将边长为12的正方形ABCD折叠，使点A落在CD上的点E，然后压平
折痕FG，若FG的长为13，求CE的长．
38．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，正方形ABCD，点E、M、N分别在
AB、AD、BC上，DE与MN相交于点O．记∠MOD=α．
(1)如图1，若∠MOD=90°，求证：DE=MN；
(2)如图2，若∠MOD=45°，边长AB=4，MN=❑√17，求线段DE的长．
【题型9 正方形中“对角互补”模型】
39．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在四边形ABCD中，AD平分∠BAC，并且
∠B+∠C=180°．
(1)如图1，当∠C=90°时，则BD与CD的数量关系是______；
(2)如图2，当∠C是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的判断；
(3)如图3，若CD⊥DB，AC=2，AD=3❑√2，求△ABD的面积40．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线
AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点
E．
(1)求证：PB=PE；
(2)在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，求出此时AP的长；如
果不能，试说明理由．
41．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F
分别在AB、BC上(AE
