文档内容
专题 10 正方形的性质和判定七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................1
类型一、根据正方形的性质求角度...................................................................................................................1
类型二、根据正方形的性质求线段长................................................................................................................3
类型三、求正方形重叠部分面积.......................................................................................................................7
类型四、根据正方形的性质证明.....................................................................................................................10
类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）....................................................................................15
类型六、正方形的性质与判定的多结论问题...................................................................................................19
类型七、正方形的性质与判定的综合问题......................................................................................................24
压轴能力测评（16题）....................................................................................................................................30
解题知识必备
1.正方形的概念、性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是
有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。
2.正方形的判定
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
压轴题型讲练
类型一、根据正方形的性质求角度
例题：（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形 为正方形，点 是 延长线上一点，且
，连接 ，交 于点 ，则 的度数为【变式训练】
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形 的内部，以 边为边作正方形 ，连接 ，
则 ．
2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，点E是正方形 内一点， 是等边三角形，连
接 并延长交 边于点 ，则
类型二、根据正方形的性质求线段长
例题：（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，在边长为4的正方形 中，点 分别是边
的中点，连接 ，点 分别是 的中点，连接 ，则 的长为 ．
【变式训练】
1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知边长为 的正方形 在直角坐标系中， 与 轴的夹角为
，则点 的坐标是 ．2．（2025·贵州·模拟预测）如图，正方形 ，E，F分别是 ， 的中点， ， 相交于点G，
连接 ，若 ，则 的长为 ．
类型三、求正方形重叠部分面积
例5.（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，有一个边长为 的正方形 ，将一块 的三角板直
角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与 边交于点E，与 边交于点F．则四边形
的面积是 ．
【变式训练】
1.（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点 是其中一个正方形的中心，则图
中阴影部分的面积为 ．
2.（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形 的对角线相交于点 ，以 为顶点的正方形
的两边 ， 分别变正方形的边 ， 于点 ， ．记 的面积为 ， 的面积为 ，若正方形的边长 ， 则 的大小为 ．
类型四、根据正方形的性质证明
例6.（23-24八年级下·北京西城·期中）点 在正方形 的 边上（不与点 ， 重合），点 关于
直线 的对称点为 ，作射线 交 交于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 交射线 于点 ．
①求 的度数；
②用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【变式训练】
1.（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形 中， 为对角线，E为 上一点，连接 ．
(1)求证： ．
(2)延长 交 于F，当 时，求 的度数．
2.（2024·北京石景山·二模）在正方形 中，E是边 上的一动点（不与点A，D重合），连接 ，
点C关于直线 的对称点为F，连接 ， ．(1)如图1，若 是等边三角形，则 __________ ；
(2)如图2，延长 交 的延长线于点M，连接 交 于点H，连接 ．
①求 的大小；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）
例9. （23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形 中，点 、 分别是边 和 上的
点，且满足 ．
(1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边 和 上分别作出点G和点H，
（保留作图痕迹，不写做法作法）；
(2)判断：四边形 的形状是 ．
【变式训练】
1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点 在正方形 的边 上．
(1)请用尺规作图法，在 上分别取点 使得 且平分正方形 的面积．（保留作图
痕迹，不写作法）
(2)求证：
2.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形 中，点E在 上，点F在 的延长线上，
，连接 ．(1)求证： ；
(2)如图，当点E为 边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形 （保留作图痕迹）．
类型六、正方形的性质与判定的多结论问题
例题：（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）如图，正方形 中，点E、F、G分别为边 ， ，
的中点，连接 ， 交于点M，连接 ， ， 与 交于点N，下列结论：① ；②
四边形 是平行四边形；③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论的个数是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是 的高，分别以 为一边， 向外作正
方形 和 （正方形各边相等，各角相等），连接 和 ， 与 的延长线交于点
，下列结论正确的个数是（ ）
① ； ② ；③ ；④ 是 的中线．A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形 中， 为 边上任意一点，连接 ，
于点 ，交 于点 ，小星根据题意得到如下结论：
① ；
② ；
③ 与四边形 面积相等；
④若点 是 的中点，则点 是 的中点．
其中，结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
类型七、正方形的性质与判定的综合问题
例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形 是正方形， 为对角线
上一动点，连接 ，过点 作 ，交射线 于点 ，以 为邻边作矩形 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是正方形；
(2)连接 ，求证： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】
如图 ，在矩形 中，点 分别在 边上， ， 于点 ．（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，连接 ，判断 的形状，并说明理由．
【类比探究】
（3）如图 ，在菱形 中，点 分别在 边上， 与 相交于点 ， ，
， ， ，求 的值．
2．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】
如图 1 ，在矩形 中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作 ， 过点
A 作 ，且 ．
【基础探究】
（1）判断图 1 中四边形 的形状，并说明理由；
【深入探究】
（2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出 ， ， 之间的数量关系， 并
证明；
【拓展迁移】
（3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在 延长线上的位置发生改变时，判 断
的大小是否发生变化，请说明理由．压轴能力测评（16题）
一、单选题
1．如图所示， 的对角线 , 相交于点 ，以下说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是矩形 B．若 ，则 是菱形
C．若 ，则 是正方形 D．若 ，则 是正方形
2．如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 在 上，连接 ， ．若 ，
，则 一定等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形 的一条边 与等腰 的一条边 在同一直线上， 分别交 于点
G， ．已知 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线前去一个角，展开铺平后得到图⑤，其
中 是折痕．若正方形 与五边形 的面积相等，则 的值是（ ）A． B． C． D．
5．如图，在正方形 中，G为对角线 上一点，连接 、 ，E是边 上一点，连接 交
的延长线上于点F，且满足 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．如图，菱形 的面积为 ，正方形 的面积为 则菱形的边长为 ．
7．如图，在正方形 中，G为对角线 上一点，连接 、 ，E是边 上一点，连接 交
的延长线上于点F，且 ，若 ，则 的度数是 ．
8．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼
成正方形 ，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直
角三角形（阴影图形）的直角边为 ，则正方形 的边长为 ．9．如图，四边形 是边长为4的正方形，点E在边 上， ，作 ，分别与边 、
交于点F、G，点M，N分别是 ， 的中点，则 ， 的面积是 ．
10．正方形 的对角线 ， 交于点 ，点 在 上， ，点 为 的中点， ，
连接 ，则 的长为 ．
三、解答题
11．如图，在矩形 中， 的平分线交 于点 ， 于点 ， 于点 ， 与
交于点 ．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的长．
12．如图，四边形 和四边形 都是正方形，点E在边 上，请仅用无刻度直尺完成下列作图
（只能应用直尺进行连线，并保留画图的痕迹） ．(1)如图1， 过点E， 作线段 的垂线；
(2)如图2， 在 上确定一点P，使 ．
13．如图1， 的各内角的平分线分别相交于点 ， ， ， ．
(1)求证：四边形EFGH为矩形；
(2)如图2，当 为矩形时，
①四边形EFGH的形状为 ；
②若 ，四边形EFGH的面积为 ，求AB的长．
14．如图1，在正方形 中，E是AD上一点，过点D作 于点O，交AB于点F，与CB的延长
线交于点G，连结 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求证： ；
(3)如图2，在 上取一点H，连结 ，当 ，猜想 与 的数量关系，并证明．
15．如图1，四边形 为正方形，E为对角线 上一点，连接 ， ．
(1)求证： ．
(2)如图2，过点E作 ，交边 于点F，以 ， 为邻边作矩形 ．
①求证：矩形 是正方形．
②若正方形 的边长为 ， ，直接写出正方形 的边长．16．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究．
如图， 为正方形 的一条对角线，点E为 上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为
中点，过点E作 交 边于点F，延长 交 于点H．
(1)问题探究：
如图①，连接 ，则 与 的位置关系为______， 与 的数量关系为______；
(2)问题解决：
如图②，连接 ，求证： ；
(3)拓展延伸：
如图③，连接 并延长交 于点M、连接 ，探究线段 之间的数量关系，并说明理由．
