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专题 18.6 正方形中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
二、正方形的性质
1．正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
2．正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
3．正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；
4．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称
轴．
三、正方形的判定
1．先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
2．先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；
3．还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．◆ 典例分析
【典例1】问题背景：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，
（1）求证：EF=BE+DF；
（2）迁移应用：如图2，在正方形ABCD中，QA、QB交CD于点G、H，若∠AQB=45°，CH=3，
GH=1，求AG的长；
（3）联系拓展：如图3，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若
DF:AD:AB=1:2:4，探究BE与EC的数量关系，并给出证明．
【思路点拨】
（1）先判断出RtΔABE≅RtΔADP(SAS)，得出AE=AP，∠BAE=∠DAP，再判断出
△AEF≌△APF(AAS)，即可得出结论；
（2）先判断出ΔABM≌ΔBCH(ASA)，得出CH=3=BM，设DG=a，则GM=a+3，CM=a+1，再
根据勾股定理得出 ，求出 ，即可得出结论；
(a+3) 2=42+(a+1) 2 a=1
（3）先判断出四边形AMND是正方形，设DF=m，得出AD=2m=DN，再设BE=2x，则FT=x+m，
4
利用勾股定理得出2x= m，即可得出结论．
3
【解题过程】
（1）证明：延长FD到点P使DP=BE，连接AP，∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ADP=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADP中，
{
AB=AD
)
∠ABE=∠ADP ，
BE=DP
∴Rt△ABE≌Rt△ADP(SAS)，
∴AE=AP，∠BAE=∠DAP，
∵∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠DAE+∠DAP=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠FAP=45°，
在△AEF和ΔAPF中，
{
AE=AP
)
∠EAF=∠FAP ，
AF=AF
∴△AEF≌△APF(SAS)，
∴EF=PF，
∵DP=BE，
∴EF=BE+DF；
（2）如图2，过点A作AM⊥BH交BC于M，交BH于I，连接GM，∴∠BAM+∠ABI=90°，
∵∠ABI+∠CBH=90°，
∴∠BAM=∠CBH，
∵∠ABM=∠C=90°，AB=BC，
∴△ABM≌△BCH(ASA)，
∴CH=3=BM，
∵∠Q=45°，
∴∠QAM=45°，
由（1）知，GM=BM+DG，
设DG=a，
∴GM=BM+DG=a+3，
∵BC=CD=a+4，
∴CM=a+4−3=a+1，
在Rt△MCG中，GM2=GC2+CM2，
，
∴(a+3) 2=42+(a+1) 2
∴a=2，
∴DG=2，
在 中，根据勾股定理得， ；
Rt△ADG AG=❑√62+22=2❑√10
（3）BE=2EC，
证明：如图3，分别取AB，AE的中点M，T，连接MT并延长MT交CD于N，连接TF，1
∴MT∥BE，MT= BE，
2
∴∠AMN=90°=∠DAM=∠D，
∴四边形AMND是正方形，
∵DF:AD:AB=1:2:4，
设DF=m，
∴AD=2m=DN，
∴矩形AMND是正方形，
∵∠EAF=45°，
∴由（1）知，FT=DF+TM，
1
∵MT= BE，
2
设BE=2x，
∴FT=DF+TM=x+m，
在Rt△FTN中，FT2=FN2+T N2，
，
∴(x+m) 2=m2+(2m−x) 2
4
∴2x= m，
3
4 2
∴BE= m， ∴EC=BC−BE= m， ∴BE=2EC．
3 3
◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10．分别以AB、
AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为
S 、S 、S 、S ．则S −2S −3S +4S 等于（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4A． 66 B． 56 C． 24 D． 12
2．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足
BE=BC．连接CE，并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．
在下列结论中：①BH垂直平分AE；②AH=DF；③DF=DE；④∠AEF=45°；⑤
，其中正确的结论有（ ）个．
S =S
四边形EFHG △≝¿+S ¿
△AGH
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB=4，对角线AC上的有一动点
P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动
过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为❑√2；④△CDP为等腰三
角形时，AP的值为2❑√2或4❑√2−4．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④
4．（22-23八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE、DE，
AF⊥AE交DE于点F，若AE=AF=2，BF=2❑√5．下列结论：①△AFD≌△AEB；②BE⊥DE：③
四边形AEBF的面积是2+4❑√6：④点B到直线AE的距离为❑√3；⑤AB2=16+4❑√6．其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2023·江苏南通·二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边AB上的
动点，以EF为一边在EF的右上方作等边三角形FEG，当CG最小时，△ECG的周长为 ．
6．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，正方形ABCD，点E是射线AB上的动点，过点E作EF∥DB
，交直线AD于点F，连接DE，取DE中点G，连接FG并延长交直线DB于点H，若AB=4，EB=3，则
FH的长为 ．
7．（2024·山东临沂·二模）如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E
作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形
DEFG是正方形；②CE+CG=❑√2AD；③CG平分∠DCF；④CE=CF．其中正确的是
（填序号）．
8．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点
(不与点A点D重合）将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，连结BP、BH，下列结论：
①BP=EF；②当P为AD中点时，△PAE三边之比为3:4:5；③∠APB=∠BPH；④△PDH周长等于
8．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）
9．（2024·浙江杭州·模拟预测）正方形ABCD中，P是对角线BD所在直线上一点．若P在对角线BD上
（如图1），连接PC，过点P作PQ⊥CP交AB于点Q．若PD=2❑√2，AB=6，则BQ的长为 ；
若P在BD的延长线上（如图2），连接AP，过点P作PE⊥AP交BC延长线于点E，连接DE，若CE=8
，△DPE的面积是20，则PE的长为 ．
10．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形，AB=6．
（1）如图1，点M在边BC上（不与端点B、C重合），点N在对角线AC上，且MN⊥AC，连接AM，
点G是AM的中点，连接DN、NG．
①若BM=2，求NG的长；
②求证：DN=❑√2NG；
（2）如图2，点E、F分别为AB、BC边上的点，且BE=CF，请直接写出AF+CE的最小值．11．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕
点D顺时针旋转90°得到线段DG，连接EC，AG．
（1）如图，当点E在正方形ABCD内部时，补全图形，判断AG与CE的关系，并写出证明过程；
（2）当点B，D，G在一条直线上时，若AD=4，DG=❑√2，求CE的长．
12．（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交
于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF=______（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形；
②试说明EF=BE+DF，若AB=6，求(BE+6)(DF+6)的值．13．（22-23八年级下·浙江台州·期末） 如图1，在正方形ABCD中，点E是线段CD上任意一点
（不含端点），点F在射线BE上，且CF=CB，连接DF，过点D作DH⊥DF交BE于点H，连接CH．
（1）①若∠EBC=20°，求∠DFB的度数；
②试判断∠DFB的度数是否变化？请说明理由；若不变，请求出它的度数；
（2）若BC=5，当CH∥DF时，求CH的长度；
（3）如图2，当CH⊥BF时，求证：DE=CE．14．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如图，P是正方形ABCD的边CD右侧一点，CP=CD，
∠PCD为锐角，连接PB，PD．
（1）如图①，若PD=PC，求∠BPD的度数；
（2）如图②，作CE平分∠PCD交PB于E．
①∠BEC的度数是___°；
②探究PD，BE，CE之间的数量关系，并证明．15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的
点，∠BAD=2∠EAF，
（1）请你直接写出BE、DF、EF之间的数量关系：___________．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD与∠BCD互补，点E、F分别是边BC、CD上的
点，∠BAD=2∠EAF，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，若E、F分别在直线BC和直线CD上，若BE=2，AB=5，则EF=
___________．16．（2023·辽宁营口·一模）如图1，在正方形ABCD的BC边的延长线上取点G，以CG为边作正方形
CGFE，连接AF，取AF的中点M，连接DM，EM．
（1）请说明线段DM，EM的关系，不必说理；
（2）如图2，把正方形CGFE绕点C顺时针旋转，当点G在BC上时，（1）中结论是否仍然成立？若成
立，请说明理由；
（3）在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，若AB=13，CE=5，请直接写出MF的长．17．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知正方形ABCD中，等腰直角△BEG绕着点B旋转．
（1）如图1，若E点落在边AD上，BG交DC于H，直接写出AE，CH，EH的数量关系；
（2）如图2，连DG，取DG中点F，连EF、CF，试探究EF与CF的关系：
（3）若E点落在直线DC上，且CE:DE=1:2，连接CG，AG，直接写出CG:AG=______．18．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）在正方形ABCD中，E为直线AB上一点．
（1）如图1，E在AB延长线上，F为对角线BD上一点，连接EF，AF，CF，若EF=CF，求∠EFC
度数；
（2）如图2，E在AB边上，连接DE，点H在BC边上且BH=2AE，过点H作HQ⊥DE，垂足为Q，
延长HQ交AD于点G，连接AQ．求证：EQ+GQ=❑√2AQ；
（3）如图3，E在AB边上运动，连接DE，取DE中点M．点N在CD边上运动，连接BN，将△BCN沿着
CN
BN翻折到同一平面内得到△BC′N．当点M与点C′重合时，直接写出 的值．
AE19．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）正方形ABCD中，点E在边BC、CD上运动（不与正方形顶点
重合），作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．
（1）如图，当点E在边BC上时，
①若BE=DF，则图中与线段AE相等的线段是________．
②过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数．
③求证：在②的条件下，AB+BE=❑√2BG．
（2）当点E在边CD上，点F在边CD延长线上时，仍过点E作EG⊥AF于点G，再过点G作GN⊥EF于
EN
点N，连接DG，若DF=DG，求 的值．
GN20．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）问题提出：
（1）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B，C重合），垂直于AE的一条直线MN分
别交AB，AE，CD于点M，P，N．判断线段DN，MB，EC之间的数量关系，并说明理由；
问题探究：
（2）在（1）的基础上，解答下列问题：
①如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ并延长，交边AD于点F，求
∠AEF的度数；
②如图③，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P′
处．若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P′S的最小值．
