文档内容
专题18.6 平行四边形（直通中考）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·八年级课时练习）如图，在四边形 中，已知 ，添加下列条件不能判定四
边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·海南·统考中考真题）如图，在 中， ， ， 平分 ，交边
于点 ，连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
3．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图， 的对角线 ， 相交于点 ， 的平分
线与边 相交于点 ， 是 中点，若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知 ，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与
角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作圆弧，两条圆弧交于
内一点P，连接 ，过点P作直线 ，交OB于点E，过点P作直线 ，交 于点F．若， ，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图所示，在 中， ， 是 上的点，
交 于点 ， 交 于点 ，那么四边形 的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，在 ABCD中， ， ，点E在AD上，
，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在 中，点D，E分别是 ， 边的中点，点F在
的延长线上．添加一个条件，使得四边形 为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A． B． C． D．
8．（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平行四边形 中，将 沿着 所在的直线翻
折得到 ， 交 于点 ，连接 ，若 ， ， ，则 的长是
（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）已知： 的顶点 ，点C在x轴的正半轴上，
按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点M，交 于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 内相交于点E．
③画射线 ，交 于点 ，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，
大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点， 和 交于点O；②以点A为圆心， 长为半径画弧，交 于点D；③分别以点D，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接
和 交于点N，连接 若 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·天津河东·八年级期中）如图，在平行四边形 中， ， ， 的平分线
交 于点E，则 的长为 ．
12．（2023下·四川巴中·八年级统考期中）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，
O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是 ．
13．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接
EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需写一种情
况）14．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在 中， ．利用尺规在 、
上分别截取 、 ，使 ；分别以 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 内
交于点 ；作射线 交 于点 ．若 ，则 的长为 ．
15．（2021·青海·统考中考真题）如图，在 中，对角线 ， ，垂足为 ，且
， ，则 与 之间的距离为 ．
16．（2020·四川·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接
AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝ ．
17．（2020·广东广州·统考中考真题）如图，点A的坐标为 ，点 在 轴上，把 沿 轴向右
平移到 ，若四边形 的面积为9，则点 的坐标为 ．18．（2023·湖北·统考中考真题）如图， 和 都是等腰直角三角形，
，点 在 内， ，连接 交 于点 交 于点 ，连
接 ．给出下面四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中所
有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·山东济南·统考中考真题）已知：如图，点 为 对角线 的中点，过点
的直线与 ， 分别相交于点 ， ．
求证： ．
20．（8分）（2023·宁夏·统考中考真题）如图，已知 ， ， 分别是 和 上的点，
．求证：四边形 是平行四边形．21．（10分）（2023·湖南·统考中考真题）如图，在 中， 平分 ，交 于点E，交
的延长线于点F．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长和 的面积．
22．（10分）（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在 同侧，
， ．
（1）求证： ≌ ．
（2）连接 ，求证：四边形 是平行四边形．
23．（10分）（2019·重庆·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，
EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P显AD上一点，
连接CP．
（1）若DP=2AP=4，CP= ，CD=5，求△ACD的面积．
（2）若AE=BN，AN=CE，求证：AD= CM+2CE．24．（12分）（2020·四川乐山·中考真题）点 是平行四边形 的对角线 所在直线上的一个动
点（点 不与点 、 重合），分别过点 、 向直线 作垂线，垂足分别为点 、 ．点 为 的中
点．
（1）如图1，当点 与点 重合时，线段 和 的关系是 ；
（2）当点 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然
成立？
（3）如图3，点 在线段 的延长线上运动，当 时，试探究线段 、 、 之间的
关系．
参考答案：
1．C
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知A项不符合题意；根据两组对边分别平
行的四边形是平行四边形可知B项不符合题意；根据全等三角形的判定与性质可知D项不符合题意进而即可判断．
解：∵ ， ，
∴由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴ 项能判定四边形 是平行四边形，
故 项不符合题意；
∵ ， ，
∴由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴ 项能判定四边形 是平行四边形，
故 项不符合题意；
∵ ，但 和 不一定平行，
∴ 项不能判定四边形 是平行四边形，
故 符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 项能判定四边形 是平行四边形，
故 项不符合题意；
故选： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定是解题的
关键．
2．C
【分析】由平行四边形的性质可得 ， ， ，由平行线的性质可
得 ，由角平分线的定义可得 ，从而得到 ，推出 ，
，过点 作 于点 ，由直角三角形的性质和勾股定理可得 ， ，
，即可得到答案．
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，平分 ，
，
，
，
，
，
如图，过点 作 于点 ，
，
则 ，
，
，
， ，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的
性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
3．A
【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得
，进而可得 ，再根据三角形的中位线解答即可.
解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ；
故选：A.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理
等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.
4．B
【分析】过P作 于M，再判定四边形 为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最
后求出面积．
解：过P作 于M，
由作图得： 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解
题的关键．
5．B
【分析】由于 ， ，则可以推出四边形 是平行四边形，然后利用平行四边形
的性质可以证明 的周长等于 ．
解： ， ，
则四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
， ，
所以： 的周长等于 ．
故选：B．
【点拨】根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已
知的长度去解题．
6．D
【分析】过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-
∠ABE=45°，则 BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF= ，DE=DF-EF=（
△
-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2- ）x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2- ）2x2+X2=（8-4 ）x2，从而求
得 ，再由AB=CD，即可求得答案．
解：如图，过点B作BF⊥AD于F，∵ ABCD，
∴CD=AB，CD AB，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵
∴∠A=75°，
∵∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，
∴∠EBF=∠AEB=45°，
∴BF=FE，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=75°，
∴∠ADB=30°，
设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF= ，
∴DE=DF-EF=（ -1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2- ）x，
由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2- ）2x2+x2=（8-4 ）x2，
∴
∴ ，
∵AB=CD，∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点B作
BF⊥AD于F，构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键．
7．B
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC且DE= AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．
解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE= AC，
A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形
ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C、根据AC=CF不能判定AD∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的
中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
8．B
【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE
得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出 ；
解：∵四边形 是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴ =
故选：B
【点拨】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键
是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．A
【分析】由题意得：OE平分∠AOC，结合AD∥OC，可得AO=AF，设AH=m，则AO=AF=2+m，根据
勾股定理，列出方程，即可求解．
解：由作图痕迹可知：OE平分∠AOC，
∴∠AOF=∠COF，
∵在 中，AD∥OC，
∴∠COF=∠AFO，
∴∠AOF=∠AFO，
∴AO=AF，
∵ ，
∴FH=2，OH=3，
设AH=m，则AO=AF=2+m，
∵在 中，AH2+OH2=AO2，∴m2+32=（2+m） 2，解得： ，
∴A ，
故选A．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，
推出AO=AF，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
10．A
【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
解：由作图可知 垂直平分线段 ， 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查作图-基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键
是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．2
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，则 ，再由角平分线的定义可得
，从而求得 ，则 ，从而求得结果．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 的平分线 交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故答案为：2．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质
是解题的关键．
12．（7，4）
解：试题分析：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标
是（1，4），∴BC=OA=6，6+1=7，∴点B的坐标是（7，4）；故答案为（7，4）．
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．
13． （答案不唯一）
【分析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的
边相等即可．
解： ，
所以补充：
△AEG≌△CFH，
故答案为： （答案不唯一）
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利
用ASA证明三角形全等”是解本题的关键．
14．
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明
∠CBH=∠CHB，得到 ，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理
求出BH的长．
解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，
勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
15． ．
【分析】设 与 之间的距离为 ，由条件可知 的面积是 的面积的2倍，可求得
的面积， ，因此可求得 的长．
解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
设 与 之间的距离为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍
是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）．
16．2
【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰
三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是 ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，△
∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE．
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是 ABE的中位线，
△
∴GF= AE，
∵AE=4，
∴GF=2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明
GF是△ABE的中位线是解题的关键．
17．（4，3）【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得
到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到 ，求出BD即可得到答案.
解：过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵ ，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C（4，3），
故答案为：（4，3）.
【点拨】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标
的关系.
18．①③④
【分析】由题意易得 ， ， ，
，则可证 ，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的
性质与判定可进行求解．
解：∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
∴ ，∴ ， ，故③正确；
∵ ， ， ，
∴ ， ；故②错误；
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，故④正确；
故答案为①③④．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，
熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键．
19．详见分析
【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ，进而得出 ，
，再证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，再利用线段的差得出
，即可得出结论．
解：证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点 为对角线 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
20．见分析
【分析】根据平行线的性质和判定证得 ，再根据平行四边形的判定即可证得结论．
解：证明： ，
，
又 ，
，
，，
四边形 是平行四边形．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得
是解决问题的关键．
21．（1）见分析；（2） ； 的面积为
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，根据角平分线的定义得到 ，求得
，根据等腰三角形的判定定理即可得到 ；
（2）根据线段的和差得到 ；过D作 交 的延长线于H，根据直角三角形
的性质得到 ，根据三角形的面积公式即可得到 的面积．
解：（1）证明：在 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ；
过D作 交 的延长线于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，
正确作出辅助线是解题的关键．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）由B是 的中点得 ，结合 ， ，根据全等三角形的判定定理
“ ”即可证明 ≌ ；
（2）由（1）中 ≌ 得 ，进一步得 ，再结合 ，根据一组
对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
（1）解：∵B是 的中点，
∴ ．
在 和 中，
∴ ≌ （ ）．
（2）如图所示，
∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
23．（1） ；（2）见分析.
【分析】（1）作CG⊥AD于G，设PG=x，则DG=4-x，在Rt PGC和Rt DGC中，由勾股定理得出方程，
解方程得出x=1，即PG=1，得出GC=4，求出AD=6，由三角形面△积公式即可△得出结果；
（2）连接NE，证明 NBF≌△EAF得出BF=AF，NF=EF，再证明 ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=
△ △
NE= MC，得出AF= MC+EC，即可得出结论.
解：
（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG＝x，则DG＝4﹣x，
在Rt PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，
在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，
∴17﹣△x2＝9+8x﹣x2，
解得：x＝1，即PG＝1，
∴GC＝4，
∵DP＝2AP＝4，
∴AD＝6，
∴S ACD＝ ×AD×CG＝ ×6×4＝12；
△（2）证明：连接NE，如图2所示：
∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，
∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，
在 NBF和 EAF中， ，
△ △
∴△NBF≌△EAF（AAS），
∴BF＝AF，NF＝EF，
∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF，
∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，
在 ANE和 ECM中， ，
△ △
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴CM＝NE，
又∵NF＝ NE＝ MC，
∴AF＝ MC+EC，
∴AD＝ MC+2EC．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知
识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键.
24．（1） ；（2）补图见分析， 仍然成立，证明见分析；（3） ，证明见分析
【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；
（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得 ，得
出 ， ，再根据 ， ，推出 ，即可得证．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示， 仍然成立，
证明如下：延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
（3）当点 在线段 的延长线上时，线段 、 、 之间的关系为 ，
证明如下：延长 交 的延长线于点 ，如图所示，
由（2） 可知 ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全
等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使
问题得以解决．
